有關抽象函數的全面探析

摘要：抽象函數是函數中的一類綜合性較強的問題。這類問題不僅能考查學生的數學基礎知識，更能考查學生的數學綜合能力。
關鍵詞：抽象函數；定義域；值域；對稱性
抽象函數是一種重要的數學概念。我們把沒有給出具體解析式，其一般形式為y=f(x)，且無法用數字和字母的函數稱為抽象函數。由于抽象函數的問題通常將函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性和圖像集于一身。這類問題考查學生對數學符號語言的理解和接受能力、對一般和特殊關系的認識以及數學的綜合能力。
　　解決抽象函數的問題要求學生基礎知識扎實、抽象思維能力、綜合應用數學能力較高。所以近幾年來高考題中不斷出現，在2009年的全國各地高考試題中，抽象函數遍地開花。但學生在解決這類問題時常常感到束手無策、力不從心。下面通過例題全面探討抽象函數主要考查的內容及其解法。
　　一、抽象函數的定義域
　　例1已知函數f(x)的定義域為[1,3]，求出函數g(x)=f(x+a)+f(x-a)（a＞0）的定義域。
　　解析：由由a＞0
知只有當0＜a＜1時，不等式組才有解，具體為{x|1+a＜x≤3-a；否則不等式組的解集為空集，這說明當且僅當0＜a＜1時，g(x)才能是x的函數，且其定義域為（1+a,3-a]。
點評：1.已知f(x)的定義域為[a,b]，則f[g(x)]的定義域由a≤g(x)≤b，解出x即可得解；2.已知f[g(x)]的定義域為[a,b]，則f(x)的定義域即是g(x)在x[a,b]上的值域。
　　二、抽象函數的值域
　　解決抽象函數的值域問題——由定義域與對應法則決定。
　　例2若函數y=f(x+1)的值域為[-1，1]求y=(3x+2)的值域。
　　解析：因為函數y=f(3x+2)中的定義域與對應法則與函數y=f(x+1)的定義域與對應法則完全相同，故函數y=f(3x+2)的值域也為[-1，1]。
　　三、抽象函數的奇偶性
　　四、抽象函數的對稱性
例3已知函數y=f(2x+1)是定義在R上的奇函數，函數y=g(x)的圖像與函數y=f(x)的圖像關于y=x對稱,則g(x)+g(-x)的值為（）
　　A、2B、0C、1D、不能確定
　　解析：由y=f(2x+1)求得其反函數為y=，∵y=f(2x+1)是奇函數，∴y=也是奇函數，∴。∴，，而函數y=g(x)的圖像與函數y=f(x)的圖像關于y=x對稱，∴g(x)+g(-x)=故選A。
五、抽象函數的周期性
　　例4、（2009全國卷Ⅰ理）函數的定義域為R，若與都是奇函數，則()
　　(A)是偶函數(B)是奇函數
　　(C)(D)是奇函數
解:∵與都是奇函數，，
函數關于點，及點對稱，函數是周期的周期函數.，，即是奇函數。故選D
定理1.若函數y=f(x)定義域為R，且滿足條件f(x＋a)=f(x－b)，則y=f(x)是以T=a＋b為周期的周期函數。
定理2.若函數y=f(x)定義域為R，且滿足條件f(x＋a)=－f(x－b)，則y=f(x)是以T=2（a＋b）為周期的周期函數。
定理3.若函數y=f(x)的圖像關于直線x=a與x=b（a≠b)對稱，則y=f(x)是以T=2(b－a)為周期的周期函數。

定理4.若函數y=f(x)的圖像關于點（a,0)與點(b,0),(a≠b)對稱，則y=f(x)是以T=2(b－a)為周期的周期函數。
定理5.若函數y=f(x)的圖像關于直線x=a與點(b,0),(a≠b)對稱，則y=f(x)是以T=4(b－a)為周期的周期函數。
性質1：若函數f(x)滿足f(a－x)=f(a＋x)及f(b－x)=f(b＋x)(a≠b,ab≠0),則函數f(x)有周期2(a－b)；
性質2：若函數f(x)滿足f(a－x)=－f(a＋x)及f(b－x)=－f(b＋x)，(a≠b,ab≠0),則函數有周期2(a－b).
特別：若函數f(x)滿足f(a－x)=f(a＋x)（a≠0）且f(x)是偶函數，則函數f(x)有周期2a.
性質3：若函數f(x)滿足f(a－x)=f(a＋x)及f(b－x)=－f(b＋x)(a≠b,ab≠0)，則函數有周期4(a－b).
特別：若函數f(x)滿足f(a－x)=f(a＋x)（a≠0）且f(x)是奇函數，則函數f(x)有周期4a。
從以上例題可以發現，抽象函數的考查范圍很廣，能力要求較高。但只要對函數的基本性質熟，掌握上述有關的結論和類型題相應的解法，則會得心應手。
參考文獻：
[1]陳誠.抽象函數問題分類解析[J].數理化學習·，2008(8).