高二數學第一學期期末模擬試題
高二數學第一學期期末模擬試題
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高二數學第一學期期末模擬試題
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每個小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求的.
1.如果a>b>0，那么下列不等式成立的是( )
A.a2>ab B.ab D. >
2.“∀x∈R，x2﹣2>0”的否定是( )
A.∀x∈R，x2﹣2<0 B.∀x∈R，x2﹣2≤0
C.∃x0∈R，x ﹣2<0 D.∃x0∈R，x ﹣2≤0
3.在等差數列{an}中，a5=5，a10=15，則a15=( )
A.20 B.25 C.45 D.75
4.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，a=3，A=45°，B=60°，則b=( )
A. B. C. D.
5.函數y=lnx+x在點(1，1)處的切線方程是( )
A.2x﹣y﹣1=0 B.2x+y﹣1=0 C.x﹣2y+1=0 D.x+2y﹣1=0
6.“m>0”是“x2+x+m=0無實根”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
7.函數f(x)的定義域為R，其導函數f′(x)的圖象如圖，則f(x)的極值點有( )
A.3個 B.4個 C.5個 D.6個
8.已知數列{an}是遞增的等比數列，a1+a5=17，a2a4=16，則公比q=( )
A.﹣4 B.4 C.﹣2 D.2
9.經過點(3，﹣ )的雙曲線 ﹣ =1，其一條漸近線方程為y= x，該雙曲線的焦距為( )
A. B.2 C.2 D.4
10.若函數f(x)=x4﹣ax2﹣bx﹣1在x=1處有極值，則9a+3b的最小值為( )
A.4 B.9 C.18 D.81
11.在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，直線DC1與平面A1BD所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
12.設橢圓 + =1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，P是橢圓上一點，|PF1|=λ|PF2|( ≤λ≤2)，∠F1PF2= ，則橢圓離心率的取值范圍為( )
A.(0， ] B.[ ， ] C.[ ， ] D.[ ，1)
二、填空題：本大題共4個小題，每小題5分.、共20分.
13.已知 =(2，3，1)， =(x，y，2)，若 ∥ ，則x+y= .
14.若變量x，y滿足約束條件 ，則z=x﹣2y的最小值為 .
15.已知在觀測點P處測得在正東方向A處一輪船正在沿正北方向勻速航行，經過1小時后在觀測點P測得輪船位于北偏東60°方向B處，又經過t小時發現該輪船在北偏東45°方向C處，則t= .
16.對于正整數n，設曲線y=xn(2﹣x)在x=2處的切線與y軸交點的縱坐標為an，則數列{an}的前n項和為Sn= .
三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.已知等差數列{an}，公差為2，的前n項和為Sn，且a1，S2，S4成等比數列，
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)設bn= (n∈N*)，求數列{bn}的前n項和Tn.
18.△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c.已知(a+c)2﹣b2=3ac
(1)求角B;
(2)當b=6，sinC=2sinA時，求△ABC的面積.
19.已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F，C上一點(3，m)到焦點的距離為5.
(1)求C的方程;
(2)過F作直線l，交C于A、B兩點，若線段AB中點的縱坐標為﹣1，求直線l的方程.
20.如圖，在多面體ABCDE中，∠BAC=90°，AB=AC=2，CD=2AE=2，AE∥CD，且AE⊥底面ABC，F為BC的中點.
(Ⅰ)求證：AF⊥BD;
(Ⅱ)求二面角A﹣BE﹣D的余弦值.
21.已知函數f(x)=ax2+bx在x=1處取得極值2.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)若(m+3)x﹣x2ex+2x2≤f(x)對于任意的x∈(0，+∞)成立，求實數m的取值范圍.
22.曲線C上的動點M到定點F(1，0)的距離和它到定直線x=3的距離之比是1： .
(Ⅰ)求曲線C的方程;
(Ⅱ)過點F(1，0)的直線l與C交于A，B兩點，當△ABO面積為 時，求直線l的方程.
高二數學第一學期期末模擬試題參考答案與試題解析
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每個小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求的.
1.如果a>b>0，那么下列不等式成立的是( )
A.a2>ab B.ab D. >
【分析】利用不等式的基本性質即可判斷出結論.
【解答】解：∵a>b>0，
∴a2>ab，ab>b2， ，b2
故選：A.
【點評】本題考查了不等式的基本性質，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題.
2.“∀x∈R，x2﹣2>0”的否定是( )
A.∀x∈R，x2﹣2<0 B.∀x∈R，x2﹣2≤0
C.∃x0∈R，x ﹣2<0 D.∃x0∈R，x ﹣2≤0
【分析】根據全稱命題的否定是特稱命題進行判斷即可.
【解答】解：命題是全稱命題，則命題的否定是特稱命題，
即∃x0∈R，x ﹣2≤0，
故選：D.
【點評】本題主要考查含有量詞的命題的否定，比較基礎.
3.在等差數列{an}中，a5=5，a10=15，則a15=( )
A.20 B.25 C.45 D.75
【分析】利用等差數列的通項公式列出方程組，求出首項和公差，由此能求出數列的第15項.
【解答】解：∵在等差數列{an}中，a5=5，a10=15，
∴ ，
解得a1=﹣3，d=2，
∴a15=﹣3+14×2=25.
故選：B.
【點評】本題考查等差數列的第15項的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等差數列的性質的合理運用.
4.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，a=3，A=45°，B=60°，則b=( )
A. B. C. D.
【分析】由已知利用正弦定理即可求值得解.
【解答】解：∵a=3，A=45°，B=60°，
∴由正弦定理可得：b= = = .
故選：B.
【點評】本題主要考查了正弦定理在解三角形中的應用，屬于基礎題.
5.函數y=lnx+x在點(1，1)處的切線方程是( )
A.2x﹣y﹣1=0 B.2x+y﹣1=0 C.x﹣2y+1=0 D.x+2y﹣1=0
【分析】求函數的導數，利用導數的幾何意義進行求解即可.
【解答】解：函數的導數為f′(x)= +1，
則f′(1)=1+1=2，
即切線斜率k=2，
則函數y=lnx+x在點(1，1)處的切線方程是y﹣1=2(x﹣1)，
即2x﹣y﹣1=0，
故選：A.
【點評】本題主要考查函數的切線的求解，求函數的導數，利用導數的幾何意義求出切線斜率是解決本題的關鍵.
6.“m>0”是“x2+x+m=0無實根”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
【分析】x2+x+m=0無實根⇔△<0，即可判斷出結論.
【解答】解：x2+x+m=0無實根⇔△=1﹣4m<0，⇔m .
∴“m>0”是“x2+x+m=0無實根”的必要不充分條件，
故選：B.
【點評】本題考查了一元二次方程的實數根與判別式的關系、不等式的解法、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.
7.函數f(x)的定義域為R，其導函數f′(x)的圖象如圖，則f(x)的極值點有( )
A.3個 B.4個 C.5個 D.6個
【分析】結合圖象，根據導數大于零，即導函數的圖象在x軸上方，說明原函數在該區間上是單調遞增，否則為減函數，極大值點兩側導數的符號，從左往右，符號相反，因此根據圖象即可求得極值點的個數，
【解答】解：結合函數圖象，根據極值的定義可知在該點處從左向右導數符號相反，
從圖象上可看出符合條件的有3點，
故選：A.
【點評】本題主要考查函數在某點取得極值的條件，以及學生的識圖能力.屬于基礎題.
8.已知數列{an}是遞增的等比數列，a1+a5=17，a2a4=16，則公比q=( )
A.﹣4 B.4 C.﹣2 D.2
【分析】設等比數列{an}是公比為q的遞增的等比數列，運用等比數列的性質，求得a1=1，a5=16，再由等比數列的通項公式求得公比即可.
【解答】解：設等比數列{an}是公比為q的遞增的等比數列，
由a2a4=16，可得a1a5=16，
又a1+a5=17，解得 或 (不合題意，舍去)，
即有q4=16，解得q=2(負的舍去).
故選：D.
【點評】本題考查等比數列的通項公式的運用，是基礎題.
9.經過點(3，﹣ )的雙曲線 ﹣ =1，其一條漸近線方程為y= x，該雙曲線的焦距為( )
A. B.2 C.2 D.4
【分析】將點(3，﹣ )代入雙曲線的方程，由漸近線方程可得 = ，解得a，b，可得c=2，進而得到焦距2c=4.
【解答】解：點(3，﹣ )在雙曲線 ﹣ =1上，可得
﹣ =1，
又漸近線方程為y=± x，一條漸近線方程為y= x，
可得 = ，
解得a= ，b=1，
可得c= =2，
即有焦距為2c=4.
故選：D.
【點評】本題考查雙曲線的焦距的求法，注意運用點滿足雙曲線的方程和漸近線方程的運用，考查運算能力，屬于基礎題.
10.若函數f(x)=x4﹣ax2﹣bx﹣1在x=1處有極值，則9a+3b的最小值為( )
A.4 B.9 C.18 D.81
【分析】求出函數的導數，得到2a+b=4，根據基本不等式的性質求出代數式的最小值即可.
【解答】解：f′(x)=4x3﹣2ax﹣b，
若f(x)在x=1處有極值，
則f′(x)=4﹣2a﹣b=0，
∴2a+b=4，
∴9a+3b=32a+3b≥2 =18，
當且僅當9a=3b時“=”成立，
故選：C.
【點評】本題考查了導數的應用，考查基本不等式的性質，是一道基礎題.
11.在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，直線DC1與平面A1BD所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
【分析】以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線DC1與平面A1BD所成角的余弦值.
【解答】解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，
設正方體ABCD﹣A1B1C1D1中棱長為1，
則D(0，0，0)，C1(0，1，1)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，
=(0，1，1)， =(1，0，1)， =(1，1，0)，
設平面A1BD的法向量 =(x，y，z)，
則 ，取x=1，得 =(1，﹣1，﹣1)，
設直線DC1與平面A1BD所成角為θ，
則sinθ= = = ，
∴cosθ= = .
∴直線DC1與平面A1BD所成角的余弦值為 .
故選：C.
【點評】本題考查直線與平面所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用.
12.設橢圓 + =1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，P是橢圓上一點，|PF1|=λ|PF2|( ≤λ≤2)，∠F1PF2= ，則橢圓離心率的取值范圍為( )
A.(0， ] B.[ ， ] C.[ ， ] D.[ ，1)
【分析】設F1(﹣c，0)，F2(c，0)，運用橢圓的定義和勾股定理，求得e2= ，令m=λ+1，可得λ=m﹣1，即有 = =2( ﹣ )2+ ，運用二次函數的最值的求法，解不等式可得所求范圍.
【解答】解：設F1(﹣c，0)，F2(c，0)，由橢圓的定義可得，|PF1|+|PF2|=2a，
可設|PF2|=t，可得|PF1|=λt，
即有(λ+1)t=2a①
由∠F1PF2= ，可得|PF1|2+|PF2|2=4c2，
即為(λ2+1)t2=4c2，②
由②÷①2，可得e2= ，
令m=λ+1，可得λ=m﹣1，
即有 = =2( ﹣ )2+ ，
由 ≤λ≤2，可得 ≤m≤3，即 ≤ ≤ ，
則m=2時，取得最小值 ;m= 或3時，取得最大值 .
即有 ≤e2≤ ，解得 ≤e≤ .
故選：B.
【點評】本題考查橢圓的定義、方程和性質，主要考查離心率的范圍，同時考查不等式的解法，屬于中檔題.
二、填空題：本大題共4個小題，每小題5分.、共20分.
13.已知 =(2，3，1)， =(x，y，2)，若 ∥ ，則x+y= 10 .
【分析】根據向量的共線定理，列出方程組求出x、y的值，再計算x+y的值.
【解答】解：∵ =(2，3，1)， =(x，y，2)，且 ∥ ，
∴ = = ，
解得x=4，y=6;
∴x+y=10.
故答案為：10.
【點評】本題考查了空間向量的坐標運算與共線定理的應用問題，是基礎題.
14.若變量x，y滿足約束條件 ，則z=x﹣2y的最小值為 ﹣2 .
【分析】作出可行域，變形目標函數，平移直線y= x可得結論.
【解答】解：作出約束條件 所對應的可行域(如圖△ABC)，
變形目標函數可得y= x﹣ z，平移直線y= x可知，
當直線經過點A( ， )時，直線的截距最大，z取最小值﹣2，
故答案為：﹣2.
【點評】本題考查簡單線性規劃，準確作圖是解決問題的關鍵，屬中檔題.
15.已知在觀測點P處測得在正東方向A處一輪船正在沿正北方向勻速航行，經過1小時后在觀測點P測得輪船位于北偏東60°方向B處，又經過t小時發現該輪船在北偏東45°方向C處，則t= .
【分析】設輪船的速度為v，求出BC，即可得出結論.
【解答】解：設輪船的速度為v，則AB=v，PA=AC= v，
∴BC=( ﹣1)v，
∴t= = .
故答案為： .
【點評】本題考查利用數學知識解決實際問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于基礎題.
16.對于正整數n，設曲線y=xn(2﹣x)在x=2處的切線與y軸交點的縱坐標為an，則數列{an}的前n項和為Sn= 2n+2﹣4 .
【分析】利用導數的幾何意義求出切線方程為y=﹣2n(x﹣2)，從而得到an=2n+1，利用等比數列的求和公式能求出Sn.
【解答】解：∵y=xn(2﹣x)，∴y'=2nxn﹣1﹣(n+1)xn，
∴曲線y=xn(2﹣x)在x=2處的切線的斜率為k=n2n﹣(n+1)2n=﹣2n，
切點為(2，0)，
∴切線方程為y=﹣2n(x﹣2)，
令x=0得an=2n+1，
∴Sn= =2n+2﹣4，
故答案為：2n+2﹣4.
【點評】考查學生利用導數研究曲線上某點切線方程的能力，以及利用等比數列的求和公式進行數列求和的能力.
三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.已知等差數列{an}，公差為2，的前n項和為Sn，且a1，S2，S4成等比數列，
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)設bn= (n∈N*)，求數列{bn}的前n項和Tn.
【分析】(1))由a1，S2，S4成等比數列得 .化簡解得a1，再利用等差數列的通項公式即可得出;
(2)利用“裂項求和”即可得出.
【解答】解：(1))由a1，S2，S4成等比數列得 .
化簡得 ，又d=2，解得a1=1，
故數列{an}的通項公式 …
(2)∵ ∴由(1)得 ，
∴ = ….
【點評】本題考查了等差數列的通項公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.
18.△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c.已知(a+c)2﹣b2=3ac
(1)求角B;
(2)當b=6，sinC=2sinA時，求△ABC的面積.
【分析】(1)由余弦定理變形已知式子可得cosB的值，可得B值;
(2)由題意和正弦定理可得c=2a，代入b2=a2﹣ac+c2可得a和c的值，可得三角形為直角三角形，由面積公式可得.
【解答】解：(1)∵(a+c)2﹣b2=3ac，∴b2=a2﹣ac+c2，
∴ac=a2+c2﹣b2，∴
∵B∈(0，π)，∴ ;
(2)∵sinC=2sinA，∴由正弦定理可得c=2a，
代入b2=a2﹣ac+c2可得36=a2+4a2﹣2a2，
解得 ， ，滿足a2+b2=c2，
∴△ABC為直角三角形，
∴△ABC的面積S= ×2 ×6=6 .
【點評】本題考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的面積公式，屬基礎題.
19.已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F，C上一點(3，m)到焦點的距離為5.
(1)求C的方程;
(2)過F作直線l，交C于A、B兩點，若線段AB中點的縱坐標為﹣1，求直線l的方程.
【分析】(1)利用拋物線的定義，求出p，即可求C的方程;
(2)利用點差法求出直線l的斜率，即可求直線l的方程.
【解答】解：(1)拋物線C：y2=2px(p>0)的準線方程為 ，
由拋物線的定義可知
解得p=4
∴C的方程為y2=8x.
(2)由(1)得拋物線C的方程為y2=8x，焦點F(2，0)
設A，B兩點的坐標分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則
兩式相減.整理得
∵線段AB中點的縱坐標為﹣1
∴直線l的斜率
直線l的方程為y﹣0=﹣4(x﹣2)即4x+y﹣8=0
【點評】本題考查拋物線的定義與方程，考查點差法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題.
20.如圖，在多面體ABCDE中，∠BAC=90°，AB=AC=2，CD=2AE=2，AE∥CD，且AE⊥底面ABC，F為BC的中點.
(Ⅰ)求證：AF⊥BD;
(Ⅱ)求二面角A﹣BE﹣D的余弦值.
【分析】(1)推導出AF⊥BC，從而AF⊥DC，進而AF⊥面BCD，由此能證明AF⊥BD.
(2)以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AE為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A﹣BE﹣D的余弦值.
【解答】證明：(1)∵AB=AC，F為BC的中點，
∴AF⊥BC，又AE∥CD，且AE⊥底面ABC，AF⊂底面ABC，
∴AF⊥DC，又BC∩DC=C，且BC、DC⊂面BCD，
∴AF⊥面BCD，又BD⊂面BCD，∴AF⊥BD.…
解：(2)以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AE為z軸，建立空間直角坐標系如圖，
∴B(2，0，0)，D(0，2，2)，E(0，0，1)，
， ，
設面BED的一個法向量為 ，
則 ，令z=2得x=1，y=﹣1，∴ ，
又面ABE的一個法向量為 ，
∴ ，
∵二面角A﹣BE﹣D的平面角是銳角，
∴二面角A﹣BE﹣D的余弦值為 .…
【點評】本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用.
21.已知函數f(x)=ax2+bx在x=1處取得極值2.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)若(m+3)x﹣x2ex+2x2≤f(x)對于任意的x∈(0，+∞)成立，求實數m的取值范圍.
【分析】(Ⅰ)根據極值的定義得到關于a，b的方程組，求出a，b的值，從而求出f(x)的表達式;
(Ⅱ)問題等價于m≤xex﹣x2﹣2x于任意的x∈(0，+∞)成立，設h(x)=xex﹣x2﹣2x，根據函數的單調性求出m的范圍即可.
【解答】解：(Ⅰ)∵函數f(x)=ax3+bx在x=1處取得極值2，
∴ ，解得 ，
∴f(x)=﹣x3+3x…
(Ⅱ)∵(m+3)x﹣x2ex+2x2≤f(x)對于任意的x∈(0，+∞)成立，
∴(m+3)x﹣x2ex+2x2≤﹣x3+3x
⇔m≤xex﹣x2﹣2x于任意的x∈(0，+∞)成立
設h(x)=xex﹣x2﹣2x，
則h′(x)=ex+xex﹣2x﹣2=(x+1)(ex﹣2)，
令h′(x)=0解得x=ln2，
且當0
當x>ln2時，h′(x)>0，
∴h(x)=xex﹣x2﹣2x在(0，ln2)上單調遞減，在(ln2，+∞)上單調遞增，
∴ ，
∴m≤﹣(ln2)2.
【點評】本題考查了函數的單調性、極值、最值問題，考查導數的應用以及函數恒成立問題，是一道中檔題.
22.曲線C上的動點M到定點F(1，0)的距離和它到定直線x=3的距離之比是1： .
(Ⅰ)求曲線C的方程;
(Ⅱ)過點F(1，0)的直線l與C交于A，B兩點，當△ABO面積為 時，求直線l的方程.
【分析】(Ⅰ)設M(x，y)，運用兩點的距離公式和點到直線的距離公式，化簡整理即可得到所求方程;
(Ⅱ)當l斜率不存在時，l方程為x=1，求得A，B的坐標，以及△ABO的面積;由直線l斜率存在，設l方程為y=k(x﹣1)，代入橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，以及點到直線的距離公式，解方程可得斜率k，進而得到所求直線的方程.
【解答】解：(Ⅰ)設M(x，y)
由題意可得， ，
整理得 ，
則曲線C的方程為 ;
(Ⅱ)當l斜率不存在時，l方程為x=1，
此時l與C的交點分別為 ， ，
即有 ，
則 ，
由直線l斜率存在，設l方程為y=k(x﹣1)，
由 ，
得 ， ，
∴ .
設O到l的距離為d，則 ，
∴ ，
解得k=±1.
綜上所述，當△ABO面積為 時，l的方程為y=x﹣1或y=﹣x+1.
【點評】本題考查軌跡方程的求法，注意運用坐標法，考查直線方程和橢圓方程聯立，運用韋達定理和弦長公式，考查運算能力，屬于中檔題.
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