談談反證法在教學中的應用
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吳艷1由 分享
一. 引言
有個很著名的“道旁苦李”的故事：從前有個名叫王戎的小孩，一天，他和小朋友發現路邊的一棵樹上結滿了李子，小朋友一哄而上，去摘，嘗了之后才知是苦的，獨有王戎沒動，王戎說：“假如李子不苦的話，早被路人摘光了，而這樹上卻結滿了李子，所以李子一定是苦的。”這個故事中王戎用了一種特殊的方法，從反面論述了李子為什么不甜，不好吃。這種間接的證法就是我們下面所要討論的反證法。
二. 反證法的定義、邏輯依據、種類及模式
定義：反證法是從反面的角度思考問題的證明方法，屬于“間接證明”的一類，即肯定題設而否定結論，從而導出矛盾，推理而得。
種類：運用反證法的關鍵在于歸謬，因此反證法又稱為歸謬法。根據結論B的反面情況不同，分為簡單歸謬法和窮舉歸謬法。
模式：設待證的命題為“若A則B”，其中A是題設，B是結論，A、B本身也都是數學判斷，那么用反證法證明命題一般有三個步驟：
反設：作出與求證結論相反的假設；
歸謬：將反設作為條件，并由此通過一系列的正確推理導出矛盾；
結論：說明反設不成立，從而肯定原命題成立。
三. 反證法的適用范圍
1.否定性命題
即結論以“沒有……”“不是……”“不能……”等形式出現的命題，直接證法一般不易入手，而反證法有希望成功。
例 求證：在一個三角形中，不能有兩個角是鈍角。已知：∠A，∠B，∠C是三角形ABC的三個內角。求證：∠A，∠B，∠C中不能有兩個鈍角。
證明：假如∠A，∠B，∠C中有兩個鈍角，不妨設∠A＞900,且∠B＞900，則∠A+∠B+∠C＞1800。這與“三角形內角和為1800”這一定理相矛盾。 故 ∠A，∠B均大于900不成立。所以，一個三角形不可能有兩個鈍角。
2.限定式命題
即結論中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等詞語的命題。
例 在半徑為 的圓中，有半徑等于1的九個圓，證明：至少有兩個小圓的公共部分的面積不小于 。
證明：每個小圓的公共部分的面積都小于 ，而九個小圓共有 個公共部分，九個小圓的公共部分面積要小于 ，又大圓面積為 ，則九個小圓應占面積要大于 ，這是不可能的，故至少有兩個小圓的公共部分面積不少于 。
例 已知方程 ， ， 中至少有一個方程有實數值，求實數 的取值范圍。
分析：此題直接分情況用判別式求解就特別麻煩，可用反證法，假設三個方程都無實數根，然后求滿足條件 的集合的補集即可。
證明：假設三個方程都無實根，則有：
解得
例 已知m，n，p都是正整數，求證：在三個數中，至多有一個數不小于1．
證 假設a，b，c中至少有兩個數不小于1，不妨設a≥1，b≥1，則
m≥n+p，n≥p+m．
兩式相加，得2p≤0，從而p≤0，與p是正整數矛盾．
所以命題成立．
說明 “不妨設”是為了簡化敘述，表示若有b≥1，c≥1和a≥1等其他各種情況時，證明過程是同樣的．
∴所求 的范圍為 .
3.無窮性命題
即涉及各種“無限”結論的命題。
例 求證： 是無理數。
分析：由于題目給我們可供便用的條件實在太少，以至于正面向前進一小步都非常困難。而無理數又是無限不循環的，“無限”與“不循環”都很難表示出來。當反設 是有理數時，就增加了一個具體而有效的“條件”，使得能方便地將 表示為一個分數。
證明：假設 是有理數，則存在 互質，使 ，從而， 為偶數，記為 ，∴ ，∴ ，則 也是偶數。由 , 均為偶數與 、 互質矛盾，故 是無理數。
例 求證：素數有無窮多個。
證明：假設素數只有n個： P1、P2……Pn，取整數N=P1?P2……Pn+1，顯然N不能被這幾個數中的任何一個整除。因此，或者N本身就是素數（顯然N不等于“P1、P2、……Pn中任何一個），或者N含有除這n個素數以外的素數r，這些都與素數只有n個的假定相矛盾，故素數個數不可能是有限的，即為無限的。
四. 運用反證法應注意的問題
1.必須正確否定結論
正確否定結論是運用反證法的首要問題。
如：命題“一個三角形中，至多有一個內角是直角”。“至多有一個”指：“只有一個”或“沒有一個”，其反面是“有兩個直角”或“三個內角都是直角”，即“至少有兩個是直角”。
2.必須明確推理特點
否定結論導出矛盾是反證法的任務，但何時出現矛盾，出現什么樣的矛盾是不能預測的，也沒有一個機械的標準,有的甚至是捉摸不定的. 一般總是在命題的相關領域里考慮（ 例如,平面幾何問題往往聯系到相關的公理、定義、定理等），這正是反證法推理的特點。因此，在推理前不必要也不可能事先規定要得出什么樣的矛盾。只需正確否定結論，嚴格遵守推理規則，進行步步有據的推理，矛盾一經出現，證明即告結束。
五、小結
反證法是數學中一種重要的證明方法, 是“數學家的最精良的武器之一”，在許多方面都有著不可替代的作用. 著名的英國數學家G.H.哈代對于這種證明方法作過一個令人滿意的評論。在棋類比賽中，經常采用一種策略是“棄子取勢”—犧牲一些棋子以換取優勢。哈代指出，歸謬法是遠比任何棋術更為高超的一種策略；棋手可以犧牲的是幾個棋子，而數學家可以犧牲的卻是整個一盤棋。歸謬法就是作為一種可以想象的最了不起的策略而產生的。它以其獨特的證明方法和思維方式對培養學生邏輯思維能力和創造性思維有著重大的意義。反證法不僅可以單獨使用,也可以與其他方法結合使用,并且可以在論證一道命題中多次使用,只要我們正確熟練運用,就能做到:精巧、直接、巧解難題、說理清楚、論證嚴謹,提高數學解題能力.
有個很著名的“道旁苦李”的故事：從前有個名叫王戎的小孩，一天，他和小朋友發現路邊的一棵樹上結滿了李子，小朋友一哄而上，去摘，嘗了之后才知是苦的，獨有王戎沒動，王戎說：“假如李子不苦的話，早被路人摘光了，而這樹上卻結滿了李子，所以李子一定是苦的。”這個故事中王戎用了一種特殊的方法，從反面論述了李子為什么不甜，不好吃。這種間接的證法就是我們下面所要討論的反證法。
二. 反證法的定義、邏輯依據、種類及模式
定義：反證法是從反面的角度思考問題的證明方法，屬于“間接證明”的一類，即肯定題設而否定結論，從而導出矛盾，推理而得。
種類：運用反證法的關鍵在于歸謬，因此反證法又稱為歸謬法。根據結論B的反面情況不同，分為簡單歸謬法和窮舉歸謬法。
模式：設待證的命題為“若A則B”，其中A是題設，B是結論，A、B本身也都是數學判斷，那么用反證法證明命題一般有三個步驟：
反設：作出與求證結論相反的假設；
歸謬：將反設作為條件，并由此通過一系列的正確推理導出矛盾；
結論：說明反設不成立，從而肯定原命題成立。
三. 反證法的適用范圍
1.否定性命題
即結論以“沒有……”“不是……”“不能……”等形式出現的命題，直接證法一般不易入手，而反證法有希望成功。
例 求證：在一個三角形中，不能有兩個角是鈍角。已知：∠A，∠B，∠C是三角形ABC的三個內角。求證：∠A，∠B，∠C中不能有兩個鈍角。
證明：假如∠A，∠B，∠C中有兩個鈍角，不妨設∠A＞900,且∠B＞900，則∠A+∠B+∠C＞1800。這與“三角形內角和為1800”這一定理相矛盾。 故 ∠A，∠B均大于900不成立。所以，一個三角形不可能有兩個鈍角。
2.限定式命題
即結論中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等詞語的命題。
例 在半徑為 的圓中，有半徑等于1的九個圓，證明：至少有兩個小圓的公共部分的面積不小于 。
證明：每個小圓的公共部分的面積都小于 ，而九個小圓共有 個公共部分，九個小圓的公共部分面積要小于 ，又大圓面積為 ，則九個小圓應占面積要大于 ，這是不可能的，故至少有兩個小圓的公共部分面積不少于 。
例 已知方程 ， ， 中至少有一個方程有實數值，求實數 的取值范圍。
分析：此題直接分情況用判別式求解就特別麻煩，可用反證法，假設三個方程都無實數根，然后求滿足條件 的集合的補集即可。
證明：假設三個方程都無實根，則有：
解得
例 已知m，n，p都是正整數，求證：在三個數中，至多有一個數不小于1．
證 假設a，b，c中至少有兩個數不小于1，不妨設a≥1，b≥1，則
m≥n+p，n≥p+m．
兩式相加，得2p≤0，從而p≤0，與p是正整數矛盾．
所以命題成立．
說明 “不妨設”是為了簡化敘述，表示若有b≥1，c≥1和a≥1等其他各種情況時，證明過程是同樣的．
∴所求 的范圍為 .
3.無窮性命題
即涉及各種“無限”結論的命題。
例 求證： 是無理數。
分析：由于題目給我們可供便用的條件實在太少，以至于正面向前進一小步都非常困難。而無理數又是無限不循環的，“無限”與“不循環”都很難表示出來。當反設 是有理數時，就增加了一個具體而有效的“條件”，使得能方便地將 表示為一個分數。
證明：假設 是有理數，則存在 互質，使 ，從而， 為偶數，記為 ，∴ ，∴ ，則 也是偶數。由 , 均為偶數與 、 互質矛盾，故 是無理數。
例 求證：素數有無窮多個。
證明：假設素數只有n個： P1、P2……Pn，取整數N=P1?P2……Pn+1，顯然N不能被這幾個數中的任何一個整除。因此，或者N本身就是素數（顯然N不等于“P1、P2、……Pn中任何一個），或者N含有除這n個素數以外的素數r，這些都與素數只有n個的假定相矛盾，故素數個數不可能是有限的，即為無限的。
四. 運用反證法應注意的問題
1.必須正確否定結論
正確否定結論是運用反證法的首要問題。
如：命題“一個三角形中，至多有一個內角是直角”。“至多有一個”指：“只有一個”或“沒有一個”，其反面是“有兩個直角”或“三個內角都是直角”，即“至少有兩個是直角”。
2.必須明確推理特點
否定結論導出矛盾是反證法的任務，但何時出現矛盾，出現什么樣的矛盾是不能預測的，也沒有一個機械的標準,有的甚至是捉摸不定的. 一般總是在命題的相關領域里考慮（ 例如,平面幾何問題往往聯系到相關的公理、定義、定理等），這正是反證法推理的特點。因此，在推理前不必要也不可能事先規定要得出什么樣的矛盾。只需正確否定結論，嚴格遵守推理規則，進行步步有據的推理，矛盾一經出現，證明即告結束。
五、小結
反證法是數學中一種重要的證明方法, 是“數學家的最精良的武器之一”，在許多方面都有著不可替代的作用. 著名的英國數學家G.H.哈代對于這種證明方法作過一個令人滿意的評論。在棋類比賽中，經常采用一種策略是“棄子取勢”—犧牲一些棋子以換取優勢。哈代指出，歸謬法是遠比任何棋術更為高超的一種策略；棋手可以犧牲的是幾個棋子，而數學家可以犧牲的卻是整個一盤棋。歸謬法就是作為一種可以想象的最了不起的策略而產生的。它以其獨特的證明方法和思維方式對培養學生邏輯思維能力和創造性思維有著重大的意義。反證法不僅可以單獨使用,也可以與其他方法結合使用,并且可以在論證一道命題中多次使用,只要我們正確熟練運用,就能做到:精巧、直接、巧解難題、說理清楚、論證嚴謹,提高數學解題能力.