高1數學絕對值三角不等式知識點
高1數學絕對值三角不等式知識點
數學課本中不等式這一部分包含絕對值三角不等式，同學們需要重點關注，下面是學習啦小編給大家帶來的高1數學絕對值三角不等式知識點，希望對你有幫助。
高1數學絕對值三角不等式知識點(一)
絕對值三角不等式
絕對值三角不等式：
1、基本形式
如果a，b都是實數，則|a+b|≤|a|+|b|，當且僅當ab≥0時，等號成立;
2、變式
如果a，b都是實數，則
。
三角不等式的解法
利用三角函數線或正弦、余弦、正切函數的圖象寫出解集.
高1數學絕對值三角不等式知識點(二)
絕對值的三角不等式;不等式證明的基本方法
二.教學目的
1、掌握絕對值的三角不等式;
2、掌握不等式證明的基本方法
三.知識分析
[絕對值的三角不等式]
定理1若a，b為實數，則
，當且僅當ab≥0時，等號成立。
幾何說明：(1)當ab>0時，它們落在原點的同一邊，此時a與-b的距離等于它們到原點距離之和。
(2)如果ab<0，則a，b分別落在原點兩邊，a與-b的距離嚴格小于a與b到原點距離之和(下圖為ab<0，a>0，b<0的情況，ab<0的其他情況可作類似解釋)。
|a-b|表示a-b與原點的距離，也表示a到b之間的距離。
定理2設a，b，c為實數，則
，等號成立
，即b落在a，c之間。
推論1
推論2
[不等式證明的基本方法]
1、比較法是證明不等式的一種最基本的方法，也是一種常用的方法，基本不等式就是用比較法證得的。
比較法有差值、比值兩種形式，但比值法必須考慮正負。
比較法證不等式有作差(商)、變形、判斷三個步驟，變形的主要方向是因式分解、配方，判斷過程必須詳細敘述。
如果作差后的式子可以整理為關于某一個變量的二次式，則可考慮用到判別式法證。
2、所謂綜合法，就是從題設條件和已經證明過的基本不等式出發，不斷用必要條件替換前面的不等式，直至推出要證明的結論，可簡稱為“由因導果”，在使用綜合法證明不等式時，要注意基本不等式的應用。
所謂分析法，就是從所要證明的不等式出發，不斷地用充分條件替換前面的不等式，或者是顯然成立的不等式，可簡稱“執果索因”，在使用分析法證明不等式時，習慣上用“
”表述。
綜合法和分析法是兩種思路截然相反的證明方法，其中分析法既可以尋找解題思路，如果表述清楚，也是一個完整的證明過程.注意綜合法與分析法的聯合運用。
3、反證法：從否定結論出發，經過邏輯推理，導出矛盾，證實結論的否定是錯誤的，從而肯定原結論是正確的證明方法。
4、放縮法：欲證A≥B，可通過適當放大或縮小，借助一個或多個中間量，使得
，
，再利用傳遞性，達到證明的目的.這種方法叫做放縮法。
【典型例題】
例1、已知函數
，設a、b∈R，且a≠b，求證：
思路：本題證法較多，下面用分析法和放縮法給出兩個證明：
證明：
證法一：
①
當ab≤-1時，式①顯然成立;
當ab>-1時，式①
②
∵a≠b，∴式②成立。故原不等式成立。
證法二：當a=-b時，原不等式顯然成立;
當a≠-b時，
∴原不等式成立。
點評：此題還可以用三角代換法，復數代換法、數形結合等證明，留給讀者去思考。
例2、設m等于|a|、|b|和1中最大的一個，當|x|>m時，求證：
。
思路：本題的關鍵是對題設條件的理解和運用，|a|、|b|和1這三個數中哪一個最大?如果兩兩比較大小，將十分復雜，但我們可以得到一個重要的信息：m≥|a|、m≥|b|、m≥1。
證明：
故原不等式成立。
點評：將題設條件中的文字語言“m等于|a|、|b|、1中最大的一個”轉化為符號的語言“m≥|a|、m≥|b|、m≥1”是證明本題的關鍵。
例3、函數
的定義域為[0，1]且
。當
∈[0，1]，
時都有
，求證：
。
證明：不妨設
，以下分兩種情形討論。
若
則
，若
則
綜上所述
點評：對于絕對值符號內的式子，采用加減某個式子后，重新組合，運用絕對值不等式的性質變形，是證明絕對值不等式的典型方法。
例4、已知a>0，b>0，求證：
。
思路：如果用差值比較法，下一步將是變形，顯然需要通分，是統一通分，還是局部通分?從題目結構特點看，應采取局部通分的方法。
證明：
①
②
∴原不等式成立。
點評：在上面得到①式后，其分子的符號可由題設條件作出判斷，但它沒有②明顯，所以，變形越徹底，越有利于最后的判斷，本題還可以用比值比較法證明，留給讀者去完成。
例5、設x>0，y>0，且x≠y，求證：
思路：注意到x、y的對稱性，可能會想到重要不等式，但后續思路不好展開，故我們可采用分析法，從消去分數指數冪入手。
證明：∵x>0，y>0，且x≠y，
點評：在不便運用比較法或綜合法時，應考慮用分析法。應注意分析法表述方法，其中尋求充分條件的語句常用符號“
”表述。本題應用了分析法，既找到了解題思路，又使問題完滿地得到了解決，可謂一舉兩得。