七年級上學期期中數學試卷及答案

七年級上學期期中數學試卷及答案

　　在考試快要到來的時候，我們作為學生應該做出什么樣的復習準備工作呢?下面請欣賞學習啦網絡編輯為你帶來的七年級上學期期中數學試卷及答案，希望你能夠喜歡!

　　七年級上學期期中數學試卷

　　一、選擇題(每小題3分，共36分)

　　1.下面是實驗中學初二的同學為自己班設計的幾個班徽，是軸對稱的有(　　)

　　A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

　　2.如圖，把一個正方形三次對折后沿虛線剪去一個角，則所得圖形展開后是(　　)

　　A. B. C. D.

　　3.如圖，將矩形ABCD沿對角線BD折疊，使點C和點C′重合，若AB=2，則C′D的長為(　　)

　　A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

　　4.如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分線BD交AC于D.若AB=m，CD=n，則△ABD的面積等于(　　)

　　A. mn B. C. 2mn D.

　　5.如圖，一圓柱體的底面周長為24cm，高BD為5cm，BC是直徑，一只螞蟻從點D出發沿著圓柱的側面爬行到點C的最短路程大約是(　　)

　　A. 6cm B. 12cm C. 13cm D. 16cm

　　6.如圖，AB∥CD，∠A+∠E=75°，則∠C為(　　)

　　A. 60° B. 65° C. 75° D. 80°

　　7.若等腰三角形的兩邊長分別為4和8，則它的周長為(　　)

　　A. 12 B. 16 C. 20 D. 16或20

　　8.如圖是一個風箏的圖案，它是以直線AF為對稱軸的軸對稱圖形，下列結論中不一定成立的是(　　)

　　A. △ABD≌△ACD B. AF垂直平分EG

　　C. 直線BG，CE的交點在AF上 D. △DEG是等邊三角形

　　9.如圖，在△ABC中，∠B=40°，EF∥AB，∠1=50°，CE=3，EF比CF大1，則EF的長為(　　)

　　A. 5 B. 6 C. 3 D. 4

　　10.E為正方形ABCD內部一點，且AE=3，BE=4，∠E=90°，則陰影部分的面積為(　　)

　　A. 25 B. 12 C. 13 D. 19

　　11.若△ABC的三邊a，b，c滿足a2+b2﹣8a﹣10b+29+|c﹣3|=0，則(　　)

　　A. △ABC是直角三角形且∠C=90° B. △ABC是銳角三角形

　　C. △ABC是直角三角形且∠B=90° D. △ABC是直角三角形且∠A=90°

　　12.如圖，△ABC≌△ADE，則下列結論成立的是(　　)

　　①AB=AD，②∠E=∠C，③若∠BAE=120°，∠BAD=40°，則∠BAC=80°，④BC=DE.

　　A. ① B. ①② C. ①②③ D. ①②③④

　　二、填空題(每小題4分，共20分)

　　13.若三角形三內角的度數之比為1：2：3，最大邊的長是16cm，則最小邊的長是　　　　　　.

　　14.如圖，BD垂直平分線段AC，AE⊥BC，垂足為E，交BD于P點，PE=3cm，則P點到直線AB的距離是　　　　　　cm.

　　15.如圖，AB∥CD，BC與AD相交于點M，N是射線CD上的一點.若∠B=65°，∠MDN=135°，則∠AMB=　　　　　　.

　　16.△ABC中，DE分別是BC，AD的中點，且△ABC的面積為4，則陰影部分的面積是　　　　　　.

　　17.△ABC中，有一點P在AC上移動.若AB=AC=5，BC=6，AP+BP+CP的最小值為　　　　　　.

　　三、解答題

　　18.先化簡，再求值：﹣2+2ab2÷a，其中a=3，b=5.

　　19.如圖是一個四邊形的邊角料，木工師傅通過測量，獲得了如下數據：AB=3cm，BC=12cm，CD=13cm，AD=4cm，BD=5cm木工師傅由此認為這個四邊形中∠A恰好是直角，你認為木工師傅的判斷正確嗎?如果你認為他正確，請說明其中的理由;如果你認為他不正確，那你認為需要什么條件，才可以判斷∠A是直角?請求出木料的面積.

　　20.如圖，AC與BD交于點O，AD=CB，E、F是BD上兩點，且AE=CF，DE=BF.

　　請推導下列結論：

　　(1)∠D=∠B;

　　AE∥CF.

　　21.如圖，一個牧童在小河的南4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家，他要完成這件事情所走的最短路程是多少?

　　22.某港口位于東西方向的海岸線上.“遠航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠航”號每小時航行16海里，“海天”號每小時航行12海里.它們離開港口一個半小時后相距30海里.如果知道“遠航”號沿東北方向航行，能知道“海天”號沿哪個方向航行?為什么?

　　23.數學課上，李老師出示了如下框中的題目.

　　小敏與同桌小聰討論后，進行了如下解答：

　　(1)特殊情況•探索結論

　　當點E為AB的中點時，如圖1，確定線段AE與的DB大小關系.請你直接寫出結論：AE　　　　　　DB(填“>”，“<”或“=”).

　　特例啟發，解答題目

　　解：題目中，AE與DB的大小關系是：AE　　　　　　DB(填“>”，“<”或“=”).理由如下：

　　如圖2，過點E作EF∥BC，交AC于點F，(請你完成以下解答過程)

　　(3)拓展結論，設計新題

　　在等邊三角形ABC中，點E在直線AB上，點D在直線BC上，且ED=EC.若△ABC的邊長為1，AE=2，求CD的長(請你直接寫出結果).

　　2014015學年山東省萊蕪實驗中學2014～2015學年度七年級上學期期中數學試卷

　　七年級上學期期中數學試卷參考答案

　　一、選擇題(每小題3分，共36分)

　　1.下面是實驗中學初二的同學為自己班設計的幾個班徽，是軸對稱的有(　　)

　　A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

　　考點： 軸對稱圖形.

　　分析： 根據軸對稱圖形的概念求解.

　　解答： 解：第二個、第三個圖形是軸對稱圖形.

　　故選B.

　　點評： 本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合;中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與原圖重合.

　　2.如圖，把一個正方形三次對折后沿虛線剪去一個角，則所得圖形展開后是(　　)

　　A. B. C. D.

　　考點： 剪紙問題.

　　分析： 把一個正方形的紙片向上對折，向右對折，向右下方對折，從上部剪去一個等腰直角三角形，展開，看得到的圖形為選項中的哪個即可.

　　解答： 解：從折疊的圖形中剪去8個等腰直角三角形，易得將從正方形紙片中剪去4個小正方形，

　　故選C.

　　點評： 此題主要考查剪紙問題，此類問題根據圖示進行折疊，然后剪紙，可直接得到答案.

　　3.如圖，將矩形ABCD沿對角線BD折疊，使點C和點C′重合，若AB=2，則C′D的長為(　　)

　　A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

　　考點： 矩形的性質;翻折變換(折疊問題).

　　分析： 根據矩形的對邊相等可得CD=AB，再根據翻折變換的性質可得C′D=CD，代入數據即可得解.

　　解答： 解：在矩形ABCD中，CD=AB，

　　∵矩形ABCD沿對角線BD折疊后點C和點C′重合，

　　∴C′D=CD，

　　∴C′D=AB，

　　∵AB=2，

　　∴C′D=2.

　　故選B.

　　點評： 本題考查了矩形的對邊相等的性質，翻折變換的性質，是基礎題，熟記性質是解題的關鍵.

　　4.如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分線BD交AC于D.若AB=m，CD=n，則△ABD的面積等于(　　)

　　A. mn B. C. 2mn D.

　　考點： 角平分線的性質.

　　分析： 根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得DE=CD，然后由三角形的面積公式進行解答即可.

　　解答： 解：如圖，過點D作DE⊥AB于點E.

　　∵∠C=90°，BD是∠ABC的平分線，CD=n，

　　∴DE=CD=n，

　　∵AB=m，

　　∴△ABD的面積是： AB•DE= mn.

　　故選：B.

　　點評： 本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質，熟記性質并準確識圖是解題的關鍵.

　　5.如圖，一圓柱體的底面周長為24cm，高BD為5cm，BC是直徑，一只螞蟻從點D出發沿著圓柱的側面爬行到點C的最短路程大約是(　　)

　　A. 6cm B. 12cm C. 13cm D. 16cm

　　考點： 平面展開-最短路徑問題.

　　分析： 根據題意，先將圓柱體展開，再根據兩點之間線段最短.

　　解答： 解：將圓柱體展開，連接DC，

　　圓柱體的底面周長為24cm，則DE=12cm，

　　根據兩點之間線段最短，

　　CD= =13(cm).

　　而走B﹣D﹣C的距離更短，

　　∵BD=5，BC= ，

　　∴BD+BC≈12.

　　故選：B.

　　點評： 本題考查了平面展開﹣﹣最短路徑問題，將圓柱體展開，根據兩點之間線段最短，運用勾股定理解答即可.

　　6.如圖，AB∥CD，∠A+∠E=75°，則∠C為(　　)

　　A. 60° B. 65° C. 75° D. 80°

　　考點： 平行線的性質.

　　分析： 根據三角形外角性質求出∠EOB，根據平行線性質得出∠C=∠EOB，代入即可得出答案.

　　解答： 解：∵∠A+∠E=75°，

　　∴∠EOB=∠A+∠E=75°，

　　∵AB∥CD，

　　∴∠C=∠EOB=75°，

　　故選C.

　　點評： 本題考查了平行線性質和三角形外角性質的應用，關鍵是得出∠C=∠EOB和求出∠EOB的度數.

　　7.若等腰三角形的兩邊長分別為4和8，則它的周長為(　　)

　　A. 12 B. 16 C. 20 D. 16或20

　　考點： 等腰三角形的性質;三角形三邊關系.

　　分析： 由于題中沒有指明哪邊是底哪邊是腰，則應該分兩種情況進行分析.

　　解答： 解：①當4為腰時，4+4=8，故此種情況不存在;

　　②當8為腰時，8﹣4<8<8+4，符合題意.

　　故此三角形的周長=8+8+4=20.

　　故選C.

　　點評： 本題考查的是等腰三角形的性質和三邊關系，解答此題時注意分類討論，不要漏解.

　　8.如圖是一個風箏的圖案，它是以直線AF為對稱軸的軸對稱圖形，下列結論中不一定成立的是(　　)

　　A. △ABD≌△ACD B. AF垂直平分EG

　　C. 直線BG，CE的交點在AF上 D. △DEG是等邊三角形

　　考點： 軸對稱的性質.

　　分析： 認真觀察圖形，根據軸對稱圖形的性質得選項A、B、C都是正確的，沒有理由能夠證明△DEG是等邊三角形.

　　解答： 解：A、因為此圖形是軸對稱圖形，正確;

　　B、對稱軸垂直平分對應點連線，正確;

　　C、由三角形全等可知，BG=CE，且直線BG，CE的交點在AF上，正確;

　　D、題目中沒有60°條件，不能判斷是等邊三角形，錯誤.

　　故選D.

　　點評： 本題考查了軸對稱的性質;解決此題要注意，不要受圖形誤導，要找準各選項正誤的具體原因是正確解答本題的關鍵.

　　9.如圖，在△ABC中，∠B=40°，EF∥AB，∠1=50°，CE=3，EF比CF大1，則EF的長為(　　)

　　A. 5 B. 6 C. 3 D. 4

　　考點： 勾股定理;平行線的性質.

　　分析： 由平行線的性質得出∠A=∠1=50°，得出∠C=90°，設CF=x，則EF=x+1，根據勾股定理得出方程，解方程求出x，即可得出EF的長.

　　解答： 解：∵EF∥AB，

　　∴∠A=∠1=50°，

　　∴∠A+∠B=50°+40°=90°，

　　∴∠C=90°，

　　設CF=x，則EF=x+1，

　　根據勾股定理得：CE2+CF2=EF2，

　　即32+x2=(x+1)2，

　　解得：x=4，

　　∴EF=4+1=5，

　　故選：A.

　　點評： 本題考查了平行線的性質、直角三角形的判定、勾股定理;熟練掌握平行線的性質，并能進行推理論證與計算是解決問題的關鍵.

　　10.E為正方形ABCD內部一點，且AE=3，BE=4，∠E=90°，則陰影部分的面積為(　　)

　　A. 25 B. 12 C. 13 D. 19

　　考點： 勾股定理.

　　分析： 根據勾股定理求出AB，分別求出△AEB和正方形ABCD的面積，即可求出答案.

　　解答： 解：∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AE=3，BE=4，由勾股定理得：AB=5，

　　∴正方形的面積是5×5=25，

　　∵△AEB的面積是 AE×BE= ×3×4=6，

　　∴陰影部分的面積是25﹣6=19，

　　故選D.

　　點評： 本題考查了正方形的性質，勾股定理的運用，利用勾股定理求出正方形的邊長并觀察出陰影部分的面積的表示是解題的關鍵.

　　11.若△ABC的三邊a，b，c滿足a2+b2﹣8a﹣10b+29+|c﹣3|=0，則(　　)

　　A. △ABC是直角三角形且∠C=90° B. △ABC是銳角三角形

　　C. △ABC是直角三角形且∠B=90° D. △ABC是直角三角形且∠A=90°

　　考點： 勾股定理的逆定理;非負數的性質：偶次方;配方法的應用.

　　分析： 先將式子變形為(a﹣4)2+(b﹣5)2+|c﹣3|=12，找到滿足式子的一組值，根據勾股定理的逆定理即可求解.

　　解答： 解：a2+b2﹣8a﹣10b+29+|c﹣3|=0，

　　a2﹣8a+16+b2﹣10b+25+|c﹣3|=12，

　　(a﹣4)2+(b﹣5)2+|c﹣3|=12，

　　當a=6，b=7，c=7時，滿足上面的式子，

　　∵62+72>72，

　　∴△ABC是銳角三角形.

　　故選：B.

　　點評： 考查了勾股定理的逆定理，配方法的應用，非負數的性質：偶次方，關鍵是將式子變形為(a﹣4)2+(b﹣5)2+|c﹣3|=12.

　　12.如圖，△ABC≌△ADE，則下列結論成立的是(　　)

　　①AB=AD，②∠E=∠C，③若∠BAE=120°，∠BAD=40°，則∠BAC=80°，④BC=DE.

　　A. ① B. ①② C. ①②③ D. ①②③④

　　考點： 全等三角形的性質.

　　分析： 根據△ABC≌△ADE，可得其對應邊對應角相等，即可得AB=AD，∠E=∠C，∠BAC=∠DAE;由∠DAC是公共角易證得∠BAD=∠CAE，已知∠BAE=120°，∠BAD=40°，即可求得∠BAC的度數.

　　解答： 解：∵△ABC≌△ADE，

　　∴AB=AD，BC=DE，∠E=∠C，∠BAC=∠DAE;

　　∵∠DAC是公共角

　　∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE，

　　已知∠BAE=120°，∠BAD=40°，

　　∴∠CAE=40°，∠BAC=∠BAE﹣∠CAE=120°﹣40°=80°.

　　故選D.

　　點評： 本題考查了全等三角形的性質及比較角的大小，解題的關鍵是找到兩全等三角形的對應角、對應邊.

　　二、填空題(每小題4分，共20分)

　　13.若三角形三內角的度數之比為1：2：3，最大邊的長是16cm，則最小邊的長是　8cm　.

　　考點： 含30度角的直角三角形.

　　分析： 根據三角形的內角和等于180°求出最大角和最小角，然后根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半解答.

　　解答： 解：∵三角形三內角的度數之比為1：2：3，

　　∴三角形的最大的內角度數是：180°× =90°，

　　最小的內角度數是：180°× =30°，

　　∴此三角形是有一個銳角是30°的直角三角形，

　　∵最大邊的長是16cm，

　　∴則最小邊的長是16× =8cm.

　　故答案為：8cm.

　　點評： 本題考查了直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，三角形的內角和定理，熟記性質并求出此三角形是有一個銳角是30°的直角三角形是解題的關鍵.

　　14.如圖，BD垂直平分線段AC，AE⊥BC，垂足為E，交BD于P點，PE=3cm，則P點到直線AB的距離是　3　cm.

　　考點： 線段垂直平分線的性質.

　　分析： 由已知條件，根據垂直平分線的性質得出AB=BC，可得到∠ABD=∠DBC，再利用角平分線上的點到角兩邊的距離相等得到答案.

　　解答： 解：過點P作PM⊥AB與點M，

　　∵BD垂直平分線段AC，

　　∴AB=CB，

　　∴∠ABD=∠DBC，即BD為角平分線，

　　又PM⊥AB，PE⊥CB，

　　∴PM=PE=3.

　　故答案為：3.

　　點評： 此題主要考查線段的垂直平分線的性質等幾何知識.得到三角形全等是正確解答本題的關鍵，也可直接應用角平分線的性質求解.

　　15.如圖，AB∥CD，BC與AD相交于點M，N是射線CD上的一點.若∠B=65°，∠MDN=135°，則∠AMB=　70°　.

　　考點： 平行線的性質;三角形的外角性質.

　　分析： 根據平行線的性質求出∠BAM，再由三角形的內角和定理可得出∠AMB.

　　解答： 解：∵AB∥CD，

　　∴∠A+∠MDN=180°，

　　∴∠A=180°﹣∠MDN=45°，

　　在△ABM中，∠AMB=180°﹣∠A﹣∠B=70°.

　　故答案為：70°.

　　點評： 本題考查了平行線的性質，解答本題的關鍵是掌握：兩直線平行同胖內角互補，及三角形的內角和定理.

　　16.△ABC中，DE分別是BC，AD的中點，且△ABC的面積為4，則陰影部分的面積是　1　.

　　考點： 三角形的面積.

　　分析： 根據中線將三角形面積分為相等的兩部分可知：△ADC是陰影部分的面積的2倍，△ABC的面積是△ADC的面積的2倍，依此即可求解.

　　解答： 解：∵D、E分別是BC，AD的中點，

　　∴S△AEC= ，S△ACD= S△ABC，

　　∴S△AEC= S△ABC= =1.

　　故答案為：1.

　　點評： 本題考查了三角形的面積和中線的性質：三角形的中線將三角形分為相等的兩部分，知道中線將三角形面積分為相等的兩部分是解題的關鍵.

　　17.△ABC中，有一點P在AC上移動.若AB=AC=5，BC=6，AP+BP+CP的最小值為　9.8　.

　　考點： 等腰三角形的性質;垂線段最短;勾股定理.

　　分析： 若AP+BP+CP最小，就是說當BP最小時，AP+BP+CP才最小，因為不論點P在AC上的那一點，AP+CP都等于AC.那么就需從B向AC作垂線段，交AC于P.先設AP=x，再利用勾股定理可得關于x的方程，解即可求x，在Rt△ABP中，利用勾股定理可求BP.那么AP+BP+CP的最小值可求.

　　解答： 解：從B向AC作垂線段BP，交AC于P，

　　設AP=x，則CP=5﹣x，

　　在Rt△ABP中，BP2=AB2﹣AP2，

　　在Rt△BCP中，BP2=BC2﹣CP2，

　　∴AB2﹣AP2=BC2﹣CP2，

　　∴52﹣x2=62﹣(5﹣x)2

　　解得x=1.4，

　　在Rt△ABP中，BP= = =4.8，

　　∴AP+BP+CP=AC+BP=5+4.8=9.8.

　　故答案為：9.8.

　　點評： 考查了等腰三角形的性質及勾股定理等知識，直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短.因此先從B向AC作垂線段BP，交AB于P，再利用勾股定理解題即可.

　　三、解答題

　　18.先化簡，再求值：﹣2+2ab2÷a，其中a=3，b=5.

　　考點： 整式的混合運算—化簡求值.

　　分析： 先算乘法和除法，再合并同類項，最后代入求出即可.

　　解答： 解：﹣2+2ab2÷a

　　=4a2﹣b2﹣4a2+4ab﹣b2+2b2

　　=4ab，

　　當a=3，b=5時，原式=4×3×5=60.

　　點評： 本題考查了整式的混合運算和求值的應用，能正確運用整式的運算法則進行化簡是解此題的關鍵.

　　19.如圖是一個四邊形的邊角料，木工師傅通過測量，獲得了如下數據：AB=3cm，BC=12cm，CD=13cm，AD=4cm，BD=5cm木工師傅由此認為這個四邊形中∠A恰好是直角，你認為木工師傅的判斷正確嗎?如果你認為他正確，請說明其中的理由;如果你認為他不正確，那你認為需要什么條件，才可以判斷∠A是直角?請求出木料的面積.

　　考點： 勾股定理的逆定理;勾股定理.

　　分析： 根據AB=3cm，BD=5cm，AD=4cm利用勾股定理逆定理可得AB2+AD2=BD2，因此∠A=90°;再利用勾股定理逆定理可判定∠DBC=90°，然后再計算出面積即可.

　　解答： 解：正確，

　　∵32+42=52，

　　∴AB2+AD2=BD2，

　　∴∠A=90°，

　　∵122+52=132，

　　∴BD2+BC2=CD2，

　　∴∠DBC=90°，

　　∴木料的面積為： ×4×3+ ×12×5=6+30=36(cm2).

　　答：木工師傅的判斷正確，木料的面積為36cm2.

　　點評： 此題主要考查了勾股定理逆定理，關鍵是掌握如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形就是直角三角形.

　　20.如圖，AC與BD交于點O，AD=CB，E、F是BD上兩點，且AE=CF，DE=BF.

　　請推導下列結論：

　　(1)∠D=∠B;

　　AE∥CF.

　　考點： 全等三角形的判定與性質.

　　專題： 證明題.

　　分析： (1)根據SSS推出△ADE≌△CBF，根據全等三角形的性質推出即可.

　　根據全等三角形的性質推出∠AED=∠CFB，求出∠AEO=∠CFO，根據平行線的判定推出即可.

　　解答： 解：(1)∵在△ADE和△CBF中

　　∴△ADE≌△CBF(SSS)，

　　∴∠D=∠B.

　　∵△ADE≌△CBF，

　　∴∠AED=∠CFB，

　　∵∠AED+∠AEO=180°，∠CFB+∠CFO=180°，

　　∴∠AEO=∠CFO，

　　∴AE∥CF.

　　點評： 本題考查了全等三角形的性質和判定，平行線的判定的應用，注意：全等三角形的對應角相等.

　　21.如圖，一個牧童在小河的南4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家，他要完成這件事情所走的最短路程是多少?

　　考點： 軸對稱-最短路線問題.

　　專題： 應用題.

　　分析： 先作A關于MN的對稱點，連接A′B，構建直角三角形，利用勾股定理即可得出答案.

　　解答： 解：如圖，作出A點關于MN的對稱點A′，連接A′B交MN于點P，

　　則A′B就是最短路線，

　　在Rt△A′DB中，由勾股定理求得

　　A′B=DA = =17km，

　　答：他要完成這件事情所走的最短路程是17km.

　　點評： 本題考查的是勾股定理和軸對稱在實際生活中的運用，需要同學們聯系實際，題目是一道比較典型的題目，難度適中.

　　22.某港口位于東西方向的海岸線上.“遠航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠航”號每小時航行16海里，“海天”號每小時航行12海里.它們離開港口一個半小時后相距30海里.如果知道“遠航”號沿東北方向航行，能知道“海天”號沿哪個方向航行?為什么?

　　考點： 勾股定理的應用;方向角.

　　分析： 根據路程=速度×時間分別求得PQ、PR的長，再進一步根據勾股定理的逆定理可以證明三角形PQR是直角三角形，從而求解.

　　解答： 解：根據題意，得

　　PQ=16×1.5=24(海里)，PR=12×1.5=18(海里)，QR=30(海里).

　　∵242+182=302，

　　即PQ2+PR2=QR2，

　　∴∠QPR=90°.

　　由“遠航號”沿東北方向航行可知，∠QPS=45°，則∠SPR=45°，即“海天”號沿西北方向航行.

　　點評： 此題主要是能夠根據勾股定理的逆定理發現直角三角形.

　　23.數學課上，李老師出示了如下框中的題目.

　　小敏與同桌小聰討論后，進行了如下解答：

　　(1)特殊情況•探索結論

　　當點E為AB的中點時，如圖1，確定線段AE與的DB大小關系.請你直接寫出結論：AE　=　DB(填“>”，“<”或“=”).

　　特例啟發，解答題目

　　解：題目中，AE與DB的大小關系是：AE　=　DB(填“>”，“<”或“=”).理由如下：

　　如圖2，過點E作EF∥BC，交AC于點F，(請你完成以下解答過程)

　　(3)拓展結論，設計新題

　　在等邊三角形ABC中，點E在直線AB上，點D在直線BC上，且ED=EC.若△ABC的邊長為1，AE=2，求CD的長(請你直接寫出結果).

　　考點： 全等三角形的判定與性質;三角形內角和定理;等邊三角形的判定與性質.

　　專題： 計算題;證明題;壓軸題;分類討論.

　　分析： (1)根據等邊三角形的性質和三角形的內角和定理求出∠D=∠ECB=30°，∠ABC=60°，求出∠D=∠DEB=30°，推出DB=BE=AE即可得到答案;

　　作EF∥BC，證出等邊三角形AEF，再證△DBE≌△EFC即可得到答案;

　　(3)分為四種情況：畫出圖形，根據等邊三角形性質求出符合條件的CD即可.

　　解答： 解：(1)答案為：=.

　　答案為：=.

　　證明：在等邊△ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC，

　　∵EF∥BC，

　　∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，

　　∴∠AEF=∠AFE=∠BAC=60°，

　　∴AE=AF=EF，

　　∴AB﹣AE=AC﹣AF，

　　即BE=CF，

　　∵∠ABC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE，

　　∵ED=EC，

　　∴∠EDB=∠ECB，

　　∵∠EBC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE，

　　∴∠BED=∠FCE，

　　在△DBE和△EFC中

　　，

　　∴△DBE≌△EFC(SAS)，

　　∴DB=EF，

　　∴AE=BD.

　　(3)解：分為四種情況：

　　如圖1：

　　∵AB=AC=1，AE=2，

　　∴B是AE的中點，

　　∵△ABC是等邊三角形，

　　∴AB=AC=BC=1，△ACE是直角三角形(根據直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半)，

　　∴∠ACE=90°，∠AEC=30°，

　　∴∠D=∠ECB=∠BEC=30°，∠DBE=∠ABC=60°，

　　∴∠DEB=180°﹣30°﹣60°=90°，

　　即△DEB是直角三角形.

　　∴BD=2BE=2(30°所對的直角邊等于斜邊的一半)，

　　即CD=1+2=3.

　　如圖2，

　　過A作AN⊥BC于N，過E作EM⊥CD于M，

　　∵等邊三角形ABC，EC=ED，

　　∴BN=CN= BC= ，CM=MD= CD，AN∥EM，

　　∴△BAN∽△BEM，

　　∴ = ，

　　∵△ABC邊長是1，AE=2，

　　∴ = ，

　　∴MN=1，

　　∴CM=MN﹣CN=1﹣ = ，

　　∴CD=2CM=1;

　　如圖3，∵∠ECD>∠EBC(∠EBC=120°)，而∠ECD不能大于120°，否則△EDC不符合三角形內角和定理，

　　∴此時不存在EC=ED;

　　如圖4

　　∵∠EDC<∠ABC，∠ECB>∠ACB，

　　又∵∠ABC=∠ACB=60°，

　　∴∠ECD>∠EDC，

　　即此時ED≠EC，

　　∴此時情況不存在，

　　答：CD的長是3或1.

　　點評： 本題主要考查對全等三角形的性質和判定，三角形的內角和定理，等邊三角形的性質和判定等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質進行推理是解此題的關鍵.