高二數學拋物線及其標準方程

高二數學拋物線及其標準方程

　　高中數學拋物線的學習目標是讓學生進一步熟練掌握解析幾何的基本思想方法，提高分析、對比、概括、轉化等方面的能力.小編整理了相關資料，希望能幫助到您。

　　一.課題：拋物線及其標準方程(1)

　　二.教學目標：

　　1.使學生掌握拋物線的定義、拋物線的標準方程及其推導過程.

　　2.要求學生進一步熟練掌握解析幾何的基本思想方法，提高分析、對比、概括、轉化等方面的能力.

　　3.通過一個簡單實驗引入拋物線的定義，可以對學生進行理論來源于實踐的辯證唯物主義思想教育.

　　三.教學重、難點：

　　1. 重點：拋物線的定義和標準方程.(解決辦法：通過一個簡單實驗與橢圓、雙曲線的定義相比較引入拋物線的定義;通過一些例題加深對標準方程的認識).

　　2. 難點：拋物線的標準方程的推導.(解決辦法：由三種建立坐標系的方法中選出一種最佳方法，避免了硬性規定坐標系.)

　　四、教學過程

　　(一)導出課題：我們已學習了圓、橢圓、雙曲線三種圓錐曲線.今天我們將學習第四種圓錐曲線--拋物線，以及它的定義和標準方程.課題是"拋物線及其標準方程".

　　請大家思考兩個問題：

　　問題1：同學們對拋物線已有了哪些認識?

　　在物理中，拋物線被認為是拋射物體的運行軌道;在數學中，拋物線是二次函數的圖象?

　　問題2：在二次函數中研究的拋物線有什么特征?

　　在二次函數中研究的拋物線，它的對稱軸是平行于y軸、開口向上或開口向下兩種情形.

　　引導學生進一步思考：如果拋物線的對稱軸不平行于y軸，那么就不能作為二次函數的圖象來研究了.今天，我們突破函數研究中這個限制，從更一般意義上來研究拋物線.

　　(二)拋物線的定義

　　1.回顧：平面內與一個定點F的距離和一條定直線l的距離的比是常數e的軌跡，

　　當01時是雙曲線，那么當e=1時，它又是什么曲線?

　　2.簡單實驗

　　如圖2-29，把一根直尺固定在畫圖板內直線l的位置上，一塊三角板的一條直角邊緊靠直尺的邊緣;把一條繩子的一端固定于三角板另一條直角邊上的點A，截取繩子的長等于A到直線l的距離AC，并且把繩子另一端固定在圖板上的一點F;用一支鉛筆扣著繩子，緊靠著三角板的這條直角邊把繩子繃緊，然后使三角板緊靠著直尺左右滑動，這樣鉛筆就描出一條曲線，這條曲線叫做拋物線.反復演示后，請同學們來歸納拋物線的定義，教師總結.

　　3.定義：

　　平面內與一定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線(定點F不在定直線l上).定點F叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準線.

　　(三)拋物線的標準方程

　　設定點F到定直線l的距離為p(p為已知數且大于0).下面，我們來求拋物線的方程.怎樣選擇直角坐標系，才能使所得的方程取較簡單的形式呢?

　　讓學生議論一下，教師巡視，啟發輔導，最后簡單小結建立直角坐標系的幾種方案：

　　方案1：(由第一組同學完成，請一優等生演板.)

　　以l為y軸，過點F與直線l垂直的直線為x軸建立直角坐標系(圖2-30).設定點F(p，0)，動點M的坐標為(x，y)，過M作MD⊥y軸于D，拋物線的集合為：p={M||MF|=|MD|}.

　　化簡后得：y=2pxp (p>0).

　　方案2：(由第二組同學完成，請一優等生演板)

　　以定點F為原點，平行l的直線為y軸建立直角坐標系(圖2-31).設動點M的坐標為(x，y)，且設直線l的方程為x=-p，定點F(0，0)，過M作MD⊥l于D，拋物線的集合為：

　　p={M||MF|=|MD|}.

　　化簡得：y=2px+p (p>0).

　　方案3：(由第三、四組同學完成，請一優等生演板.)

　　取過焦點F且垂直于準線l的直線為x軸，x軸與l交于K，以線段KF的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系(圖2-32).

　　拋物線上的點M(x，y)到l的距離為d，拋物線是集合p={M||MF|=d}.

　　化簡后得：y=2px(p>0).

　　比較所得的各個方程，應該選擇哪些方程作為拋物線的標準方程呢?

　　引導學生分析出：方案3中得出的方程作為拋物線的標準方程.這是因為這個方程不僅具有較簡的形式，而方程中的系數有明確的幾何意義：一次項系數是焦點到準線距離的2倍.由于焦點和準線在坐標系下的不同分布情況，拋物線的標準方程有四種情形(列表如下)：

　　由學生講清為什么會出現四種不同的情形，四種情形中P>0;并指出圖形的位置特征和方程的形式應結合起來記憶.即：當對稱軸為x軸時，方程等號右端為±2px，相應地左端為y;當對稱軸為y軸時，方程等號的右端為±2py，相應地左端為x.同時注意：當焦點在正半軸上時，取正號;當焦點在負半軸上時，取負號.

　　(四)四種標準方程的應用

　　例題：(1)已知拋物線的標準方程是y=6x，求它的焦點坐標和準線方程;

　　(2)已知拋物線的焦點坐標是F(0，2)，求它的標準方程.

　　方程是x=8y.

　　練習：根據下列所給條件，寫出拋物線的標準方程：

　　(1)焦點是F(3，0); 答案是：(1)y=12x;(2)y=x;(3)焦點到準線的距離是2. (3)y=4x，y=4x，x=4y，x=4y.

　　由三名學生演板，教師予以訂正.

　　這時，教師小結一下：由于拋物線的標準方程有四種形式，且每一種形式中都只含一個系數p，因此只要給出確定p的一個條件，就可以求出拋物線的標準方程.當拋物線的焦點坐標或準線方程給定以后，它的標準方程就唯一確定了;若拋物線的焦點坐標或準線方程沒有給定，則所求的標準方程就會有多解.

　　(五)小結：

　　本次課主要介紹了拋物線的定義，推導出拋物線的四種標準方程形式，并加以運用.

　　五、作業：

　　到準線的距離是多少?點M的橫坐標是多少?

　　2.求下列拋物線的焦點坐標和準線方程：(1)x=2y;(2)4x+3y=0;(3)2y+5x=0;(4)y6x=0.

　　3.根據下列條件，求拋物線的方程，并描點畫出圖形：

　　(1)頂點在原點，對稱軸是x軸，并且頂點與焦點的距離等于6;

　　(2)頂點在原點，對稱軸是y軸，并經過點p(6，3).

　　4.求焦點在直線3x4y12=0上的拋物線的標準方程.

　　作業答案：

　　3.(1)y=24x，y=2x，(2)x=12y(圖略)

　　4.分別令x=0，y=0得兩個焦點F1(0，3)，F2(4，0)，從而可得拋物線方程為x=12y或y=16x.