數學論文導數及應用范文(2)
數學論文導數及應用范文
數學論文導數及應用篇三
摘 要：高等數學是一門方法學科，因此可以說是許多專業課程的基礎。然而導數這一章節在高等數學中是尤為重要的，在高等數學的整個學習過程中，它起著承前啟后的作用，是學習高等數學非常重要的任務。本文詳細地闡述了導數的求解方法和在實際中的應用。
關鍵詞：高等數學 導數 求解 應用
導數的基本概念在高等數學中地位很高，是高等數學的核心靈魂，因此學習導數的重要性是不言而喻的。然而這種重要性很多同學沒有意識到，更不懂得如何求解導數以及運用導數來解決有關的問題。我通過自己的學習和認識，舉例子說明了幾種導數的求解方法以及導數在實際中的應用。
一、導數的定義
1.導數的定義
設函數y=f(x)在點x0的某一鄰域內有定義，如果自變量x在x0的改變量為△x(x0≠0，且x0±△x仍在該鄰域內)時，相應的函數有增量△y=f(x0+△x)-f(x0)。
若△y與△x之比 ，當△x→0時，有極限lim =lim 存在，就稱此極限為該函數y=f(x)在點x0的導數，且有函數y=f(x)在點x=x0處可導，記為f`(x0)。
2.導數的幾何意義
函數y=f(x)在點x0處的導數在幾何上表示曲線y=f(x)在點〔x0，f(x0)〕處的切線斜率，即f`(x0)=tan，其中是切線的傾角。如果y=f(x)在點x0處的導數為無窮大，這時曲線y=f(x)的割線以垂直于x軸的直線x=x0為極限位置，即曲線y=f(x)在點〔x0，f(x0)〕處具有垂直于x軸的切線x=x0。根據導數的幾何意義并應用直線的點斜式方程，可知曲線y=f(x)在點〔x0，f(x0)〕處的切線方程。
二、導數的應用
1.實際應用
假設某一公司每個月生產的產品固定的成本是1000元，關于生產數量x的可變成本函數是0.01x2+10x元，若每個產品的銷售價格是30元，求：總成本的函數，總收入的函數，總利潤的函數，邊際收入，邊際成本及邊際利潤等為零時的產量。
解：總的成本函數是可變成本函數和固定成本函數之和：
總成本的函數C(x)=0.01x2+10x+1000
總收入的函數R(x)=px=30x(常數p是產品數量)
總利潤的函數I(x)=R(x)-C(x)=30x-0.01x2-10x-1000=-0.01x2+20x-1000
邊際收入R(x)Γ=30
邊際成本C(x)=0.02x+20
邊際利潤I(x)=-0.02x+20
令I(x)=0得-0.02x+20=0，x=1000。也就是每月的生產數量為1000個時，邊際利潤是零。這也就表明了，當每月生產數目為1000個時，利潤也不會再增加了。
2.洛必達法則的應用
如果當x→a(或x→∞)時，兩個函數f(x)與F(x)都趨于零或都趨于無窮大，那么極限lim 可能存在，也可能不存在。通常把這種極限叫做未定式，分別簡記為 或 。對于這類極限，即使它存在也不能用“商的極限等于極限的商”這一重要法則。下面我們會得出這一類極限的一種簡便并且很重要、很實用的方法。
定理1，設：
(1)當x→a時函數f(x)及F(x)都趨于零;
(2)在點a的某去心領域內，兩個函數f(x)與F(x)的導數都存在且F(x)的導數不等于零;
(3)當x→a時函數f(x)的導數與函數F(x)的導數比的極限存在(或為無窮大);
那么lim 的極限存在就等于函數f(x)的導數與函數F(x)的導數比值在x→a時的導數。這種在一定的條件下通過運用分子分母分別求導再求極限來確定未定式的極限值的方法就稱為洛必達法則。
定理2，設：
(1)當x→∞時函數f(x)及F(x)都趨于零;
(2)在點a的某去心領域內，兩個函數f(x)與F(x)的導數都存在且F(x)的導數不等于零;
(3)當x→∞時函數f(x)的導數與函數F(x)的導數比的極限存在(或為無窮大);
那么lim 的極限存在就等于函數f(x)的導數與函數F(x)的導數比值在x→∞時的導數。
洛必達法則是計算未定式極限的一個重要并且效果很好的法則。盡管洛必達法則計算省時方便，但極易出錯，下面是應用這個法則時應注意的問題：
在使用洛必達法則之前必須看好極限是不是 型或 型，若用過洛必法則之后還是 型或 型，就繼續使用，直至得出所要求的結果。在使用洛必達法則時，要盡最大可能聯系和極限相關的性質一起使用，使用極限的性質處理問題，先做一定恰當的處理，最后用洛必達法則求解出結果。
3.判定函數的單調性的應用
函數單調性的判定方法：函數在區間上單調增加(或遞減)是函數的單調性。下面利用導數的概念對函數的單調性進行一些研究。
如果函數y=f(x)在[a，b]上單調增加(單調減少)，那么它的圖形是一條沿著橫軸正向上升(或下降)的曲線。這時，各點處的斜率是非負的(非正的)，即y`=f`(x)≥0〔y`=f`(x)≤0〕。由此可見，函數的單調性與導數的符號有著緊密的聯系。反過來，用導數的符號來確定函數的單調性是不是可行呢?這就需要我們用相關的定理來證明一下這一想法是不是正確。經過拉格朗日中值定理的證明得出如下定理：
定理1，設函數y=f(x)在[a，b]上連續，在(a，b)內可導。
(1)如果(a，b)內函數的導函數大于零，那么函數y=f(x)在[a，b]上單調增加;
(2)如果(a，b)內函數的導函數小于零，那么函數y=f(x)在[a，b]上單調減少。 即便是把這個判定法中的閉區間換成其他各種區間(甚至包括無窮區間)，這個結果最終也是成立的。與此同時也要注意下面的一些問題：有些函數在它的定義區間上不是單調的，但是當我們用導數等于零的點來劃分函數的定義區間以后，就可以使函數在各個部分區間上單調。這個結論對于在定義區間上具有連續導數的函數都是成立的。還可以得出，如果函數在某些點處不可導，則劃分函數的定義區間的分點還應包括這些導數不存在的點。
綜合以上兩種情形，我們可以得出下面的結論：
如果函數在定義區間上連續，除去有限個導數不存在的點外導函數存在且連續，那么只要用方程f`(x)=0的根及導函數不存在的點來劃分函數f(x)的定義區間，就能保證導函數f`(x)在各個部分區間內保持固定符號，因而函數f(x)在每個部分區間上也都是單調的。
4.曲線的凹凸性
前面我們介紹了導數在函數的單調性問題上的運用，下面我們來探討曲線的凹凸性及其拐點的確定。函數的單調性在圖形的反映上，就是曲線的上升或者下降。但是曲線在上升或下降的過程中，還要考慮彎曲方向這一問題。曲線在上升或下降的過程中有可能是凹的也有可能是凸的曲線弧，根據曲線弧凹凸性的不同，我們來研究下曲線的凹凸性及其拐點的判定。從幾何圖形上直觀地發現，在有的曲線弧上，如果任取兩點，然后聯接這兩點間的弦總位于這兩點間的弧段的上方，而有些曲線弧恰恰與之相反，曲線的這種性質就是曲線的凹凸性。故曲線的凹凸性可以用聯接曲線弧上任意兩點的弦的中點與曲線弧上相應的點(即具有相同橫坐標的點)的位置關系來描述。下面是曲線凹凸性的定義：
假設f(x)在區間I上連續，如果對I上任意兩點，恒有f( )< ，那么稱f(x)在I上的圖形是(向上)凹的(或凹弧);反之，那么稱f(x)在I上的圖形是(向下)凸的(或凸弧)。
如果函數f(x)在I內具有二階導數，那么可以利用二階導數的符號來判別曲線的凹凸性，這就是下面的曲線凹凸性的判定定理。當I不是閉區間時，定理也一樣。
定理2，假設函數y=f(x)在[a，b]上連續，在(a，b)內具有一階和二階導數，那么：
(1)若在(a，b)內二階導函數恒大于零，則函數y=f(x)在[a，b]上的圖形是凹的。
(2)若在(a，b)內二階導函數恒小于零，則函數y=f(x)在[a，b]上的圖形是凸的。
一般情況下，設y=(x)在區間I上連續，區間I內的一點x0，如果曲線y=f(x)在經過點〔x0，f(x0)〕時曲線的凹凸性改變了，那么就稱點〔x0，f(x0)〕為該曲線的拐點。
尋找曲線拐點的方法如下：從以上的定理可知，由y=f(x)的二階導數的符號可以判定曲線的凹凸性，因此，如果二階導函數的左右兩側臨近異號，那么該點就是曲線的一個拐點。故要尋找一個曲線的拐點，只要找出二階導函數的符號發生變化的分界點即可。如果一個函數的二階導函數在區間I存在，那么在這樣的分界點處必然有二階導函數為零的橫坐標值;除此以外，二階導函數不存在的點，也有可能是二階導函數符號發生變化的分界點。綜合以上的分析和探討，在判定區間I上的連續曲線的拐點時，我們可以得出這樣的結論：
求出二階導函數并解出二階導函數為零的橫坐標值，求出在區間I內二階導函數不存在的點，對于求出的橫坐標值或二階導函數不存在的點，檢查二階導函數在這些橫坐標值的左右兩側的值是否異號。如果異號，則為曲線的拐點;反之，則不是。
三、結論
在高等數學學習中，導數的求解方法以及與導數相關的概念都是非常深奧、難以理解的，因此需要重點學習。而導數這一章節作為整個課程的核心，不管在平常測試還是其他任何考試中都處于整本教材的重要地位，并且這一章節是后續課程內容比如微分問題、積分問題、多元函數的微積分等章節的必備基礎知識，故學好導數這一章節是學好高等數學這門課程的基礎。
在以往的學習和教學經歷中，我遇到多數的學生學習起高等數學來簡直難熬甚至非常吃力，我認為找不到學習高等數學這門課程的方法和技巧是學生們學習吃力費事的關鍵。在這里，結合教學中的好經驗，還有不好的經驗并引以為戒，以及大學生學習高等數學時常常出現的問題，詳細地講述了導數的求解問題，期望大家能夠取得良好的學習成效。
上面的內容進一步說明了，在求解導數的問題時尤其要注意使用洛必達法則以找到方便快速的解題方法，如此便可以化繁為簡，把難的問題簡單化，提高解決問題的效率。再就是導數真的是對后續章節的學習非常重要，因此我們不止要深入地了解導數的定義還要吃透定義，徹底領會導數的含義。學習導數要精通多種常用的求解導數的方法和了解不太常見的求解方法，以便在閑暇時研究探討，更要創新性地把導數運用到實際生活當中，去解決生活中的問題。
本文以實踐知識的認識為依據，講述了高等數學導數的一些常用求解方法以及一些生活中的應用，希望對大家的生活和事業有些許幫助。
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