高中導(dǎo)數(shù)公式大全_高中導(dǎo)數(shù)常用公式
高中導(dǎo)數(shù)公式大全_高中導(dǎo)數(shù)常用公式
導(dǎo)數(shù)是微積分中的重要基礎(chǔ)概念，大家對(duì)于高中導(dǎo)數(shù)常用公式了解多少呢？為此學(xué)習(xí)啦小編為大家推薦了一些高中導(dǎo)數(shù)公式，歡迎大家參閱。
導(dǎo)數(shù)的定義
當(dāng)自變量的增量Δx=x-x0，Δx→0時(shí)函數(shù)增量Δy=f(x)- f(x0)與自變量增量之比的極限存在且有限,就說函數(shù)f在x0點(diǎn)可導(dǎo)，稱之為f在x0點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)(或變化率).
函數(shù)y=f(x)在x0點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)f'(x0)的幾何意義：表示函數(shù)曲線在P0[x0，f(x0)] 點(diǎn)的切線斜率(導(dǎo)數(shù)的幾何意義是該函數(shù)曲線在這一點(diǎn)上的切線斜率)。
一般地，我們得出用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的增減性(單調(diào)性)的法則：設(shè)y=f(x )在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)。如果在(a，b)內(nèi)，f'(x)>0,則f(x)在這個(gè)區(qū)間是單調(diào)增加的(該點(diǎn)切線斜率增大，函數(shù)曲線變得“陡峭”，呈上升狀)。如果在(a，b)內(nèi)，f'(x)<0,則f(x)在這個(gè)區(qū)間是單調(diào)減小的。所以，當(dāng)f'(x)=0時(shí)，y=f(x )有極大值或極小值，極大值中最大者是最大值，極小值中最小者是最小值
求導(dǎo)數(shù)的步驟
求函數(shù)y=f(x)在x0處導(dǎo)數(shù)的步驟：
?、?求函數(shù)的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0) ② 求平均變化率 ③ 取極限，得導(dǎo)數(shù)。
導(dǎo)數(shù)公式：
① C'=0(C為常數(shù)函數(shù)); ② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q*);熟記1/X的導(dǎo)數(shù) ③ (sinx)' = cosx; (cosx)' = - sinx; (tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2 -(cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2 (secx)'=tanx•secx (cscx)'=-cotx•cscx (arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2 (arccosx)'=-1/(1-x^2)^1/2 (arctanx)'=1/(1+x^2) (arccotx)'=-1/(1+x^2) (arcsecx)'=1/(|x|(x^2-1)^1/2) (arccscx)'=-1/(|x|(x^2-1)^1/2) ④ (sinhx)'=hcoshx (coshx)'=-hsinhx (tanhx)'=1/(coshx)^2=(sechx)^2 (coth)'=-1/(sinhx)^2=-(cschx)^2 (sechx)'=-tanhx•sechx (cschx)'=-cothx•cschx (arsinhx)'=1/(x^2+1)^1/2 (arcoshx)'=1/(x^2-1)^1/2 (artanhx)'=1/(x^2-1) (|x|<1) (arcothx)'=1/(x^2-1) (|x|>1) (arsechx)'=1/(x(1-x^2)^1/2) (arcschx)'=1/(x(1+x^2)^1/2) ⑤ (e^x)' = e^x; (a^x)' = a^xlna (ln為自然對(duì)數(shù)) (Inx)' = 1/x(ln為自然對(duì)數(shù)) (logax)' =(xlna)^(-1),(a>0且a不等于1) (x^1/2)'=[2(x^1/2)]^(-1) (1/x)'=-x^(-2)
高中導(dǎo)數(shù)常用公式
1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]•g'(x)『f'[g(x)]中g(shù)(x)看作整個(gè)變量，而g'(x)中把x看作變量』
2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^2
3.y=f(x)的反函數(shù)是x=g(y)，則有y'=1/x'
證：1.顯而易見，y=c是一條平行于x軸的直線，所以處處的切線都是平行于x的，故斜率為0。用導(dǎo)數(shù)的定義做也是一樣的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。
2.這個(gè)的推導(dǎo)暫且不證，因?yàn)槿绻鶕?jù)導(dǎo)數(shù)的定義來推導(dǎo)的話就不能推廣到n為任意實(shí)數(shù)的一般情況。在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x這兩個(gè)結(jié)果后能用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)給予證明。
3.y=a^x,
⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)
⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x
如果直接令⊿x→0，是不能導(dǎo)出導(dǎo)函數(shù)的，必須設(shè)一個(gè)輔助的函數(shù)β=a^⊿x-1通過換元進(jìn)行計(jì)算。由設(shè)的輔助函數(shù)可以知道：⊿x=loga(1+β)。
所以(a^⊿x-1)/⊿x=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β
顯然，當(dāng)⊿x→0時(shí)，β也是趨向于0的。而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。
把這個(gè)結(jié)果代入lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0a^x(a^⊿x-1)/⊿x后得到lim⊿x→0⊿y/⊿x=a^xlna。
可以知道，當(dāng)a=e時(shí)有y=e^x y'=e^x。
4.y=logax
⊿y=loga(x+⊿x)-logax=loga(x+⊿x)/x=loga[(1+⊿x/x)^x]/x
⊿y/⊿x=loga[(1+⊿x/x)^(x/⊿x)]/x
因?yàn)楫?dāng)⊿x→0時(shí)，⊿x/x趨向于0而x/⊿x趨向于∞，所以lim⊿x→0loga(1+⊿x/x)^(x/⊿x)=logae,所以有
lim⊿x→0⊿y/⊿x=logae/x。
可以知道，當(dāng)a=e時(shí)有y=lnx y'=1/x。
這時(shí)可以進(jìn)行y=x^n y'=nx^(n-1)的推導(dǎo)了。因?yàn)閥=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,
所以y'=e^nlnx•(nlnx)'=x^n•n/x=nx^(n-1)。
5.y=sinx
⊿y=sin(x+⊿x)-sinx=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)
⊿y/⊿x=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/⊿x=cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/(⊿x/2)
所以lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0cos(x+⊿x/2)•lim⊿x→0sin(⊿x/2)/(⊿x/2)=cosx
6.類似地，可以導(dǎo)出y=cosx y'=-sinx。
7.y=tanx=sinx/cosx
y'=[(sinx)'cosx-sinx(cos)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x
8.y=cotx=cosx/sinx
y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x
9.y=arcsinx
x=siny
x'=cosy
y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2
10.y=arccosx
x=cosy
x'=-siny
y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2
11.y=arctanx
x=tany
x'=1/cos^2y
y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2
12.y=arccotx
x=coty
x'=-1/sin^2y
y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2
導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
1.函數(shù)的單調(diào)性
(1)利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的增減性 利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的增減性，這是導(dǎo)數(shù)幾何意義在研究曲線變化規(guī)律時(shí)的一個(gè)應(yīng)用，它充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想. 一般地，在某個(gè)區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f'(x)>0，那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;如果f'(x)<0，那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減. 如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f'(x)=0，則f(x)是常數(shù)函數(shù). 注意：在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，f'(x)>0是f(x)在此區(qū)間上為增函數(shù)的充分條件，而不是必要條件，如f(x)=x3在R內(nèi)是增函數(shù)，但x=0時(shí)f'(x)=0。也就是說，如果已知f(x)為增函數(shù)，解題時(shí)就必須寫f'(x)≥0。 (2)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟(不要按圖索驥 緣木求魚 這樣創(chuàng)新何言?1.定義最基礎(chǔ)求法2.復(fù)合函數(shù)單調(diào)性) ①確定f(x)的定義域; ②求導(dǎo)數(shù); ③由(或)解出相應(yīng)的x的范圍.當(dāng)f'(x)>0時(shí)，f(x)在相應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù);當(dāng)f'(x)<0時(shí)，f(x)在相應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù).
2.函數(shù)的極值
(1)函數(shù)的極值的判定 ①如果在兩側(cè)符號(hào)相同，則不是f(x)的極值點(diǎn); ②如果在附近的左右側(cè)符號(hào)不同，那么，是極大值或極小值.
3.求函數(shù)極值的步驟
?、俅_定函數(shù)的定義域; ②求導(dǎo)數(shù); ③在定義域內(nèi)求出所有的駐點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，即求方程及的所有實(shí)根; ④檢查在駐點(diǎn)左右的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值;如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值.
4.函數(shù)的最值
(1)如果f(x)在[a,b]上的最大值(或最小值)是在(a，b)內(nèi)一點(diǎn)處取得的，顯然這個(gè)最大值(或最小值)同時(shí)是個(gè)極大值(或極小值)，它是f(x)在(a，b)內(nèi)所有的極大值(或極小值)中最大的(或最小的)，但是最值也可能在[a，b]的端點(diǎn)a或b處取得，極值與最值是兩個(gè)不同的概念. (2)求f(x)在[a，b]上的最大值與最小值的步驟 ①求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值; ②將f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.
5.生活中的優(yōu)化問題
生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題稱為優(yōu)化問題，優(yōu)化問題也稱為最值問題.解決這些問題具有非?，F(xiàn)實(shí)的意義.這些問題通常可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的函數(shù)問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大(小)值問題.
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