高中數學不等式的恒成立問題

高中數學不等式的恒成立問題

　　不等式恒成立的問題既含參數又含變量，往往與函數、數列、方程、幾何有機結合起來，具有形式靈活、思維性強、不同知識交匯等特點. 考題通常有兩種設計方式：一是證明某個不等式恒成立，二是已知某個不等式恒成立，求其中的參數的取值范圍.解決這類問題的方法關鍵是轉化化歸，通過等價轉化可以把問題順利解決，下面我就結合自己記得教學經驗談談不等式的恒成立問題的處理方法。

　　一、構造函數法

　　在解決不等式恒成立問題時，一種最重要的思想方法就是構造適當的函數，即構造函數法，然后利用相關函數的圖象和性質解決問題，同時注意在一個含多個變量的數學問題中，需要確定合適的變量和參數，從而揭示函數關系，使問題更加面目更加清晰明了，一般來說，已知存在范圍的量視為變量，而待求范圍的量視為參數.例如;

　　例1 已知不等式對任意的都成立，求的取值范圍.

　　解：由移項得:.不等式左側與二次函數非常相似，于是我們可以設則不等式對滿足的一切實數恒成立對恒成立.當時，即

　　解得故的取值范圍是.

　　評注：此類問題常因思維定勢，學生易把它看成關于的不等式討論，從而因計算繁瑣出錯或者中途夭折;若轉換一下思路，把待求的x為參數，以為變量，令則問題轉化為求一次函數(或常數函數)的值在內恒為負的問題，再來求解參數應滿足的條件這樣問題就輕而易舉的得到解決了。

　　二、分離參數法

　　在不等式中求含參數范圍過程中，當不等式中的參數(或關于參數的代數式)能夠與其它變量完全分離出來并，且分離后不等式其中一邊的函數(或代數式)的最值或范圍可求時，常用分離參數法.

　　例2 已知函數(為常數)是實數集上的奇函數，函數在區間上是減函數. (Ⅰ)若對(Ⅰ)中的任意實數都有在上恒成立，求實數的取值范圍. 解析：由題意知，函數在區間上是減函數. 在上恒成立

　　注：此類問題可把要求的參變量分離出來，單獨放在不等式的一側，將另一側看成新函數，于是將問題轉化成新函數的最值問題：若對于取值范圍內的任一個數都有恒成立，則;若對于取值范圍內的任一個數都有恒成立，則. 三、數形結合法

　　如果不等式中涉及的函數、代數式對應的圖象、圖形較易畫出時，可通過圖象、圖形的位置關系建立不等式求得參數范圍.

　　例3 已知函數若不等式恒成立，則實數的取值范圍是 .

　　解：在同一個平面直角坐標系中分別作出函數及的圖象，由于不等式恒成立，所以函數的圖象應總在函數的圖象下方，因此，當時，所以故的取值范圍是

　　注：解決不等式問題經常要結合函數的圖象，根據不等式中量的特點，選擇適當的兩個函數，利用函數圖像的上、下位置關系來確定參數的范圍.利用數形結合解決不等式問題關鍵是構造函數，準確做出函數的圖象.如：不等式，在時恒成立，求的取值范圍.此不等式為超越不等式，求解時一般使用數形結合法，設然后在同一坐標系下準確做出這兩個函數的圖象，借助圖象觀察便可求解. 四、最值法

　　當不等式一邊的函數(或代數式)的最值較易求出時，可直接求出這個最值(最值可能含有參數)，然后建立關于參數的不等式求解. 例4 已知函數

　　(Ⅰ)當時，求的單調區間;

　　(Ⅱ)若時，不等式恒成立，求實數的取值范圍. 解(Ⅱ)當時，不等式即恒成立.由于，，亦即，所以.令，則，由得.且當時，;當時，，即在上單調遞增，在上單調遞減，所以在處取得極大值，也就是函數在定義域上的最大值.因此要使恒成立，需要，所以的取值范圍為.

　　例5 對于任意實數x，不等式│x+1│+│x-2│>a恒成立，求實數a的取值范圍分析①：把左邊看作x的函數關系，就可利用函數最值求解. 解法1：設f(x)=│x+1│+│x-2│ =-2x+1,(x≤1)3，(-12) ∴f(x)min=3. ∴a<3.

　　分析②：利用絕對值不等式│a│-│b│<│a±b│<│a│+│b│求解f(x)=│x+1│+│x-2│的最小值.

　　解法2：設f(x)=│x+1│+│x-2│， ∵│x+1│+│x-2│≥│(x+1)-(x-2)│=3， ∴f(x)min=3. ∴a<3.

　　分析③：利用絕對值的幾何意義求解.

　　解法3：設x、-1、2在數軸上的對應點分別是P、A、B，則│x+1│+│x-2│=│PA│+│PB│，當點P在線段AB上時，│PA│+│PB│=│AB│=3，當點P不在線段AB上時，│PA│+│PB│>3，因此不論點P在何處，總有│PA│+│PB│≥3，而當a<3時，│PA│+│PB│>a恒成立，即對任意實數x，不等式│x+1│+│x-2│>a恒成立.∴實數a的取值范圍為(-∞，3).

　　點評：求"恒成立問題"中參數范圍，利用函數最值方便自然，利用二次不等式恒為正(負)的充要條件要分情況討論，利用圖象法直觀形象. 從圖象上直觀得到0