高一必修三數學概率與統計專題訓練試題及答案

高一必修三數學概率與統計專題訓練試題及答案

　　考試是檢測學習成效的重要手段，孰能生巧，考前一定要多做多練。以下是學習啦小編為大家收集整理的高一必修三數學概率與統計專題訓練試題，請考生認真學習。

　　高一必修三數學概率與統計專題訓練試題

　　1.(2014·保定調研)近年來，我國的高鐵技術發展迅速，鐵道部門計劃在A、B兩城之間開通高速列車，假設在試運行期間，每天8：00-9：00,9：00-10：00兩個時段內各發一趟列車由A城到B城(兩車發生情況互不影響)，A城發車時間及其概率如下表所示：

發生時間	8：10	8：30	8：50	9：10	9：30	9：50
概率	6(1)	2(1)	3(1)	6(1)	2(1)	3(1)

　　若甲、乙兩位旅客打算從A城到B城，假設他們到達A城火車站侯車的時間分別是周六8：00和周日8：20.(只考慮候車時間，不考慮其他因素)
　　(1)設乙侯車所需時間為隨機變量X，求X的分布列和數學期望;
　　(2)求甲、乙二人候車時間相等的概率.
　　解　(1)X的所有可能取值為10、30、50、70、90(分鐘)，其概率分布列如下

X	10	30	50	70	90
P	2(1)	3(1)	36(1)	12(1)	18(1)

　　X的數學期望E(X)=10×2(1)+30×3(1)+50×36(1)+70×12(1)+90×18(1)=9(245)(分鐘).
　　(2)甲、乙二人候車時間分別為10分鐘、30分鐘、50分鐘的概率為
　　P甲10=6(1)，P甲30=2(1)，P甲50=3(1);
　　P乙10=2(1)，P乙30=3(1)，P乙50=6(1)×6(1)=36(1).
　　所以所求概率P=6(1)×2(1)+2(1)×3(1)+3(1)×36(1)=108(28)=27(7)，
　　即甲、乙二人候車時間相等的概率為27(7).
　　2.(2014·皖南八校聯考)從正方體的各個表面上的12條面對角線中任取2條，設ξ為2條面對角線所成的角(用弧度制表示)，如當2條面對角線垂直時，ξ=2(π).
　　(1)求概率P(ξ=0);
　　(2)求ξ的分布列，并求其數學期望E(ξ).
　　解　(1)當ξ=0時，即所選的2條面對角線平行，則P(ξ=0)=12(2)=11(1).
　　(2)ξ的可能取值為0，3(π)，2(π).
　　則P(ξ=0)=12(2)=11(1)，P3(π)=12(2)=11(8)，P2(π)=12(2)=11(2).
　　ξ的分布列如下：

ξ	0	3(π)	2(π)
P	11(1)	11(8)	11(2)

　　E(ξ)=0×11(1)+3(π)×11(8)+2(π)×11(2)=3(π).
　　3.(2014·廣州調研)空氣質量指數PM2.5(單位：μg/m3)表示每立方米空氣中可入肺顆粒物的含量，這個值越高，代表空氣污染越嚴重.PM2.5的濃度與空氣質量類別的關系如下表所示：

PM2.5日均濃度	0～35	35～75	75～115	115～150	150～250	>250
空氣質量類別	優	良	輕度污染	中度污染	重度污染	嚴重污染

　　從甲城市2014年9月份的30天中隨機抽取15天的PM2.5日均濃度指數數據莖葉圖如圖所示.

　　(1)試估計甲城市在2014年9月份30天的空氣質量類別為優或良的天數;
　　(2)在甲城市這15個監測數據中任取2個，設X為空氣質量類別為優或良的天數，求X的分布列及數學期望.
　　解　(1)由莖葉圖可知，甲城市在2014年9月份隨機抽取的15天中的空氣質量類別為優或良的天數為5.
　　所以可估計甲城市在2014年9月份30天的空氣質量類別為優或良的天數為10.
　　(2)X的所有可能取值為0,1,2，
　　因為P(X=0)=15(2)=7(3)，P(X=1)=15(2)=21(10)，P(X=2)=15(2)=21(2)，
　　所以X的分布列為：

X	0	1	2
P	7(3)	21(10)	21(2)

　　數學期望E(X)=0×7(3)+1×21(10)+2×21(2)=3(2).
　　4.(2014·浙江名校聯考)甲、乙兩支球隊進行總決賽，比賽采用七場四勝制，即若有一隊先勝四場，則此隊為總冠軍，比賽結束.因兩隊實力相當，每場比賽兩隊獲勝的可能性均為2(1).據以往資料統計，第一場比賽可獲得門票收入40萬元，以后每場比賽門票收入比上一場增加10萬元.
　　(1)求總決賽中獲得門票總收入恰好為300萬元的概率;
　　(2)設總決賽中獲得門票總收入為X，求X的均值E(X).
　　解　(1)依題意，每場比賽獲得的門票收入組成首項為40，公差為10的等差數列.
　　設此數列為{an}，則易知a1=40，an=10n+30，
　　所以Sn=2(n(10n+70))=300.
　　解得n=-12(舍去)或n=5，
　　所以總決賽共比賽了5場.
　　則前4場比賽中，一支球隊共贏了3場，且第5場比賽中，領先的球隊獲勝，其概率為C4(1)2(1)4=4(1).
　　(2)隨機變量X可取的值為S4，S5，S6，S7，即220,300,390,490.
　　又P(X=220)=2×2(1)4=8(1)，
　　P(X=300)=C4(1)2(1)4=4(1)，
　　P(X=390)=C5(2)2(1)5=16(5)，
　　P(X=490)=C6(3)2(1)6=16(5)，
　　所以X的分布列為

X	220	300	390	490
P	8(1)	4(1)	16(5)	16(5)

　　所以X的均值E(X)=377.5(萬元).
　　5.自駕游從A地到B地有甲、乙兩條線路，甲線路是A-C-D-B，乙線路是A-E-F-G-H-B，其中CD段、EF段、GH段都是易堵車路段.假設這三條路段堵車與否相互獨立.這三條路段的堵車概率及平均堵車時間如表1所示.經調查發現，堵車概率x在，1(2)上變化，y在2(1)上變化.在不堵車的情況下，走甲線路需汽油費500元，走乙線路需汽油費545元.而每堵車1小時，需多花汽油費20元.路政局為了估計CD段平均堵車時間，調查了100名走甲路線的司機，得到表2數據.

	CD段	EF段	GH段
堵車概率	x	y	4(1)
平均堵車時間(單位：小時)	a	2	1

堵車時間(單位：小時)	頻數
[0,1]	8
(1,2]	6
(2,3]	38
(3,4]	24
(4,5]	24

　　(1)求CD段平均堵車時間a的值;
　　(2)若只考慮所花汽油費期望值的大小，為了節約，求選擇走甲線路的概率.
　　解　(1)a=2(1)×100(8)+2(3)×100(6)+2(5)×100(38)+2(7)×100(24)+2(9)×100(24)=3.
　　(2)設走甲線路所花汽油費為ξ元，則E(ξ)=500(1-x)+(500+60)x=500+60x.
　　設走乙線路多花的汽油費為η元，
　　∵EF段與GH段堵車與否相互獨立，
　　∴P(η=0)=(1-y)×4(1)，
　　P(η=20)=(1-y)×4(1)，
　　P(η=40)=y×4(1)，
　　P(η=60)=4(1)y，
　　∴E(η)=0×(1-y)×4(1)+20×(1-y)×4(1)+40×y×4(1)+60×4(1)y=40y+5.
　　∴走乙線路所花的汽油費的數學期望為E(545+η)=545+E(η)=550+40y.
　　依題意，選擇走甲線路應滿足(550+40y)-(500+60x)≥0，
　　即6x-4y-5≤0，又3(2)<x<1,0<y<2(1)，
　　∴P(選擇走甲線路)=2(1)=8(7).

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