反三角函數的定義域是什么
反三角函數的定義域是什么
反三角函數是一種數學術語。反三角函數并不能狹義的理解為三角函數的反函數，是個多值函數。它是反正弦Arcsin x，反余弦Arccos x，反正切Arctan x，反余切Arccot x這些函數的統稱，各自表示其正弦、余弦、正切、余切為x的角。以下是學習啦小編為大家整理的關于反三角函數定義域，歡迎大家前來閱讀!
反三角函數定義域
y=arcsin(x)，定義域[-1，1]
y=arccos(x)，定義域[-1，1]
y=arctan(x)，定義域(-∞，+∞)
y=arccot(x)，定義域(-∞，+∞)
sin(arcsin x)=x，定義域[-1，1]
反三角函數數學術語
為限制反三角函數為單值函數，將反正弦函數的值y限在-π/2≤y≤π/2，將y作為反正弦函數的主值，記為y=arcsin x;相應地，反余弦函數y=arccos x的主值限在0≤y≤π;反正切函數y=arctan x的主值限在-π/2
反三角函數實際上并不能叫做函數，因為它并不滿足一個自變量對應一個函數值的要求，其圖像與其原函數關于函數y=x對稱。其概念首先由歐拉提出，并且首先使用了【arc+函數名】的形式表示反三角函數，而不是f-1(x)。
⑴正弦函數y=sinx在[-π/2，π/2]上的反函數，叫做反正弦函數。arcsinx表示一個正弦值為x的角，該角的范圍在[-π/2，π/2]區間內。【圖中紅線】
⑵余弦函數y=cosx在[0，π]上的反函數，叫做反余弦函數。arccosx表示一個余弦值為x的角，該角的范圍在[0，π]區間內。【圖中藍線】
⑶正切函數y=tanx在(-π/2，π/2)上的反函數，叫做反正切函數。arctanx表示一個正切值為x的角，該角的范圍在(-π/2，π/2)區間內。【圖中綠線】
注釋：【圖的畫法根據反函數的性質即：反函數圖像關于y=x對稱】
反三角函數主要是三個：
y=arcsin(x)，定義域[-1，1]，值域[-π/2，π/2]圖象用深紅色線條;
y=arccos(x)，定義域[-1，1]，值域[0，π]，圖象用深藍色線條;
y=arctan(x)，定義域(-∞，+∞)，值域(-π/2，π/2)，圖象用淺綠色線條;
y=arccot(x)，定義域(-∞，+∞)，值域(0，π)，暫無圖象;
sin(arcsinx)=x，定義域[-1，1]，值域[-1，1]arcsin(-x)=-arcsinx
證明方法如下：設arcsin(x)=y，則sin(y)=x，將這兩個式子代入上式即可得
其他幾個用類似方法可得
cos(arccosx)=x，arccos(-x)=π-arccosx
tan(arctanx)=x，arctan(-x)=-arctanx
反三角函數數學公式
反三角函數其他公式：
cos(arcsinx)=(1-x^2)^0.5
arcsin(-x)=-arcsinx
arccos(-x)=π-arccosx
arctan(-x)=-arctanx
arccot(-x)=π-arccotx
arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx
sin(arcsinx)=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)=x
arcsinx=x+x^3/(2*3)+(1*3)x^5/(2*4*5)+1*3*5(x^7)/(2*4*6*7)……+(2k+1)!!*x^(2k-1)/(2k!!*(2k+1))+……(|x|<1)!!表示雙階乘
arccosx=π-(x+x^3/(2*3)+(1*3)x^5/(2*4*5)+1*3*5(x^7)/(2*4*6*7)……)(|x|<1)
arctanx=x-x^3/3+x^5/5-……
舉例
當x∈[-π/2，π/2]有arcsin(sinx)=x
x∈[0，π]，arccos(cosx)=x
x∈(-π/2，π/2)，arctan(tanx)=x
x∈(0，π)，arccot(cotx)=x
x>0，arctanx=π/2-arctan1/x，arccotx類似
若(arctanx+arctany)∈(-π/2，π/2)，則arctanx+arctany=arctan((x+y)/(1-xy))
例如，arcsinχ表示角α，滿足α∈[-π/2，π/2]且sinα=χ;arccos(-4/5)表示角β，滿足β∈[0，π]且cosβ=-4/5;arctan2表示角φ，滿足φ∈(-π/2，π/2)且tanφ=2
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