試論化歸思想在立幾中的探究

試論化歸思想在立幾中的探究

　　我們?cè)诮鉀Q代數(shù)問題時(shí)經(jīng)常使用化歸思想方法。數(shù)學(xué)解題過程實(shí)際上就是不斷的進(jìn)行化歸的過程，化歸是數(shù)學(xué)研究中普遍采用的一種思想，也是解決實(shí)際問題的關(guān)鍵，而這一思想的應(yīng)用在立體幾何的學(xué)習(xí)中尤為突出，不論是線線、線面、面面之間平行、垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，空間圖形的證明與計(jì)算轉(zhuǎn)化為平面圖形的證明與計(jì)算，還是空間幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算關(guān)系，幾乎貫穿于立體幾何的全部領(lǐng)域，而數(shù)學(xué)課堂上學(xué)生往往只注意了這些知識(shí)的學(xué)習(xí)，注意了新知識(shí)的增長(zhǎng)，并未曾注意聯(lián)想到這些知識(shí)的觀點(diǎn)以及由此出發(fā)產(chǎn)生的解決問題的方法和策略，所以要增強(qiáng)學(xué)生對(duì)各種關(guān)系轉(zhuǎn)化的意識(shí)是關(guān)鍵，而這一意識(shí)的培養(yǎng)、增強(qiáng)全靠教師在教學(xué)中幫助學(xué)生有效地、有目的地進(jìn)行化歸，從而提高解題能力。不妨先從實(shí)例來作研究。

　　一、題型的化歸：

　　1、化歸為基本題型：

　　立體幾何中我們知道有一些基本題形是我們平時(shí)經(jīng)常研究的，如：正方體、四個(gè)面全為直角的三棱錐中的問題等。

　　棱長(zhǎng)為a的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)均在一個(gè)球面上，求此球的表面積與體積.

　　解：以正四面體的每條棱作為一個(gè)正方體的面的一條對(duì)角線構(gòu)造如圖所示的正方體，則該正四面體的外接球也就是正方體的外接球.

　　分析：聯(lián)系正四面體，如圖3，PA、PB、PC兩兩成600，高PO與棱PA所成的角即為圖8中PO與PA所成的角，而在正四面體中，PO與PA所成角的正弦值為 ，故PE= cm。

　　3、幾何問題代數(shù)化

　　如圖4，在長(zhǎng)方形 中， ， ， 為 的中點(diǎn)， 為線段 (端點(diǎn)除外)上一動(dòng)點(diǎn).現(xiàn)將 沿 折起，使平面 平面 .在平面 內(nèi)過點(diǎn) 作 ， 為垂足.設(shè) ，則 的取值范圍是
　　

　　本題在解的過程中引進(jìn)了變量 ，從而將求 的范圍問題轉(zhuǎn)化為求關(guān)于函數(shù)值域問題。

　　二、圖形的化歸

　　1、化歸為平面幾何問題

　　在立體幾何中，一般求表面距離最短問題通常都轉(zhuǎn)化為將此幾何體按一定要求側(cè)展，變空間問題為平面幾何問題。

　　如圖6，在四面體P—ABC中，PA=PB=PC=2，∠APB=∠BPC=∠APC=30°，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿著四面體的表面繞一周，再回到A點(diǎn)。

　　問：螞蟻沿著怎樣的路徑爬行時(shí)路程最短，最短路程是多少?
　　

　　解：如右圖，將四面體沿PA剪開，并將其側(cè)面展開平鋪在一個(gè)平面上，連接AA′分別交PB，PC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，則當(dāng)螞蟻沿著A→E→F→A′路徑爬行時(shí)，路程最短.在△APA′中，∠APA′=90°，PA=PA′=2，∴AA′=22，即最短路程AA′的長(zhǎng)為22.

　　2、化歸為平面圖形

　　在立體幾何中常將空間圖形中的條件有目的地化歸到幾何體內(nèi)的一個(gè)平面圖形中去，再結(jié)合平面幾何知識(shí)來解決這個(gè)問題。

　　如圖7，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為a,E為棱CC1上的的動(dòng)點(diǎn).

　　(1)求證：A1E⊥BD;

　　(2)當(dāng)E恰為棱CC1的中點(diǎn)時(shí)，求證：平面A1BD⊥平面EBD.
　　

　　證明：(1)略，

　　3、整體與局部的化歸

　　(1)補(bǔ)成整體：

　　設(shè)P，A，B，C是球O表面上的四個(gè)點(diǎn)，PA、PB、PC兩兩垂直，且 m，求球的體積與表面積。

　　解：在球O中構(gòu)造一個(gè)正方體，使該正方體的棱長(zhǎng)為1，則此正方體中的某四個(gè)點(diǎn)必滿足條件，故正方體的對(duì)角線長(zhǎng)即為該球直徑，所以有 體積為 ，表面積為 。

　　將三棱錐補(bǔ)成正方體，是解決該題的關(guān)鍵。

　　(2)割成局部：

　　如圖8，已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD，

　　(Ⅰ)證明：C1C⊥BD;

　　分析：如果我們從該圖中僅觀察三棱錐C—BC1D，就可以研究上面問題。

　　綜上可見，運(yùn)用化歸法解立體幾何題是一種很有力的工具，我們?cè)诮忸}當(dāng)中，應(yīng)當(dāng)熟悉和掌握這一工具，并能自覺地運(yùn)用這一工具。化歸是一種重要的數(shù)學(xué)思想。實(shí)際上，中學(xué)數(shù)學(xué)中，化歸方法的應(yīng)用不僅體現(xiàn)在立體幾何中，它無處不在。所以數(shù)學(xué)中注意化歸思想的培養(yǎng)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，發(fā)展解題能力都無疑是至關(guān)重要的。

　　化歸方法之間彼此密切聯(lián)系，只是表現(xiàn)形式有所側(cè)重，總的來說，化歸方法就是把未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題，把陌生問題轉(zhuǎn)化為熟悉問題，把繁雜問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問題。而這里所說的轉(zhuǎn)化，不是無目的活動(dòng)，問題的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和相互之間的聯(lián)系，決定了處理這一問題的方式、方法。因此教師要充分揭示問題間的內(nèi)部聯(lián)系，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)分析問題，創(chuàng)造條件，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，是掌握化歸方法的關(guān)鍵。