新人教版八年級數(shù)學(xué)期中試卷
新人教版八年級數(shù)學(xué)期中試卷
沒有天生的信心，只有不斷培養(yǎng)的信心。祝你八年級數(shù)學(xué)期中考試順利!小編整理了關(guān)于新人教版八年級數(shù)學(xué)期中試卷，希望對大家有幫助!
新人教版八年級數(shù)學(xué)期中試題
一、選擇題(共7小題，每小題3分，滿分21分)
1.8的立方根是( )
A.3 B.±3 C.2 D.±2
2.計算(﹣a2b)3的結(jié)果是( )
A.﹣a6b3 B.a6b C.3a6b3 D.﹣3a6b3
3.計算(x﹣6)(x+1)的結(jié)果為( )
A.x2+5x﹣6 B.x2﹣5x﹣6 C.x2﹣5x+6 D.x2+5x+6
4.若等腰三角形的兩邊長分別為4和8，則它的周長為( )
A.12 B.16 C.20 D.16或20
5.某同學(xué)把一塊三角形的玻璃打碎成了三塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是帶③去，這樣做根據(jù)的三角形全等判定方法為( )
A.S.A.S. B.A.S.A. C.A.A.S. D.S.S.S.
6.如圖所示，在邊長為a的正方形中，剪去一個邊長為b的小正方形(a>b)，將余下部分拼成一個梯形，根據(jù)兩個圖形陰影部分面積的關(guān)系，可以得到一個關(guān)于a、b的恒等式為( )
A.2=a2+2ab+b2
C.a2﹣b2=(a+b)(a﹣b) D.a2+ab=a(a+b)
7.如果x+y=3，xy=1，則x2+y2=( )
A.9 B.11 C.7 D.8
二、填空題(共10小題，每小題4分，滿分40分)
8.16的平方根是 .
9.分解因式：a2+a= .
10.計算： + = .
11.直接寫出一個負(fù)無理數(shù) .
12.如圖，在數(shù)軸上點A和點B之間的整數(shù)是 .
13.如x+m與2x+3的乘積中不含x的一次項，則m的值為 .
14.已知：x2﹣2y=5，則代數(shù)式2x2﹣4y+3的值為 .
15.若x2+mx+4是完全平方式，則m= .
16.如圖，在△ABC中，AB=AC，CD平分∠ACB，∠A=36°，則∠BDC的度數(shù)為 .
17.如圖1，△ABC中，沿∠BAC的平分線AB1折疊，剪掉重疊部分;將余下部分沿∠B1A1C的平分線A1B2折疊，剪掉重疊部分;…;將余下部分沿∠BnAnC的平分線AnBn+1折疊，點Bn與點C重合，無論折疊多少次，只要最后一次恰好重合，我們就稱△ABC是好三角形.
小麗發(fā)現(xiàn)好三角形折疊的次數(shù)不同∠B與∠C的數(shù)量關(guān)系就不同.并作出展示：
第一種好三角形：如圖2，沿AD折疊一次，點B與點C重合;
第二種好三角形：如圖3，沿著AB1、A1B2經(jīng)過兩次折疊.
(1)小麗展示的第一種好三角形中∠B與∠C的數(shù)量關(guān)系是 ;
(2)如果有一個好三角形ABC要經(jīng)過5次折疊，最后一次恰好重合.則∠B與∠C的數(shù)量關(guān)系是 .
三、解答題(共89分)
18.計算：
(1)a(3a+4b);
(2)(x﹣3)(2x﹣1);
(3)(﹣64x4y3)÷(﹣2xy)3.
19.分解因式：
(1)x3﹣x;
(2)x(x﹣y)+y(y﹣x).
20.先化簡，再求值：x(x﹣2)﹣(x+1)(x﹣1)，其中x=10.
21.如圖，已知∠1=∠2，∠C=∠D，求證：AC=BD.
22.已知一個長方形的面積為(6x2y+12xy﹣24xy3 )平方厘米，它的寬為6xy厘米，求它的長為多少厘米?
23.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分線交于點O.過O作EF∥BC交AB于E，交AC于F.
(1)請你寫出圖中所有等腰三角形;
(2)判斷EF、BE、FC之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.
24.(1)分解下列因式，將結(jié)果直接寫在橫線上：
x2﹣2x+1= ，25x2+30x+9= ，9x2+12x+4= .
(2)觀察上述三個多項式的系數(shù)，
有(﹣2)2=4×1×1，302=4×25×9，122=4×9×4，于是小明猜測：若多項式ax2+bx+c(a>0)是完全平方式，那么實系數(shù)a、b、c之間一定存在某種關(guān)系.
①請你用數(shù)學(xué)式子表示系數(shù)a、b、c之間的關(guān)系 .
②解決問題：在實數(shù)范圍內(nèi)，若關(guān)于x的多項式mx2+8x+n是完全平方式，且m，n都是正整數(shù)，m≥n，求系數(shù)m與n的值.
(3)在實數(shù)范圍內(nèi)，若關(guān)于x的多項式x2+mx+2n和x2+nx+2m都是完全平方式，利用(2)中的規(guī)律求mn的值.
25.四邊形ABCD是正方形(提示：正方形四邊相等，四個角都是90°)
(1)如圖1，若點G是線段CD邊上任意一點(不與點C、D重合)，連接AG，作BF⊥AG于點F，DE⊥AG于點E，求證：△ABF≌△DAE.
(2)如圖2，若點G是線段CD延長線上任意一點，連接AG，作BF⊥AG于點F，DE⊥AG于點E，判斷線段EF與AF、BF的數(shù)量關(guān)系，并證明.
(3)若點G是直線BC上任意一點(不與點B、C重合)，連接AG，作BF⊥AG于點F，DE⊥AG于點E，探究線段EF與AF、BF的數(shù)量關(guān)系.(請畫圖、不用證明、直接寫答案)
新人教版八年級數(shù)學(xué)期中試卷參考答案
一、選擇題(共7小題，每小題3分，滿分21分)
1.8的立方根是( )
A.3 B.±3 C.2 D.±2
【考點】立方根.
【分析】直接根據(jù)立方根的定義求解.
【解答】解：8的立方根為2.
故選C.
【點評】本題考查了立方根：若一個數(shù)的立方等于a，那么這個數(shù)叫a的立方根，記作 .
2.計算(﹣a2b)3的結(jié)果是( )
A.﹣a6b3 B.a6b C.3a6b3 D.﹣3a6b3
【考點】冪的乘方與積的乘方.
【專題】計算題.
【分析】利用積的乘方性質(zhì)：(ab)n=anbn，冪的乘方性質(zhì)：(am)n=amn，直接計算.
【解答】解：(﹣a2b)3=﹣a6b3.
故選A.
【點評】本題考查了冪運算的性質(zhì)，注意結(jié)果的符號確定，比較簡單，需要熟練掌握.
3.計算(x﹣6)(x+1)的結(jié)果為( )
A.x2+5x﹣6 B.x2﹣5x﹣6 C.x2﹣5x+6 D.x2+5x+6
【考點】多項式乘多項式.
【專題】計算題.
【分析】原式利用多項式乘以多項式法則計算即可得到結(jié)果.
【解答】解：原式=x2+x﹣6x﹣6=x2﹣5x﹣6.
故選B
【點評】此題考查了多項式乘多項式，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.
4.若等腰三角形的兩邊長分別為4和8，則它的周長為( )
A.12 B.16 C.20 D.16或20
【考點】等腰三角形的性質(zhì);三角形三邊關(guān)系.
【分析】由于題中沒有指明哪邊是底哪邊是腰，則應(yīng)該分兩種情況進(jìn)行分析.
【解答】解：①當(dāng)4為腰時，4+4=8，故此種情況不存在;
②當(dāng)8為腰時，8﹣4<8<8+4，符合題意.
故此三角形的周長=8+8+4=20.
故選C.
【點評】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)和三邊關(guān)系，解答此題時注意分類討論，不要漏解.
5.某同學(xué)把一塊三角形的玻璃打碎成了三塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是帶③去，這樣做根據(jù)的三角形全等判定方法為( )
A.S.A.S. B.A.S.A. C.A.A.S. D.S.S.S.
【考點】全等三角形的應(yīng)用.
【分析】已知三角形破損部分的邊角，得到原來三角形的邊角，根據(jù)三角形全等的判定方法，即可求解.
【解答】解：第三塊不僅保留了原來三角形的兩個角還保留了一邊，則可以根據(jù)ASA來配一塊一樣的玻璃.
故選：B.
【點評】此題主要考查了全等三角形的判定方法的開放性的題，要求學(xué)生將所學(xué)的知識運用于實際生活中，要認(rèn)真觀察圖形，根據(jù)已知選擇方法.
6.如圖所示，在邊長為a的正方形中，剪去一個邊長為b的小正方形(a>b)，將余下部分拼成一個梯形，根據(jù)兩個圖形陰影部分面積的關(guān)系，可以得到一個關(guān)于a、b的恒等式為( )
A.2=a2+2ab+b2
C.a2﹣b2=(a+b)(a﹣b) D.a2+ab=a(a+b)
【考點】平方差公式的幾何背景.
【專題】計算題.
【分析】可分別在正方形和梯形中表示出陰影部分的面積，兩式聯(lián)立即可得到關(guān)于a、b的恒等式.
【解答】解：正方形中，S陰影=a2﹣b2;
梯形中，S陰影= (2a+2b)(a﹣b)=(a+b)(a﹣b);
故所得恒等式為：a2﹣b2=(a+b)(a﹣b).
故選：C.
【點評】此題主要考查的是平方差公式的幾何表示，運用不同方法表示陰影部分面積是解題的關(guān)鍵.
7.如果x+y=3，xy=1，則x2+y2=( )
A.9 B.11 C.7 D.8
【考點】完全平方公式.
【專題】計算題.
【分析】將x+y=3兩邊平方，利用完全平方公式展開，將xy的值代入即可求出所求式子的值.
【解答】解：將x+y=3兩邊平方得：(x+y)2=9，
即x2+2xy+y2=9，
將xy=1代入得：x2+2+y2=9，即x2+y2=7.
故選C
【點評】此題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵.
二、填空題(共10小題，每小題4分，滿分40分)
8.16的平方根是 ±4 .
【考點】平方根.
【專題】計算題.
【分析】根據(jù)平方根的定義，求數(shù)a的平方根，也就是求一個數(shù)x，使得x2=a，則x就是a的平方根，由此即可解決問題.
【解答】解：∵(±4)2=16，
∴16的平方根是±4.
故答案為：±4.
【點評】本題考查了平方根的定義.注意一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù);0的平方根是0;負(fù)數(shù)沒有平方根.
9.分解因式：a2+a= a(a+1) .
【考點】因式分解-提公因式法.
【分析】直接提取公因式分解因式得出即可.
【解答】解：a2+a=a(a+1).
故答案為：a(a+1).
【點評】此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確得出公因式是解題關(guān)鍵.
10.計算： + = 3 .
【考點】實數(shù)的運算.
【專題】計算題;實數(shù).
【分析】原式利用算術(shù)平方根，以及立方根定義計算即可得到結(jié)果.
【解答】解：原式=4﹣1=3，
故答案為：3
【點評】此題考查了實數(shù)的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.
11.直接寫出一個負(fù)無理數(shù) ﹣π .
【考點】無理數(shù).
【專題】開放型.
【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù).理解無理數(shù)的概念，一定要同時理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱.即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù).由此即可判定選擇項.
【解答】解：寫出一個負(fù)無理數(shù)﹣π，
故答案為：﹣π.
【點評】此題主要考查了無理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：π，2π等;開方開不盡的數(shù);以及像0.1010010001…，等有這樣規(guī)律的數(shù).
12.如圖，在數(shù)軸上點A和點B之間的整數(shù)是 2 .
【考點】估算無理數(shù)的大小;實數(shù)與數(shù)軸.
【分析】可用“夾逼法”估計 ， 的近似值，得出點A和點B之間的整數(shù).
【解答】解：1< <2;2< <3，
∴在數(shù)軸上點A和點B之間的整數(shù)是2.
故答案為：2.
【點評】此題主要考查了無理數(shù)的估算能力，解決本題的關(guān)鍵是得到最接近無理數(shù)的兩個有理數(shù)的值.現(xiàn)實生活中經(jīng)常需要估算，估算應(yīng)是我們具備的數(shù)學(xué)能力，“夾逼法”是估算的一般方法，也是常用方法.
13.如x+m與2x+3的乘積中不含x的一次項，則m的值為 ﹣ .
【考點】多項式乘多項式.
【專題】計算題.
【分析】先根據(jù)已知式子，可找出所有含x的項，合并系數(shù)，令含x項的系數(shù)等于0，即可求m的值.
【解答】解：∵x+m與2x+3的乘積中含x項的系數(shù)是(3+2m)，
∴3+2m=0，
∴m=﹣ .
故答案是﹣ .
【點評】本題主要考查多項式乘以多項式的法則，注意不含某一項就是說含此項的系數(shù)等于0.
14.已知：x2﹣2y=5，則代數(shù)式2x2﹣4y+3的值為 13 .
【考點】代數(shù)式求值.
【專題】整體思想.
【分析】觀察題中的兩個代數(shù)式x2﹣2y=5和2x2﹣4y+3，可以發(fā)現(xiàn)，2x2﹣4y=2(x2﹣2y)，因此可整體求出2x2﹣4y的值，然后整體代入即可求出所求的結(jié)果.
【解答】解：∵x2﹣2y=5，
代入2x2﹣4y+3，得
2(x2﹣2y)+3=2×5+3=13.
故填13.
【點評】代數(shù)式中的字母表示的數(shù)沒有明確告知，而是隱含在題設(shè)中，首先應(yīng)從題設(shè)中獲取代數(shù)式x2﹣2y的值，然后利用“整體代入法”求代數(shù)式的值.
15.若x2+mx+4是完全平方式，則m= ±4 .
【考點】完全平方式.
【分析】這里首末兩項是x和2這兩個數(shù)的平方，那么中間一項為加上或減去x和2積的2倍，故m=±4.
【解答】解：中間一項為加上或減去x和2積的2倍，
故m=±4，
故填±4.
【點評】本題是完全平方公式的應(yīng)用，兩數(shù)的平方和，再加上或減去它們積的2倍，就構(gòu)成了一個完全平方式.注意積的2倍的符號，避免漏解.
16.如圖，在△ABC中，AB=AC，CD平分∠ACB，∠A=36°，則∠BDC的度數(shù)為 72° .
【考點】等腰三角形的性質(zhì).
【分析】由AB=AC，CD平分∠ACB，∠A=36°，根據(jù)三角形內(nèi)角和180°可求得∠B等于∠ACB，并能求出其角度，在△DBC求得所求角度.
【解答】解：∵AB=AC，CD平分∠ACB，∠A=36°，
∴∠B=(180°﹣36°)÷2=72°，∠DCB=36°.
∴∠BDC=72°.
故答案為：72°.
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，本題根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180度，在△CDB中從而求得∠BDC的角度.
17.如圖1，△ABC中，沿∠BAC的平分線AB1折疊，剪掉重疊部分;將余下部分沿∠B1A1C的平分線A1B2折疊，剪掉重疊部分;…;將余下部分沿∠BnAnC的平分線AnBn+1折疊，點Bn與點C重合，無論折疊多少次，只要最后一次恰好重合，我們就稱△ABC是好三角形.
小麗發(fā)現(xiàn)好三角形折疊的次數(shù)不同∠B與∠C的數(shù)量關(guān)系就不同.并作出展示：
第一種好三角形：如圖2，沿AD折疊一次，點B與點C重合;
第二種好三角形：如圖3，沿著AB1、A1B2經(jīng)過兩次折疊.
(1)小麗展示的第一種好三角形中∠B與∠C的數(shù)量關(guān)系是 ∠B=∠C ;
(2)如果有一個好三角形ABC要經(jīng)過5次折疊，最后一次恰好重合.則∠B與∠C的數(shù)量關(guān)系是 ∠B=5∠C .
【考點】幾何變換綜合題.
【分析】(1)在小麗展示的第一種好三角形中，如答圖1，根據(jù)折疊的性質(zhì)推知∠B=∠C;
(2)根據(jù)折疊的性質(zhì)、根據(jù)三角形的外角定理知∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C;根據(jù)四邊形的外角定理知∠BAC+2∠B﹣2C=180°①，根據(jù)三角形ABC的內(nèi)角和定理知∠BAC+∠B+∠C=180°②，由①②可以求得∠B=3∠C;利用數(shù)學(xué)歸納法，根據(jù)小麗展示的三種情形得出結(jié)論：∠B=n∠C.
【解答】解：(1)∠B=∠C;
如答圖1，沿AD折疊一次，點B與點C重合，則AB=AC，故∠B=∠C.
故答案為：∠B=∠C;
(2)如答圖2所示，在△ABC中，沿∠BAC的平分線AB1折疊，剪掉重復(fù)部分;將余下部分沿∠B1A1C的平分線A1B2折疊，剪掉重復(fù)部分，將余下部分沿∠B2A2C的平分線A2B3折疊，點B2與點C重合，則∠BAC是△ABC的好角.
證明如下：∵根據(jù)折疊的性質(zhì)知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1 B1C=∠A1A2B2，
∴根據(jù)三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C;
∵根據(jù)四邊形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1﹣∠A1 B1C=∠BAC+2∠B﹣2∠C=180°，
根據(jù)三角形ABC的內(nèi)角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠B=3∠C;
由小麗展示的情形一知，當(dāng)∠B=∠C時，∠BAC是△ABC的好角;
由小麗展示的情形二知，當(dāng)∠B=2∠C時，∠BAC是△ABC的好角;
由小麗展示的情形三知，當(dāng)∠B=3∠C時，∠BAC是△ABC的好角;
故若經(jīng)過n次折疊∠BAC是△ABC的好角，則∠B與∠C(不妨設(shè)∠B>∠C)之間的等量關(guān)系為∠B=n∠C;
所以，一個好三角形ABC要經(jīng)過5次折疊，最后一次恰好重合.則∠B與∠C的數(shù)量關(guān)系是：∠B=5∠C.
故答案為：∠B=5∠C.
【點評】本題考查了幾何變換綜合題，翻折變換(折疊問題).解答此題時，充分利用了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角定理以及折疊的性質(zhì).難度較大.
三、解答題(共89分)
18.計算：
(1)a(3a+4b);
(2)(x﹣3)(2x﹣1);
(3)(﹣64x4y3)÷(﹣2xy)3.
【考點】整式的混合運算.
【專題】計算題;整式.
【分析】(1)原式利用單項式乘以多項式法則計算即可得到結(jié)果;
(2)原式利用多項式乘以多項式法則計算即可得到結(jié)果;
(3)原式利用冪的乘方與積的乘方運算法則計算，再利用單項式除以單項式法則計算即可得到結(jié)果.
【解答】解：(1)原式=3a2+4ab;
(2)原式=2x2﹣x﹣6x+3=2x2﹣7x+3;
(3)原式=﹣64x4y3)÷(﹣8x3y3)=8x.
【點評】此題考查了整式的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.
19.分解因式：
(1)x3﹣x;
(2)x(x﹣y)+y(y﹣x).
【考點】提公因式法與公式法的綜合運用.
【專題】計算題;因式分解.
【分析】(1)原式提取x，再利用平方差公式分解即可;
(2)原式整理后，利用完全平方公式分解即可.
【解答】解：(1)原式=x(x2﹣1)=x(x+1)(x﹣1);
(2)原式=x2﹣2xy+y2=(x﹣y)2.
【點評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵.
20.先化簡，再求值：x(x﹣2)﹣(x+1)(x﹣1)，其中x=10.
【考點】整式的混合運算—化簡求值.
【專題】計算題.
【分析】按單項式乘以單項式法則和平方差公式化簡，然后把給定的值代入求值.
【解答】解：原式=x2﹣2x﹣x2+1=﹣2x+1，
當(dāng)x=10時，原式=﹣2×10+1=﹣19.
【點評】考查的是整式的混合運算，主要考查了公式法、單項式與多項式相乘以及合并同類項的知識點.
21.如圖，已知∠1=∠2，∠C=∠D，求證：AC=BD.
【考點】全等三角形的判定與性質(zhì).
【專題】證明題.
【分析】利用AAS判定△ABC≌△BAD，再根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可求得AC=BD.
【解答】證明：∵ ，
∴△ABC≌△BAD(AAS).
∴AC=BD(全等三角形對應(yīng)邊相等).
【點評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL.本題比較簡單，做題時要找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系.
22.已知一個長方形的面積為(6x2y+12xy﹣24xy3 )平方厘米，它的寬為6xy厘米，求它的長為多少厘米?
【考點】整式的除法.
【分析】利用矩形面積公式，結(jié)合整式的除法運算法則求出答案.
【解答】解：∵一個長方形的面積為(6x2y+12xy﹣24xy3 )平方厘米，它的寬為6xy厘米，
∴它的長為：(6x2y+12xy﹣24xy3 )÷6xy=(x+2﹣4y2)厘米.
【點評】此題主要考查了整式的除法運算，正確掌握運算法則是解題關(guān)鍵.
23.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分線交于點O.過O作EF∥BC交AB于E，交AC于F.
(1)請你寫出圖中所有等腰三角形;
(2)判斷EF、BE、FC之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.
【考點】等腰三角形的判定與性質(zhì);平行線的性質(zhì).
【分析】(1)由等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠ACB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，等量代換得到∠AEF=∠AFE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，根據(jù)角平分線的定義得到∠EBD=∠DBC，∠FCD=∠DCB，等量代換得到∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠FCD，得到∠DBC=∠DCB，即可得到結(jié)論;
(2)由(1)證得DE=BE，DF=CF，等量代換即可得到結(jié)論.
【解答】解：(1)∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，
∴∠AEF=∠AFE，
∵EF∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，
∵∠ABC和∠ACB的平分線交于點D，
∴∠EBD=∠DBC，∠FCD=∠DCB，
∴∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠FCD，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠DBC=∠DCB，
∴BE=DE，DF=CF，
∴△ABC，△AEF，△BOC，△BEO，△CFO是等腰直角三角形;
(2)EF=BE+CF，
理由：由(1)證得：DE=BE，DF=CF，
∴EF=DE+DF=BE+CF.
【點評】此題考查了等腰三角形的判定，平行線的性質(zhì)，利用了等量代換的思想，熟練掌握性質(zhì)與判定是解本題的關(guān)鍵.
24.(1)分解下列因式，將結(jié)果直接寫在橫線上：
x2﹣2x+1= (x﹣1)2 ，25x2+30x+9= (5x+3)2 ，9x2+12x+4= (3x+2)2 .
(2)觀察上述三個多項式的系數(shù)，
有(﹣2)2=4×1×1，302=4×25×9，122=4×9×4，于是小明猜測：若多項式ax2+bx+c(a>0)是完全平方式，那么實系數(shù)a、b、c之間一定存在某種關(guān)系.
①請你用數(shù)學(xué)式子表示系數(shù)a、b、c之間的關(guān)系 b2=4ac .
②解決問題：在實數(shù)范圍內(nèi)，若關(guān)于x的多項式mx2+8x+n是完全平方式，且m，n都是正整數(shù)，m≥n，求系數(shù)m與n的值.
(3)在實數(shù)范圍內(nèi)，若關(guān)于x的多項式x2+mx+2n和x2+nx+2m都是完全平方式，利用(2)中的規(guī)律求mn的值.
【考點】完全平方式.
【專題】規(guī)律型.
【分析】(1)根據(jù)完全平方公式分解即可;
(2)①根據(jù)已知等式得出b2=4ac，即可得出答案;
②求出64=4mn，求出方程的特殊解即可;
(3)根據(jù)規(guī)律得出m2=8n且n2=8m，組成一個方程，求出mn即可.
【解答】解：(1)x2﹣2x+1=(x﹣1)2，25x2+30x+9=(5x+3)2，9x2+12x+4=(3x+2)2，
故答案為：(x﹣1)2，(5x+3)2，(3x+2)2;
(2)①b2=4ac，
故答案為：b2=4ac;
②∵關(guān)于x的多項式mx2+8x+n是完全平方式，且m，n都是正整數(shù)，m≥n，
∴82=4mn，
∴只有三種情況：m=16，n=1或m=4，n=4或m=8，n=2;
(3)∵關(guān)于x的多項式x2+mx+2n和x2+nx+2m都是完全平方式，
∴m2=4×2n=8n且n2=4×2m=8m，
∴m2n2=64mn，
∴m2n2﹣64mn=0，
∴mn(mn﹣64)=0，
∴mn=0或mn=64.
【點評】本題考查了對完全平方公式的理解和應(yīng)用，能根據(jù)完全平方公式得出b2=4ac是解此題的關(guān)鍵.
25.四邊形ABCD是正方形(提示：正方形四邊相等，四個角都是90°)
(1)如圖1，若點G是線段CD邊上任意一點(不與點C、D重合)，連接AG，作BF⊥AG于點F，DE⊥AG于點E，求證：△ABF≌△DAE.
(2)如圖2，若點G是線段CD延長線上任意一點，連接AG，作BF⊥AG于點F，DE⊥AG于點E，判斷線段EF與AF、BF的數(shù)量關(guān)系，并證明.
(3)若點G是直線BC上任意一點(不與點B、C重合)，連接AG，作BF⊥AG于點F，DE⊥AG于點E，探究線段EF與AF、BF的數(shù)量關(guān)系.(請畫圖、不用證明、直接寫答案)
【考點】四邊形綜合題.
【分析】(1)根據(jù)正方形性質(zhì)得出AB=AD，∠DAB=90°，根據(jù)垂直定義得出∠AED=∠AFB=90°，求出∠ADE=∠BAF，根據(jù)AAS證出兩三角形全等即可;
(2)根據(jù)正方形性質(zhì)得出AB=AD，∠DAB=90°，根據(jù)垂直定義得出∠AED=∠AFB=90°，求出∠ADE=∠BAF，根據(jù)AAS證出兩三角形全等即可，根據(jù)全等得出AE=BF，代入即可求出答案;
(3)根據(jù)正方形性質(zhì)得出AB=AD，∠DAB=90°，根據(jù)垂直定義得出∠AED=∠AFB=90°，求出∠ADE=∠BAF，根據(jù)AAS證出兩三角形全等即可，結(jié)合G點可能在BC延長線上以及在線段BC上和在CB延長線上分別得出答案.
【解答】(1)證明：如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠DAB=90°，
∴∠DAE+∠BAE=90°，
∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠AED=∠AFB=90°，
∴∠EAD+∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠BAF，
∵在△ABF和△DAE中
，
∴△ABF≌△DAE(AAS);
(2)解：EF=AF+BF，
理由是：如圖2，∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠DAB=90°，
∴∠DAE+∠BAF=180°﹣90°=90°，
∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠AED=∠AFB=90°，
∴∠EAD+∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠BAF，
∵在△ABF和△DAE中
，
∴△ABF≌△DAE(AAS);
∴AE=BF，
∴EF=AE+AF=AF+BF;
(3)解：如圖3所示：
∵BF⊥AG，DE⊥AG，
∴∠BFA=∠DEA=90°.
∵∠BAF+∠ABF=90°，∠BAF+∠EAD=90°，
∴∠EAD=∠FBA.
在△ABF和△DAE中，
∵ ，
∴△ABF≌△DAE(AAS).
∴FB=AE.
∵AE=EF+AF，
∴EF=BF﹣AF.
如圖4，∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠BFA=∠DEA=90°.
∵∠BAF+∠ABF=90°，∠BAF+∠EAD=90°，
∴∠EAD=∠FBA.
在△ABF和△DAE中，
∵ ，
∴△ABF≌△DAE(AAS).
∴AE=BF.
∵AE+EF=AF，
∴EF=AF﹣BF;
如圖5，∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠BFA=∠DEA=90°.
∵∠BAF+∠ABF=90°，∠BAF+∠EAD=90°，
∴∠EAD=∠FBA.
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE(AAS).
∴AE=BF.
∵AE+AF=EF，
∴EF=AF+BF.
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