高中數學向量復習

　　向量是高考的一個亮點,它具有代數形式和幾何形式的“雙重身份”能融數形于一體，能與中學數學教學內容的許多主干知識綜合，形成知識交匯點。下面學習啦小編給你分享高中數學向量復習知識點，歡迎閱讀。

　　向量復習之概念

　　在數學中，幾何向量(也稱為歐幾里得向量，通常簡稱向量、矢量)，指具有大小(magnitude)和方向的量。與之對應的只有大小，沒有方向的量叫做數量(物理學中稱標量)

　　向量可以形象化地表示為帶箭頭的線段。箭頭所指：代表向量的方向;線段長度：代表向量的大小。

　　向量的記法：印刷體記作粗體的字母(如a、b、u、v)，書寫時在字母頂上加一小箭頭→。如果給定向量的起點(A)和終點(B)，可將向量記作AB(并于頂上加→)。給空間設一直角坐標系，也能把向量以數對形式表示，例如Oxy平面中(2,3)是一向量。

　　而在物理學和工程學中，幾何向量更常被稱為矢量。許多物理量都是矢量，比如一個物體的位移，球撞向墻而對其施加的力等等。與之相對的是標量，即只有大小而沒有方向的量。一些與向量有關的定義亦與物理概念有密切的聯系，例如向量勢對應于物理中的勢能。

　　幾何向量的概念在線性代數中經由抽象化，得到更一般的向量概念。此處向量定義為向量空間的元素，要注意這些抽象意義上的向量不一定以數對表示，大小和方向的概念亦不一定適用。因此，平日閱讀時需按照語境來區分文中所說的"向量"是哪一種概念。不過，依然可以找出一個向量空間的基來設置坐標系，也可以透過選取恰當的定義，在向量空間上介定范數和內積，這允許我們把抽象意義上的向量類比為具體的幾何向量。

　　向量復習之運算

　　設a=(x1,y1)，b=(x2,y2)。

　　加法

　　向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。OB+OA=OC。

　　a+b=( x+x1 ，y+y1 )。

　　a+0=0+a=a。

　　向量加法的運算律：

　　交換律：a+b=b+a;

　　結合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

　　減法

　　如果a、b是互為相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量為0A-OB=BA.即“共同起點，指向被減”

　　a=(x1,y1)，b=(x2,y2) ，則a-b=(x1-x2,y1-y2).

　　如圖：c=a-b 以b的結束為起點，a的結束為終點。

　　加減變換律：a+(-b)=a-b

　　數乘

　　實數λ和向量a的叉乘乘積是一個向量，記作λa，且∣λa∣=∣λ∣*∣a∣。[1]

　　當λ>0時，λa的方向與a的方向相同;當λ<0時，λa的方向與a的方向相反;當λ=0時，λa=0，方向任意。當a=0時，對于任意實數λ，都有λa=0。[1]

　　注：按定義知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

　　實數λ叫做向量a的系數，乘數向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮。

　　當∣λ∣>1時，表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸長為原來的∣λ∣倍

　　當∣λ∣<1時，表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或××反方向(λ<0)上縮短為原來的∣λ∣倍。

　　實數p和向量a的點乘乘積是一個數。

　　數與向量的乘法滿足下面的運算律

　　結合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。

　　向量對于數的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.

　　數對于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.

　　數乘向量的消去律：① 如果實數λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

　　需要注意的是：向量的加減乘(向量沒有除法)運算滿足實數加減乘運算法則。

　　數量積

　　定義：已知兩個非零向量a,b。作OA=a,OB=b，則∠AOB稱作向量a和向量b的夾角，記作θ并規定0≤θ≤π

　　定義：兩個向量的數量積(內積、點積)是一個數量(沒有方向)，記作a·b。若a、b不共線，則 ;若a、b共線，則 。[1]

　　向量的數量積的坐標表示：a·b=x·x'+y·y'。

　　向量的數量積的運算律

　　a·b=b·a(交換律)

　　(λa)·b=λ(a·b)(關于數乘法的結合律)

　　(a+b)·c=a·c+b·c(分配律)

　　向量的數量積的性質

　　a·a=|a|的平方。

　　a⊥b〈=〉a·b=0。

　　|a·b|≤|a|·|b|。(該公式證明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因為0≤|cosα|≤1，所以|a·b|≤|a|·|b|)

　　向量的數量積與實數運算的主要不同點

　　1.向量的數量積不滿足結合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c);例如：(a·b)²≠a²·b²。

　　2.向量的數量積不滿足消去律，即：由a·b=a·c(a≠0)，推不出b=c。

　　3.|a·b|與|a|·|b|不等價

　　4.由 |a|=|b| ，不能推出a=b，也不能推出a=-b，但反過來則成立.

　　向量積

　　定義：兩個向量a和b的向量積(外積、叉積)是一個向量，記作a×b(這里“×”并不是乘號，只是一種表示方法，與“·”不同，也可記做“∧”)。若a、b不共線，則a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉;a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按這個次序構成右手系。若a、b垂直，則∣a×b∣=|a|*|b|(此處與數量積不同，請注意)，若a×b=0，則a、b平行。向量積即兩個不共線非零向量所在平面的一組法向量

　　向量復習之定理

　　共線定理

　　若b≠0，則a//b的充要條件是存在唯一實數λ，使a=λb。

　　若設a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，則有x1y2=x2y1。即與平行概念相同x1y2 - x2y1=0

　　零向量0平行于任何向量。

　　垂直定理

　　a⊥b的充要條件是a·b=0，即x1x2+y1y2=0。

　　分解定理

　　平面向量分解定理：如果e1、e2是同一平面內的兩個不平行向量，那么對于這一平面內的任一向量，有且只有一對實數λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2我們把不平行向量e1、e2叫做這一平面內所有向量的一基底。

　　定比分點公式

　　定比分點公式(向量P1P=λ·向量PP2)

　　設P1、P2是直線上的兩點，P是直線上不同于P1、P2的任意一點。則存在一個任意實數 λ且λ不等于-1，使 向量P1P=λ·向量PP2，λ叫做點P分有向線段P1P2所成的比。

　　若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，則有

　　OP=(OP1+λOP2)/(1+λ);(定比分點向量公式)

　　x=(x1+λx2)/(1+λ),

　　y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分點坐標公式)

　　我們把上面的式子叫做有向線段P1P2的定比分點公式

　　三點共線定理

　　已知0是AB所在直線外一點,若OC=λOA+μOB ,且λ+μ=1 ,則A、B、C三點共線

　　證明：∵OC=λOA+(1-λ)OB=λOA-λOB+OB=λBA+OB

　　∴BO+OC=λBA 即BC=λBA

　　∴A、B、C三點共線

　　重心判斷式

　　在△ABC中，若GA+GB+GC=O，則G為△ABC的重心。

　　垂心判斷式

　　在△ABC中，若HA·HB=HB·HC=HC·HA，則H為△ABC的垂心。

　　內心判斷式

　　在△ABC中，若aIA+bIB+cIC=0，且PI=(aPA+bPB+cPC)/(a+b+c)，則I為△ABC的內心。

　　外心判斷式

　　在△ABC中，若|OA|=|OB|=|OC|，則O為△ABC的外心，

　　此時O滿足(OA+OB)·AB=(OB+OC)·BC=(OC+OA)·CA=0。