高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試卷(文科含解析)
高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試卷(文科含解析)
單元練習(xí)題是所有考生最大的需求點(diǎn)，只有這樣才能保證答題的準(zhǔn)確率和效率，以下是學(xué)習(xí)啦小編為您整理的關(guān)于高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試卷(文科含解析)的相關(guān)資料，供您閱讀。
高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試卷(文科含解析)
數(shù)學(xué)試卷(文科)
一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.對(duì)于常數(shù)m、n，“mn>0”是“方程mx2+ny2=1的曲線是橢圓”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
2.命題“所有能被2整除的數(shù)都是偶數(shù)”的否定是( )
A.所有不能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)
B.所有能被2整除的整數(shù)都不是偶數(shù)
C.存在一個(gè)不能被2整除的整數(shù)是偶數(shù)
D.存在一個(gè)能被2整除的整數(shù)不是偶數(shù)
3.已知橢圓 上的點(diǎn)P到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為7，則P到另一焦點(diǎn)的距離為( )
A.2 B.3 C.5 D.7
4.在一次跳傘訓(xùn)練中，甲、乙兩位學(xué)員各跳一次，設(shè)命題p是“甲降落在指定范圍”，q是“乙降落在指定范圍”，則命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”可表示為( )
A.(￢p)∨(￢q) B.p∨(￢q) C.(￢p)∧(￢q) D.p∨q
5.若雙曲線 的離心率為 ，則其漸近線的斜率為( )
A.±2 B. C. D.
6.曲線 在點(diǎn)M( ，0)處的切線的斜率為( )
A. B. C. D.
7.若橢圓 (a>b>0)的焦點(diǎn)與雙曲線 的焦點(diǎn)恰好是一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，則拋物線ay=bx2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為( )
A.( ，0) B.( ，0) C.(0， ) D.(0， )
8.設(shè)z1，z2是復(fù)數(shù)，則下列命題中的假命題是( )
A.若|z1|=|z2|，則
B.若 ，則
C.若|z1|=|z2|，則
D.若|z1﹣z2|=0，則
9.已知命題“若函數(shù)f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是增函數(shù)，則m≤1”，則下列結(jié)論正確的是( )
A.否命題“若函數(shù)f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是減函數(shù)，則m>1”是真命題
B.逆命題“若m≤1，則函數(shù)f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是增函數(shù)”是假命題
C.逆否命題“若m>1，則函數(shù)f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是減函數(shù)”是真命題
D.逆否命題“若m>1，則函數(shù)f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上不是增函數(shù)”是真命題
10.錢大姐常說“便宜沒好貨”，她這句話的意思是：“不便宜”是“好貨”的( )
A.充分條件 B.必要條件
C.充分必要條件 D.既非充分又非必要條件
11.設(shè)a>0，f(x)=ax2+bx+c，曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處切線的傾斜角的取值范圍為，則P到曲線y=f(x)對(duì)稱軸距離的取值范圍為( )
A. B. C. D.
12.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，若f(x1)=x1
A.3 B.4 C.5 D.6
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13.設(shè)復(fù)數(shù) ，那么z• 等于 .
14.f(x)=x3﹣3x2+2在區(qū)間上的最大值是 .
15.函數(shù)f(x)=lnx﹣f′(1)x2+5x﹣4，則f(1)= .
16.過拋物線x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)F作傾斜角為45°的直線，與拋物線分別交于A、B兩點(diǎn)(A在y軸左側(cè))，則 = .
三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.已知z是復(fù)數(shù)，z+2i和 均為實(shí)數(shù)(i為虛數(shù)單位).
(Ⅰ)求復(fù)數(shù)z;
(Ⅱ)求 的模.
18.已知集合A={x|(ax﹣1)(ax+2)≤0}，集合B={x|﹣2≤x≤4}.若x∈B是x∈A的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
19.設(shè)橢圓的方程為 ，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，點(diǎn)M在線段AB上且滿足|BM|=2|MA|，直線OM的斜率為 .
(Ⅰ)求橢圓的離心率;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)C為橢圓的下頂點(diǎn)，N為線段AC的中點(diǎn)，證明：MN⊥AB.
20.設(shè)函數(shù) ，其中a為實(shí)數(shù).
(1)已知函數(shù)f(x)在x=1處取得極值，求a的值;
(2)已知不等式f′(x)>x2﹣x﹣a+1對(duì)任意a∈(0，+∞)都成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.
21.已知橢圓C1： 的離心率為 ，且橢圓上點(diǎn)到橢圓C1左焦點(diǎn)距離的最小值為 ﹣1.
(1)求C1的方程;
(2)設(shè)直線l同時(shí)與橢圓C1和拋物線C2：y2=4x相切，求直線l的方程.
22.已知函數(shù)f(x)=lnx﹣a(x﹣1)2﹣(x﹣1)(其中常數(shù)a∈R).
(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，f(x)<0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
高二(上)期末數(shù)學(xué)試卷(文科)參考答案與試題解析
一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.對(duì)于常數(shù)m、n，“mn>0”是“方程mx2+ny2=1的曲線是橢圓”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷.
【分析】先根據(jù)mn>0看能否得出方程mx2+ny2=1的曲線是橢圓;這里可以利用舉出特值的方法來驗(yàn)證，再看方程mx2+ny2=1的曲線是橢圓，根據(jù)橢圓的方程的定義，可以得出mn>0，即可得到結(jié)論.
【解答】解：當(dāng)mn>0時(shí)，方程mx2+ny2=1的曲線不一定是橢圓，
例如：當(dāng)m=n=1時(shí)，方程mx2+ny2=1的曲線不是橢圓而是圓;或者是m，n都是負(fù)數(shù)，曲線表示的也不是橢圓;
故前者不是后者的充分條件;
當(dāng)方程mx2+ny2=1的曲線是橢圓時(shí)，應(yīng)有m，n都大于0，且兩個(gè)量不相等，得到mn>0;
由上可得：“mn>0”是“方程mx2+ny2=1的曲線是橢圓”的必要不充分條件.
故選B.
2.命題“所有能被2整除的數(shù)都是偶數(shù)”的否定是( )
A.所有不能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)
B.所有能被2整除的整數(shù)都不是偶數(shù)
C.存在一個(gè)不能被2整除的整數(shù)是偶數(shù)
D.存在一個(gè)能被2整除的整數(shù)不是偶數(shù)
【考點(diǎn)】命題的否定.
【分析】根據(jù)已知我們可得命題“所有能被2整除的數(shù)都是偶數(shù)”的否定應(yīng)該是一個(gè)特稱命題，根據(jù)全稱命題的否定方法，我們易得到結(jié)論.
【解答】解：命題“所有能被2整除的數(shù)都是偶數(shù)”是一個(gè)全稱命題
其否定一定是一個(gè)特稱命題，故排除A，B
結(jié)合全稱命題的否定方法，我們易得
命題“所有能被2整除的數(shù)都是偶數(shù)”的否定應(yīng)為
“存在一個(gè)能被2整除的整數(shù)不是偶數(shù)”
故選：D
3.已知橢圓 上的點(diǎn)P到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為7，則P到另一焦點(diǎn)的距離為( )
A.2 B.3 C.5 D.7
【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì).
【分析】由橢圓方程找出a的值，根據(jù)橢圓的定義可知橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為常數(shù)2a，把a(bǔ)的值代入即可求出常數(shù)的值得到P到兩焦點(diǎn)的距離之和，由P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為7，求出P到另一焦點(diǎn)的距離即可.
【解答】解：由橢圓 ，得a=5，
則2a=10，且點(diǎn)P到橢圓一焦點(diǎn)的距離為7，
由定義得點(diǎn)P到另一焦點(diǎn)的距離為2a﹣3=10﹣7=3.
故選B
4.在一次跳傘訓(xùn)練中，甲、乙兩位學(xué)員各跳一次，設(shè)命題p是“甲降落在指定范圍”，q是“乙降落在指定范圍”，則命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”可表示為( )
A.(￢p)∨(￢q) B.p∨(￢q) C.(￢p)∧(￢q) D.p∨q
【考點(diǎn)】四種命題間的逆否關(guān)系.
【分析】由命題P和命題q寫出對(duì)應(yīng)的￢p和￢q，則命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”即可得到表示.
【解答】解：命題p是“甲降落在指定范圍”，則￢p是“甲沒降落在指定范圍”，
q是“乙降落在指定范圍”，則￢q是“乙沒降落在指定范圍”，
命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”包括
“甲降落在指定范圍，乙沒降落在指定范圍”
或“甲沒降落在指定范圍，乙降落在指定范圍”
或“甲沒降落在指定范圍，乙沒降落在指定范圍”三種情況.
所以命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”可表示為(￢p)V(￢q).
故選A.
5.若雙曲線 的離心率為 ，則其漸近線的斜率為( )
A.±2 B. C. D.
【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì).
【分析】由雙曲線 的離心率為 ，可得 ，解得 即可.
【解答】解：∵雙曲線 的離心率為 ，∴ ，解得 .
∴其漸近線的斜率為 .
故選：B.
6.曲線 在點(diǎn)M( ，0)處的切線的斜率為( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.
【分析】先求出導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f(x)在x= 處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線的斜率.
【解答】解：∵
∴y'=
=
y'|x= = |x= =
故選B.
7.若橢圓 (a>b>0)的焦點(diǎn)與雙曲線 的焦點(diǎn)恰好是一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，則拋物線ay=bx2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為( )
A.( ，0) B.( ，0) C.(0， ) D.(0， )
【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì);橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì);拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì).
【分析】根據(jù)橢圓 (a>b>0)的焦點(diǎn)與雙曲線 的焦點(diǎn)恰好是一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，得到a，b的關(guān)系式;再將拋物線ay=bx2的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程后，根據(jù)拋物線的性質(zhì)，即可得到其焦點(diǎn)坐標(biāo).
【解答】解：∵橢圓 (a>b>0)的焦點(diǎn)與雙曲線 的焦點(diǎn)恰好是一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)
∴2a2﹣2b2=a2+b2，即a2=3b2， = .
拋物線ay=bx2的方程可化為：x2= y，即x2= y，
其焦點(diǎn)坐標(biāo)為：(0， ).
故選D.
8.設(shè)z1，z2是復(fù)數(shù)，則下列命題中的假命題是( )
A.若|z1|=|z2|，則
B.若 ，則
C.若|z1|=|z2|，則
D.若|z1﹣z2|=0，則
【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算;命題的真假判斷與應(yīng)用.
【分析】利用特例判斷A的正誤;復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算判斷B的正誤;復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則判斷C的正誤;利用復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算法則判斷D的正誤.
【解答】解：若|z1|=|z2|，例如|1|=|i|，顯然 不正確，A錯(cuò)誤.
B，C，D滿足復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，
故選：A.
9.已知命題“若函數(shù)f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是增函數(shù)，則m≤1”，則下列結(jié)論正確的是( )
A.否命題“若函數(shù)f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是減函數(shù)，則m>1”是真命題
B.逆命題“若m≤1，則函數(shù)f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是增函數(shù)”是假命題
C.逆否命題“若m>1，則函數(shù)f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是減函數(shù)”是真命題
D.逆否命題“若m>1，則函數(shù)f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上不是增函數(shù)”是真命題
【考點(diǎn)】四種命題間的逆否關(guān)系.
【分析】先利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)，確定原命題為真命題，從而逆否命題為真命題，即可得到結(jié)論.
【解答】解：∵f(x)=ex﹣mx，∴f′(x)=ex﹣m
∵函數(shù)f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是增函數(shù)
∴ex﹣m≥0在(0，+∞)上恒成立
∴m≤ex在(0，+∞)上恒成立
∴m≤1
∴命題“若函數(shù)f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是增函數(shù)，則m≤1”，是真命題，
∴逆否命題“若m>1，則函數(shù)f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上不是增函數(shù)”是真命題
∵m≤1時(shí)，f′(x)=ex﹣m≥0在(0，+∞)上不恒成立，即函數(shù)f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上不一定是增函數(shù)，∴逆命題“若m≤1，則函數(shù)f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是增函數(shù)”是真命題，即B不正確
故選D.
10.錢大姐常說“便宜沒好貨”，她這句話的意思是：“不便宜”是“好貨”的( )
A.充分條件 B.必要條件
C.充分必要條件 D.既非充分又非必要條件
【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷.
【分析】因?yàn)?ldquo;好貨不便宜”是“便宜沒好貨”的逆否命題，根據(jù)互為逆否命題的真假一致得到：“好貨不便宜”是真命題.再據(jù)命題的真假與條件的關(guān)系判定出“不便宜”是“好貨”的必要條件.
【解答】解：“好貨不便宜”是“便宜沒好貨”的逆否命題，
根據(jù)互為逆否命題的真假一致得到：“好貨不便宜”是真命題.
所以“好貨”⇒“不便宜”，
所以“不便宜”是“好貨”的必要條件，
故選B
11.設(shè)a>0，f(x)=ax2+bx+c，曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處切線的傾斜角的取值范圍為，則P到曲線y=f(x)對(duì)稱軸距離的取值范圍為( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】直線的圖象特征與傾斜角、斜率的關(guān)系.
【分析】先由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得到x0的范圍，再求出其到對(duì)稱軸的范圍.
【解答】解：∵過P(x0，f(x0))的切線的傾斜角的取值范圍是，
∴f′(x0)=2ax0+b∈，
∴P到曲線y=f(x)對(duì)稱軸x=﹣ 的距離d=x0﹣(﹣ )=x0+
∴x0∈[ ， ].∴d=x0+ ∈.
故選：B.
12.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，若f(x1)=x1
A.3 B.4 C.5 D.6
【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值;根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷.
【分析】由函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，可得f′(x)=3x2+2ax+b=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，必有△=4a2﹣12b>0.而方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的△1=△>0，可知此方程有兩解且f(x)=x1或x2.再分別討論利用平移變換即可解出方程f(x)=x1或f(x)=x2解得個(gè)數(shù).
【解答】解：∵函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，
∴f′(x)=3x2+2ax+b=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=4a2﹣12b>0.解得 = .
∵x1
∴ ， .
而方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的△1=△>0，
∴此方程有兩解且f(x)=x1或x2.
不妨取0
①把y=f(x)向下平移x1個(gè)單位即可得到y(tǒng)=f(x)﹣x1的圖象，
∵f(x1)=x1，可知方程f(x)=x1有兩解.
②把y=f(x)向下平移x2個(gè)單位即可得到y(tǒng)=f(x)﹣x2的圖象，∵f(x1)=x1，∴f(x1)﹣x2<0，可知方程f(x)=x2只有一解.
綜上①②可知：方程f(x)=x1或f(x)=x2.只有3個(gè)實(shí)數(shù)解.即關(guān)于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的只有3不同實(shí)根.
故選：A.
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13.設(shè)復(fù)數(shù) ，那么z• 等于 1 .
【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算.
【分析】直接利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的混合運(yùn)算化簡(jiǎn)求解即可.
【解答】解：復(fù)數(shù) ，那么z• = = =1.
故答案為：1.
14.f(x)=x3﹣3x2+2在區(qū)間上的最大值是 2 .
【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值.
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)為0，求出根，判斷根是否在定義域內(nèi)，判斷根左右兩邊的導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，求出最值.
【解答】解：f′(x)=3x2﹣6x=3x(x﹣2)
令f′(x)=0得x=0或x=2(舍)
當(dāng)﹣1
所以當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)取得極大值即最大值
所以f(x)的最大值為2
故答案為2
15.函數(shù)f(x)=lnx﹣f′(1)x2+5x﹣4，則f(1)= ﹣1 .
【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算.
【分析】先求出f′(1)的值，代入解析式計(jì)算即可.
【解答】解：∵f(x)=lnx﹣f′(1)x2+5x﹣4，
∴f′(x)= ﹣2f′(1)x+5，
∴f′(1)=6﹣2f′(1)，解得f′(1)=2.
∴f(x)=lnx﹣2x2+5x﹣4，∴f(1)=﹣1.
故答案為：﹣1.
16.過拋物線x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)F作傾斜角為45°的直線，與拋物線分別交于A、B兩點(diǎn)(A在y軸左側(cè))，則 = .
【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì).
【分析】點(diǎn)斜式設(shè)出直線l的方程，代入拋物線方程，求出A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，利用拋物線的定義得出 = ，即可得出結(jié)論.
【解答】解：設(shè)直線l的方程為：x=y﹣ ，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由x=y﹣ ，代入x2=2py，可得y2﹣3py+ p2=0，
∴y1= p，y2= p，
從而， = = .
故答案為： .
三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.已知z是復(fù)數(shù)，z+2i和 均為實(shí)數(shù)(i為虛數(shù)單位).
(Ⅰ)求復(fù)數(shù)z;
(Ⅱ)求 的模.
【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)求模;復(fù)數(shù)的基本概念.
【分析】(Ⅰ)設(shè)z=a+bi，分別代入z+2i和 ，化簡(jiǎn)后由虛部為0求得b，a的值，則復(fù)數(shù)z可求;
(Ⅱ)把z代入 ，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，代入模的公式得答案.
【解答】解：(Ⅰ)設(shè)z=a+bi，∴z+2i=a+(b+2)i，
由a+(b+2)i為實(shí)數(shù)，可得b=﹣2，
又∵ 為實(shí)數(shù)，∴a=4，
則z=4﹣2i;
(Ⅱ) ，
∴ 的模為 .
18.已知集合A={x|(ax﹣1)(ax+2)≤0}，集合B={x|﹣2≤x≤4}.若x∈B是x∈A的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷.
【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義，轉(zhuǎn)化為集合的關(guān)系進(jìn)行求解.
【解答】解：(1)a>0時(shí)， ，若x∈B是x∈A的充分不必要條件，
所以 ， ，檢驗(yàn) 符合題意;┅┅┅┅┅┅┅
(2)a=0時(shí)，A=R，符合題意;┅┅┅┅┅┅┅
(3)a<0時(shí)， ，若x∈B是x∈A的充分不必要條件，
所以 ， ，檢驗(yàn) 不符合題意.
綜上 .┅┅┅┅┅┅┅
19.設(shè)橢圓的方程為 ，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，點(diǎn)M在線段AB上且滿足|BM|=2|MA|，直線OM的斜率為 .
(Ⅰ)求橢圓的離心率;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)C為橢圓的下頂點(diǎn)，N為線段AC的中點(diǎn)，證明：MN⊥AB.
【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì).
【分析】(1)通過題意，利用 =2 ，可得點(diǎn)M坐標(biāo)，利用直線OM的斜率為 ，計(jì)算即得結(jié)論;
(2)通過中點(diǎn)坐標(biāo)公式解得點(diǎn)N坐標(biāo)，利用 ×( )=﹣1，即得結(jié)論.
【解答】(Ⅰ)解：設(shè)M(x，y)，已知A(a，0)，B(0，b)，由|BM|=2|MA|，
所以 =2 ，即(x﹣0，y﹣b)=2(a﹣x，0﹣y)，
解得x= a，y= b，即可得 ，┅┅┅┅┅┅┅
所以 ，所以橢圓離心率 ;┅┅┅┅┅┅┅
(Ⅱ)證明：因?yàn)镃(0，﹣b)，所以N ，MN斜率為 ，┅┅┅┅┅┅┅
又AB斜率為 ，所以 ×( )=﹣1，所以MN⊥AB.┅┅┅┅┅┅┅
20.設(shè)函數(shù) ，其中a為實(shí)數(shù).
(1)已知函數(shù)f(x)在x=1處取得極值，求a的值;
(2)已知不等式f′(x)>x2﹣x﹣a+1對(duì)任意a∈(0，+∞)都成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.
【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.
【分析】(1)求出f′(x)，因?yàn)楹瘮?shù)在x=1時(shí)取極值，得到f′(1)=0，代入求出a值即可;
(2)把f(x)的解析式代入到不等式中，化簡(jiǎn)得到 ，因?yàn)閍>0，不等式恒成立即要 ，求出x的解集即可.
【解答】解：(1)f′(x)=ax2﹣3x+(a+1)
由于函數(shù)f(x)在x=1時(shí)取得極值，
所以f′(1)=0
即a﹣3+a+1=0，∴a=1
(2)由題設(shè)知：ax2﹣3x+(a+1)>x2﹣x﹣a+1
對(duì)任意a∈(0，+∞)都成立
即a(x2+2)﹣x2﹣2x>0
對(duì)任意a∈(0，+∞)都成立
于是 對(duì)任意a∈(0，+∞)都成立，
即 ∴﹣2≤x≤0
于是x的取值范圍是{x|﹣2≤x≤0}.
21.已知橢圓C1： 的離心率為 ，且橢圓上點(diǎn)到橢圓C1左焦點(diǎn)距離的最小值為 ﹣1.
(1)求C1的方程;
(2)設(shè)直線l同時(shí)與橢圓C1和拋物線C2：y2=4x相切，求直線l的方程.
【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì).
【分析】(1)運(yùn)用橢圓的離心率和最小距離a﹣c，解方程可得a= ，c=1，再由a，b，c的關(guān)系，可得b，進(jìn)而得到橢圓方程;
(2)設(shè)出直線y=kx+m，聯(lián)立橢圓和拋物線方程，運(yùn)用判別式為0，解方程可得k，m，進(jìn)而得到所求直線的方程.
【解答】解：(1)由題意可得e= = ，
由橢圓的性質(zhì)可得，a﹣c= ﹣1，
解方程可得a= ，c=1，
則b= =1，
即有橢圓的方程為 +y2=1;
(2)直線l的斜率顯然存在，可設(shè)直線l：y=kx+m，
由 ，可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0，
由直線和橢圓相切，可得△=16k2m2﹣4(1+2k2)(2m2﹣2)=0，
即為m2=1+2k2，①
由 ，可得k2x2+(2km﹣4)x+m2=0，
由直線和拋物線相切，可得△=(2km﹣4)2﹣4k2m2=0，
即為km=1，②
由①②可得 或 ，
即有直線l的方程為y= x+ 或y=﹣ x﹣ .
22.已知函數(shù)f(x)=lnx﹣a(x﹣1)2﹣(x﹣1)(其中常數(shù)a∈R).
(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，f(x)<0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值.
【分析】(Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;
(Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)通過討論a的范圍，確定出滿足條件的a的范圍即可.
【解答】解：(Ⅰ)f(x)=lnx﹣a(x﹣1)2﹣(x﹣1)，(x>0)，
f′(x)=﹣ ，
①a<﹣ 時(shí)，0<﹣ <1，
令f′(x)<0，解得：x>1或0
∴f(x)在 遞減，在 遞增;
②﹣
∴f(x)在 遞減，在 遞增;
③ ，f′(x)=﹣ ≤0，f(x)在(0，1)，(1+∞)遞減;
④a≥0時(shí)，2ax+1>0，令f′(x)>0，解得：0
∴f(x)在(0，1)遞增，在(1，+∞)遞減;
(Ⅱ)函數(shù)恒過(1，0)，由(Ⅰ)得：a≥﹣ 時(shí)，符合題意，
a<﹣ 時(shí)，
f(x)在(0，﹣ )遞減，在 遞增，不合題意，
故a≥﹣ .
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