蘇教版八年級上冊數學期末試卷及答案(2)
(2)∵y與x的函數關系式是：y=﹣2x+3，
∴該函數是降函數，
∵﹣2<4，
∴m>n.
【點評】此題考查利用待定系數法求函數解析式，一次函數圖象上點的坐標特征，正確利用正比例函數的特點以及一次函數的增減性是本題的關鍵.
21.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為BC中點，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延長線于F.
(1)求證：△ACD≌△CBF;
(2)求證：AB垂直平分DF.
【考點】全等三角形的判定與性質;線段垂直平分線的性質.
【專題】計算題.
【分析】(1)根據∠ACB=90°，求證∠CAD=∠BCF，再利用BF∥AC，求證∠ACB=∠CBF=90°，然后利用ASA即可證明△ACD≌△CBF.
(2)先根據ASA判定△ACD≌△CBF得到BF=BD，再根據角度之間的數量關系求出∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平分線，從而利用等腰三角形三線合一的性質求證即可.
【解答】解：(1)∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵CE⊥AD，
∴∠CAD=∠BCF，
∵BF∥AC，
∴∠FBA=∠CAB=45°
∴∠ACB=∠CBF=90°，
在△ACD與△CBF中，
∵ ，
∴△ACD≌△CBF;
(2)證明：∵∠BCE+∠ACE=90°，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠BCE=∠CAE.
∵AC⊥BC，BF∥AC.
∴BF⊥BC.
∴∠ACD=∠CBF=90°，
在△ACD與△CBF中，
∵ ，
∴△ACD≌△CBF，
∴CD=BF.
∵CD=BD= BC，
∴BF=BD.
∴△BFD為等腰直角三角形.
∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠ABC=45°.
∵∠FBD=90°，
∴∠ABF=45°.
∴∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平分線.
∴BA是FD邊上的高線，BA又是邊FD的中線，
即AB垂直平分DF.
【點評】本題主要考查了三角形全等的判定和角平分線的定義以及線段的垂直平分線的性質等幾何知識.要注意的是：線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等.
22.先化簡，再求值：( ﹣ )÷ ，其中x= .
【考點】分式的化簡求值.
【專題】計算題.
【分析】原式括號中利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結果，把x的值代入計算即可求出值.
【解答】解：原式= • = • = ，
當x= 時，原式= .
【點評】此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.
23.如圖所示，“趙爽弦圖”由4個全等的直角三角形拼成，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=b，BC=a，請你利用這個圖形解決下列問題：
(1)證明勾股定理;
(2)說明a2+b2≥2ab及其等號成立的條件.
【考點】勾股定理的證明.
【分析】(1)根據題意，我們可在圖中找等量關系，由中間的小正方形的面積等于大正方形的面積減去四個直角三角形的面積，列出等式化簡即可得出勾股定理的表達式.
(2)利用非負數的性質證明即可.
【解答】解：(1)∵大正方形面積為c2，直角三角形面積為 ab，小正方形面積為：(b﹣a)2，
∴c2=4× ab+(a﹣b)2=2ab+a2﹣2ab+b2
即c2=a2+b2.
(2)∵(a﹣b)2≥0，
∴a2﹣2ab+b2≥0，
∴a2+b2≥2ab，
當且僅當a=b時，等號成立.
【點評】本題考查了對勾股定理的證明和以及非負數的性質，掌握三角形和正方形面積計算公式是解決問題的關鍵.
24.已知直線l1：y=﹣ 與直線l2：y=kx﹣ 交于x軸上的同一個點A，直線l1與y軸交于點B，直線l2與y軸的交點為C.
(1)求k的值，并作出直線l2圖象;
(2)若點P是線段AB上的點且△ACP的面積為15，求點P的坐標;
(3)若點M、N分別是x軸上、線段AC上的動點(點M不與點O重合)，是否存在點M、N，使得△ANM≌△AOC?若存在，請求出N點的坐標;若不存在，請說明理由.
【考點】一次函數綜合題.
【專題】計算題;綜合題;一次函數及其應用.
【分析】(1)對于直線l1，令y=0求出x的值，確定出A坐標，代入直線l2求出k的值，作出直線l2圖象即可;
(2)設P(a，b)，△ACP面積=△ABC面積﹣△BPC面積，根據已知三角形ACP面積求出a的值，進而求出b的值，確定出P坐標即可;
(3)如圖2，作ND⊥x軸于D，利用勾股定理求出AC的長，由△ANM≌△AOC，得到對應邊相等，表示出AM，AN，MN，確定出△AMN為直角三角形，利用面積法求出ND的長，確定出N縱坐標，進而求出橫坐標，確定出N坐標即可.
【解答】解：(1)∵直線l1：y=﹣ x+3與x軸交于點A，
∴令y=0時，x=4，即A(4，0)，
將A(4，0)代入直線l2：y=kx﹣ ，得k= ，
直線l2圖象如圖1所示;
(2)設P(a，b)，
根據題意得：S△ACP=S△ABC﹣S△PBC= ×(3+ )×4﹣ ×(3+ )a=15，
解得：a= ，
將P( ，b)代入直線l1得：b= ×(﹣ )+3=﹣ +3= ，
∴點P的坐標( ， );
(3)如圖2，作ND⊥x軸于D，
∵AC= = ，△ANM≌△AOC，
∴AM=AC= ，AN=AO=4，MN=OC= ，∠ANM=∠AOC=90°，
∵S△AMN= AM•ND= AN•MN，
∴ND= = = ，
將N的縱坐標y=﹣ 代入直線l2得：x= ，
∴當N的縱坐標為( ，﹣ )時，△ANM≌△AOC.
【點評】此題屬于一次函數綜合題，涉及的知識有：一次函數與坐標軸的交點，全等三角形的性質，勾股定理，三角形面積，以及坐標與圖形性質，熟練掌握一次函數的性質是解本題的關鍵.
25.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，在△ABC的外部作∠ACM，使得∠ACM= ∠ABC，點D是直線BC上的動點，過點D作直線CM的垂線，垂足為E，交直線AC于F.
(1)如圖1所示，當點D與點B重合時，延長BA，CM交點N，證明：DF=2EC;
(2)當點D在直線BC上運動時，DF和EC是否始終保持上述數量關系呢?請你在圖2中畫出點D運動到CB延長線上某一點時的圖形，并證明此時DF與EC的數量關系.
【考點】全等三角形的判定與性質.
【分析】(1)延長BA，CM交點N，先證明BC=BN，得出CN=2CE，再證明△BAF≌△CAN，得出對應邊相等BF=CN，即可得出結論;
(2)作∠PDE=22.5，交CE的延長線于P點，交CA的延長線于N，先證明PD=CD，得出PC=2CE，再證明△DNF≌△PNC，得出對應邊相等DF=PC，即可得出結論.
【解答】解：(1)如圖(1)，延長BA，CM交點N，
∵∠A=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠ACM= ∠ABC=22.5°，
∴∠BCM=67.5°，
∴∠BNC=67.5°=∠BCM，
∴BC=BN，
∵BE⊥CE，
∴∠ABE=22.5°，CN=2CE，
∴∠ABE=∠ACM=22.5°，
在△BAF和△CAN中， ，
∴△BAF≌△CAN(ASA)，
∴BF=CN，
∴BF=2CE;
(2)保持上述關系;BF=2CE;
證明如下：
作∠PDE=22.5，交CE的延長線于P點，交CA的延長線于N，
如圖(2)所示：
∵DE⊥PC，∠ECD=67.5，
∴∠EDC=22.5°，
∴∠PDE=∠EDC，∠NDC=45°，
∴∠DPC=67.5°，
∴PD=CD，
∴PE=EC，
∴PC=2CE，
∵∠NDC=45°，∠NCD=45°，
∴∠NCD=∠NDC，∠DNC=90°，
∴ND=NC且∠DNC=∠PNC，
在△DNF和△PNC中， ，
∴△DNF≌△PNC(ASA)，
∴DF=PC，
∴DF=2CE.
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質以及等腰三角形的判定與性質;通過作輔助線證明等腰三角形和全等三角形是解決問題的關鍵.
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