幾個抽象函數問題的粗淺分析
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劉敏1由 分享
抽象函數是一種重要的數學概念．我們把沒有給出具體解析式，其一般形式為y=f(x)，且無法用數字和字母的函數稱為抽象函數．由于抽象函數的問題通常將函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性和圖像集于一身．這類問題考查學生對數學符號語言的理解和接受能力、對一般和特殊關系的認識以及數學的綜合能力．
解決抽象函數的問題要求學生基礎知識扎實、抽象思維能力、綜合應用數學能力較高．所以近幾年來高考題中不斷出現，在2009年的全國各地高考試題中，抽象函數遍地開花．但學生在解決這類問題時常常感到束手無策、力不從心．下面通過例題全面探討抽象函數主要考查的內容及其解法．
一、抽象函數的定義域
例1已知函數f(x)的定義域為[1,3]，求出函數g(x)=f(x+a)+f(x-a) （a＞0）的定義域．
解析：由由a＞0 知只有當0＜a＜1時，不等式組才有解，具體為{x|1+a＜x≤3-a；否則不等式組的解集為空集，這說明當且僅當0＜a＜1時，g(x)才能是x的函數，且其定義域為（1+a,3-a]．
點評：1.已知f(x)的定義域為[a,b]，則f[g(x)]的定義域由a≤g(x)≤b，解出x即可得解；
2.已知f[g(x)]的定義域為[a,b]，則f(x)的定義域即是g(x)在x [a,b]上的值域． 二、抽象函數的值域
解決抽象函數的值域問題——由定義域與對應法則決定．
例2若函數y=f(x+1)的值域為[-1，1]求y=(3x+2)的值域．
解析：因為函數y=f(3x+2)中的定義域與對應法則與函數y=f(x+1)的定義域與對應法則 完全相同，故函數y=f(3x+2)的值域也為[-1，1]．
三、抽象函數的奇偶性
例3若y=f(x)是偶函數,y= f(x-1)是奇函數，求 f(2007)=?
解析：因為y=f(x-1)是奇函數,所以y=f(-x-1)=-f(x-1){為什么？}；因為 y=f(x)是偶函數，所以f(-x-1)=f(x+1){為什么？}；因為f(x+1)=-f(x-1), 所以f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=f(x);因為y=f(x-1)是奇函數,所以f(0)=0=f(-1)=f(2007)
四、抽象函數的對稱性
例4已知函數y=f(2x+1)是定義在R上的奇函數，函數y=g(x)的圖像與函數y=f(x)的圖像關于y=x對稱,則g(x)+ g(-x)的值為（ ）
A、 2 B、 0 C、 1 D、不能確定
解析：由y=f(2x+1)求得其反函數為y=[f （x）-1]/2，∵ y=f(2x+1) 是奇函數，
∴y=[f （x）-1]/2也是奇函數，∴[f （x）-1]/2+[f （-x）-1]/2=0 ∴f （x）+f （-x）=2，而函數y=g(x)的圖像與函數y=f(x)的圖像關于y=x對稱，∴g(x)+ g(-x)= f （x）+f （-x）故選A ．
五、抽象函數的周期性
例5、（2009全國卷Ⅰ理）函數的定義域為R，若f(x+1)與f(x-1)都是奇函數，則( )
(A) f(x)是偶函數 (B) f(x)是奇函數
(C) f(x)= f(x+2) (D) f(x+3)是奇函數
解: ∵f(x+1)與f(x-1)都是奇函數，，
函數關于(-1,0)點，及點(1,0)對稱，函數是周期為4的周期函數.，所以f(x+3)= f(x-1)，即f(x+3)是奇函數．故選D
關于抽象函數的周期性有如下的幾個定理和性質，由于篇幅問題，推導就省略了．
定理1.若函數y=f (x) 定義域為R，且滿足條件f (x＋a)=f (x－b)，則y=f (x) 是以T=a＋b為周期的周期函數．
定理2.若函數y=f (x) 定義域為R，且滿足條件f (x＋a)= －f (x－b)，則y=f (x) 是以T=2（a＋b）為周期的周期函數．
定理3.若函數y=f (x)的圖像關于直線 x=a與 x=b （a≠b)對稱，則y=f (x) 是以T=2(b－a)為周期的周期函數． 轉貼于 中國論文下載中
et 定理4.若函數y=f (x)的圖像關于點（a,0)與點(b,0) , (a≠b)對稱，則y=f (x) 是以 T=2(b－a)為周期的周期函數．
定理5.若函數y=f (x)的圖像關于直線 x=a與 點(b,0),(a≠b)對稱，則y=f (x) 是以 T=4(b－a)為周期的周期函數．
性質1：若函數f(x)滿足f(a－x)=f(a＋x)及f(b－x)=f(b＋x) (a≠b,ab≠0),則函數f(x)有周期2(a－b)；
性質2：若函數f(x)滿足f(a－x)= － f(a＋x)及f(b－x)=－ f(b＋x)，(a≠b,ab≠0),則函數有周期2(a－b).
特別：若函數f(x)滿足f(a－x)=f(a＋x) （a≠0）且f(x)是偶函數，則函數f(x)有周期2a.
性質3：若函數f(x)滿足f(a－x)=f(a＋x)及f(b－x)= － f(b＋x) (a≠b,ab≠0)， 則函數有周期4(a－b).
特別：若函數f(x)滿足f(a－x)=f(a＋x) （a≠0）且f(x)是奇函數，則函數f(x)有周期4a．
從以上例題可以發現，抽象函數的考查范圍很廣，能力要求較高．但只要對函數的基本性質熟，掌握上述有關的結論和類型題相應的解法，則會得心應手．
解決抽象函數的問題要求學生基礎知識扎實、抽象思維能力、綜合應用數學能力較高．所以近幾年來高考題中不斷出現，在2009年的全國各地高考試題中，抽象函數遍地開花．但學生在解決這類問題時常常感到束手無策、力不從心．下面通過例題全面探討抽象函數主要考查的內容及其解法．
一、抽象函數的定義域
例1已知函數f(x)的定義域為[1,3]，求出函數g(x)=f(x+a)+f(x-a) （a＞0）的定義域．
解析：由由a＞0 知只有當0＜a＜1時，不等式組才有解，具體為{x|1+a＜x≤3-a；否則不等式組的解集為空集，這說明當且僅當0＜a＜1時，g(x)才能是x的函數，且其定義域為（1+a,3-a]．
點評：1.已知f(x)的定義域為[a,b]，則f[g(x)]的定義域由a≤g(x)≤b，解出x即可得解；
2.已知f[g(x)]的定義域為[a,b]，則f(x)的定義域即是g(x)在x [a,b]上的值域． 二、抽象函數的值域
解決抽象函數的值域問題——由定義域與對應法則決定．
例2若函數y=f(x+1)的值域為[-1，1]求y=(3x+2)的值域．
解析：因為函數y=f(3x+2)中的定義域與對應法則與函數y=f(x+1)的定義域與對應法則 完全相同，故函數y=f(3x+2)的值域也為[-1，1]．
三、抽象函數的奇偶性
例3若y=f(x)是偶函數,y= f(x-1)是奇函數，求 f(2007)=?
解析：因為y=f(x-1)是奇函數,所以y=f(-x-1)=-f(x-1){為什么？}；因為 y=f(x)是偶函數，所以f(-x-1)=f(x+1){為什么？}；因為f(x+1)=-f(x-1), 所以f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=f(x);因為y=f(x-1)是奇函數,所以f(0)=0=f(-1)=f(2007)
四、抽象函數的對稱性
例4已知函數y=f(2x+1)是定義在R上的奇函數，函數y=g(x)的圖像與函數y=f(x)的圖像關于y=x對稱,則g(x)+ g(-x)的值為（ ）
A、 2 B、 0 C、 1 D、不能確定
解析：由y=f(2x+1)求得其反函數為y=[f （x）-1]/2，∵ y=f(2x+1) 是奇函數，
∴y=[f （x）-1]/2也是奇函數，∴[f （x）-1]/2+[f （-x）-1]/2=0 ∴f （x）+f （-x）=2，而函數y=g(x)的圖像與函數y=f(x)的圖像關于y=x對稱，∴g(x)+ g(-x)= f （x）+f （-x）故選A ．
五、抽象函數的周期性
例5、（2009全國卷Ⅰ理）函數的定義域為R，若f(x+1)與f(x-1)都是奇函數，則( )
(A) f(x)是偶函數 (B) f(x)是奇函數
(C) f(x)= f(x+2) (D) f(x+3)是奇函數
解: ∵f(x+1)與f(x-1)都是奇函數，，
函數關于(-1,0)點，及點(1,0)對稱，函數是周期為4的周期函數.，所以f(x+3)= f(x-1)，即f(x+3)是奇函數．故選D
關于抽象函數的周期性有如下的幾個定理和性質，由于篇幅問題，推導就省略了．
定理1.若函數y=f (x) 定義域為R，且滿足條件f (x＋a)=f (x－b)，則y=f (x) 是以T=a＋b為周期的周期函數．
定理2.若函數y=f (x) 定義域為R，且滿足條件f (x＋a)= －f (x－b)，則y=f (x) 是以T=2（a＋b）為周期的周期函數．
定理3.若函數y=f (x)的圖像關于直線 x=a與 x=b （a≠b)對稱，則y=f (x) 是以T=2(b－a)為周期的周期函數． 轉貼于 中國論文下載中
et 定理4.若函數y=f (x)的圖像關于點（a,0)與點(b,0) , (a≠b)對稱，則y=f (x) 是以 T=2(b－a)為周期的周期函數．
定理5.若函數y=f (x)的圖像關于直線 x=a與 點(b,0),(a≠b)對稱，則y=f (x) 是以 T=4(b－a)為周期的周期函數．
性質1：若函數f(x)滿足f(a－x)=f(a＋x)及f(b－x)=f(b＋x) (a≠b,ab≠0),則函數f(x)有周期2(a－b)；
性質2：若函數f(x)滿足f(a－x)= － f(a＋x)及f(b－x)=－ f(b＋x)，(a≠b,ab≠0),則函數有周期2(a－b).
特別：若函數f(x)滿足f(a－x)=f(a＋x) （a≠0）且f(x)是偶函數，則函數f(x)有周期2a.
性質3：若函數f(x)滿足f(a－x)=f(a＋x)及f(b－x)= － f(b＋x) (a≠b,ab≠0)， 則函數有周期4(a－b).
特別：若函數f(x)滿足f(a－x)=f(a＋x) （a≠0）且f(x)是奇函數，則函數f(x)有周期4a．
從以上例題可以發現，抽象函數的考查范圍很廣，能力要求較高．但只要對函數的基本性質熟，掌握上述有關的結論和類型題相應的解法，則會得心應手．