人教版八年級數(shù)學上冊期末試卷
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人教版八年級數(shù)學上冊期末試題
一、選擇題(共10小題，每小題2分，滿分20分)
1.﹣8的立方根是( )
A.﹣2 B.±2 C.2 D.﹣2
2.分式 有意義的條件是( )
A.x≥2 B.x≠2 C.x=2 D.x<2
3.下列圖形中，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
4.下面結論正確的是( )
A.無限小數(shù)是無理數(shù) B.無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)
C.帶根號的數(shù)是無理數(shù) D.無理數(shù)是開方開不盡的數(shù)
5.如圖，△ABC≌△ADE，若∠BAE=130°，∠BAD=50°，則∠BAC的度數(shù)為( )
A.130° B.50° C.30° D.80°
6.如圖，已知△ABC中AB=6，AC=4，AD為角平分線，DE⊥AB，DE=2，則△ABC的面積為( )
A.6 B.8 C.10 D.9
7.已知直角三角形的兩條邊的長為3和4，則第三條邊的長為( )
A.5 B.4 C. D.5或
8.如圖，在△ABC中，OB，OC分別是∠ABC，∠ACB的平分線，OM∥BC，分別交AB，AC于點M，N.若MB=8，NC=6，則MN的長是( )
A.10 B.8 C.14 D.6
9.在如圖中，AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF交于點D，則下列結論中不正確的是( )
A.△ABE≌△ACF B.點D在∠BAC的平分線上
C.△BDF≌△CDE D.點D是BE的中點
10.觀察下面分母有理化的過程： ，從計算過程中體會方法，并利用這一方法計算( +…+ )•( +1)的值是( )
A. B. C.2014 D.
二、填空題(共10小題，每小題3分，滿分30分)
11. = .
12.化簡 的結果是 .
13.如圖，△ABC是等邊三角形，∠CBD=90°，BD=BC，則∠1的度數(shù)是 .
14.關于x的分式方程 如果有增根，則增根是 .
15.如圖，在△ABC和△DEF，若AB=DE，BE=CF，要使△ABC≌△DEF，還需添加一個條件(只要寫出一個就可以)是 .
16.小峰與小月進行跳繩比賽，在相同的時間內，小峰跳了100個，小月跳了110個，如果小月比小峰每分鐘多跳20個，若小峰每分鐘跳繩x個，則x滿足的方程為 .
17.已知：如圖，在△ABC中，BD，CE分別是邊AC，AB上的高，點F在BC上，BF=CF，則圖中與EF相等的線段是 .
18.如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為7cm，則正方形A，B，C，D的面積之和為 cm2.
19.將一副三角板按如圖所示疊放，若設AB=1，則四邊形ABCD的面積為 .
20.鐵路上A、B兩站(視為直線上兩點)相距25km，C、D為兩村莊(視為兩個點)，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B(如圖)，已知DA=15km，CB=10km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建設一個土特產(chǎn)品收購站E，使得C、D兩村到E站的距離相等，則E站應建在距A站 km處.
三、解答題(共6小題，滿分50分)
21.計算：( + ) .
22.解方程： .
23.已知線段AB和點O，畫出線段AB關于點O的中心對稱圖形，保留必要的作圖痕跡，并完成填空：
解：
(1)連結AO，BO，并延長AO到點C，延長BO到點D，使得OC= ，OD= .
(2)連結 .
線段CD即為所求.
觀察作圖結果，你認為線段AB與線段CD的位置關系是 .
理由如下：
依作圖過程可證△ABO≌ .
證明三角形全等所依據(jù)的判定定理簡稱為 .
由三角形全等可得∠A= .
從而根據(jù) 判定出線段AB與CD的位置關系.
24.對于題目：“化簡并求值： ，其中a= .”
甲、乙兩人的解答不同，甲的解答是：
= = ;
乙的答案是： = = = = .
誰的解答是錯誤的?誰的解答是正確的?為什么?
25.如圖，P是等邊△ABC內的一點，且PA=6，PB=8，PC=10，若將△PAC繞點A逆時針旋轉60°后，得到△P′AB.
(1)△APP′的形狀是 ;
(2)求∠APB的度數(shù).
26.如圖，在△ABC中，AB=AC，DE是過點A的直線，BD⊥DE于D，CE⊥DE于點E;
(1)若B、C在DE的同側(如圖所示)且AD=CE.求證：AB⊥AC;
(2)若B、C在DE的兩側(如圖所示)，其他條件不變，AB與AC仍垂直嗎?若是請給出證明;若不是，請說明理由.
人教版八年級數(shù)學上冊期末試卷參考答案
一、選擇題(共10小題，每小題2分，滿分20分)
1.﹣8的立方根是( )
A.﹣2 B.±2 C.2 D.﹣2
【考點】立方根.
【分析】根據(jù)立方根的定義，即可解答.
【解答】解： =﹣2，故選：D.
【點評】本題看錯了立方根，解決本題的關鍵是熟記立方根的定義.
2.分式 有意義的條件是( )
A.x≥2 B.x≠2 C.x=2 D.x<2
【考點】分式有意義的條件.
【分析】分式有意義的條件是分母不等于零.
【解答】解：∵分式 有意義，
∴x﹣2≠0.
解得：x≠2.
故選：B.
【點評】本題主要考查的是分式有意義的條件，明確分式有意義時，分式的分母不等于零是解題的關鍵.
3.下列圖形中，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
【考點】中心對稱圖形;軸對稱圖形.
【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.
【解答】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形.故正確;
B、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形.故錯誤;
C、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形.故錯誤;
D、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形.故錯誤.
故選A.
【點評】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合;中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與原圖重合.
4.下面結論正確的是( )
A.無限小數(shù)是無理數(shù) B.無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)
C.帶根號的數(shù)是無理數(shù) D.無理數(shù)是開方開不盡的數(shù)
【考點】無理數(shù).
【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義判斷即可.
【解答】解：A、0.111…，(1循環(huán))是無限小數(shù)，但不是無理數(shù)，本選項錯誤;
B、無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，正確;
C、 帶根號，但不是無理數(shù)，本選項錯誤;
D、開方開不盡的數(shù)是無理數(shù)，本選項錯誤;
故選B.
【點評】本題主要考查了實數(shù)的定義，特別是無理數(shù)的定義.無理數(shù)有三個來源：(1)開方開不盡的數(shù);(2)與π有關的一些運算;(3)有規(guī)律的無限不循環(huán)小數(shù).
5.如圖，△ABC≌△ADE，若∠BAE=130°，∠BAD=50°，則∠BAC的度數(shù)為( )
A.130° B.50° C.30° D.80°
【考點】全等三角形的性質.
【分析】根據(jù)題意求出∠DAE的度數(shù)，根據(jù)全等三角形的性質解答即可.
【解答】解：∵∠BAE=130°，∠BAD=50°，
∴∠DAE=80°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC=∠DAE=80°，
故選：D.
【點評】本題考查的是全等三角形的性質，掌握全等三角形的對應邊相等、對應角相等是解題的關鍵.
6.如圖，已知△ABC中AB=6，AC=4，AD為角平分線，DE⊥AB，DE=2，則△ABC的面積為( )
A.6 B.8 C.10 D.9
【考點】角平分線的性質.
【分析】過點D作DF⊥AC于F，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DE=DF，然后根據(jù)三角形的S△ABC=S△ABD+S△ACD列式計算即可.
【解答】解：如圖，過點D作DF⊥AC于F，
∵AD為角平分線，DE⊥AB，
∴DE=DF，
∴S△ABC=S△ABD+S△ACD
= ×6×2+ ×4×2
=6+4
=10.
故選C.
【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，三角形的面積，熟記性質并作輔助線把△ABC分成兩部分是解題的關鍵.
7.已知直角三角形的兩條邊的長為3和4，則第三條邊的長為( )
A.5 B.4 C. D.5或
【考點】勾股定理.
【分析】本題已知直角三角形的兩邊長，但未明確這兩條邊是直角邊還是斜邊，因此兩條邊中的較長邊4既可以是直角邊，也可以是斜邊，所以求第三邊的長必須分類討論，即4是斜邊或直角邊的兩種情況，然后利用勾股定理求解.
【解答】解：設第三邊為x
(1)若4是直角邊，則第三邊x是斜邊，由勾股定理，得
32+42=x2，所以x=5.
(2)若4是斜邊，則第三邊x為直角邊，由勾股定理，得
32+x2=42，所以x=
所以第三邊的長為5或 .故選D.
【點評】本題考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，當已知條件中沒有明確哪是斜邊時，要注意討論，一些學生往往忽略這一點，造成丟解.
8.如圖，在△ABC中，OB，OC分別是∠ABC，∠ACB的平分線，OM∥BC，分別交AB，AC于點M，N.若MB=8，NC=6，則MN的長是( )
A.10 B.8 C.14 D.6
【考點】等腰三角形的判定與性質;平行線的性質.
【分析】由∠ABC、∠ACB的平分線相交于點O，∠MBO=∠OBC，∠OCN=∠OCB，利用兩直線平行，內錯角相等，利用等量代換可∠MBO=∠MOB，∠NOC=∠OCN，然后即可求得結論.
【解答】解：∵∠ABC、∠ACB的平分線相交于點O，
∴∠MBO=∠OBC，∠OCN=∠OCB，
∵MN∥BC，
∴∠OBC=∠MOB，∠NOC=∠OCB，
∴∠MBO=∠MOB，∠NOC=∠OCN，
∴BM=MO，ON=CN，
∴MN=MO+ON，
即MN=BM+CN.
∵MB=8，NC=6，
∴MN=14，
故選：C.
【點評】本題考查了角平分線性質、平行線性質、以及等角對等邊的性質等.進行線段的等量代換是正確解答本題的關鍵.
9.在如圖中，AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF交于點D，則下列結論中不正確的是( )
A.△ABE≌△ACF B.點D在∠BAC的平分線上
C.△BDF≌△CDE D.點D是BE的中點
【考點】直角三角形全等的判定.
【分析】根據(jù)全等三角形的判定對各個選項進行分析，從而得到答案.做題時，要結合已知條件與三角形全等的判定方法逐個驗證.
【解答】解：A、∵AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∠A=∠A∴△ABE≌△ACF(AAS)，正確;
B、∵△ABE≌△ACF，AB=AC∴BF=CE，∠B=∠C，∠DFB=∠DEC=90°∴DF=DE故點D在∠BAC的平分線上，正確;
C、∵△ABE≌△ACF，AB=AC∴BF=CE，∠B=∠C，∠DFB=∠DEC=90°∴△BDF≌△CDE(AAS)，正確;
D、無法判定，錯誤;
故選D.
【點評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL.
注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角.
10.觀察下面分母有理化的過程： ，從計算過程中體會方法，并利用這一方法計算( +…+ )•( +1)的值是( )
A. B. C.2014 D.
【考點】分母有理化.
【分析】首先利用已知化簡二次根式，進而結合平方差公式計算得出答案.
【解答】解：( +…+ )•( +1)
=( ﹣1+ ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ )( +1)
=( +1)( ﹣1)
=2015﹣1
=2014.
故選;C.
【點評】此題主要考查了分母有理化，正確化簡二次根式是解題關鍵.
二、填空題(共10小題，每小題3分，滿分30分)
11. = 5 .
【考點】算術平方根.
【分析】根據(jù)開方運算，可得一個正數(shù)的算術平方根.
【解答】解： =5，
故答案為：5.
【點評】本題考查了算術平方根，注意一個正數(shù)只有一個算術平方根.
12.化簡 的結果是 a+b .
【考點】分式的加減法.
【分析】本題屬于同分母通分，再將分子因式分解，約分.
【解答】解：原式=
=
=a+b.
故答案為：a+b.
【點評】本題考查了分式的加減運算.關鍵是直接通分，將分子因式分解，約分.
13.如圖，△ABC是等邊三角形，∠CBD=90°，BD=BC，則∠1的度數(shù)是 75° .
【考點】等邊三角形的性質;等腰直角三角形.
【分析】根據(jù)等邊三角形的性質得出AB=BC，∠ABC=60°，然后證得△ABD是等腰三角形，求得∠BDA=15°，根據(jù)等腰直角三角形的性質得出∠BCD=∠BDC=45°，即可得出∠ADC=45°﹣15°=30°，然后根據(jù)三角形外角的性質求得即可.
【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
∵BD=BC，
∴AB=BD，
∴∠BAD=∠BDA，
∵∠CBD=90°，
∴∠ABD=90°+60°=150°，
∴∠BDA=15°，
∵∠CBD=90°，BD=BC，
∴∠BCD=∠BDC=45°，
∴∠ADC=45°﹣15°=30°，
∴∠1=∠ADC+∠BCD=30°+45°=75°.
故答案為75°.
【點評】本題考查了等邊三角形的性質，等腰直角三角形的性質，等腰三角形的判定和性質，三角形外角的性質，熟練掌握這些性質是解題的關鍵.
14.關于x的分式方程 如果有增根，則增根是 x=5 .
【考點】分式方程的增根.
【分析】增根是化為整式方程后產(chǎn)生的不適合分式方程的根，確定增根的值.
【解答】解：方程兩邊都乘x﹣5，
x﹣5=0，
解得x=5.
故答案為x=5.
【點評】本題考查了分式方程的增根，增根問題可按如下步驟進行：
①讓最簡公分母為0確定增根;
②化分式方程為整式方程;
③把增根代入整式方程即可求得相關字母的值.
15.如圖，在△ABC和△DEF，若AB=DE，BE=CF，要使△ABC≌△DEF，還需添加一個條件(只要寫出一個就可以)是 ∠B=∠DEF .
【考點】全等三角形的判定.
【分析】求出BC=EF，根據(jù)SAS推出全等即可，此題是一道開放型的題目，答案不唯一.
【解答】解：∠B=∠DEF，
理由是：∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，
∴BC=EF，
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF(SAS)，
故答案為：∠B=∠DEF.
【點評】本題考查了全等三角形的判定定理的應用，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關鍵，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS.
16.小峰與小月進行跳繩比賽，在相同的時間內，小峰跳了100個，小月跳了110個，如果小月比小峰每分鐘多跳20個，若小峰每分鐘跳繩x個，則x滿足的方程為 .
【考點】由實際問題抽象出分式方程.
【分析】首先設小峰每分鐘跳繩x個，則小月每分鐘跳繩(x+20)個，根據(jù)題意可得等量關系：小峰跳了100個的時間=小月跳了110個的時間，根據(jù)等量關系列出方程即可.
【解答】解：設小峰每分鐘跳繩x個，由題意得：
，
故答案為：
【點評】此題主要考查了分式方程的應用，關鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關系，列出方程.
17.已知：如圖，在△ABC中，BD，CE分別是邊AC，AB上的高，點F在BC上，BF=CF，則圖中與EF相等的線段是 BF、CF、DF .
【考點】直角三角形斜邊上的中線.
【分析】根據(jù)BD，CE分別是邊AC，AB上的高，可得∠BEC=∠CDB=90°，再根據(jù)BF=CF可得F為BC中點，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EF= BC，DF= BC，進而可得答案.
【解答】解：∵BD，CE分別是邊AC，AB上的高，
∴∠BEC=∠CDB=90°，
∵BF=CF，
∴F為中點，
∴EF= BC，DF= BC，
∴EF=DF，
∴EF=DF=BF=FC，
故答案為：BF、CF、DF.
【點評】此題主要考查了直角三角形的性質，關鍵是掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.
18.如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為7cm，則正方形A，B，C，D的面積之和為 49 cm2.
【考點】勾股定理.
【分析】根據(jù)正方形的面積公式，連續(xù)運用勾股定理，發(fā)現(xiàn)：四個小正方形的面積和等于最大正方形的面積.
【解答】解：由圖形可知四個小正方形的面積和等于最大正方形的面積，
故正方形A，B，C，D的面積之和=49cm2.
故答案為：49cm2.
【點評】熟練運用勾股定理進行面積的轉換.
19.將一副三角板按如圖所示疊放，若設AB=1，則四邊形ABCD的面積為 .
【考點】勾股定理.
【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質得到AD=AB=1，解直角三角形得到BC= AB= ，根據(jù)梯形的面積公式即可的結論.
【解答】解：∵△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=AB=1，
∵∠ABC=90°，∠ACB=30°，
∴BC= AB= ，
∴四邊形ABCD的面積= (AD+BC)•AB= (1+ )×1= ，
故答案為： .
【點評】本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質，含30°角的直角三角形的性質，熟記勾股定理是解題的關鍵.
20.鐵路上A、B兩站(視為直線上兩點)相距25km，C、D為兩村莊(視為兩個點)，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B(如圖)，已知DA=15km，CB=10km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建設一個土特產(chǎn)品收購站E，使得C、D兩村到E站的距離相等，則E站應建在距A站 10 km處.
【考點】勾股定理的應用;線段垂直平分線的性質.
【專題】壓軸題.
【分析】由勾股定理兩直角邊的平方和等于斜邊的平方即可求，即在直角三角形DAE和直角三角形CBE中，DE2=AD2+AE2，CE2=BE2+BC2，∴AD2+AE2=BE2+BC2，設AE為x，則BE=25﹣x，將BC=10代入關系式即可求得.
【解答】解：∵C、D兩村到E站距離相等，∴CE=DE，
在Rt△DAE和Rt△CBE中，DE2=AD2+AE2，CE2=BE2+BC2，
∴AD2+AE2=BE2+BC2.
設AE為x，則BE=25﹣x，
將BC=10，DA=15代入關系式為x2+152=(25﹣x)2+102，
整理得，50x=500，
解得x=10，
∴E站應建在距A站10km處.
【點評】此題考查勾股定理的應用，是基礎知識要熟練掌握.
三、解答題(共6小題，滿分50分)
21.計算：( + ) .
【考點】二次根式的混合運算.
【分析】先化簡二次根式，再進行二次根式的除法即可.
【解答】解：原式=(3 +2 )÷
=5 ÷
=5.
【點評】本題考查的是二次根式的混合運算，在進行此類運算時，一般先把二次根式化為最簡二次根式的形式后再運算.
22.解方程： .
【考點】解分式方程.
【專題】計算題.
【分析】本題的最簡公分母是(x+1)(x﹣1)，方程兩邊都乘最簡公分母，可把分式方程轉換為整式方程求解.
【解答】解：方程兩邊都乘(x+1)(x﹣1)，
得：(x﹣1)+2(x+1)=4.
解得：x=1.
經(jīng)檢驗：x=1是增根.
∴原方程無解.
【點評】本題考查的是解分式方程，
(1)解分式方程的基本思想是“轉化思想”，方程兩邊都乘最簡公分母，把分式方程轉化為整式方程求解.
(2)解分式方程一定注意要代入最簡公分母驗根.
23.已知線段AB和點O，畫出線段AB關于點O的中心對稱圖形，保留必要的作圖痕跡，并完成填空：
解：
(1)連結AO，BO，并延長AO到點C，延長BO到點D，使得OC= OA ，OD= OB .
(2)連結 CD .
線段CD即為所求.
觀察作圖結果，你認為線段AB與線段CD的位置關系是 AB∥CD .
理由如下：
依作圖過程可證△ABO≌ △CDO .
證明三角形全等所依據(jù)的判定定理簡稱為 SAS .
由三角形全等可得∠A= ∠C .
從而根據(jù) 內錯角相等兩直線平行 判定出線段AB與CD的位置關系.
【考點】作圖-旋轉變換.
【專題】推理填空題.
【分析】按照作圖的步驟可以得出(1)(2)結論，找兩線段關系時，明顯用到了三角形的全等，從而得出兩線段平行.
【解答】解：作圖步驟如下：
(1)連結AO，BO，并延長AO到點C，延長BO到點D，使得OC=OA，OD=OB.
(2)連結CD.
線段CD即為所求.
故得出結論：(1)OC=OA，OD=DB.(2)CD.
推斷線段AB與線段CD是平行的.
在△AOB和△COD中，OA=OC，OB=OD，且∠AOB=∠COD(對頂角相等)，
∴△ABO≌△CDO(SAS)，∠A=∠C，
∴AB∥CD.
故得出結論：
觀察作圖結果，你認為線段AB與線段CD的位置關系是AB∥CD.
理由如下：
依作圖過程可證△ABO≌△CDO.
證明三角形全等所依據(jù)的判定定理簡稱為SAS.
由三角形全等可得∠A=∠C.
從而根據(jù)內錯角相等兩直線平行判定出線段AB與CD的位置關系.
【點評】本題在考查學生對全等三角形的理解與應用的同時還考查了兩直線平行的判定定理，讓學生們意識到不同知識點的穿插運用，為以后的綜合運用題打好基礎.
24.對于題目：“化簡并求值： ，其中a= .”
甲、乙兩人的解答不同，甲的解答是：
= = ;
乙的答案是： = = = = .
誰的解答是錯誤的?誰的解答是正確的?為什么?
【考點】二次根式的化簡求值.
【分析】首先得出當a= 時， =5，即可得出a﹣ <0，再利用二次根式的性質化簡求出答案.
【解答】解：甲的解答錯誤，
當a= 時， =5，a﹣ <0，
∴ =|a﹣ |= ﹣a，
故乙的解答正確.
【點評】此題主要考查了二次根式的化簡與求值，正確利用二次根式的性質化簡是解題關鍵.
25.如圖，P是等邊△ABC內的一點，且PA=6，PB=8，PC=10，若將△PAC繞點A逆時針旋轉60°后，得到△P′AB.
(1)△APP′的形狀是 等邊三角形 ;
(2)求∠APB的度數(shù).
【考點】旋轉的性質;等邊三角形的判定與性質.
【專題】計算題.
【分析】(1)根據(jù)旋轉的性質得∠PAP′=∠BAC=60°，AP=AP′，則可判斷△APP′為等邊三角形;
(2)由△APP′為等邊三角形得到PP′=AP=6，∠APP′=60°，再由旋轉性質得P′B=PC=10，則可根據(jù)勾股定理的逆定理證明△BPP′為直角三角形，∠BPP′=90°，所以∠APB=∠APP′+∠BPP′=150°.
【解答】解：(1)∵將△PAC繞點A逆時針旋轉60°后，得到△P′AB，
∴∠PAP′=∠BAC=60°，AP=AP′，
∴△APP′為等邊三角形;
故答案為等邊三角形;
(2)∵△APP′為等邊三角形，
∴PP′=AP=6，∠APP′=60°，
∵將△PAC繞點A逆時針旋轉60°后，得到△P′AB，
∴P′B=PC=10，
在△PBP′中，BP′=10，BP=8，PP′=6，
∵62+82=102，
∴PP′2+BP2=BP′2，
∴△BPP′為直角三角形，∠BPP′=90°，
∴∠APB=∠APP′+∠BPP′=60°+90°=150°.
【點評】本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等;對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角;旋轉前、后的圖形全等.也考查了等邊三角形的判斷與性質和勾股定理的逆定理.
26.如圖，在△ABC中，AB=AC，DE是過點A的直線，BD⊥DE于D，CE⊥DE于點E;
(1)若B、C在DE的同側(如圖所示)且AD=CE.求證：AB⊥AC;
(2)若B、C在DE的兩側(如圖所示)，其他條件不變，AB與AC仍垂直嗎?若是請給出證明;若不是，請說明理由.
【考點】直角三角形全等的判定;全等三角形的性質.
【專題】證明題;探究型.
【分析】(1)由已知條件，證明ABD≌△ACE，再利用角與角之間的關系求證∠BAD+∠CAE=90°，即可證明AB⊥AC;
(2)同(1)，先證ABD≌△ACE，再利用角與角之間的關系求證∠BAD+∠CAE=90°，即可證明AB⊥AC.
【解答】(1)證明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
在Rt△ABD和Rt△ACE中，
∵ ，
∴Rt△ABD≌Rt△CAE.
∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠ACE.
∵∠DAB+∠DBA=90°，∠EAC+∠ACE=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°.
∠BAC=180°﹣(∠BAD+∠CAE)=90°.
∴AB⊥AC.
(2)AB⊥AC.理由如下：
同(1)一樣可證得Rt△ABD≌Rt△ACE.
∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠EAC，
∵∠CAE+∠ECA=90°，
∴∠CAE+∠BAD=90°，即∠BAC=90°，
∴AB⊥AC.
【點評】三角形全等的判定是中考的熱點，一般以考查三角形全等的方法為主，借助全等三角形的性質得到相等的角，然后證明垂直是經(jīng)常使用的方法，注意掌握、應用
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