高中數學必修五不等式與不等式組知識點
高中數學必修五不等式與不等式組知識點
高中數學不等式是學習的重要內容，那么相關知識點有哪些呢?下面是學習啦小編給大家帶來的高中數學必修五不等式與不等式組知識點，希望對你有幫助。
高中數學必修五不等式與不等式組知識點(一)
1.一元一次不等式的解法
任何一個一元一次不等式經過變形后都可以化為ax>b或axb而言，當a>0時，其解集為(ab，+∞)，當a<0時，其解集為(-∞，ba)，當a=0時，b<0時，期解集為R，當a=0，b≥0時，其解集為空集。
例1：解關于x的不等式ax-2>b+2x
解：原不等式化為(a-2)x>b+2
①當a>2時，其解集為(b+2a-2，+∞)
②當a<2時，其解集為(-∞，b+2a-2)
③當a=2，b≥-2時，其解集為φ
④當a=2且b<-2時，其解集為R.
2.一元二次不等式的解法
任何一個一元二次不等式都可化為ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a>0)的形式，然后用判別式法來判斷解集的各種情形(空集，全體實數，部分實數)，如果是空集或實數集，那么不等式已經解出，如果是部分實數，則根據“大于號取兩根之外，小于號取兩根中間”分別寫出解集就可以了。
例2：解不等式ax2+4x+4>0(a>0)
解：△=16-16a
①當a>1時，△<0，其解集為R
②當a=1時，△=0，則x≠-2，故其解集(-∞，-2)∪(-2，+∞)
③當a<1時，△>0，其解集(-∞，-2-21-aa)∪(-2+21-aa，+∞)
3.不等式組的解法
將不等式中每個不等式求得解集，然后求交集即可.
例3：解不等式組m2+4m-5>0(1)
m 2+4m-12<0(2)
解：由①得m<-5或m>1
由②得-6，故原不等式組的解集為(-6，-5)∪(1，2)
高中數學必修五不等式與不等式組知識點(二)
分式不等式的解法
任何一個分式不等都可化為f(x)g(x)>0(≥0)或f(x)g(x)<0(≤0)的形式，然后討論分子分母的符號，得兩個不等式組，求得這兩個不等式組的解集的并集便是原不等式的解集.
例4：解不等式x2-x-6-x2-1>2
解：原不等式化為：3x2-x-4-x2-1>0
它等價于(I)3x2-x-4>0-x2-1>0和(II)3x2-x-4<0-x2-1<0
解(I)得解集空集，解(II)得解集(-1，43).
故原不等式的解集為(-1，43).
含有絕對值不等式的解法
去絕對值號的主要依據是：根據絕對值的定義或性質，先將含有絕對值的不等式中的絕對值號去掉，化為不含絕對值的不等式，然后求出其解集即可。
(1)|x|>a(a>0)?x>a或x<-a.
(2)|x|0)?-a解：原不等式等價于3xx2-4≥1，①或3xx2-4≤-1②
解①得2 解②得-4≤x<-2或1≤x<2
故原不等式的解集為[-4，-2)∪(-2，-1]∪[1，2)∪(2，4].
例6：解不等式|x2-3x+2|>x2-1
解：原不等式等價于x2-3x+2>x2-1①或x2-3x+2<-x2+1②
解①得{x|x<1}，解②得{x|12g(x)和|f(x)|a和|x| 例7：解不等式|x+1|+|x|<2
解：①當x≤-1時，原不等式變為-x-1-x<2 ∴-32 ②當-1 ∴-1 ③當x>0時，原不等式變為x+1+x<2.
∴解得0 綜合①，②，③知，原不等式的解集為{x|-32 例8：解不等式|x2-3x+2|+|x2-4x+3|>2
解：①當x≤1時，原不等式變為x2-3x+2+x2-4x+3>2，此時解集為{x|x<12}.
②當12，此時解集為空集。
③當22，此時的解集是空集。
④當x>3時，原不等式化為x2-3x+2+x2-4x+3>2，此時的解集為{x|x>3}.
綜合①②③④可知原不等式的解集為{x|x≤12}∪{x|x>3}.從以上兩個例子可以看出，解含有兩個或兩個以上的絕對值的不等式，一般是先找出一些關鍵數(如例7的關鍵數是-1，0;例8中的關鍵數是1，2，3)這些關鍵數將實數劃分為幾個區間，在這些區間上，可以根據絕對值的意義去掉絕對值號，從而轉化為不含絕對值的不等式，應當注意的是，在解這些不等式時，應該求出交集，最后綜合各區間的解集寫出答案。
無理不等式的解法
無理不等式f(x)>g(x)的解集為不等式組(I)f(x)≥[g(x)] 2f(x)≥0g(x)≥0和(II)f(x)≥0g(x)<0的解集的并集.
無理不等式f(x)0)的解集為不等式組f(x)≥0f(x)<[g(x)] 2g(x)>0的解集.
例9：解不等式：2x+5-x-1>0
解：原不等式化為：2x+5>x+1 由此得不等式組(I)2x+5≥0x+1<0或(II)2x+5≥0x+1≥02x+5>(x+1)2
解(I)得-52≤x<-1，解(II)得-1≤x<2
故原不等式的解集為[-52，2].
指數不等式的解法
根據指數函數的單調性來解不等式。
例10.解不等式：9x>(3)x+2
解：原不等式化為 3 2x>3x+22
∴2x>x+22即x>23
故原不等式解集為(23 ，+∞).
高中數學必修五不等式與不等式組知識點(三)
對數不等式的解法
根據對數函數的單調性來解不等式。
例11：解不等式：log12(x+1)(2-x)>0
解：原不等式化為log12(x+1)(2-x)>log121
∴ (x+1)(2-x)>0 (1)(x+1)(2-x)<1 (2)
解①得-1 解②得x<1-52 或x>1+52
故原不等式解集(-1，1-52)∪(1+52，2).
簡單高次不等式的解法
簡單高次不等式可以利用數軸標根法來解不等式.
例12：解不等式(x+1)(x 2-5x+4)<0
解：原不等式化為：(x+1)(x-1)(x-4)<0
如圖，由數軸標根法可得原不等式解集為(-∞，-1)∪(1，4)
三角不等式的解法
根據三角函數的單調性，先求出在同一周期內的解集，然后寫出通值。
例13：解不等式：sinx≤-12
解：sinx≤-12在[0，2π]內的解是：76 π≤x≤116π
故原不等式的解集為[2kπ+76 ，2kπ+116 ](k∈z)。
含有字母系數不等式的解法
在解不等式過程中，還常常遇到含有字母系數的一些不等式，此時，一定要注意字母系數進行討論，以保證解題的完備性。
例14：解不等式2 3x-2x 解：原不等式變形為2 2x(2 2x-1) ∴(2 2x-1) (2 2x-a)<0
∴原不等式等價于2 2x-1>02 2x-a<0 或2 2x-1<02 2x-a>0
①當a≤0時，x<0;
②當0 ③當a=1時，無解
④當a>1時，0 解不等式的基礎是解一元一次不等式，解一元二次不等式，解由一元一次不等式和一元二次不等式組成的不等式組。解其它各式各樣的不等式(三角不等式除外)關鍵在于根據有關的定義，定理，性質轉化這些不等式為上述三類不等式。在具體轉化的過程中，特別應該注意每一步都應是同解變形。像無理不等式中的開偶次方時的被開方數及對數不等式中的真數等，在去根號和去對數符號時，一定要使被開方數非負，真數大于零。
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