三次數學危機論文
數學史上出現的三次數學危機,與其說是“數學的危機”,不如說是“數學哲學的危機”.下面學習啦小編給你分享三次數學危機論文，歡迎閱讀。
三次數學危機論文篇一
摘要：本文主要通過數學史上的三次危機的產生與消除，針對它們的本質淺談自己的認識，實際導致這三次危機原因在與人的認識。第一次數學危機是人們對萬物皆數的誤解，隨著無理數的發現，把第一次數學危機度過了。第二次數學危機是人們對無窮小的誤解，微積分的出現產生了一種新的方法，即分析方法，分析方法是算和證的結合。是通過無窮趨近而確定某一結果。羅素悖論的發現，給數學界以極大的震動，導致了數學史上的第三次危機。為了探求其根源和解決難題的途徑，在數學界邏輯界進行了不懈的探討，提出了一系列解決方案，并在不知不覺中大大推動了數學和邏輯學的發展。
關鍵詞：危機;萬物皆數;無窮小;分析方法;集合
一、前 言
數學常常被人們認為是自然科學中發展得最完善的一門學科，但在數學的發展史中，卻經歷了三次危機，人們為了使數學向前發展，從而引入一些新的東西使問題化解，在第一次危機中導致無理數的產生;第二次危機發生在十七世紀微積分誕生后，無窮小量的刻畫問題，最后是柯西解決了這個問題;第三次危機發生在19世紀末，羅素悖論的產生引起數學界的軒然大波，最后是將集合論建立在一組公理之上，以回避悖論來緩解數學危機。本文回顧了數學上三次危機的產生與發展，并給出了自己對這三次危機的看法，最后得出確定性喪失的結論。
二、數學史上的第一次“危機”
第一次數學危機是發生在公元前580-568年之間的古希臘。那時的數學正值昌盛，忒被是以畢達哥拉斯為代表的畢氏學派對數的認識進行了研究，他們認為“萬物旨數”。所謂數就是指整數，他們確定數的目的是企圖通過揭示數的奧秘來探索宇宙的永恒真理，信條是：宇宙間的一切現象都能歸結為整數或整數之比，即世界上只存在整數與分數，除此之外他們不認識也不承認別的數。在那個時期。上述思想是絕對權威、是“真理”。但是不久人們發現即使邊長為1的正方形對角線不是可比數。這樣畢達哥拉斯“萬物皆數”是不成立的，絕對的權威受到了嚴重的挑戰：一方面證明單位正方形對角線的長不是整數分數，按照他們的觀點，這種長度不是數!另一方面，他們不承認自己的觀點有問題，這就陷入了極大的矛盾之中，這是第一次數學危機。
三、第二次數學危機
第二次數學危機發生在十七世紀。十七世紀微積分誕生后，由于推敲微積分的理論基礎問題，數學界出現混亂局面，即第二次數學危機。其實我翻了一下有關數學史的資料，阿基米德的逼近法實際上已經掌握了無限小分析的基本要素，直到很多年后。牛頓和萊布尼茲開辟了新的天地――微積分。微積分的主要創始人牛頓在一些典型的推導過程中，第一步用了無窮小量作分母進行除法，當然無窮小量不能為零;第二步牛頓又把無窮小量看作零，去掉那些包含它的項，從而得到所要的公式，在力學和幾何學的應用證明了這些公式是正確的，但它的數學推導過程卻在邏輯上自相矛盾。直到19世紀，柯西詳細而有系統地發展了極限理論。柯西認為把無窮小量作為確定的量，即使是零，都說不過去，它會與極限的定義發生矛盾。無窮小量應該是要怎樣小就怎樣小的量，因此本質上它是變量，而且是以零為極限的量，至此柯西澄清了前人的無窮小的概念，另外Weistrass創立了極限理論，加上實數理論，集合論的建立，從而把無窮小量從形而上學的束縛中解放出來，第二次數學危機基本解決。
四、數學史上的第三次危機
1.悖論的產生及意義
(1)什么是悖論
悖論來自希臘語，意思是“多想一想”。這個次的意義比較豐富，它包括一切與人的知覺和日常經驗相矛盾的數學結論，那些結論會使我們驚異無比。悖論是自相矛盾的命題，即如果承認這個命題成立，就可推出它的否定命題成立;反之，如果承認這個命題的否定命題成立，又可推出原命題成立。如果承認它是真的，經過一系列正確的推理，卻又得出它是假的;如果承認它是假的，經過一系列正確的推理，卻又得出它是真的。古今中外有不少著名的悖論，他們震撼了邏輯學和數學的基礎，激發了人們求知和精密的思考，吸引了古往今來許多思想家和愛好者的注意力。解決悖論難題需要創造性的思考，悖論的解決又往往可以給人帶來全新的觀念。
(2)悖論產生的意義
疏忽學悖論是在數學學科理論體系發展到相當高的階段才出現的。它是對數學學科理論體系可能存在的內在矛盾的揭示。雖然暫時引起人們的思想混亂，對正常的科學研究可能會形成一定的沖擊，但它對于揭露原有理論體系中的邏輯矛盾，對于揭露原有理論的缺陷或局限性，對于這一步深入理解，任何和評價原有科學理念，對于原有的科學概念或理論的進一步充實完善和促進科學管理的產生都有相當重要的意義，同時也為科學研究提供新的課題和研究方向。
2.第三次數學危機的產生與解決
(1)第三次數學危機的產生
第三次數學危機發生在1902年，羅素悖論的產生震撼了整個數學界，號稱天衣無縫，絕對正確的數學出現了自相矛盾。
羅素在該悖論中所定義的集合R，被幾乎所有集合論研究者都認為是在樸素集合論中可以合法存在的集合。事實雖是這樣但原因卻又是什么呢?這是由于R是集合，若R含有自身作為元素，就有R R，那么從集合的角度就有RR。一個集合真包含它自己，這樣的集合顯然是不存在的。因為既要R有異于R的元素，又要R與R是相同的，這顯然是不可能的。因此，任何集合都必須遵循R R的基本原則，否則就是不合法的集合。這樣看來，羅素悖論中所定義的一切R R的集合，就應該是一切合法集合的集合，也就是所有集合的集合，這就是同類事物包含所有的同類事物，必會引出最大的這類事物。歸根結底，R也就是包含一切集合的“最大的集合”了。因此可以明確了，實質上，羅素悖論就是一個以否定形式陳述的最大集合悖論。
(2)第三次數學危機的解決
羅素的悖論產生后，數學家們就開始為這場危機尋找解決的辦法，其中之一是把集合論建立在一組公理之上，以回避悖論。首先進行這個工作的是德國數學家策梅羅，他提出七條公理，建立了一種不會產生悖論的集合論，又經過德國的另一位數學家弗芝克爾的改進，形成了一個無矛盾的集合論公理系統(即所謂zF公理系統)，這場數學危機到此緩和下來。
現在，我們通過離散數學的學習，知道集合論主要分為Cantor集合論和Axiomatic集合論，集合是先定義了全集I，空集，在經過一系列一元和二元運算而得來的。而在七條公理上建立起來的集合論系統避開了羅素悖論，使現代數學得以發展。
三次數學危機是我們數學史發展中的一個奠基，他為我們日后更詳細、深入的研究數學做了很好的鋪墊，我我想以后也許會有第四次數學危機，但數學家也會把它化解掉，只有出現危機，才能使我們的數學研究達到更高的境界。
三次數學危機論文篇二
數學的產生和發展，始終與人類社會的生產和生活有著密不可分的聯系。在新教材中，任何一個新概念的引入，都特別強調它的現實背景、數學理論發展背景或數學發展的歷史背景，只有這樣才能讓學生感到知識發展水到渠成。所以特別希望在教學中能不時滲透數學史的相關知識，充分發揮和利用數學史的教育價值，使學生通過了解數學史，而更加全面更加深刻地理解數學、感悟數學。
一、集合論的誕生
一般認為，集合論誕生于1873年底。1873年11月29日，康托爾(G.Gsntor，1845-1918)在給戴德金(Julius Wilhelm Richard Dedekind，1831—1916)的信中提問“正整數集合與實數集合之間能否一一對應起來?”這是一個導致集合論產生的大問題。幾天后，康托爾用反證法證明了此問題的否定性結果，“實數是不可數集”，并將這一結果以標題為《關于全體實代數數集合的一個性質》的論文發表在德國《克萊爾數學雜志》上，這是“關于無窮集合論的第一篇革命性論文”，在其系列論文中，他首次定義了集合、無窮集合、導集、序數、集合運算等，康托爾的這篇文章標志著集合論的誕生。
二、集合論成為現代數學大廈的基礎
康托爾的集合論是數學史上最具革命性和創造性的理論，他處理了數學上最棘手的對象——無窮集合，讓無數因“無窮”而困擾許久的數學家們在這種神奇的數學世界找回了自己的精神家園。它的概念和方法滲透到了代數、拓撲和分析等許多數學分支，甚至滲透到物理學等其他自然學科，為這些學科提供了奠基的方法。幾乎可以說，沒有集合論的觀點，很難對現代數學獲得一個深刻的理解。
集合論誕生的前后20年里，經歷千辛萬苦，但最終獲得了世界的承認，到了20世紀初，集合論已經得到數學家們的普遍贊同，大家一致認為，一切數學成果都可以建立在集合論的基礎之上了，簡言之，借助集合論的概念，便可以建立起整個數學大廈，就連集合論誕生之初強烈反對的著名數學家龐加萊(Jules Henri Poincaré，1854-1912)也興高采烈地在1900年的第二次國際數學家大會上宣布：“借助集合論概念，我們可以建造整個數學大廈。今天，我們可以說絕對的嚴格性已經達到了。”然而，好景不長，一個震驚數學界的消息傳出，集合論是有漏洞的!如果是這樣，則意味著數學大廈的基礎出現了漏洞，對數學界來說，這將是多么可怕啊!
三、羅素(Bertrand Russell，1872-1970)悖論導致第三次數學危機
1903年，英國數學家羅素在《數學原理》一書上給出一個悖論，很清楚地表現出集合論的矛盾，從而動搖了整個數學的基礎，導致了數學危機的產生，史稱“第三次數學危機”。
羅素構造了一個所有不屬于自身(即不包含自身作為元素)的集合R，現在問R是否屬于R?如果R屬于R，則R滿足R的定義，因此R不屬于自身，即R不屬于R。另一方面，如果R不屬于R，則R不滿足R的定義，因此R應屬于自身，即R屬于R，這樣，不論任何情況都存在矛盾，這就是有名的羅素悖論(也稱理發師悖論)。
羅素悖論不僅動搖了整個數學大廈的基礎，也波及到了邏輯領域，德國的著名邏輯學家弗里茲在他的關于集合的基礎理論完稿而即將付印時，收到了羅素關于這一悖論的信，他立刻發現，自己忙了很久得出的一系列結果卻被這條悖論攪得一團糟，他只能在自己著作的末尾寫道：“一個科學家所碰到的最倒霉的事，莫過于是在他的工作即將完成時卻發現所干的工作的基礎崩潰了。”這樣，羅素悖論就影響到了一向被認為極為嚴謹的兩門學科——數學和邏輯學。
四、消除悖論，化解危機
羅素悖論的存在，明確地表示集合論的某些地方是有毛病的，由于20世紀的數學是建立在集合論上的，因此，許多數學家開始致力于消除矛盾，化解危機。數學家紛紛提出自己的解決方案，希望能夠通過對康托爾的集合論進行改造，通過對集合定義加以限制來排除悖論，這就需要建立新的原則。
在20世紀初，大概有兩種方法。一種是1908年由數學家策梅洛(Zermelo，Ernst Friedrich Ferdinand，1871～1953)提出的公理化集合論，把原來直觀的集合概念建立在嚴格的公理基礎上，對集合加以充分的限制以消除所知道的矛盾，從而避免悖論的出現，這就是集合論發展的第二階段：公理化集合。
解鈴還須系鈴人，在此之前，危機的制造者羅素在他的著作中提出了層次的理論以解決這個矛盾，又稱分支類型化。不過這個層次理論十分復雜，而策梅洛則把這個方法加以簡化，提出了“決定性公理(外延公理)、初等集合公理、分離公理組、冪集合公理、并集合公理、選擇公理和無窮公理”，通過引進這七條公理限制排除了一些不適當的集合，從而消除了羅素悖論產生的條件。后來，策梅洛的公理系統又經其他人，特別是弗蘭克爾(A.A.Fraenkel)和斯科倫(T.Skolem)的修正和補充，成為現代標準的“策梅洛——弗蘭克爾公理系統(簡稱ZF系統)”，這樣，數學又回到嚴謹和無矛盾的領域，而且更促使一門新的數學分支——《基礎數學》迅速發展。
五、危機的啟示
從康托爾集合論的提出至今，時間已經過去了一百多年，數學又發生了巨大的變化，而這一切都與康托爾的開拓性工作密不可分，也和數學家們的艱辛努力密不可分。從危機的產生到解決，我們可以看到，數學的發展跟提出問題和面對困難是離不開的，期間要經歷無數的挫折和失敗，但是只要堅持，終會走向成功。
矛盾的消除，危機的化解，往往給數學帶來新的內容，新的變化，甚至革命性的變革，這也反映出矛盾斗爭是事物發展的歷史性動力的基本原理。正如數學家克萊因(FelixChristianKlein1849-1925)在《數學——確定性喪失》中說：“與未來的數學相關的不確定性和可疑，將取代過去的確定性和自滿，雖然這次悖論已經找到解釋，危機也已化解，但是更多的還是未知，因為只要仔細分析，矛盾又將會被認識更為深刻的研究者發現，這種發現不應該被認為是‘危機’，而應該感到，下一個突破的機會來到了。”
參考文獻：
1.《普通高中課程標準實驗教科書——數學必修1》教師教學用，人民教育出版社
2.胡作玄，《第三次數學危機》
三次數學危機論文篇三
中華人民共和國的誕生，為中國數千年的文明史揭開了新的篇章，我國數學科學的研究出現了生機勃勃的景象，以下是小編搜集的一篇關于三次數學危機探討的論文范文，供大家閱讀參考，
從我國數學的發展看三次數學危機。
1 引言
數學中有大大小小的許多矛盾，比如正與負、加法與減法、微分與積分、有理數與無理數、實數與虛數等等。但是整個數學發展過程中還有許多深刻的矛盾，例如有窮與無窮，連續與離散，乃至存在與構造，邏輯與直觀，具體對象與抽象對象，概念與計算等等。在整個數學發展的歷史上，貫穿著矛盾的斗爭與解決。而在矛盾激化到涉及整個數學的基礎時，就產生數學危機。整個數學的發展史就是矛盾斗爭的歷史，斗爭的結果就是數學領域的發展。
2 三次數學危機
第一次數學危機發生在古希臘，源于畢達哥拉斯的以數為基礎的宇宙模型和數是可公度的信條。畢達哥拉斯認為，事物的本質是由數構成的，并以數為基礎，構造了宇宙模型[1].在畢達哥拉斯看來，數就是整數或整數之比。但這一信條后來遇到了困難。因為有些數是不可公度的。這一矛盾，導致了畢達哥拉斯關于數的信條的破產，并進一步導致了畢達哥拉斯以數為基礎的宇宙模型的破產。這在當時產生的震動太大了，因此歷史上稱之為第一次數學危機。
17、18世紀關于微積分發生的激烈的爭論，被稱為第二次數學危機[2].在17世紀晚期，形成了微積分學。牛頓和萊布尼茨被公認為微積分的奠基者。他們的功績主要在于把各種有關問題的解法統一成微積分，有明確的計算步驟，微分法和積分法互為逆運算[3].由于新誕生的微積分方法中隱含著邏輯推理上的嚴重缺陷，導致了無窮小悖論[4].當時牛頓等人不能自圓其說，而且，其后一百年間的數學家也未能有力的回答貝克萊的質問，由此而引起數學界甚至哲學界長達一個半世紀的爭論，造成第二次數學危機.
19世紀末分析嚴格化的最高成就--集合論，似乎給數學家們帶來了一勞永逸擺脫基礎危機的希望。龐加萊甚至在1900年巴黎國際數學大會上宣稱：現在我們可以說，完全的嚴格性已經達到了![5]但就在第二年，一場搖撼整個數學大廈基礎的暴風雨來臨了，英國數學家羅素以一個簡單明了的集合論悖論打破了人們的上述希望，引起了關于數學基礎的新爭論。他把關于集合論的一個著名悖論用故事通俗地表述出來。
它和其它一些集合論悖論一樣，對數學發展的影響是十分深刻、巨大的，甚至可以說是動搖了整個數學的基礎，并導致了第三次數學危機。
3 從我國數學的發展看三次數學危機
中華人民共和國的誕生，為中國數千年的文明史揭開了新的篇章，我國數學科學的研究出現了生機勃勃的景象，這是我們國家社會主義建設的需要，也是我們黨和國家非常重視科學技術的結果，
數學論文《從我國數學的發展看三次數學危機。中國科學院于1950年開始籌建數學研究所，1952年正式成立。全國各高等院校普遍設置了數學系，《數學學報》和《數學通報》復刊。1958年~1960年的大躍進時期，在極左思潮影響下，數學基礎理論研究受到很大沖擊，積極的一面是明確了向世界先進水平看齊的奮斗目標，也重視理論聯系實際，線性規劃得到大力推廣并創造了切實可行的圖上作業法,運籌學由此在我國發展起來。在發展我國高科技過程中，例如1965年9月17日，我國科學工作者在世界上首次用人工方法合成結晶牛胰島素。
我們不能不承認，數學對于現實生活的影晌正在與日俱增。許多學科都在悄悄地經歷著一場數學化的進程。現在，已經沒有哪個領域能夠抵御得住數學方法的滲透。因此，對于數學，特別是現代數學加以普及，使得數學和數學家的工作能對現實生活產生應有的積極影響，這已成為人們日益重視的課題。
4 總結
綜上所述三次數學危機對數學的發展影響是巨大的。第一次數學危機中產生的歐幾里德幾何對樹立天文學的發展起了很大的推動作用，第一次數學危機使古希臘數學基礎發生了根本性的變化，使古希臘的數學基礎轉向幾何。第二次數學危機中波爾查諾給出了連續性的正確定義;阿貝爾指出要嚴格限制濫用級數展開及求和;柯西指出無窮小量和無窮大量都是變量，并且定義了導數和積分;狄利克雷給出了函數的現代定義;美國數理邏輯學家羅賓遜又利用無窮小量引進超實數的概念，建立了非標準分析，同樣也能精確的描述微積分，解決無窮小悖論。第三次數學危機建立了實數理論，且在此基礎上建立了極限的基本定理，使數學分析建立在實數理論的嚴格基礎之上，康托爾創立了集合論。而且還產生了公理化方法論和數理邏輯等一批新穎學科。我國以至世界各國的數學發展也都依賴于三次數學危機中產生的數學的新內容。整個數學的發展是一個層層深入、層層遞進的過程。
參考文獻：
[1]人民教育出版社中學數學室著.現代數學概論[M].北京：人民教育出版社，2003.
[2]張光遠.現代化知識文庫：二十世紀數學史話[M].知識出版社，1984.2
[3]袁小明.數學史話[M].山東教育出版社，1985.
[4]于寅.近代數學基礎[M].華中理工大學出版社，1999.3.
[5]王浩.數理邏輯通俗講話[M].北京：科學出版社，1991.
猜你感興趣的：
1.關于數學危機論文