什么是整數_整數的性質與應用
什么是整數_整數的性質與應用
整數可分為奇數和偶數兩類。那么你對整數了解多少呢?以下是由學習啦小編整理關于什么是整數的內容，希望大家喜歡!
整數的概念
整數(integer)就是像-3,-2,-1,0,1,2,3,10等這樣的數。
整數的全體構成整數集，整數集是一個數環。在整數系中，零和正整數統稱為自然數。-1、-2、-3、…、-n、…(n為非零自然數)為負整數。則正整數、零與負整數構成整數系。整數不包括小數、分數。
整數的分類
我們以0為界限，將整數分為三大類：
1° 正整數，即大于0的整數如，1，2，3······直到n。
2° 零，既不是正整數，也不是負整數，它是介于正整數和負整數的數。
3° 負整數，即小于0的整數如，-1，-2，-3······直到-n。(n為正整數)
注：現中學數學教材(2005年)中規定：零和正整數統稱自然數。
整數也可分為奇數和偶數兩類。
正整數
它是從古代以來人類計數的工具。可以說，從“1頭牛，2頭牛”或是“5個人，6個人”抽象化成正整數的過程是相當自然的。
零
零不僅表示“沒有”(“無”)，更是表示空位的符號。中國古代用算籌計算數并進行運算時，空位不放算籌，雖無空 位記號，但仍能為位值記數與四則運算創造良好的條件。印度-阿拉伯命數法中的零(zero)來自印度的(Sunya)字，其原意也是“空”或“空白”。
負整數
中國最早引進了負數。《九章算術.方程》中論述的“正負數”，就是整數的加減法。減法的需要也促進了負整數的引入。減法運算可看作求解方程a - b=c，如果a、b是自然數，則所給方程未必有自然數解。為了使它恒有解，就有必要把自然數系擴大為整數系。
奇偶
整數中，能夠被2整除的數，叫做偶數。不能被2整除的數則叫做奇數。即當n是整數時，偶數可表示為2n(n為整數);奇數則可表示為2n+1(或2n-1)。
偶數包括正偶數(亦稱雙數)、負偶數和0。所有整數不是奇數，就是偶數。
在十進制里，我們可用看個位數的方式判斷該數是奇數還是偶數：個位為1,3,5,7,9的數為奇數;個位為0,2,4,6,8的數為偶數。
整數的性質及應用
如果不加特殊說明，我們所涉及的數都是整數，所采用的字母也表示整數。
定義
設a,b,c是給定的數，b≠0，若存在整數c，使得a=bc,則稱b整除a，記作b|a，并稱b是a的一個約數(因子)，稱a是b的一個倍數，如果不存在上述c，則稱b不能整除a。
整數整除性的一些數碼特征(即常見結論)
1與0的特性
1是任何數的約數，即對于任何整數a，總有1|a。
0是任何非零數的倍數，a≠0,a為整數，則a|0。
整除特征
1° 若一個數的末位是單偶數，則這個數能被2整除。
2° 若一個數的數字和能被3整除，則這個整數能被3整除。
3° 若一個數的末尾兩位數能被4整除，則這個數能被4整除。
4° 若一個數的末位是0或5，則這個數能被5整除。
5° 若一個數能被2和3整除，則這個數能被6整除。
6° 若一個數的個位數字截去，再從余下的數中，減去個位數的2倍，如果差是7的倍數，則原數能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍數，就需要繼續上述「截尾、倍大、相減、驗差」的過程，直到能清楚判斷為止。例如，判斷133是否7的倍數的過程如下：13-3×2=7，所以133是7 的倍數;又例如判斷6139是否7的倍數的過程如下：613-9×2=595 ， 59-5×2=49，所以6139是7的倍數，余類推。
7° 若一個數的未尾三位數能被8整除，則這個數能被8整除。
8° 若一個數的數字和能被9整除，則這個整數能被9整除。
9° 若一個數的末位是0，則這個數能被10整除。
10° 若一個數的奇位數字之和與偶位數字之和的差能被11整除，則這個數能被11整除。11的倍數檢驗法也可用上述檢查7的「割尾法」處理!過程唯一不同的是：倍數不是2而是1!
11° 若一個數能被3和4整除，則這個數能被12整除。
12° 若一個數的個位數字截去，再從余下的數中，加上個位數的4倍，如果和是13的倍數，則原數能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍數，則重復「截尾、倍大、相減、驗差」的過程，直到能清楚判斷為止。
13° 若一個數的個位數字截去，再從余下的數中，減去個位數的5倍，如果差是17的倍數，則原數能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍數，同樣重復之前的過程，直到能清楚判斷為止。
14° 若一個數的個位數字截去，再從余下的數中，加上個位數的2倍，如果差是19的倍數，則原數能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍數，同樣重復之前的計算思路，直到能清楚判斷為止。
15° 若一個數的末三位與3倍的前面的隔出數的差能被17整除，則這個數能被17整除。
16° 若一個數的末三位與7倍的前面的隔出數的差能被19整除，則這個數能被19整除。
17° 若一個數的末四位與前面5倍的隔出數的差能被23(或29)整除，則這個數能被23整除
奇偶性
1° 奇數±奇數=偶數，偶數±偶數=偶數，奇數±偶數=奇數，偶數×偶數=偶數，奇數×偶數=偶數，奇數×奇數=奇數;即任意多個偶數的和、差、積仍為偶數，奇數個奇數的和、差為奇數，偶數個奇數的和、差為偶數;
2° 奇數的平方都可以表示成(8m+1)的形式，偶數的平方可以表示為8m或(8m+4)的形式;
3° 若有限個整數之積為奇數，則其中每個整數都是奇數;若有限個整數之積為偶數，則這些整數中至少有一個是偶數;兩個整數的和與差具有相同的奇偶性;一個整數的平方根若是整數，則兩者具有相同的奇偶性。
完全平方數
完全平方數及其性質
能表示為某整數的平方的數稱為完全平方數，簡稱平方數。平方數有以下性質與結論：
(1)平方數的個位數字只可能是0,1，4,5，6,9;
(2)偶數的平方數是4的倍數，奇數的平方數被8除余1，即任何平方數被4除的余數只有可能是0或1;
(3)奇數平方的十位數字是偶數;
(4)十位數字是奇數的平方數的個位數一定是6;
(5)不能被3整除的數的平方被3除余1，能被3整除的數的平方能被3整除。因而，平方數被9也合乎的余數為0,1，4,7，且此平方數的各位數字的和被9除的余數也只能是0,1，4,7;
(6)平方數的約數的個數為奇數;
(7)任何四個連續整數的乘積加1，必定是一個平方數。
(8)設正整數a,b之積是一個正整數的k次方冪(k≥2)，若(a,b)=1，則a,b都是整數的k次方冪。一般地，設正整數a,b,c……之積是一個正整數的k次方冪(k≥2)，若a,b,c……兩兩互素，則a,b,c……都是正整數的k次方冪。
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