什么是旋轉矩陣有著怎樣的性質
什么是旋轉矩陣有著怎樣的性質
旋轉矩陣解決的是如何組合集合中的元素以達到某種特定的要求。那么你對旋轉矩陣了解多少呢?以下是由學習啦小編整理關于什么是旋轉矩陣的內容，希望大家喜歡!
什么是旋轉矩陣
旋轉矩陣是世界上著名的彩票專家、澳大利亞數學家底特羅夫研究的，它可以幫助您鎖定喜愛的號碼，提高中獎的機會。首先您要先選一些號碼，然后，運用某一種旋轉矩陣，將你挑選的數字填入相應位置。如果您選擇的數字中有一些與開獎號碼一樣，您將一定會中一定獎級的獎。當然運用這種旋轉矩陣，可以最小的成本獲得最大的收益，且遠遠小于復式投注的成本。
旋轉矩陣的原理在數學上涉及到的是一種組合設計：覆蓋設計。而覆蓋設計，填裝設計，斯坦納系，t-設計都是離散數學中的組合優化問題。它們解決的是如何組合集合中的元素以達到某種特定的要求。其最古老的數學命題是寇克曼女生問題：
某教員打算這樣安排她班上的十五名女生散步：散步時三女生為一組，共五組。問能否在一周內每日安排一次散步，使得每兩名女生在一周內一道散步恰好一次?寇克曼于1847年提出了該問題，過了100多年后，對于一般形式的寇克曼問題的存在性才徹底解決。用1~15這15個數字分別代表15個女生，其中的一組符合要求的分組方法是：
星期日：(1，2，3)，(4，8，12)，(5，10，15)，(6，11，13)，(7，9，14)
星期一：(1，4，5)，(2，8，10)，(3，13，14)，(6，9，15)，(7，11，12)
星期二：(1，6，7)，(2，9，11)，(3，12，15)，(4，10，14)，(5，8，13)
星期三：(1，8，9)，(2，12，14)，(3，5，6)，(4，11，15)，(7，10，13)
星期四：(1，10，11)，(2，13，15)，(3，4，7)，(5，9，12)，(6，8，14)
星期五：(1，12，13)，(2，4，6)，(3，9，10)，(5，11，14)，(7，8，15)
星期六：(1，14，15)，(2，5，7)，(3，8，11)，(4，9，13)，(6，10，12)
旋轉矩陣的性質
設是任何維的一般旋轉矩陣:
兩個向量的點積在它們都被一個旋轉矩陣操作之后保持不變: 從而得出旋轉矩陣的逆矩陣是它的轉置矩陣: 這里的 是單位矩陣。 一個矩陣是旋轉矩陣，當且僅當它是正交矩陣并且它的行列式是單位一。正交矩陣的行列式是 ±1;如果行列式是 −1，則它包含了一個反射而不是真旋轉矩陣。 旋轉矩陣是正交矩陣，如果它的列向量形成 的一個正交基，就是說在任何兩個列向量之間的標量積是零(正交性)而每個列向量的大小是單位一(單位向量)。 任何旋轉向量可以表示為斜對稱矩陣 A的指數: 這里的指數是以泰勒級數定義的而 是以矩陣乘法定義的。A 矩陣叫做旋轉的“生成元”。旋轉矩陣的李代數是它的生成元的代數，它就是斜對稱矩陣的代數。生成元可以通過 M 的矩陣對數來找到。
旋轉矩陣的二維空間
在二維空間中，旋轉可以用一個單一的角 θ 定義。作為約定，正角表示逆時針旋轉。把笛卡爾坐標的列向量關于原點逆時針旋轉θ 的矩陣是:
該矩陣的逆矩陣為：
表示較原來反方向旋轉θ ，也即順時針旋轉θ
順時針旋轉就直接計算-θ 即可。
旋轉矩陣的三維空間
在三維空間中，旋轉矩陣有一個等于單位一的實特征值。旋轉矩陣指定關于對應的特征向量的旋轉(歐拉旋轉定理)。如果旋轉角是 θ，則旋轉矩陣的另外兩個(復數)特征值是 exp(iθ) 和 exp(-iθ)。從而得出 3 維旋轉的跡數等于 1 + 2 cos(θ)，這可用來快速的計算任何 3 維旋轉的旋轉角。
3 維旋轉矩陣的生成元是三維斜對稱矩陣。因為只需要三個實數來指定 3 維斜對稱矩陣，得出只用三個是實數就可以指定一個3 維旋轉矩陣。
生成旋轉矩陣的一種簡單方式是把它作為三個基本旋轉的序列復合。關于右手笛卡爾坐標系的 x-, y- 和 z-軸的旋轉分別叫做 roll, pitch 和 yaw 旋轉。因為這些旋轉被表達為關于一個軸的旋轉，它們的生成元很容易表達。
繞 x-軸的旋轉定義為: 這里的 θx 是 roll 角。 繞 y-軸的旋轉定義為: 這里的 θy 是 pitch 角。 繞 z-軸的旋轉定義為: 這里的 θz 是 yaw 角。
在飛行動力學中，roll, pitch 和 yaw 角通常分別采用符號 γ, α, 和 β;但是為了避免混淆于歐拉角這里使用符號 θx, θy 和 θz。
任何 3 維旋轉矩陣 都可以用這三個角 θx, θy, 和 θz 來刻畫，并且可以表示為 roll, pitch 和 yaw 矩陣的乘積。
是在 中的旋轉矩陣 在 中所有旋轉的集合，加上復合運算形成了旋轉群 SO(3)。這里討論的矩陣接著提供了這個群的群表示。更高維的情況可參見 Givens旋轉。
角-軸表示和四元數表示
在三維中，旋轉可以通過單一的旋轉角 θ 和所圍繞的單位向量方向 來定義。
這個旋轉可以簡單的以生成元來表達:
在運算于向量 r 上的時候，這等價于Rodrigues旋轉公式：
角-軸表示密切關聯于四元數表示。依據軸和角，四元數可以給出為正規化四元數 Q:
這里的 i, j 和 k 是 Q 的三個虛部。
歐拉角表示(Euler角)
在三維空間中，旋轉可以通過三個歐拉角 (α,β,γ) 來定義。有一些可能的歐拉角定義，每個都可以依據 roll, pitch 和 yaw 的復合來表達。依據 "z-x-z" 歐拉角，在右手笛卡爾坐標中的旋轉矩陣可表達為:
進行乘法運算生成:
因為這個旋轉矩陣不可以表達為關于一個單一軸的旋轉，它的生成元不能像上面例子那樣簡單表達出來。
對稱保持 SVD 表示
對旋轉軸 q 和旋轉角 θ，旋轉矩陣
這里的 的縱列張開正交于 q 的空間而 G 是 θ 度 Givens 旋轉。
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3.圖像處理基本知識