八年級上數學期末測試卷
八年級上數學期末測試卷
天道酬勤,曾經的每一分付出,必將收到百倍回報。現在就到八年級數學期末考試,別忘面帶微笑。小編整理了關于八年級上數學期末測試卷，希望對大家有幫助!
八年級上數學期末測試題
一、選擇題：本大題共12小題，其中1-8小題每小題3分，9-12小題每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是正確的，請將正確選項代號填入表格中.
1.下列圖案屬于軸對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
2.下列計算正確的是( )
A.(x3)3=x6 B.a6•a4=a24
C.(﹣bc)4÷(﹣bc)2=b2c2 D.x6÷x3=x2
3.如圖，為估計池塘岸邊A、B兩點的距離，小方在池塘的一側選取一點O，測得OA=8米，OB=6米，A、B間的距離不可能是( )
A.12米 B.10米 C.15米 D.8米
4.若分式 的值為零，則x的值為( )
A.±2 B.﹣2 C.2 D.不存在
5.如圖所示，一個60°角的三角形紙片，剪去這個60°角后，得到一個四邊形，則∠1+∠2的度數為( )
A.120° B.180° C.240° D.300°
6.若分式 中的x和y都擴大2倍，那么分式的值( )
A.擴大2倍 B.不變 C.縮小2倍 D.擴大4倍
7.點P(a+b，2a﹣b)與點Q(﹣2，﹣3)關于x軸對稱，則a=( )
A. B. C.﹣2 D.2
8.九年級學生去距學校10km的博物館參觀，一部分學生騎自行車先走，過了20min后，其余學生乘汽車出發，結果他們同時到達.已知汽車的速度是騎車學生速度的2倍，求騎車學生的速度.設騎車學生的速度為xkm/h，則所列方程正確的是( )
A. = ﹣ B. = ﹣20 C. = + D. = +20
9.如果一個多邊形的內角和是外角和的5倍，那么這個多邊形的邊數是( )
A.10 B.11 C.12 D.13
10.一輛汽車從山南澤當飯店出發開往拉薩布達拉宮.如果汽車每小時行使V1千米，則t小時可以到達，如果汽車每小時行使V2千米，那么可以提前到達布達拉宮的時間是( )小時.
A. B.
C. D.
11.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，BF=CD，BD=CE，∠FDE=α，則下列結論正確的是( )
A.2α+∠A=180° B.α+∠A=90° C.2α+∠A=90° D.α+∠A=180°
12.為了求1+2+22+23+…+22011+22012的值，可令S=1+2+22+23+…+22011+22012，則2S=2+22+23+24+…+22012+22013，因此2S﹣S=22013﹣1，所以1+22+23+…+22012=22013﹣1.仿照以上方法計算1+5+52+53+…+52012的值是( )
A.52013﹣1 B.52013+1 C. D.
二、填空題：本大題共4個小題，每小題4分，共16分，把答案寫在題中橫線上.
13.分解因式：a4(x﹣y)+(y﹣x)= .
14.代數式4x2+3mx+9是完全平方式，則m= .
15.若關于x的分式方程 ﹣1= 無解，則m的值 .
16.如圖，四邊形ABCD中，∠C=40°，∠B=∠D=90°，E、F分別是BC、DC上的一點，當△AEF的周長最小時，∠EAF的度數為 .
三、解答題：本大題共6小題，共64分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17.(1)解分式方程： ;
(2)先化簡再求值： ，其中x=2，y=5.
18.如圖，在平面直角坐標系中有一個△ABC，點A(﹣1，3)，B(2，0)，C(﹣3，﹣1).
(1)畫出△ABC關于y軸的對稱軸圖形△A1B1C1(不寫畫法);
(2)若網格上的每個小正方形的邊長為2，則△ABC的面積是多少?寫出解答過程.
19.已知：△ABC中，BD、CE分別是AC、AB邊上的高，BQ=AC，點F在CE的延長線上，CF=AB，求證：AF⊥AQ.
20.由甲、乙兩個工程隊承包某校校園綠化工程，甲、乙兩隊單獨完成這項工程所需時間比是3：2，兩隊共同施工6天可以完成.
(1)求兩隊單獨完成此項工程各需多少天?
(2)此項工程由甲、乙兩隊共同施工6天完成任務后，學校付給他們3000元報酬，若按各自完成的工程量分配這筆錢，問甲、乙兩隊各得到多少元?
21.如圖，D是等邊△ABC的邊AB上一點，E是BC延長線上一點，CE=DA，連接DE交AC于F，過D點作DG⊥AC于G點.證明下列結論：
(1)AG= AD;
(2)DF=EF;
(3)S△DGF=S△ADG+S△ECF.
22.如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于點E.在△ABC外有一點F，使FA⊥AE，FC⊥BC.
(1)求證：BE=CF;
(2)在AB上取一點M，使BM=2DE，連接MC，交AD于點N，連接ME.
求證：①ME⊥BC;②DE=DN.
八年級上數學期末測試卷參考答案
一、選擇題：本大題共12小題，其中1-8小題每小題3分，9-12小題每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是正確的，請將正確選項代號填入表格中.
1.下列圖案屬于軸對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
【考點】軸對稱圖形.
【分析】根據軸對稱圖形的概念求解.
【解答】解：根據軸對稱圖形的概念知A、B、D都不是軸對稱圖形，只有C是軸對稱圖形.故選C.
【點評】軸對稱圖形的判斷方法：把某個圖象沿某條直線折疊，如果圖形的兩部分能夠重合，那么這個是軸對稱圖形.
2.下列計算正確的是( )
A.(x3)3=x6 B.a6•a4=a24
C.(﹣bc)4÷(﹣bc)2=b2c2 D.x6÷x3=x2
【考點】同底數冪的除法;同底數冪的乘法;冪的乘方與積的乘方.
【分析】根據冪的乘方，底數不變指數相乘;同底數冪相乘，底數不變指數相加;單項式的除法，同底數冪相除，底數不變指數相減，對各選項分析判斷后利用排除法求解.
【解答】解：A、冪的乘方，應底數不變，指數相乘，所以(x3)3=x9，故本選項錯誤;
B、是同底數冪的乘法，應底數不變，指數相加，所以a6•a4=a10，故本選項錯誤;
C、(﹣bc)4÷(﹣bc)2=(﹣bc)4﹣2=b2c2，正確;
D、是同底數冪的除法，應底數不變，指數相減，所以a6÷a3=a3，故本選項錯誤;
故選C.
【點評】本題綜合考查了整式運算的多個考點，包括冪的乘方、同底數冪的乘法和除法，需熟練掌握且區分清楚，才不容易出錯.
3.如圖，為估計池塘岸邊A、B兩點的距離，小方在池塘的一側選取一點O，測得OA=8米，OB=6米，A、B間的距離不可能是( )
A.12米 B.10米 C.15米 D.8米
【考點】三角形三邊關系.
【專題】計算題.
【分析】根據三角形的三邊關系定理得到2
【解答】解：連接AB，根據三角形的三邊關系定理得：
8﹣6
即：2
∴AB的值在2和14之間.
故選C.
【點評】本題主要考查對三角形的三邊關系定理的理解和掌握，能正確運用三角形的三邊關系定理是解此題的關鍵.題型較好.
4.若分式 的值為零，則x的值為( )
A.±2 B.﹣2 C.2 D.不存在
【考點】分式的值為零的條件.
【分析】分式的值為0的條件是：(1)分子為0;(2)分母不為0.兩個條件需同時具備，缺一不可.據此可以解答本題.
【解答】解：由分式 的值為零，得
|x|﹣2=0且x﹣2≠0.
解得x=﹣2，
故選：B.
【點評】此題主要考查了分式值為零的條件，關鍵是掌握分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零.注意：“分母不為零”這個條件不能少.
5.如圖所示，一個60°角的三角形紙片，剪去這個60°角后，得到一個四邊形，則∠1+∠2的度數為( )
A.120° B.180° C.240° D.300°
【考點】多邊形內角與外角;三角形內角和定理.
【分析】三角形紙片中，剪去其中一個60°的角后變成四邊形，則根據多邊形的內角和等于360度即可求得∠1+∠2的度數.
【解答】解：根據三角形的內角和定理得：
四邊形除去∠1，∠2后的兩角的度數為180°﹣60°=120°，
則根據四邊形的內角和定理得：
∠1+∠2=360°﹣120°=240°.
故選C.
【點評】主要考查了三角形及四邊形的內角和是360度的實際運用與三角形內角和180度之間的關系.
6.若分式 中的x和y都擴大2倍，那么分式的值( )
A.擴大2倍 B.不變 C.縮小2倍 D.擴大4倍
【考點】分式的基本性質.
【分析】依題意分別用2x和2y去代換原分式中的x和y，利用分式的基本性質化簡即可.
【解答】解：分別用2x和2y去代換原分式中的x和y，得
=2×
可見新分式是原分式的2倍.
故選：A.
【點評】本題考查了分式的基本性質.解題的關鍵是抓住分子、分母變化的倍數，解此類題首先把字母變化后的值代入式子中，然后約分，再與原式比較，最終得出結論.
7.點P(a+b，2a﹣b)與點Q(﹣2，﹣3)關于x軸對稱，則a=( )
A. B. C.﹣2 D.2
【考點】關于x軸、y軸對稱的點的坐標.
【分析】根據“關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數”解答.
【解答】解：∵點P(a+b，2a﹣b)與點Q(﹣2，﹣3)關于x軸對稱，
∴ ，
解得：
則a= .
故選：A.
【點評】本題考查了關于x軸、y軸對稱的點的坐標，解決本題的關鍵是掌握好對稱點的坐標規律：
(1)關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數;
(2)關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數;
(3)關于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數.
8.九年級學生去距學校10km的博物館參觀，一部分學生騎自行車先走，過了20min后，其余學生乘汽車出發，結果他們同時到達.已知汽車的速度是騎車學生速度的2倍，求騎車學生的速度.設騎車學生的速度為xkm/h，則所列方程正確的是( )
A. = ﹣ B. = ﹣20 C. = + D. = +20
【考點】由實際問題抽象出分式方程.
【分析】表示出汽車的速度，然后根據汽車行駛的時間等于騎車行駛的時間減去時間差列方程即可.
【解答】解：設騎車學生的速度為xkm/h，則汽車的速度為2xkm/h，
由題意得， = + .
故選C.
【點評】本題考查了實際問題抽象出分式方程，讀懂題目信息，理解兩種行駛方式的時間的關系是解題的關鍵.
9.如果一個多邊形的內角和是外角和的5倍，那么這個多邊形的邊數是( )
A.10 B.11 C.12 D.13
【考點】多邊形內角與外角.
【分析】根據多邊形的內角和公式(n﹣2)•180°與外角和定理列出方程，然后求解即可.
【解答】解：設這個多邊形是n邊形，
根據題意得，(n﹣2)•180°=5×360°，
解得n=12.
故選C.
【點評】本題考查了多邊形的內角和公式與外角和定理，多邊形的外角和與邊數無關，任何多邊形的外角和都是360°.
10.一輛汽車從山南澤當飯店出發開往拉薩布達拉宮.如果汽車每小時行使V1千米，則t小時可以到達，如果汽車每小時行使V2千米，那么可以提前到達布達拉宮的時間是( )小時.
A. B.
C. D.
【考點】列代數式(分式).
【專題】壓軸題.
【分析】每小時行駛v1km，t小時可以到達，則山南澤當飯店與拉薩布達拉宮兩地之間的距離即可求出，每小時行駛v2km，則即可求得實際的速度，可以算出時間，進而求得提前到達的小時數.
【解答】解：甲乙兩地之間的距離是v1t，實際的速度是v2，
則時間是 ，
則提前到達的小時數為t﹣ = .
故選D.
【點評】本題考查了列代數式的知識，正確理解路程、速度、時間之間的關系是解決本題的關鍵.
11.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，BF=CD，BD=CE，∠FDE=α，則下列結論正確的是( )
A.2α+∠A=180° B.α+∠A=90° C.2α+∠A=90° D.α+∠A=180°
【考點】全等三角形的判定與性質;等腰三角形的性質.
【專題】壓軸題.
【分析】由AB=AC，根據等邊對等角，即可得∠B=∠C，又由BF=CD，BD=CE，可證得△BDF≌△CED(SAS)，根據全等三角形的性質，即可求得∠B=∠C=α，根據三角形的內角和定理，即可求得答案.
【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵BF=CD，BD=CE，
∴△BDF≌△CED(SAS)，
∴∠BFD=∠EDC，
∵α+∠BDF+∠EDC=180°，
∴α+∠BDF+∠BFD=180°，
∵∠B+∠BDF+∠BFD=180°，
∴∠B=α，
∴∠C=∠B=α，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴2α+∠A=180°.
故選：A.
【點評】此題考查了等腰三角形的性質、全等三角形的判定與性質.此題難度適中，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用.
12.為了求1+2+22+23+…+22011+22012的值，可令S=1+2+22+23+…+22011+22012，則2S=2+22+23+24+…+22012+22013，因此2S﹣S=22013﹣1，所以1+22+23+…+22012=22013﹣1.仿照以上方法計算1+5+52+53+…+52012的值是( )
A.52013﹣1 B.52013+1 C. D.
【考點】同底數冪的乘法.
【專題】計算題;壓軸題.
【分析】根據題目所給計算方法，令S=1+5+52+53+…+52012，再兩邊同時乘以5，求出5S，用5S﹣S，求出4S的值，進而求出S的值.
【解答】解：令S=1+5+52+53+…+52012，
則5S=5+52+53+…+52012+52013，
5S﹣S=﹣1+52013，
4S=52013﹣1，
則S= .
故選D.
【點評】本題考查了同底數冪的乘法，利用錯位相減法，消掉相關值，是解題的關鍵.
二、填空題：本大題共4個小題，每小題4分，共16分，把答案寫在題中橫線上.
13.分解因式：a4(x﹣y)+(y﹣x)= (x﹣y)(a2+1)(a﹣1)(a+1) .
【考點】提公因式法與公式法的綜合運用.
【分析】首先提取公因式(x﹣y)，進而利用平方差公式分解因式得出答案.
【解答】解：a4(x﹣y)+(y﹣x)
=(x﹣y)(a4﹣1)
=(x﹣y)(a2+1)(a2﹣1)
=(x﹣y)(a2+1)(a﹣1)(a+1).
故答案為：(x﹣y)(a2+1)(a﹣1)(a+1).
【點評】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確應用乘法公式是解題關鍵.
14.代數式4x2+3mx+9是完全平方式，則m= ±4 .
【考點】完全平方式.
【分析】本題考查完全平方公式的靈活應用，這里首末兩項是2x和3的平方，那么中間項為加上或減去2x和3的乘積的2倍.
【解答】解：∵4x2+3mx+9是完全平方式，
∴3mx=±2×3•2x，
解得m=±4.
【點評】本題主要考查完全平方公式，根據兩平方項確定出這兩個數，再根據乘積二倍項求解.
15.若關于x的分式方程 ﹣1= 無解，則m的值 ﹣ 或﹣ .
【考點】分式方程的解.
【分析】根據解分式方程的步驟，可求出分式方程的解，根據分式方程無解，可得m的值.
【解答】解：方程兩邊同乘x(x﹣3)，得x(2m+x)﹣(x﹣3)x=2(x﹣3)
(2m+1)x=﹣6
x=﹣ ，
當2m+1=0，方程無解，解得m=﹣ .
x=3時，m=﹣ ，
x=0時，m無解.
故答案為：﹣ 或﹣ .
【點評】本題考查了分式方程的解，把分式方程轉化成整式方程，把分式方程的增根代入整式方程，求出答案.
16.如圖，四邊形ABCD中，∠C=40°，∠B=∠D=90°，E、F分別是BC、DC上的一點，當△AEF的周長最小時，∠EAF的度數為 100° .
【考點】軸對稱-最短路線問題.
【分析】根據要使△AEF的周長最小，即利用點的對稱，使三角形的三邊在同一直線上，作出A關于BC和CD的對稱點A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″=∠HAA′=40°，進而得出∠AEF+∠AFE=2(∠AA′E+∠A″)，即可得出答案.
【解答】解：作A關于BC和CD的對稱點A′，A″，連接A′A″，交BC于E，交CD于F，
則A′A″即為△AEF的周長最小值.作DA延長線AH，
∵∠C=40°，
∴∠DAB=140°，
∴∠HAA′=40°，
∴∠AA′E+∠A″=∠HAA′=40°，
∵∠EA′A=∠EAA′，∠FAD=∠A″，
∴∠EAA′+∠A″AF=40°，
∴∠EAF=140°﹣40°=100°，
故答案為：100°.
【點評】本題考查的是軸對稱﹣最短路線問題，涉及到平面內最短路線問題求法以及三角形的外角的性質和垂直平分線的性質等知識，根據已知得出E，F的位置是解題關鍵.
三、解答題：本大題共6小題，共64分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17.(1)解分式方程： ;
(2)先化簡再求值： ，其中x=2，y=5.
【考點】分式的化簡求值;解分式方程.
【分析】(1)利用解分式方程的步驟與方法求得方程的解即可;
(2)按照先算除法，再算加法的運算順序化簡分式，進一步代入求得數值即可.
【解答】解：(1)方程兩邊同乘(x+2)(x﹣2)，
得：x(x+2)﹣(x2﹣4)=8，
解得：x=2，
檢驗：當x=2時，(x+2)(x﹣2)=0，
∴x=2不是原方程的解，
∴原分式方程無解.
(2)原式= + •
= ﹣
=
= ，
當x=2，y=5時，原式= = .
【點評】此題考查解分式方程與分式的化簡求值，掌握解方程與分式的化簡的步驟與方法是解決問題的關鍵.
18.如圖，在平面直角坐標系中有一個△ABC，點A(﹣1，3)，B(2，0)，C(﹣3，﹣1).
(1)畫出△ABC關于y軸的對稱軸圖形△A1B1C1(不寫畫法);
(2)若網格上的每個小正方形的邊長為2，則△ABC的面積是多少?寫出解答過程.
【考點】作圖-軸對稱變換.
【分析】(1)作出各點關于y軸的對稱點，再順次連接即可;
(2)利用矩形的面積減去各頂點上三角形的面積即可.
【解答】解：(1)如圖;
(2)∵網格上的每個小正方形的邊長為2，
∴S△ABC=8×10﹣ ×4×8﹣ ×6×6﹣ ×2×10
=80﹣16﹣18﹣10=36.
答：△ABC的面積是36.
【點評】本題考查的是作圖﹣軸對稱變換，熟知關于y軸對稱的點的坐標特點是解答此題的關鍵.
19.已知：△ABC中，BD、CE分別是AC、AB邊上的高，BQ=AC，點F在CE的延長線上，CF=AB，求證：AF⊥AQ.
【考點】全等三角形的判定與性質.
【專題】證明題;壓軸題.
【分析】首先證明出∠ABD=∠ACE，再有條件BQ=AC，CF=AB可得△ABQ≌△ACF，進而得到∠F=∠BAQ，然后再根據∠F+∠FAE=90°，可得∠BAQ+∠FAE═90°，進而證出AF⊥AQ.
【解答】證明：∵BD、CE分別是AC、AB邊上的高，
∴∠ADB=90°，∠AEC=90°，
∴∠ABQ+∠BAD=90°，∠BAC+∠ACE=90°，
∴∠ABD=∠ACE，
在△ABQ和△ACF中 ，
∴△ABQ≌△ACF(SAS)，
∴∠F=∠BAQ，
∵∠F+∠FAE=90°，
∴∠BAQ+∠FAE═90°，
∴AF⊥AQ.
【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質，關鍵是掌握全等三角形的判定方法，以及全等三角形的性質定理.
20.由甲、乙兩個工程隊承包某校校園綠化工程，甲、乙兩隊單獨完成這項工程所需時間比是3：2，兩隊共同施工6天可以完成.
(1)求兩隊單獨完成此項工程各需多少天?
(2)此項工程由甲、乙兩隊共同施工6天完成任務后，學校付給他們3000元報酬，若按各自完成的工程量分配這筆錢，問甲、乙兩隊各得到多少元?
【考點】分式方程的應用.
【分析】(1)首先表示出兩工程隊完成需要的時間，進而利用總工作量為1得出等式求出答案;
(2)根據(1)中所求，進而利用兩隊完成的工作量求出答案.
【解答】解：(1)設甲隊單獨完成此項工程需x天，則乙隊單獨完成此項工程需 x天，由題意得：
+ =1
解得：x=15，
經檢驗，x=15是原方程的解，
答：甲隊單獨完成此項工程需15天，乙隊單獨完成此項工程需15× =10(天).
(2)甲隊所得報酬：3000× ×6=1200(元)，
乙隊所得報酬：3000× ×6=1800(元)
答：甲隊得到1200元，乙隊得到1800元.
【點評】此題主要考查了分式方程的應用，根據題意利用總共量為1得出等式是解題關鍵.
21.如圖，D是等邊△ABC的邊AB上一點，E是BC延長線上一點，CE=DA，連接DE交AC于F，過D點作DG⊥AC于G點.證明下列結論：
(1)AG= AD;
(2)DF=EF;
(3)S△DGF=S△ADG+S△ECF.
【考點】等邊三角形的判定與性質;全等三角形的判定與性質;含30度角的直角三角形.
【專題】壓軸題.
【分析】(1)由等邊△ABC，DG⊥AC，可求得∠AGD=90°，∠ADG=30°，然后根據直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，即可證得AG= AD;
(2)首先過點D作DH∥BC交AC于點H，易證得△ADH是等邊三角形，又由CE=DA，可利用AAS證得△DHF≌△ECF，繼而可得DF=EF;
(3)由△ABC是等邊三角形，DG⊥AC，可得AG=GH，即可得S△ADG=S△HDG，又由△DHF≌△ECF，即可證得S△DGF=S△ADG+S△ECF.
【解答】證明：(1)∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=60°，
∵DG⊥AC，
∴∠AGD=90°，∠ADG=30°，
∴AG= AD;
(2)過點D作DH∥BC交AC于點H，
∴∠ADH=∠B，∠AHD=∠ACB，∠FDH=∠E，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠ACB=∠A=60°，
∴∠A=∠ADH=∠AHD=60°，
∴△ADH是等邊三角形，
∴DH=AD，
∵AD=CE，
∴DH=CE，
在△DHF和△ECF中，
，
∴△DHF≌△ECF(AAS)，
∴DF=EF;
(3)∵△ABC是等邊三角形，DG⊥AC，
∴AG=GH，
∴S△ADG=S△HDG，
∵△DHF≌△ECF，
∴S△DHF=S△ECF，
∴S△DGF=S△DGH+S△DHF=S△ADG+S△ECF.
【點評】此題考查了等邊三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質以及含30°直角三角形的性質.此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用.
22.如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于點E.在△ABC外有一點F，使FA⊥AE，FC⊥BC.
(1)求證：BE=CF;
(2)在AB上取一點M，使BM=2DE，連接MC，交AD于點N，連接ME.
求證：①ME⊥BC;②DE=DN.
【考點】全等三角形的判定與性質;角平分線的性質;等腰直角三角形.
【專題】證明題;幾何綜合題.
【分析】(1)根據等腰直角三角形的性質求出∠B=∠ACB=45°，再求出∠ACF=45°，從而得到∠B=∠ACF，根據同角的余角相等求出∠BAE=∠CAF，然后利用“角邊角”證明△ABE和△ACF全等，根據全等三角形對應邊相等證明即可;
(2)①過點E作EH⊥AB于H，求出△BEH是等腰直角三角形，然后求出HE=BH，再根據角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DE=HE，然后求出HE=HM，從而得到△HEM是等腰直角三角形，再根據等腰直角三角形的性質求解即可;
②求出∠CAE=∠CEA=67.5°，根據等角對等邊可得AC=CE，再利用“HL”證明Rt△ACM和Rt△ECM全等，根據全等三角形對應角相等可得∠ACM=∠ECM=22.5°，從而求出∠DAE=∠ECM，根據等腰直角三角形的性質可得AD=CD，再利用“角邊角”證明△ADE和△CDN全等，根據全等三角形對應邊相等證明即可.
【解答】證明：(1)∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵FC⊥BC，
∴∠BCF=90°，
∴∠ACF=90°﹣45°=45°，
∴∠B=∠ACF，
∵∠BAC=90°，FA⊥AE，
∴∠BAE+∠CAE=90°，
∠CAF+∠CAE=90°，
∴∠BAE=∠CAF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF(ASA)，
∴BE=CF;
(2)①如圖，過點E作EH⊥AB于H，則△BEH是等腰直角三角形，
∴HE=BH，∠BEH=45°，
∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，
∴DE=HE，
∴DE=BH=HE，
∵BM=2DE，
∴HE=HM，
∴△HEM是等腰直角三角形，
∴∠MEH=45°，
∴∠BEM=45°+45°=90°，
∴ME⊥BC;
②由題意得，∠CAE=45°+ ×45°=67.5°，
∴∠CEA=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，
∴∠CAE=∠CEA=67.5°，
∴AC=CE，
在Rt△ACM和Rt△ECM中
， ，
∴Rt△ACM≌Rt△ECM(HL)，
∴∠ACM=∠ECM= ×45°=22.5°，
又∵∠DAE= ×45°=22.5°，
∴∠DAE=∠ECM，
∵∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，
∴AD=CD= BC，
在△ADE和△CDN中，
，
∴△ADE≌△CDN(ASA)，
∴DE=DN.
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的判定與性質，角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，熟記性質并作輔助線構造出等腰直角三角形和全等三角形是解題的關鍵，難點在于最后一問根據角的度數得到相等的角.
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