高中數學積化和差公式

　　積化和差，指初等數學三角函數部分的一組恒等式。可以通過展開角的和差恒等式的手段來證明。 無論乘積項中的三角函數是否同名，化為和差形式時，都應是同名三角函數的和差。這一點主要是根據證明記憶，因為如果不是同名三角函數，兩角和差公式展開后乘積項的形式都不同，就不會出現相抵消和相同的項，也就無法化簡下去了。

　　公式

　　sinαsinβ=-[1][cos(α+β)-cos(α-β)]/2【注意等式右邊前端的負號】

　　cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2

　　sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2

　　cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2

　　這里用到了sin(-α)=-sinα 即sin(α-β)= - sin(β-α)

　　證明

　　法1

　　積化和差恒等式可以通過展開角的和差恒等式的右手端來證明。

　　即只需要把等式右邊用兩角和差公式拆開就能證明：

　　sinαsinβ=-1/2[-2sinαsinβ]

　　=-1/2[(cosαcosβ-sinαsinβ)-(cosαcosβ+sinαsinβ)]

　　=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]

　　其他的3個式子也是相同的證明方法。

　　(該證明法逆向推導可用于和差化積的計算，參見和差化積)

　　法2

　　根據歐拉公式，e^ix=cosx+isinx

　　令x=a+b

　　得e ^I(a+b)=e^ia*e^ib=(cosa+isina)(cosb+isinb)=cosacosb-sinasinb+i(sinacosb+sinbcosa)=cos(a+b)+isin(a+b)

　　所以cos(a+b)=cosacosb-sinasinb

　　sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa

　　記憶方法

　　積化和差公式的形式比較復雜，記憶中以下幾個方面是難點，下面指出了特點各自的簡單記憶方法。

　　這一點最簡單的記憶方法是通過三角函數的值域判斷。sin和cos的值域都是[-1,1]，其和差的值域應該 是

　　[-2,2]，而積的值域卻是[-1,1]，因此除以2是必須的。

　　也可以通過其證明來記憶，因為展開兩角和差公式后，未抵消的兩項相同而造成有系數2，如：

　　cos(α-β)-cos(α+β)

　　=(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)

　　=2sinαsinβ

　　故最后需要除以2。