公務員考試行測排列組合基本計數原理

公務員考試行測排列組合基本計數原理

　　在各省公務員行測考試中，數量關系是每年都會考察的內容。這一部分涉及到的內容、題型和知識點都非常繁多，是大家一直比較頭痛的部分。其中，排列組合的相關題目，可能是大家復習當中的難點。本文是學習啦小編整理的，歡迎閱讀。

　　排列組合基本計數原理

　　排列組合的基本計數原理有兩個，加法原理和乘法原理。下面讓我們逐一進行解釋：

　　加法原理即分類時采用的計數方法。也就是說，當完成一件事情，分成幾類情況時，把每一類的情況數計算或枚舉出來，那么總的情況數，就是所有類的情況數相加。

　　乘法原理即分步時采用的計數方法。也就是說，當完成一件事情，分成先后幾步時，把每一步的情況數計算或枚舉出來，那么總的情況數，就是所有步的情況數相加乘。

　　那么，何為分類，何為分步?讓我們來舉例說明。

　　如果從北京到上海，那么坐飛機可以，坐高鐵可以，坐汽車可以，自駕也行，此時稱為分類;如果坐飛機有3個航班合適，坐高鐵有4趟高鐵合適，坐汽車有2趟都行，自駕游也有1種路線，那么從北京到上海，所有的方法數就是3+4+2+1=10種方法。

　　如果從北京到上海，上海到廣州，廣州再回北京，整個的行程按順序分成了3個步驟，此時即為分步;如果從北京到上海有3種方法，上海到廣州到4條路線，廣州再回北京也有2種方案，那么整個行程，所有的方法數就是3×4×2=24種方法。

　　我們發現分類與分步，一定是不同的、有區別的，它們的區別就在于：能否獨立完成此事。

　　第一個例子中，想從北京到上海，飛機、高鐵、汽車、自駕，這4類方案，都可以完成這個行程，即分類當中的每一類，都可以獨立完成整個事情。

　　第二個例子中，北京到上海，上海到廣州，廣州再回北京，這是完成整個行程的3步，單獨拿出任何一步來，比如上海到廣州，這1步，并不意味著整個行程就完成了，即分步當中的任何一步，都不能獨立完成此事。

　　下面來看一個例題，加深對于分類分步的理解：

　　例題：

　　某人乘車從家直接到藝術中心有3條路線可選;從家到體育場有4條路線可選，從體育場到藝術中心有2條路線可選，則他從家到藝術中心共有幾種不同的路線?

　　通過閱讀題目，我們可以發現，題目所求的從家到藝術中心，可以分成兩類情況：要么直接到;要么從體育場中轉換乘間接到。第一類直接到，有3條路線可選;第二類間接到，需要分成2小步，第一步從家到體育場，第二步從體育場到藝術中心，根據分步相乘，第二類一共有4×2=8條路線。故一共的路線數=3+8=11種。

　　基本計數原理

　　一、主要內容

　　一般計數原理部分的考試，分為兩種，一是排列組合二項式定理單獨出題，二是在概率中需要用到排列組合二項式定理。

　　1、基本計數原理

　　2、排列和組合

　　3、常用方法

　　二、知識梳理

　　1、基本計數原理

　　(1)分類加法計數原理

　　從甲地到乙地，可乘坐三類交通工具：可以乘火車，可以坐汽車，還可以乘輪船，假定火車每日1班，汽車每日3班，輪船每日2班，那么一天中從甲地到乙地有多少種不同的走法?(1+3+2=6種)

　　做一件事，完成它有n類辦法，在第一類辦法中，有m1種不同的方法，在第二類辦法中，有m2種不同的方法，以此類推，在第n類辦法中，有mn種不同的方法，那么完成這件事共有Nm1m2...mn種不同的方法。

　　(2)分步乘法計數原理。

　　某中學的閱覽室有50本不同的科技書，80本不同的文藝書，現在張三同學想借1本科技書和1本文藝書，共有多少種借法?(50*80=4000)

　　做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一個步驟有

　　種不同的方法，以此類推，做第n個步驟有m1種不同的方法，m做第二個步驟有2mn種不同的方法，那么完成這件事共有Nm1m2...mn種不同的方法。

　　以上兩個基本計數原理是解決計數問題最基本的理論依據。他們分別給出了兩種不同方式完成一件事的方法總數的不同計算方法。

　　注意：分類要“不重不漏”，每類的每一種方法都能獨立完成事件;

　　分步要“步驟完整”，每一步不能完成事件，只有各步依次都完成，才能完成事件。

　　2、排列與組合

　　(1)排列

　　有紅球、白球、黃球各一個，現從這三個小球中任取兩個，分別放入甲、乙盒子里，有多少種不同的方法?(3*2=6)

　　我們把被取的對象叫做元素。取出的元素按照已知的順序排成一列，我們稱它為該問題的一個排列。

　　一般地，從n個不同元素中任取出m(mn)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。

　　兩個排列相同，則組成排列的元素相同，并且元素的排列順序也相同。

　　從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有排列的個數，叫做從n個不同元素中取出

　　m表示。 m個元素的排列數，用符號An

　　根據分步乘法計數原理，得到公式Anmn(n1)(n2)(nm1)

　　這里n,mN，并且mn，這個公式叫做排列數公式。

　　一般地，n個不同元素全部取出的一個排列，叫做n個不同元素的一個全排列，這時mn，則有Anmn(n1)(n2)321，這個公式是由1到n。我們把正整數1到n的連

　　n乘積，叫做n的階乘，用n!表示。所以n個不同元素的全排列數公式可以寫成An

　　排列數的公式還有下面的另一種形式：mAnn! n!，我們規定0!1。 (nm)!

　　(2)組合

　　有紅球、黃球、白球各一個，從這三個小球中，任意取出兩個小球，共有多少種不同的取法?(與順序無關，共3種)

　　一般地，從n個不同元素中，任意取出m(mn)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中任取m個元素的一個組合。

　　從n個不同元素中，任意取出m(mn)個元素的所有組合的個數，叫做從n個不同元素中，任意取出m個元素的組合數，用符號Cn表示。

　　一般地，從n個不同元素中，任取m個元素的排列，可以分兩步完成： m

　　第一步 選取元素 從n個不同元素中，任意m個元素的組合，有種Cn方法;

　　第二步 排位置 選出的m個不同元素的全排列，有Am種方法。

　　根據分步乘法計數原理，得：An

　　m

　　nmmmmmCnAm mAnCmmmAAm可以得出組合數Cn由n的計算公式和的計算公式為：

　　n(n1)(n2)...(nm1)

　　m!

　　n!mCnm!(nm)! mCn

　　通過上面兩個公式還可以推出：Cn

　　(3)組合數的兩個性質

　　性質1 CnmnmCn

　　mm1CnCn 01 性質2 Cn1m

　　3、排列組合的常用方法

　　(1)捆綁法解決相鄰問題;

　　(2)插空法解決不相鄰問題;

　　(3)除序法解決相同元素問題，除序法是除法;

　　(4)排除法解決算多了需要減掉多余的，排除法是減法;

　　(5)特殊元與特殊位優先解決，再解決一般;

　　(6)窮舉法。

　　練習題

　　1、一個科技小組中有3名女同學，5名男同學

　　(1)若從中任選一名同學參加學科競賽，共有多少種選派方法?

　　(2)若從中任選一名女同學和一名男同學參加學科競賽，共有多少種選派方法?

　　2、求證：C222223 C3C4...C100C101

　　3、(1)4個同學分配到3個課外小組中，共有幾種分配方法?

　　(2)4個同學爭奪3項競賽的冠軍，冠軍的獲得者共有幾種可能情況?

　　4、4名男生和3名女生共坐一排，男生必須排在一起的坐法有多少種?

　　5、四個不同的小球全部放入三個不同的盒子中，若使每個盒子不空，則不同的放法有?

　　6、某市植物園要在30天內接待20所學校的學生參觀，但每天只能安排一所學校，其中有一所學校人數較多，要安排連續參觀2天，其余只參觀一天，則植物園30天內不同的安排方法有多少種?

　　7、 從6名男生和4名女生中，選3名代表，要求至少包含1名女生，則不同的選法有__種? 8、12個籃球隊中有3個強隊，將這12個隊任意分成3個組，則3個強隊恰好被分在同一組的概率為?

　　9、7人站成一排照相， 若要求甲、乙、丙不相鄰，則有多少種不同的排法?

　　10、3個歌舞，4個獨唱，2個小品排成一份節目單，3個歌舞中任意兩個都不排在一起，共有多少種排法?

　　11、求三元一次方程xyz100(x,y,zN)解的個數?

　　12、5名運動員參加軍事三項賽，射擊、游泳和長跑各設一名冠軍，則三項冠軍獲得者的結果有多少種?

　　13、有3枚一分硬幣，6枚一角硬幣，4張十元硬幣，共組成多少種非零幣值?

　　14、甲乙丙丁參加400米接力比賽，甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少種不同跑法?

　　15、某宿舍4個人互贈賀卡，每個人都拿到不是自己的賀卡情況有多少種?

　　16、8個人排隊照相，按如下要求各有多少種不同的排隊方法：

　　(1)甲乙丙三人必須相鄰，丁戊不相鄰;

　　(2)甲乙兩人必須站中間，丙丁兩人不站兩端;

　　(3)甲不在左端且不在乙右側的任何位置;

　　(4)8人中，有4個男生4個女生，要求同性別不相鄰。

　　17、8個人中，3個大人5個小孩，要求每個大人右邊相鄰的必是小孩，有幾種方法? 18、8人中3名教師，5名學生

　　(1)3名教師隨意站，5名學生必須從左至右從高到低，共有幾種方法?

　　(2)甲乙兩人必須相鄰，且甲乙都不與丙相鄰，共有多少種排法?

　　19、用0~9這十個數字組成無重復數字的自然數

　　(1)可組成多少個四位的自然數?

　　(2)可組成多少個四位偶數?

　　(3)可組成多少個被25整除的四位數?

　　(4)可組成多少個從高位開始偶數位上是偶數的四位數?

　　(5)可組成的四位自然數的個位上的數字之和?

　　(6)比5612大的四位數有多少個?

　　(7)將組成的所有四位數按大小從小到大排隊，第1010個數是哪個?

　　20、從16人中選出3名會議代表，其中甲乙丙三人至少一人當代表的選法是多少種? 21、1到18的18個數中，取三個數相加，要求他們的和恰好被3整除的情況有多少種?

　　22、某籃球隊共10名隊員，其中4名只會打前鋒，另外4名只會打后衛，其余2名是全面手，現派5名隊員上陣，其中3名前鋒，2名后衛，有多少種選派方法?

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