數學導數公式證明大全(2)

數學導數公式證明大全

　　=lim (sec(x+Δx)-secx)/Δx

　　=lim (1/cos(x+Δx)-1/cosx)/Δx

　　=lim (cosx-cos(x+Δx)/(ΔxcosxcosΔx)

　　=lim (cosx-cosxcosΔx+sinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx))

　　=lim sinxsinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))

　　=sinx/(cosx)^2=tanx*secx

　　(9)f(x)=cscx

　　f'(x)

　　=lim (csc(x+Δx)-cscx)/Δx

　　=lim (1/sin(x+Δx)-1/sinx)/Δx

　　=lim (sinx-sin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx))

　　=lim (sinx-sinxcosΔx-sinΔxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx))

　　=lim -sinΔxcosx/(Δxsinxsin(x+Δx))

　　=-cosx/(sinx)^2=-cotx*cscx

　　(10)f(x)=x^x

　　lnf(x)=xlnx

　　(lnf(x))'=(xlnx)'

　　f'(x)/f(x)=lnx+1

　　f'(x)=(lnx+1)*f(x)

　　f'(x)=(lnx+1)*x^x

　　(12)h(x)=f(x)g(x)

　　h'(x)

　　=lim (f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x)g(x))/Δx

　　=lim [(f(x+Δx)-f(x)+f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x)-g(x+Δx))*f(x)]/Δx

　　=lim [(f(x+Δx)-f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x))*f(x)+f(x)*g(x+Δx)-f(x)*g(x+Δx)]/Δx

　　=lim (f(x+Δx)-f(x))*g(x+Δx)/Δx+(g(x+Δx)-g(x))*f(x)/Δx

　　=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

　　(13)h(x)=f(x)/g(x)

　　h'(x)

　　=lim (f(x+Δx)/g(x+Δx)-f(x)g(x))/Δx

　　=lim (f(x+Δx)g(x)-f(x)g(x+Δx))/(Δxg(x)g(x+Δx))

　　=lim [(f(x+Δx)-f(x)+f(x))*g(x)-(g(x+Δx)-g(x)+g(x))*f(x)]/(Δxg(x)g(x+Δx))

　　=lim [(f(x+Δx)-f(x))*g(x)-(g(x+Δx)-g(x))*f(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x)]/(Δxg(x)g(x+Δx))

　　=lim (f(x+Δx)-f(x))*g(x)/(Δxg(x)g(x+Δx))-(g(x+Δx)-g(x))*f(x)/(Δxg(x)g(x+Δx))

　　=f'(x)g(x)/(g(x)*g(x))-f(x)g'(x)/(g(x)*g(x))

　　=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x))x

　　(14)h(x)=f(g(x))

　　h'(x)

　　=lim [f(g(x+Δx))-f(g(x))]/Δx

　　=lim [f(g(x+Δx)-g(x)+g(x))-f(g(x))]/Δx

　　(另g(x)=u，g(x+Δx)-g(x)=Δu)

　　=lim (f(u+Δu)-f(u))/Δx

　　=lim (f(u+Δu)-f(u))*Δu/(Δx*Δu)

　　=lim f'(u)*Δu/Δx

　　=lim f'(u)*(g(x+Δx)-g(x))/Δx

　　=f'(u)*g'(x)=f'(g(x))g'(x)

　　(反三角函數的導數與三角函數的導數的乘積為1，因為函數與反函數關于y=x對稱，所以導數也關于y=x對稱，所以導數的乘積為1)

　　(15)y=f(x)=arcsinx

　　則siny=x

　　(siny)'=cosy

　　所以

　　(arcsinx)'=1/(siny)'=1/cosy

　　=1/√1-(siny)^2

　　(siny=x)

　　=1/√1-x^2

　　即f'(x)=1/√1-x^2

　　(16)y=f(x)=arctanx

　　則tany=x

　　(tany)'=1+(tany)^2=1+x^2

　　所以

　　(arctanx)'=1/1+x^2

　　即f'(x)= 1/1+x^2

　　總結一下

　　(x^n)'=nx^(n-1)

　　(sinx)'=cosx

　　(cosx)'=-sinx

　　(a^x)'=a^xlna

　　(e^x)'=e^x

　　(loga^x)'=1/(xlna)

　　(lnx)'=1/x

　　(tanx)'=(secx)^2=1+(tanx)^2

　　(cotx)'=-(cscx)^2=-1-(cotx)^2

　　(secx)'=tanx*secx

　　(cscx)'=-cotx*cscx

　　(x^x)'=(lnx+1)*x^x

　　(arcsinx)'=1/√1-x^2

　　(arctanx)'=1/1+x^2

　　[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

　　[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x))

　　[f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)