0為什么是一個自然數

　　在過去的中小學數學教學中，數字“0”一直不屬于自然數，但是現在已明確把“0”歸于自然數。為什么有這樣的變化?作為數學教師必須清楚。許多數學工作者都認為這僅僅是一個“規定”，用數學的行話講即“定義”，這就是說以前定義“1，2，3，…，n…”為自然數集，而現在則定義“0，1，2，3，…，n…”為自然數集。顯然這樣的解釋是不夠的，下面談談筆者的理解。

　　1?自然數的功能

　　自然數是人類最早認識并用之描述自然界數量關系的數學概念。一開始它就有三個基本功能：一是基數功能，用來刻畫某一類事物的多少，用現代集合論的語言來說，就是描述有限集的基數;二是序數功能，用來刻畫某一類事物的順序，用現代集合論的語言來說，就是描述有限集中元素的順序性質;第三個是運算功能，自然數可以做加法和乘法，這些運算用來描述自然界中事物之間的數量關系，隨著對運算的深入研究，使我們進一步又建立了整數、有理數、實數、復數及其運算，這樣我們對自然界事物的數量關系的描述更加完整和精細。

　　2?為什么要把“0”作為自然數

　　我們從自然數的功能上回答這個問題。

　　第一、“0”不是自然數時，其基數功能不完整。我們知道“空集”是最基本的集合，也是我們描述周圍現象時常用到的集合概念，在集合論中用專門的符號“Φ”表示。例如方程x2+1=0的實根集合就是一個空集。有了空集的概念后，我們可以用公理化的方法給出所有自然數的定義。首先，對任意集合A，我們定義A+=A∪{A}為集合A的后繼。其次，定義：0=Φ;1=0+=Φ∪{Φ}={Φ};2=1+={Φ}∪{{Φ}}={Φ,{Φ}};3=2+={Φ,{Φ}}∪{{Φ,{Φ}}}={Φ,{Φ},{Φ,{Φ}}};……從這個定義可以看出，每個自然數可看作一個集合的名稱。在日常生活中，我們常用數出集合元素數目的辦法來判斷有限集中元素的個數，這實際上是在所給集合與某個自然數表示的集合之間建立一個一 一對應。所以用集合論的觀點，我們可給出有限集及其元素個數的嚴格定義如下：“設A是一個集合，若在A與自然數集N的某個元素n之間存在一 一對應，則稱A為有限集(否則稱為無限集，即A不能與任一自然數n建立一 一對應時，稱A為無限集)，且稱n為集合A的基數或勢(即通常所說的集合的元素個數)”。把空集劃分為有限集是很自然的。但當“0”不是自然數時，就沒有一個自然數可表示空集的基數，這樣不管從日常生活的語義上，還是上述嚴格定義上，自然數描述有限集基數的功能均不完整;反之，可用“0”表示空集的基數，則“所有自然數”就可以完整刻畫“所有有限集元素的多少”這一任務。這樣我們從自然數的基數功能說明了把“0”作為自然數的好處。

　　第二、我們還要說明，把“0”作為自然數，不會影響其“序數功能”與“運算功能”。

　　首先，在集合論中，常常要討論元素之間的序關系，并根據序關系的性質將集合分為“偏序集”、“線性序集”、“良序集”等，序關系為我們提供了一種比較集合中元素的手段，在日常生活中有廣泛的應用。自然數的序關系具有比較好的性質，這些性質通常是用關系運算“≤、≥、<、>、=、≠”來描述的。我們說“0”作為自然數，是不會影響其“序數功能”的。

　　在“順序”方面，除了上述性質外，自然數還有一種特殊的性質，這也是自然數區別于整數集、有理數集、實數集的本質性質，即“自然數的任一非空子集中，一定有最小的數”，也就是說自然數集還是一個良序集。盡管整數集、有理數集、實數集都是線性序集，但它們不具有自然數的特殊性質。例如，所有負整數是整數集的子集，但它無最小數。又如區間 (0，1)作為實數集的非空子集也沒有最小數，而區間 (0，1)內所有有理數構成的集合作為有理數集的非空子集也沒有最小數。自然數的這一特殊性質是保證數學歸納法成立的基本性質。

　　很明顯，不管“0”是否歸于自然數集，上面討論的自然數的“順序”性質都成立，當然也包括那種特殊性質。實質上沒有“0”的自然數集與包括“0”的自然數集可以在下面的對應規則下看作是“完全一樣”的：n→n+1，從代數學的觀點來看它們是“同構”的。這樣我們說明了把“0”作為自然數，不會影響其“序數功能”。

　　3?結論

　　既然“0”加盟到自然數集合中，只有好處，沒有壞處，我們為什么不歡迎“0”作為自然數集合的一個成員呢?即“0”作為自然數是理所當然的，而不僅僅是一種“規定”。這可幫助我們更好地理解自然數和它的功能，也可幫助我們養成一個良好的習慣，即學習一個數學概念時，不但要記住和理解“定義”和“規定”，還要思考這些“定義”和“規定”后面的數學含義。