高中數(shù)學(xué)和差化積公式的記憶訣竅

高中數(shù)學(xué)和差化積公式的記憶訣竅

　　積化和差，指初等數(shù)學(xué)三角函數(shù)部分的一組恒等式。可以通過展開角的和差恒等式的手段來證明。 無論乘積項中的三角函數(shù)是否同名，化為和差形式時，都應(yīng)是同名三角函數(shù)的和差。這一點(diǎn)主要是根據(jù)證明記憶，因?yàn)槿绻皇峭呛瘮?shù)，兩角和差公式展開后乘積項的形式都不同，就不會出現(xiàn)相抵消和相同的項，也就無法化簡下去了。

　　積化和差與積差化積是一種孿生兄弟，不可分離，在解題過程中，要切實(shí)注意兩者的交替使用。如在一般情況下，遇有正、余弦函數(shù)的平方，要先考慮降冪公式，然后應(yīng)用和差化積、積化和差公式交替使用進(jìn)行化簡或計算。和積互化公式其基本功能在于：當(dāng)和、積互化時，角度要重新組合，因此有可能產(chǎn)生特殊角;結(jié)構(gòu)將變化，因此有可能產(chǎn)生互消項或互約因式，從而利于化簡求值。正因?yàn)槿绱?ldquo;和、積互化”是三角恒等變形的一種基本手段。

　　和差化積公式的形式比較復(fù)雜，記憶中以下幾個方面是難點(diǎn)，下面指出了各自的簡單記憶方法。

　　如何只記兩個公式甚至一個

　　我們可以只記上面四個公式的第一個和第三個。

　　而第二個公式中的-sin β=sin(β+π)，也就是sin α-sin β=sin α+sin(β+π)，這就可以用第一個公式解決。

　　同理第四個公式中，cos α-cos β=cos α+cos(β+π)，這就可以用第三個公式解決。

　　如果對誘導(dǎo)公式足夠熟悉，可以在運(yùn)算時把cos全部轉(zhuǎn)化為sin，那樣就只記住第一個公式就行了。

　　用的時候想得起一兩個就行了。

　　結(jié)果乘以2

　　這一點(diǎn)最簡單的記憶方法是通過三角函數(shù)的值域判斷。sin和cos的值域都是[-1,1]，其積的值域也應(yīng)該是[-1,1]，而和差的值域卻是[-2,2]，因此乘以2是必須的。

　　也可以通過其證明來記憶，因?yàn)檎归_兩角和差公式后，未抵消的兩項相同而造成有系數(shù)2，如：

　　cos(α-β)-cos(α+β)

　　=[(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)]

　　=2sinαsinβ

　　故最后需要乘以2。

　　只有同名三角函數(shù)能和差化積

　　無論是正弦函數(shù)還是余弦函數(shù)，都只有同名三角函數(shù)的和差能夠化為乘積。這一點(diǎn)主要是根據(jù)證明記憶，因?yàn)槿绻皇峭呛瘮?shù)，兩角和差公式展開后乘積項的形式都不同，就不會出現(xiàn)相抵消和相同的項，也就無法化簡下去了。

　　乘積項中的角要除以2

　　在和差化積公式的證明中，必須先把α和β表示成兩角和差的形式，才能夠展開。熟知要使兩個角的和、差分別等于α和β，這兩個角應(yīng)該是(α+β)/2和(α-β)/2，也就是乘積項中角的形式。

　　注意和差化積和積化和差的公式中都有一個“除以2”，但位置不同;而只有和差化積公式中有“乘以2”。

　　使用哪兩種三角函數(shù)的積

　　這一點(diǎn)較好的記憶方法是拆分成兩點(diǎn)，一是是否同名乘積，二是“半差角”(α-β)/2的三角函數(shù)名。

　　是否同名乘積，仍然要根據(jù)證明記憶。注意兩角和差公式中，余弦的展開中含有兩對同名三角函數(shù)的乘積，正弦的展開則是兩對異名三角函數(shù)的乘積。所以，余弦的和差化作同名三角函數(shù)的乘積;正弦的和差化作異名三角函數(shù)的乘積。

　　(α-β)/2的三角函數(shù)名規(guī)律為：和化為積時，以cos(α-β)/2的形式出現(xiàn);反之，以sin(α-β)/2的形式出現(xiàn)。

　　由函數(shù)的奇偶性記憶這一點(diǎn)是最便捷的。如果要使和化為積，那么α和β調(diào)換位置對結(jié)果沒有影響，也就是若把(α-β)/2替換為(β-α)/2，結(jié)果應(yīng)當(dāng)是一樣的，從而(α-β)/2的形式是cos(α-β)/2;另一種情況可以類似說明。

　　余弦-余弦差公式中的順序相反/負(fù)號

　　這是一個特殊情況，完全可以死記下來。

　　當(dāng)然，也有其他方法可以幫助這種情況的判定，如(0，π]內(nèi)余弦函數(shù)的單調(diào)性。因?yàn)檫@個區(qū)間內(nèi)余弦函數(shù)是單調(diào)減的，所以當(dāng)α大于β時，cosα小于cosβ。但是這時對應(yīng)的(α+β)/2和(α-β)/2在(0，π)的范圍內(nèi)，其正弦的乘積應(yīng)大于0，所以要么反過來把cosβ放到cosα前面，要么就在式子的最前面加上負(fù)號。