數(shù)學(xué)高二函數(shù)的奇偶性知識點(diǎn)

數(shù)學(xué)高二函數(shù)的奇偶性知識點(diǎn)

　　函數(shù)奇偶性是數(shù)學(xué)學(xué)科知識之一，同學(xué)們在考試過程中也會常常碰到相關(guān)的題目，下面是學(xué)習(xí)啦小編給大家?guī)淼臄?shù)學(xué)高二函數(shù)的奇偶性知識點(diǎn)，希望對你有幫助。

　　函數(shù)的奇偶性基礎(chǔ)定義

　　一般地，對于函數(shù)f(x)

　?、湃绻麑τ诤瘮?shù)f(x)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(x)=f(-x)或f(x)/f(-x)=1那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)。關(guān)于y軸對稱，f(-x)=f(x)。

　?、迫绻麑τ诤瘮?shù)f(x)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(-x)=-f(x)或f(x)/f(-x)=-1，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)。關(guān)于原點(diǎn)對稱，-f(x)=f(-x)。

　?、侨绻麑τ诤瘮?shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(x)=f(-x)和f(-x)=-f(x)，(x∈R，且R關(guān)于原點(diǎn)對稱。)那么函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，稱為既奇又偶函數(shù)。

　　⑷如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的存在一個(gè)a，使得f(a)≠f(-a)，存在一個(gè)b，使得f(-b)≠-f(b)，那么函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，稱為非奇非偶函數(shù)。

　　定義域互為相反數(shù)，定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對稱

　　特殊的，f(x)=0既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)。

　　說明：①奇、偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)，對整個(gè)定義域而言。

　?、谄妗⑴己瘮?shù)的定義域一定關(guān)于原點(diǎn)對稱，如果一個(gè)函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，則這個(gè)函數(shù)一定不具有奇偶性。

　　(分析：判斷函數(shù)的奇偶性，首先是檢驗(yàn)其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，然后再嚴(yán)格按照奇、偶性的定義經(jīng)過化簡、整理、再與f(x)比較得出結(jié)論)

　?、叟袛嗷蜃C明函數(shù)是否具有奇偶性的根據(jù)是定義。

　?、苋绻粋€(gè)奇函數(shù)f(x)在x=0處有意義，則這個(gè)函數(shù)在x=0處的函數(shù)值一定為0。并且關(guān)于原點(diǎn)對稱。

　?、萑绻瘮?shù)定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱或不符合奇函數(shù)、偶函數(shù)的條件則叫做非奇非偶函數(shù)。例如f(x)=x³【-∞，-2】或【0，+∞】(定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱)

　?、奕绻瘮?shù)既符合奇函數(shù)又符合偶函數(shù)，則叫做既奇又偶函數(shù)。例如f(x)=0

　　注：任意常函數(shù)(定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱)均為偶函數(shù)，只有f(x)=0是既奇又偶函數(shù)

　　函數(shù)的奇偶性證明方法

　?、哦x法：函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，對應(yīng)法則是否相同

　　⑵圖像法：f(x)為奇函數(shù)<=>f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)(x,y)→(-x,-y)f(x)為偶函數(shù)<=>f(x)的圖像關(guān)于Y軸對稱點(diǎn)(x,y)→(-x,y)

　?、翘刂捣ǎ焊鶕?jù)函數(shù)奇偶性定義，在定義域內(nèi)取特殊值自變量，計(jì)算后根據(jù)因變量的關(guān)系判斷函數(shù)奇偶性。

　?、刃再|(zhì)法：利用一些已知函數(shù)的奇偶性及以下準(zhǔn)則(前提條件為兩個(gè)函數(shù)的定義域交集不為空集)：兩個(gè)奇函數(shù)的代數(shù)和(差)是奇函數(shù);兩個(gè)偶函數(shù)的和(差)是偶函數(shù);奇函數(shù)與偶函數(shù)的和(差)既非奇函數(shù)也非偶函數(shù);兩個(gè)奇函數(shù)的積(商)為偶函數(shù);兩個(gè)偶函數(shù)的積(商)為偶函數(shù);奇函數(shù)與偶函數(shù)的積(商)是奇函數(shù)。

　　函數(shù)的奇偶性相關(guān)性質(zhì)

　　1、大部分偶函數(shù)沒有反函數(shù)(因?yàn)榇蟛糠峙己瘮?shù)在整個(gè)定義域內(nèi)非單調(diào)函數(shù))，一個(gè)函數(shù)與它的反函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上單調(diào)性一致。

　　2、偶函數(shù)在定義域內(nèi)關(guān)于y軸對稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相反，奇函數(shù)在定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相同。

　　3、奇±奇=奇偶±偶=偶奇X奇=偶偶X偶=偶奇X偶=奇(兩函數(shù)定義域要關(guān)于原點(diǎn)對稱)。

　　4、對于F(x)=f[g(x)]：若g(x)是偶函數(shù)且f(x)是偶函數(shù)，則F[x]是偶函數(shù)。

　　若g(x)奇函數(shù)且f(x)是奇函數(shù)，則F(x)是奇函數(shù)。

　　若g(x)奇函數(shù)且f(x)是偶函數(shù)，則F(x)是偶函數(shù)。

　　5、奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對稱。