數(shù)學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)本科生畢業(yè)論文(2)

數(shù)學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)本科生畢業(yè)論文

　　數(shù)學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)本科生畢業(yè)論文篇2

　　淺談高等數(shù)學(xué)在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

　　摘要：初等數(shù)學(xué)是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，高等數(shù)學(xué)是初等數(shù)學(xué)的繼續(xù)和提高，它不但解釋了許多初等數(shù)學(xué)未能說清楚的問題，并使許多初等數(shù)學(xué)束手無策的問題，至此迎刃而解了。本文從三個(gè)方面探討高等數(shù)學(xué)在初等數(shù)學(xué)中的作用。高等數(shù)學(xué)是在初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，與初等數(shù)學(xué)有著緊密的聯(lián)系。站在高等數(shù)學(xué)的角度來看中學(xué)數(shù)學(xué)的某些問題又會(huì)更深刻、更全面。運(yùn)用高等數(shù)學(xué)的知識(shí)可以解決一些用初等方法難以解決的初等數(shù)學(xué)問題，以便使學(xué)生了解到高等數(shù)學(xué)對于初等數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用。

　　關(guān)鍵詞：初等數(shù)學(xué);高等數(shù)學(xué);聯(lián)系;應(yīng)用

　　數(shù)學(xué)是一門科學(xué)性、概括性、邏輯性很強(qiáng)的學(xué)科。它源自于古希臘，是研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化以及空間模型等概念。透過抽象化和邏輯推理的使用，由計(jì)數(shù)、計(jì)算、量度和對物體形狀及運(yùn)動(dòng)的觀察中產(chǎn)生。數(shù)學(xué)的基本要素是：邏輯和直觀、分析和推理、共性和個(gè)性。

　　問題的提出

　　許多學(xué)生經(jīng)常提出這樣的問題：我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)這么多高等數(shù)學(xué)?這些問題長期以來困擾著我們。本文通過討論初等與高等數(shù)學(xué)的聯(lián)系，使他們真正覺得高等數(shù)學(xué)對初等數(shù)學(xué)教學(xué)有向?qū)砸饬x，幫助他們用高等數(shù)學(xué)知識(shí)去分析和理解初等數(shù)學(xué)教材，從而站得更高，對中學(xué)數(shù)學(xué)的來龍去脈看得更清楚。

　　一、初等數(shù)學(xué)

　　初等數(shù)學(xué)時(shí)期從公元前五世紀(jì)到公元十七世紀(jì)，延續(xù)了兩千多年、由于高等數(shù)學(xué)的建立而結(jié)束。這個(gè)時(shí)期最明顯的結(jié)果就是系統(tǒng)地創(chuàng)立了初等數(shù)學(xué)，也就是現(xiàn)在中小學(xué)課程中的算術(shù)、初等代數(shù)、初等幾何(平面幾何和立體幾何)和平面三角等內(nèi)容。

　　二、高等數(shù)學(xué)

　　內(nèi)容包括函數(shù)與極限、一元函數(shù)微積分、向量代數(shù)與空間解析幾何、多元函數(shù)微積分、級(jí)數(shù)、常微分方程等。其中極限論是基礎(chǔ)：微分、積分是是核心，是從連續(xù)的側(cè)面揭示和研究函數(shù)變化的規(guī)律性，微分是從微觀上揭示函數(shù)的局部性質(zhì)，積分是從宏觀上揭示函數(shù)的整體性質(zhì)：級(jí)數(shù)理論是研究解析函數(shù)的主要手段：解析幾何為微積分的研究提供了解析工具，為揭示函數(shù)的性質(zhì)提供了直觀模型：微分方程又從方程的角度把函數(shù)、微分、積分猶記得聯(lián)系起來，揭示了它們之間內(nèi)在的依賴轉(zhuǎn)化關(guān)系。

　　三、高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的聯(lián)系

　　高等數(shù)學(xué)分支之一數(shù)學(xué)分析的形成和發(fā)展體現(xiàn)了數(shù)學(xué)發(fā)展的每個(gè)新時(shí)期，思想方法上發(fā)生了根本性變化。它的形成是深深扎根于初等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之上，它的一些基本概念如導(dǎo)數(shù)、積分、無窮級(jí)數(shù)的收斂等，都是在初等數(shù)學(xué)有關(guān)問題的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。如導(dǎo)數(shù)是在運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算求直線斜率這一問題的基礎(chǔ)上，發(fā)展成為運(yùn)用極限方法求曲線上的點(diǎn)的斜率而形成的。可以這樣講，數(shù)學(xué)分析的形成是初等數(shù)學(xué)發(fā)展到一定階段的必然結(jié)果。

　　中學(xué)數(shù)學(xué)思想和方法主要體現(xiàn)為以下幾個(gè)方面，第一是指具體解題方法和解題模式，如代數(shù)中的加減消元法、錯(cuò)位相減法、判別式法、公式法、數(shù)學(xué)歸納法、韋達(dá)法等等：幾何中的對稱、旋轉(zhuǎn)、平移、相似等等。第二是指數(shù)學(xué)觀念，即人們對數(shù)學(xué)的基本看法概括認(rèn)識(shí)，如推理意識(shí)、整體意識(shí)、抽象意識(shí)、化歸意識(shí)、數(shù)學(xué)美的意識(shí)等等。第三是指“通用法”。數(shù)形結(jié)合法、待定系數(shù)法、換元法、分離系數(shù)法、消元法等等。現(xiàn)代中學(xué)數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)顯著特征就是注重知識(shí)形成過程的教學(xué)形成和發(fā)展學(xué)生的教學(xué)思想和方法，會(huì)用數(shù)學(xué)思想和方法來解決問題。

　　綜上所述可知，高等代數(shù)在知識(shí)上的確是中學(xué)數(shù)學(xué)的繼續(xù)和提高。它還引入了數(shù)域、數(shù)環(huán)、向量空間等代數(shù)系統(tǒng)。這對用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)、原理和方法指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)足十分有用的。

　　四、高等數(shù)學(xué)在初等數(shù)學(xué)題中的應(yīng)用

　　1.不等式證明

　　(1)概率論的應(yīng)用

　　例1.若0

　　證明：令A(yù)，B是兩個(gè)相互獨(dú)立的事件，且使PA=a，PB=b

　　由PA∪B=PA+PB-PAB

　　=PA+PB-PAPB

　　=a+b-ab

　　由概率的性質(zhì)知，0≤PA∪B≤1，從而0≤a+b-ab≤1。

　　(2)微積分方法的應(yīng)用

　　例2.證明：若函數(shù)f(x)在0，1單調(diào)減少，則∫10f(x)dx-1n∑nk=1f(kn)≤f(0)-f(1)n

　　證明：已知f(x)在0，1單調(diào)減少，則f(x)在0，1可積.將0，1n等分，分點(diǎn)是：0，1n，2n，...，n-1n，1.有

　　∫10f(x)dx-1n∑nk=1f(kn)=∑nk=1∫knk-1nf(x)dx-∑nk=1∫knk-1nf(kn)dx

　　=∑nk=1∫knk-1n[f(x)-f(kn)]dx

　　≤∑nk=1∫knk-1n[f(k-1n)-f(kn)]dx

　　=1n∑nk=1[f(k-1n)-f(kn)]

　　=1n[f(0)-f(1n)+f(1n)]-f(2n)+...+f(n-1n)-f(1)

　　=f(0)-f(1)n

　　這是03年北京高考理科數(shù)學(xué)最后一道大題(第20題)，是有關(guān)抽象函數(shù)不等式的證明題，認(rèn)真分析研究該題中的(2)，發(fā)現(xiàn)這是一道具有高等數(shù)學(xué)知識(shí)背景的試題，可以將這個(gè)問題推廣：

　　推廣函數(shù)fx定義在a，b上。fa=fb，且對任意的x1，x2∈a，b，都有fx1-fx2≤x1-x2，則必有fx1-fx2≤b-a2

　　證明：(i)當(dāng)x1-x2≤b-a2時(shí)，由fx1-fx2≤x1-x2≤b-a2知，結(jié)論成立。

　　(ii)當(dāng)x1-x2>b-a2時(shí)，不妨設(shè)x1

　　fx1-fx2=fx1-fa+fb-fx2

　　≤fx1-fa+fb-fx2

　　≤x1-a+b-x2

　　=x1-a+b-x2 　　=b-a+x1-x2

　　=b-a2.

　　綜合可知，總有fx1-fx2≤b-a2。

　　2.矩陣的應(yīng)用(向量組的線性相關(guān)性)

　　要在問題中用上矩陣也必須構(gòu)造出與問題有某種關(guān)系的矩陣，然后才能使用矩陣的性質(zhì)和定理。

　　例2.設(shè)α=(9，12，15)，β1=(1，2，3)，β2=(4，5，6)，試問α是否可由β1，β2線性表示?

　　解：假定有α=k1β1+k2β2，即有

　　(9，12，15)=k1(1，2，3)+k2(4，5，6)=(k1+4k2，2k1+5k2，3k1+6k2)，則k1，k2適合線性方程組

　　k1+4k2=9

　　2k1+5k2=12

　　3k1+6k2=15

　　容易解得k1=1，k2=2，從而α=β1+2β2，即α可由β1，β2線性表示.

　　在此例中引入矩陣作為工具使用了矩陣的性質(zhì)，得以求出通項(xiàng)。而用初等數(shù)學(xué)的方法解的話，則要經(jīng)過復(fù)雜的迭代才能解出此題，不如用矩陣的知識(shí)解題一目了然。

　　結(jié)論

　　本文通過分析初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的聯(lián)系、融合總結(jié)了高等數(shù)學(xué)在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用并發(fā)揮高等數(shù)學(xué)在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的指導(dǎo)作用，幫助加強(qiáng)對初等數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)，幫助他們正確運(yùn)用所學(xué)的理論和方法，使他們更好地從整體上更科學(xué)更系統(tǒng)地認(rèn)識(shí)初等數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)。在高等數(shù)學(xué)教育中如果有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用高等數(shù)學(xué)方法分析研究初等數(shù)學(xué)中的問題，可以調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，可以開闊學(xué)生視野，提高解決問題能力。

　　指導(dǎo)教師：尹哲

　　參考文獻(xiàn)：

　　[1]數(shù)學(xué)教育學(xué)張奠宙，唐瑞芬，劉鴻坤著[M].江西：江西教育出版社1991

　　[2]金茂明.高等數(shù)學(xué)在解中學(xué)數(shù)學(xué)題中的應(yīng)用[J].涪陵師專學(xué)報(bào)，1999，15(3)：61～64

　　[3]朱德祥・高等幾何・高等教育出版社

　　[4]劉玉鏈，傅沛仁編・數(shù)學(xué)分析講義・高等教育出版社

　　[5]孔慧英，梅智超.現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想概念.北京：中國科學(xué)技術(shù)出版社，1993

　　[6]N.Bourbak.i The architecture of mathematics the Amer Math Mouth.Vol 57(1950).221-232