數學歸納法的應用

　　數學歸納法的應用非常廣泛,在實際的教學研究中也得到了很大的重視　接下來學習啦小編為你整理了數學歸納法的應用，一起來看看吧。

　　數學歸納法的原理

　　數學歸納法是一種研究與自然數有關的證明，它可以巧妙的證明結果含有n的結論。它避免了無窮次的步驟推導引起的邏輯問題，是一種嚴格的演繹推理，所以它與普通的歸納法有著很大的區別。已知最早的使用數學歸納法的證明出現于F·莫羅利科(Francesco Maurolico)的《算數》(Arithmeticorum libri duo)(1575AD)。莫羅利科利用遞推關系巧妙地證明出前n個奇數的總和是n^2，由此總結出了數學歸納法。

　　數學歸納法最基本格式為：(1)n= n0時，成立。(2)假設n= k時成立，當n=k+1時命題也成立。于是根據(1)(2)可知命題對于任意n成立。舉個例子，就像一排多米諾骨牌(這個例子很經典形象)，我們知道第一個被推倒了，我們也知道每一個與之相鄰的下一個骨牌要倒，那么你就可以推斷所有的的骨牌都將要倒。

　　如：證1+2+3+„+n=n*(n+1)/2 。按順序1.當n=1時，顯然成立。2.假設n=k時成立，當n=k+1時，S= k*(k+1)/2+(k+1) = (k+2) (k+1)/2. 于是結果成立。

　　數學歸納法的應用

　　1. 所有馬都一個顏色。(即任意n匹馬都只有一個顏色)

　　證：當只有1匹馬，命題成立。假設任意k匹馬都只有一個顏色，當n=k+1時，我從中任意挑取k匹馬，這k匹馬顏色相同;我再用剩下的那只馬去換掉這群馬中的任意一只，組成新的馬群，依然有k匹馬，顏色還是相同;根據集合交并原理，可知k+1時也成立。證畢。

　　原來真的所有馬都一種顏色嗎?怎么可能!現在，我們來分析一下究竟是哪里出的錯。我們可以看到，在第二步，當k=1時，兩匹馬不能出現交集，不能推出k=2時成立。這個證明鏈在第二節斷掉了，雖然后面是連著的，但卻推不出正確結論了。所以這提示我們，即使前面第一步證明了n=1成立，第二步依然要保證n=k對任意所涉及的數也成立，包括1.

　　2.n人一人一頂帽子，有m頂白帽子，其余都是黑帽子。每次敲鐘，都要求所有能判斷自己為白帽子的人離開。正在這n個無聊的人苦苦思索的時候，突然來了一個人，說：“這里居然有人帶白帽子!”，然后飄走了。黑帽子的人很想說“廢話!”，卻發現過了一會所有白帽子的人都走了(他們判斷出自己的帽子顏色了)，這是怎么回事?

　　好吧，我們還是用數學歸納法做一做：

　　命題1：我們假設只有1人白帽子，他發現所有人都戴黑帽子，當飄走的那個人說完話后，他可以立刻知道自己是白的。于是第1聲鐘響后這1個白帽可確認。

　　命題2：假設只有2個人白，其中一個人發現有只有1個人白帽，如果命題1成立，即只有他是白帽，他應該鐘響1下后立刻離開，可他不走。所以說明命題1不成立，一定有2個白帽——自己和他!于是第2聲鐘響后這2個白帽可確認。

　　假設命題k成立，命題n=k+1時，假設只有k+1個白帽，其中一人發現：有k個白帽，如果是命題k，他們在第k聲鐘響后應該全部離開，可是沒走，所以一定自己是白帽子讓他們不能判斷。于是在第k+1聲鐘響后，k+1白帽可全部確認離開。結論成立。

　　所以，那句廢話雖然對黑帽子沒有，但對白帽子而言是卻是歸納法的第一塊多米諾骨牌。

　　3.在《不可思議?》這本書里還有一個更那啥的題，經改編如下：有一個殺人狂把兩個人分別關在兩個密室，分別告訴他們兩個相鄰正自然數，兩個人雖然知道數字相鄰，卻不知道對方的數。計時開始后，每分鐘他們都有一次機會選擇確認按鈕，確認的消息可以被雙方聽見。只有知道另一方數字是多少的人才能出去。快快，生路在哪里?

　　這看起來好像無解，假如我知道自己的數是27，怎么判斷對方究竟是26還是28，難道出去的概率是50%?

　　不，概率是100%，唯一的生路在那個每分鐘一次確認按鈕上(且確認消息可通知雙方)。當A的數是1，則在第1分鐘便可知道B的數是2(因為不是0)。當A的數是2，則有兩種情況，B是1或3，如果是1，B在第一分鐘會確認，如果B沒確認，則B是3。所以假設當A為k時，A會在第k分鐘推理出B的數字，則當A=k+1時，如果第k分鐘B沒有動靜，則可以判斷B的數不是k，而是k+2，所以在下一分鐘即k+1分鐘時A推理出數字，結論成立。