2016高考數學備考

2016高考數學備考

　　隨著高考的接近，你做好復習的準備了嗎?下面是學習啦小編為大家收集整理的2016高考數學備考知識點，相信這些文字對你會有所幫助的。

　　2016高考數學備考：空間立體幾何

　　1. 若球O1、O2的表面積之比=4，則它們的半徑之比=________.

　　2.用半徑為2的半圓形鐵皮卷成一個圓錐筒，則該圓錐筒的體積為________.

　　3.一個正三棱柱的側面展開圖是一個邊長為6 cm的正方形，則此三棱柱的體積為________cm3.

　　4.有一根長為5 cm，底面半徑為1 cm的圓柱形鐵管，用一段鐵絲纏繞3圈，并使鐵絲的兩個端點落在圓柱的同一條母線的兩端，則鐵絲的最短長度是________.

　　【例1】　根據下列對幾何體結構特征的描述，在橫線上填寫出相應的幾何體的名稱.

　　(1) 由八個面圍成，其中兩個面是互相平行且全等的正六邊形，其他各面都是矩形.________________;

　　(2) 一個直角三角形繞著其一條直角邊旋轉360°形成的封閉曲面所圍成的圖形.________________;

　　(3) 一個等腰梯形繞著兩底邊中點的連線所在直線旋轉180°形成的封閉曲面所圍成的圖形.________________;

　　(4) 一個直角梯形繞較長的底邊所在直線旋轉一周形成的曲面所圍成的幾何體.________________.

　　【例2】　如圖所示，半徑為R的半圓內的陰影部分以直徑AB所在直線為軸，旋轉一周得到一幾何體，求該幾何體的表面積(其中∠BAC=30°)及其體積.

　　【例3】　如圖所示，已知正四棱錐SABCD中，底面邊長為a，側棱長為a.

　　(1) 求它的外接球的體積;

　　(2) 求它的內切球的表面積.

　　【例4】　(2011·遼寧文)如圖，四邊形ABCD為正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD.

　　(1) 證明：PQ⊥平面DCQ;

　　(2) 求棱錐QABCD的體積與棱錐PDCQ的體積的比值.

　　1. (2011·福建)三棱錐PABC中，PA⊥底面ABC，PA=3，底面ABC是邊長為2的正三角形，則三棱錐PABC的體積等________.

　　2.(2011·全國)設長方體的長、寬、高分別為2a、a、a，其頂點都在一個球面上，則該球的表面積為________.

　　3.(2011·上海)若圓錐的側面積為2π，底面面積為π，則該圓錐的體積為________.

　　4. (2011·四川)如圖，半徑為R的球O中有一內接圓柱.當圓柱的側面積最大時，球的表面積與該圓柱的側面積之差是________.

　　5.(2011·全國)如圖，已知四棱錐PABCD的底面為等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足為H，PH是四棱錐的高.

　　(1) 證明：平面PAC⊥平面PBD;

　　(2) 若AB=，∠APB=∠ADB=60°，求四棱錐PABCD的體積.

　　6. (2011·安徽理)如圖，ABEDFC為多面體，平面ABED⊥平面ACFD，點O在線段AD上，OA=1，OD=2，△OAB、△OAC、△ODE、△ODF都是正三角形.

　　(1) 證明：BC∥EF;

　　(2) 求棱錐FOBED的體積.

　　(2010·安徽)(本小題滿分14分)如圖所示，四棱錐PABCD的底面ABCD是半徑為R的圓的內接四邊形，其中BD是圓的直徑，∠ABD=60°，∠BDC=45°，△ADP∽△BAD.

　　(1) 求線段PD的長;

　　(2) 若PC=R，求三棱錐PABC的體積.

　　解：(1) ∵ BD是圓的直徑　∴ ∠BAD=90°.(2分)

　　又△ADP∽△BAD，∴ =，(4分)

　　DP====3R.(7分)

　　(2 ) 在Rt△BCD中，CD=BDcos45°=R.

　　∵ PD2+CD2=9R2+2R2=11R2=PC2，∴ PD⊥CD.(9分)

　　又∠PDA=90°，∴ PD⊥底面ABCD，

　　S△ABC=AB·BCsin(60°+45°)=R2，(12分)

　　VPABC=S△ABC·PD=R3.(14分)

　　2016高考數學備考：空間幾何體的表面積與體積

　　1. 下列結論正確的是____________(寫出所有正確結論的序號).

　?、?各個面都是三角形的幾何體是三棱錐;

　?、?以三角形的一條邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐;

　?、?棱錐的側棱長與底面多邊形的邊長相等，則該棱錐可能是六棱錐;

　?、?圓錐的頂點與底面圓周上的任意一點的連線都是母線.

　　【答案】④

　　2. 正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為，則四面體AB1CD1的外接球的體積為__________.

　　【答案】　π　解析：四面體的外接球就是該正方體的外接球.

　　3. 有一棱長為a的正方體骨架，其內放置一氣球，使其充氣且盡可能地大(仍保持為球的形狀)，則氣球表面積的最大值為____________.

　　【答案】　2πa2　解析：當氣球表面積最大時，球與正方體的棱相切.

　　4. 已知△ABC的三邊長為a，b，c，內切圓半徑為r(用S△ABC表示△ABC的面積)，則S△ABC=r(a+b+c);類比這一結論有：若三棱錐A—BCD的內切球半徑為R，則三棱錐體積VA—BCD=____________.

　　【答案】　R(S△ABC+S△ABD+S△ACD+S△BCD)

　　5. 如圖所示，長方體ABCD—A′B′C′D′中，用截面截下一個棱錐C—A′DD′，求棱錐C—A′DD′的體積與剩余部分的體積之比.

　　點撥：求棱錐C—A′DD′的體積直接用公式，剩余的體積用大減小.

　　解：已知長方體可以看成直四棱柱ADD′A′—BCC′B′.

　　設它的底面ADD′A′面積為S，高為h，則它的體積為V=Sh.

　　而棱錐C—A′DD′的底面面積為S，高為h，

　　因此，棱錐C—A′DD′的體積VC—A′DD′=×Sh=Sh.

　　余下的體積是Sh-Sh=Sh.

　　所以棱錐C—A′DD′的體積與剩余部分的體積之比為1∶5.

　　6. 如圖，以長方體ABCD—A1B1C1D1的頂點A、C及另兩個頂點為頂點構造四面體.

　　(1) 若該四面體的四個面都是直角三角形，試寫出一個這樣的四面體(不要求證明);

　　(2) 我們將四面體中兩條無公共端點的棱叫做對棱，若該四面體的任一對對棱垂直，試寫出一個這樣的四面體(不要求證明);

　　(3) 若該四面體的任一對對棱相等，試寫出一個這樣的四面體(不要求證明)，并計算它的體積與長方體的體積的比.

　　解：(1) 如四面體A1—ABC或四面體C1—ABC或四面體A1—ACD或四面體C1—ACD;

　　(2) 如四面體B1—ABC或四面體D1—ACD;

　　(3) 如四面體A—B1CD1;

　　設長方體的長、寬、高分別為a，b，c，則=.

　　例題選講

　　例1　【答案】　(1) 正六棱柱　(2) 圓錐　(3) 圓臺　(4) 由一個圓錐和一個圓柱組成的組合體

　　變式訓練　下列命題正確的是________.

　?、?由五個面圍成的多面體只能是四棱錐;

　?、?棱錐的高線可能在幾何體之外;

　　③ 有一個面是多邊形，其余各個面是三角形的幾何體是棱錐;

　　④ 圓錐的側面展開圖是一個半圓面，那么此圓錐的軸截面是正三角形.

　　【答案】?、冖堋〗馕觯何鍌€面的多面體可能是三棱柱，故①錯;過三棱錐頂點引底面垂線，垂足有可能落在底面三角形外，故②對;正八面體的各個面都是三角形，故③錯;設圓錐的母線長為l，底面半徑為r，則πl2=πrl，所以l=2r，于是軸截面是正三角形，則④對.

　　例2　解：如圖所示，過C作C1O⊥AB于O1，

　　在半圓中可得∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=2R，

　　∴ AC=R，BC=R，CO1=R，

　　∴ S球=4πR2，

　　S圓錐AO1側=π×R×R=πR2，

　　S圓錐BO1側=π×R×R=πR2，

　　∴ S幾何體=S球+S圓錐AO1側+S圓錐BO1側=4πR2+πR2+πR2=πR2，

　　∴ 旋轉所得到的幾何體的表面積為πR2.

　　又V球=πR3，V圓錐AO1=AO1·π·CO=πR2·AO1，

　　V圓錐BO1=BO1·π·CO=BO1·πR2，

　　∴ V幾何體=V球-(V圓錐AO1+V圓錐BO1)

　　=πR3-πR3=πR3，

　　∴ 旋轉所得到的幾何體的體積為πR3.

　　變式訓練　如圖所示，扇形的中心角為90°，其所在圓的半徑為R，弦AB將扇形分成兩個部分，這兩部分各以AO為軸旋轉一周，所得旋轉體的體積V1和V2之比為____________.

　　【答案】　1∶1　解析：因為V1=πR2·R=πR3，V1+V2=×πR3=πR3，所以V2=πR3，即V1∶V2=1∶1

　　例3　點撥：首先確定球心的位置，然后利用截面解三角形求解.

　　解：(1) 設外接球的半徑為R，球心為O，則OA=OC=OS，所以O為△SAC的外心，即△SAC的外接圓半徑就是球的半徑.

　　∵ AB=BC=a，∴ AC=a.

　　∵ SA=SC=AC=a，∴ △SAC為正三角形.

　　由正弦定理得2R===a，

　　因此，R=a，V球=πR3=πa3.

　　(2) 設內切球半徑為r，作SE⊥底面ABCD于E，作SF⊥BC于F，連結EF，

　　則有SF=

　　==a，

　　S△SBC=BC·SF=a×a=a2.

　　S棱錐全=4S△SBC+S底=(+1)a2.

　　又SE===a，

　　∴ V棱錐=S底h=a2×a=a3.

　　∴ r===a，S球=4πr2=πa2.

　　變式訓練　如圖正方形ABCD的邊長為a，E，F分別是邊AB，BC的中點，沿DE，EF，FD將△DAE，△EBF，△FCD折起來，使A，B，C三點重合于點S, 則三棱錐S—DEF的外接球體積為__________.

　　【答案】　πa3　解析：由題意可知SD、SE、SF兩兩垂直，則外接球的半徑R=a

　　∴ V=πR3=πa3.

　　例4　(1) 證明：由條件知四邊形PDAQ為直角梯形，

　　因為QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交線為AD.又四邊形ABCD為正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC.

　　在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD，則PQ⊥QD，

　　所以PQ⊥平面DCQ.

　　(2) 解：設AB=a.由題設知AQ為棱錐Q—ABCD的高，

　　所以棱錐Q—ABCD的體積V1=a3.

　　由(1)知PQ為棱錐P—DCQ的高，而PQ=a，△DCQ的面積為a2，

　　所以棱錐P—DCQ的體積為V2=a3.

　　故棱錐Q—ABCD的體積與棱錐P—DCQ的體積的比值為1.