人教版八年級上數學期末試題
人教版八年級上數學期末試題
想摘玫瑰，就要先折刺枝;想走坦途，就要斬除荊棘;想看到天明，就要勇闖夜寂;想考試高中，就要倍加努力：厚德載物，天道酬勤，祝八年級生物期末考順利!下面是學習啦小編為大家整編的人教版八年級上數學期末試題，大家快來看看吧。
人教版八年級上冊數學期末試題
一、選擇題(每小題3分，共42分)
1.下列“QQ表情”中屬于軸對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
2.一個等腰三角形的兩邊長分別為2和5，則它的周長為( )
A.7 B.9 C.12 D.9或12
3.某種感冒病毒的直徑為0.0000000031米，用科學記數法表示為( )
A.3.1×10﹣9米 B.3.1×109米 C.﹣3.1×109米 D.0.31×10﹣8米
4.(附加題)如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，當點A落在四邊形BCDE內部時，則∠A與∠1，∠2之間的數量關系是( )
A.∠A=∠1+∠2 B.∠A=∠2﹣∠1 C.2∠A=∠1+∠2 D.3∠A=2(∠1+∠2)
5.下列計算錯誤的是( )
A.5a3﹣a3=4a3 B.(a2b)3=a6b3
C.(a﹣b)3(b﹣a)2=(a﹣b)5 D.2m•3n=6m+n
6.下列式子中，從左到右的變形是因式分解的是( )
A.(x﹣1)(x﹣2)=x2﹣3x+2 B.x2﹣3x+2=(x﹣1)(x﹣2)
C.x2+4x+4=x(x﹣4)+4 D.x2+y2=(x+y)(x﹣y)
7.下列說法錯誤的是( )
A.三角形的角平分線能把三角形分成面積相等的兩部分
B.三角形的三條中線，角平分線都相交于一點
C.直角三角形三條高交于三角形的一個頂點
D.鈍角三角形的三條高所在直線的交點在三角形的外部
8.已知x2+kxy+64y2是一個完全平方式，則k的值是( )
A.8 B.±8 C.16 D.±16
9.分式 的值為零時，則x的值為( )
A.x=3 B.x=﹣3 C.x=±3 D.以上都不對
10.若分式 ，則分式 的值等于( )
A.﹣ B. C.﹣ D.
11.如圖所示，△ABC為等邊三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，則四個結論正確的是( )
①點P在∠A的平分線上;
②AS=AR;
③QP∥AR;
④△BRP≌△QSP.
A.全部正確 B.僅①和②正確 C.僅②③正確 D.僅①和③正確
12.某服裝加工廠計劃加工400套運動服，在加工完160套后，采用了新技術，工作效率比原計劃提高了20%，結果共用了18天完成全部任務.設原計劃每天加工x套運動服，根據題意可列方程為( )
A. B.
C. D.
13.如圖1，在△ABC中，∠ABC的平分線BF與∠ACB的平分線CF相交于F，過點F作DE∥BC，交直線AB于點D，交直線AC于點E，通過上述條件，我們不難發現：BD+CE=DE;如圖2，∠ABC的平分線BF與∠ACB的外角平分線CF相交于F，過點F作DE∥BC，交直線AB于點D，交直線AC于點E，根據圖1所得的結論，試猜想BD，CE，DE之間存在什么關系?( )
A.BD﹣CE=DE B.BD+CE=DE C.CE﹣DE=BD D.無法判斷
14.如圖，動點P從(0，3)出發，沿所示方向運動，每當碰到矩形的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角，當點P第2015次碰到矩形的邊時，點P的坐標為( )
A.(3，0) B.(7，4) C.(8，1) D.(1，4)
二、填空題(每題3分，共15分)
15.分解因式：a2b﹣b3= .
16.我們已經學過用面積來說明公式.如x2+2xy+y2=(x+y)2就可以用如圖甲中的面積來說明.
請寫出圖乙的面積所說明的公式：x2+(p+q)x+pq= .
17.如圖，∠1、∠2、∠3、∠4是五邊形ABCDE的4個外角，若∠A=100°，則∠1+∠2+∠3+∠4= .
18.在平面直角坐標系中，A(4，0)，B(0，4)，D在第一象限，且DO=DB，△DOA為等腰三角形，則∠OBD的度數為 .
19.若分式方程： 有增根，則k= .
三、填空題(共63分)
20.計算.
(1)(﹣ )﹣2﹣(﹣ )2012×(1.5)2013+20140
(2)分解因式：x﹣2xy+xy2.
21.解方程： .
22.先化簡，再求值： ，其中x=3.
23.在邊長為1的小正方形組成的正方形網格中建立如圖片所示的平面直角坐標系，已知格點三角形ABC(三角形的三個頂點都在小正方形上)
(1)畫出△ABC關于直線l：x=﹣1的對稱三角形△A1B1C1;并寫出A1、B1、C1的坐標.
(2)在直線x=﹣l上找一點D，使BD+CD最小，滿足條件的D點為 .
提示：直線x=﹣l是過點(﹣1，0)且垂直于x軸的直線.
24.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線AC的中點為O，過點O作AC的垂線分別與AD、BC相交于點E、F，連接AF.求證：AE=AF.
25.閱讀下面材料完成分解因式
x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=(x2+px)+(qx+pq)
=x(x+p)+q(x+p)
=(x+p)(x+q)
這樣，我們得到x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
利用上式可以將某些二次項系數為1的二次三項式分解因式.
例把x2+3x+2分解因式
分析：x2+3x+2中的二次項系數為1，常數項2=1×2，一次項系數3=1+2，這是一個x2+(p+q)x+pq型式子.
解：x2+3x+2=(x+1)(x+2)
請仿照上面的方法將下列多項式分解因式：
①x2+7x+10; ②2y2﹣14y+24.
26.問題背景：
如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°.E，F分別是BC，CD上的點.且∠EAF=60°.探究圖中線段BE，EF，FD之間的數量關系.
小王同學探究此問題的方法是，延長FD到點G.使DG=BE.連結AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結論，他的結論應是 ;
探索延伸：
如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°.E，F分別是BC，CD上的點，且∠EAF= ∠BAD，上述結論是否仍然成立，并說明理由;
實際應用：
如圖3，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心(O處)北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時的速度前進.1.5小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E，F處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時兩艦艇之間的距離.
人教版八年級上數學期末試題參考答案
一、選擇題(每小題3分，共42分)
1.下列“QQ表情”中屬于軸對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
【考點】軸對稱圖形.
【分析】根據軸對稱圖形的概念求解.
【解答】解：A、是軸對稱圖形，故本選項正確;
B、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤;
C、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤;
D、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤.
故選A.
【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合.
2.一個等腰三角形的兩邊長分別為2和5，則它的周長為( )
A.7 B.9 C.12 D.9或12
【考點】等腰三角形的性質;三角形三邊關系.
【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為2和5，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討論，還要應用三角形的三邊關系驗證能否組成三角形.
【解答】解：當腰為5時，周長=5+5+2=12;
當腰長為2時，根據三角形三邊關系可知此情況不成立;
根據三角形三邊關系可知：等腰三角形的腰長只能為5，這個三角形的周長是12.
故選C.
【點評】本題考查了等腰三角形的性質和三角形的三邊關系;已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關鍵.
3.某種感冒病毒的直徑為0.0000000031米，用科學記數法表示為( )
A.3.1×10﹣9米 B.3.1×109米 C.﹣3.1×109米 D.0.31×10﹣8米
【考點】科學記數法—表示較小的數.
【分析】絕對值小于1的正數也可以利用科學記數法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數的科學記數法不同的是其所使用的是負指數冪，指數由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定.
【解答】解：0.0000000031=3.1×10﹣9，
故選：A.
【點評】本題考查用科學記數法表示較小的數，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|<10，n為由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定.
4.(附加題)如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，當點A落在四邊形BCDE內部時，則∠A與∠1，∠2之間的數量關系是( )
A.∠A=∠1+∠2 B.∠A=∠2﹣∠1 C.2∠A=∠1+∠2 D.3∠A=2(∠1+∠2)
【考點】三角形內角和定理;翻折變換(折疊問題).
【分析】可連接AA′，分別在△AEA′、△ADA′中，利用三角形的外角性質表示出∠1、∠2;兩者相加聯立折疊的性質即可得到所求的結論.
【解答】解：連接AA′.
則△A′ED即為折疊前的三角形，
由折疊的性質知：∠DAE=∠DA′E.
由三角形的外角性質知：
∠1=∠EAA′+∠EA′A，∠2=∠DAA′+∠DA′A;
則∠1+∠2=∠DAE+∠DA′E=2∠DAE，
即∠1+∠2=2∠A.
故選C.
【點評】此題主要考查的是三角形的外角性質和圖形的翻折變換，理清圖中角與角的關系是解決問題的關鍵.
5.下列計算錯誤的是( )
A.5a3﹣a3=4a3 B.(a2b)3=a6b3
C.(a﹣b)3(b﹣a)2=(a﹣b)5 D.2m•3n=6m+n
【考點】冪的乘方與積的乘方;合并同類項;同底數冪的乘法.
【分析】根據冪的乘方和積的乘方的運算法則求解.
【解答】解：A、5a3﹣a3=4a3，計算正確，故本選項錯誤;
B、(a2b)3=a6b3，計算正確，故本選項錯誤;
C、(a﹣b)3(b﹣a)2=(a﹣b)5，計算正確，故本選項錯誤;
D、2m•3n≠6m+n，計算錯誤，故本選項正確.
故選D.
【點評】本題考查了冪的乘方和積的乘方、合并同類項、同底數冪的乘法等知識，掌握運算法則是解答本題的關鍵.
6.下列式子中，從左到右的變形是因式分解的是( )
A.(x﹣1)(x﹣2)=x2﹣3x+2 B.x2﹣3x+2=(x﹣1)(x﹣2)
C.x2+4x+4=x(x﹣4)+4 D.x2+y2=(x+y)(x﹣y)
【考點】因式分解的意義.
【分析】因式分解就是要將一個多項式分解為幾個整式積的形式.
【解答】解：根據因式分解的概念，A，C答案錯誤;
根據平方差公式：(x+y)(x﹣y)=x2﹣y2所以D錯誤;
B答案正確.
故選B.
【點評】注意對因式分解概念的理解.
7.下列說法錯誤的是( )
A.三角形的角平分線能把三角形分成面積相等的兩部分
B.三角形的三條中線，角平分線都相交于一點
C.直角三角形三條高交于三角形的一個頂點
D.鈍角三角形的三條高所在直線的交點在三角形的外部
【考點】三角形的角平分線、中線和高.
【分析】根據三角形的面積公式以及三角形的中線、角平分線、高的概念可知.
【解答】解：A、三角形的中線把三角形的面積分成相等的兩部分，錯誤;
B、三角形的三條中線，角平分線都相交于一點，正確;
C、直角三角形三條高交于直角頂點，正確;
D、鈍角三角形的三條高所在直線的交點在三角形的外部，正確.
故選A.
【點評】注意三角形的中線、角平分線、高的概念.以及三角形的中線、角平分線、高的交點的位置.
8.已知x2+kxy+64y2是一個完全平方式，則k的值是( )
A.8 B.±8 C.16 D.±16
【考點】完全平方式.
【分析】根據完全平方公式的特點求解.
【解答】解：根據題意，原式是一個完全平方式，
∵64y2=(±8y)2，
∴原式可化成=(x±8y)2，
展開可得x2±16xy+64y2，
∴kxy=±16xy，
∴k=±16.
故選：D.
【點評】本題利用了完全平方公式求解：(a±b)2=a2±2ab+b2.注意k的值有兩個，并且互為相反數.
9.分式 的值為零時，則x的值為( )
A.x=3 B.x=﹣3 C.x=±3 D.以上都不對
【考點】分式的值為零的條件.
【專題】計算題.
【分析】分母不為0，分子為0.
【解答】解：根據題意，得
x2﹣9=0且x﹣3≠0，
解得，x=﹣3.
故選B.
【點評】本題考查了分式的值為零的條件.若分式的值為零，需同時具備兩個條件：(1)分子為0;(2)分母不為0.這兩個條件缺一不可.
10.若分式 ，則分式 的值等于( )
A.﹣ B. C.﹣ D.
【考點】分式的值.
【分析】根據已知條件，將分式 整理為y﹣x=2xy，再代入則分式 中求值即可.
【解答】解：整理已知條件得y﹣x=2xy;
∴x﹣y=﹣2xy
將x﹣y=﹣2xy整體代入分式得
=
=
=
= .
故答案為B.
【點評】由題干條件找出x﹣y之間的關系，然后將其整體代入求出答案即可.
11.如圖所示，△ABC為等邊三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，則四個結論正確的是( )
①點P在∠A的平分線上;
②AS=AR;
③QP∥AR;
④△BRP≌△QSP.
A.全部正確 B.僅①和②正確 C.僅②③正確 D.僅①和③正確
【考點】等邊三角形的性質.
【分析】因為△ABC為等邊三角形，根據已知條件可推出Rt△ARP≌Rt△ASP，則AR=AS，故(2)正確，∠BAP=∠CAP，所以AP是等邊三角形的頂角的平分線，故(1)正確，根據等腰三角形的三線合一的性質知，AP也是BC邊上的高和中線，即點P是BC的中點，因為AQ=PQ，所以點Q是AC的中點，所以PQ是邊AB對的中位線，有PQ∥AB，故(3)正確，又可推出△BRP≌△QSP，故(4)正確.
【解答】解：∵PR⊥AB于R，PS⊥AC于S
∴∠ARP=∠ASP=90°
∵PR=PS，AP=AP
∴Rt△ARP≌Rt△ASP
∴AR=AS，故(2)正確，∠BAP=∠CAP
∴AP是等邊三角形的頂角的平分線，故(1)正確
∴AP是BC邊上的高和中線，即點P是BC的中點
∵AQ=PQ
∴點Q是AC的中點
∴PQ是邊AB對的中位線
∴PQ∥AB，故(3)正確
∵∠B=∠C=60°，∠BRP=∠CSP=90°，BP=CP
∴△BRP≌△QSP，故(4)正確
∴全部正確.
故選A.
【點評】本題利用了等邊三角形的性質：三線合一，全等三角形的判定和性質，中位線的性質求解.
12.某服裝加工廠計劃加工400套運動服，在加工完160套后，采用了新技術，工作效率比原計劃提高了20%，結果共用了18天完成全部任務.設原計劃每天加工x套運動服，根據題意可列方程為( )
A. B.
C. D.
【考點】由實際問題抽象出分式方程.
【專題】工程問題.
【分析】關鍵描述語為：“共用了18天完成任務”;等量關系為：采用新技術前用的時間+采用新技術后所用的時間=18.
【解答】解：采用新技術前用的時間可表示為： 天，采用新技術后所用的時間可表示為： 天.
方程可表示為： .
故選：B.
【點評】列方程解應用題的關鍵步驟在于找相等關系.找到關鍵描述語，找到等量關系是解決問題的關鍵.本題要注意采用新技術前后工作量和工作效率的變化.
13.如圖1，在△ABC中，∠ABC的平分線BF與∠ACB的平分線CF相交于F，過點F作DE∥BC，交直線AB于點D，交直線AC于點E，通過上述條件，我們不難發現：BD+CE=DE;如圖2，∠ABC的平分線BF與∠ACB的外角平分線CF相交于F，過點F作DE∥BC，交直線AB于點D，交直線AC于點E，根據圖1所得的結論，試猜想BD，CE，DE之間存在什么關系?( )
A.BD﹣CE=DE B.BD+CE=DE C.CE﹣DE=BD D.無法判斷
【考點】等腰三角形的判定與性質;平行線的性質.
【分析】由∠ABC的平分線BF與∠ACB的外角平分線CF相交于F，過點F作DE∥BC，易證得△BDF與△CEF是等腰三角形，繼而可求得答案.
【解答】解：如圖2，∵DE∥BC，
∴∠DFB=∠CBF，∠EFC=∠1，
∵∠ABC的平分線BF與∠ACB的外角平分線CF相交于F，
∴∠DBC=∠CBF，∠1=∠2，
∴∠DBC=∠DFB，∠EFC=∠2，
∴BD=DF，EF=CE，
∵DF=DE+EF，
∴BD=DE+CE.
即BD﹣CE=DE.
故選A.
【點評】此題考查了等腰三角形的性質與判定.此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用.
14.如圖，動點P從(0，3)出發，沿所示方向運動，每當碰到矩形的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角，當點P第2015次碰到矩形的邊時，點P的坐標為( )
A.(3，0) B.(7，4) C.(8，1) D.(1，4)
【考點】規律型：點的坐標.
【分析】根據反射角與入射角的定義作出圖形，可知每6次反彈為一個循環組依次循環，用2015除以6，根據商和余數的情況確定所對應的點的坐標即可.
【解答】解：如圖，
經過6次反彈后動點回到出發點(0，3)，
∵2015÷6=335…5，
∴當點P第2015次碰到矩形的邊時為第336個循環組的第5次反彈，
點P的坐標為(1，4).
故選：D.
【點評】此題考查了對點的坐標的規律變化的認識，作出圖形，觀察出每6次反彈為一個循環組依次循環是解題的關鍵.
二、填空題(每題3分，共15分)
15.分解因式：a2b﹣b3= b(a+b)(a﹣b) .
【考點】提公因式法與公式法的綜合運用.
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式進行二次因式分解.平方差公式：a2﹣b2=(a+b)(a﹣b).
【解答】解：a2b﹣b3，
=b(a2﹣b2)，(提取公因式)
=b(a+b)(a﹣b).(平方差公式)
故答案為：b(a+b)(a﹣b).
【點評】本題考查提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式進行二次分解，注意分解因式要徹底.
16.我們已經學過用面積來說明公式.如x2+2xy+y2=(x+y)2就可以用如圖甲中的面積來說明.
請寫出圖乙的面積所說明的公式：x2+(p+q)x+pq= (x+p)(x+q) .
【考點】完全平方公式的幾何背景.
【分析】利用面積分割法可證，大長方形的面積=三個長方形的面積+小正方形的面積，用代數式表示即可.
【解答】解：根據題意可知，
x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).
故答案為：(x+p)(x+q).
【點評】本題考查了十字相乘法的幾何意義，利用了面積分割法，根據面積相等列式是解題的關鍵.
17.如圖，∠1、∠2、∠3、∠4是五邊形ABCDE的4個外角，若∠A=100°，則∠1+∠2+∠3+∠4= 280° .
【考點】多邊形內角與外角.
【分析】先根據鄰補角的定義得出與∠EAB相鄰的外角∠5的度數，再根據多邊形的外角和定理即可求解.
【解答】解：如圖，∵∠EAB+∠5=180°，∠EAB=100°，
∴∠5=80°.
∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=360﹣80°=280°
故答案為280°.
【點評】本題主要考查了多邊形內角與外角的關系及多邊形的外角和定理，比較簡單.
18.在平面直角坐標系中，A(4，0)，B(0，4)，D在第一象限，且DO=DB，△DOA為等腰三角形，則∠OBD的度數為 45°，60°，75°，15° .
【考點】等腰三角形的判定;坐標與圖形性質.
【分析】根據△DOA為等腰三角形，分三種情況：①OD=AD;②OD=OA③OA=OD分別求得各邊的長度，再利用三角函數即可得出答案.
【解答】解：如圖，
∵D在第一象限，且DO=DB，△DOA為等腰三角形，
∴點D分四種情況：①OD1=AD1;②OD2=OA;③OA=OD3;④AD4=OA
∴∠OBD1=45°，
∠OBD2=60°，
∠OBD3=15°+60°=75°，
∠OBD4=15°
故答案為：45°，60°，75°，15°
【點評】本題考查了等腰三角形的判定以及坐標與圖形的性質，熟練利用等腰三角形的性質是解題關鍵.
19.若分式方程： 有增根，則k= 1 .
【考點】分式方程的增根.
【專題】計算題.
【分析】把k當作已知數求出x= ，根據分式方程有增根得出x﹣2=0，2﹣x=0，求出x=2，得出方程 =2，求出k的值即可.
【解答】解：∵ ，
去分母得：2(x﹣2)+1﹣kx=﹣1，
整理得：(2﹣k)x=2，
∵分式方程 有增根，
∴x﹣2=0，
解得：x=2，
把x=2代入(2﹣k)x=2得：k=1.
故答案為：1.
【點評】本題考查了對分式方程的增根的理解和運用，把分式方程變成整式方程后，求出整式方程的解，若代入分式方程的分母恰好等于0，則此數是分式方程的增根，即不是分式方程的根，題目比較典型，是一道比較好的題目.
三、填空題(共63分)
20.計算.
(1)(﹣ )﹣2﹣(﹣ )2012×(1.5)2013+20140
(2)分解因式：x﹣2xy+xy2.
【考點】實數的運算;提公因式法與公式法的綜合運用;零指數冪;負整數指數冪.
【分析】(1)分別根據0指數冪及負整數指數冪的運算法則分別計算出各數，再根據實數混合運算的法則進行計算即可;
(2)先提取公因式，字啊根據完全平方公式進行分解即可.
【解答】解：(1)原式=4﹣1.5+1
=3.5;
(2)原式=x(1﹣2y+y2)
=x(1﹣y)2.
【點評】本題考查的是分式的化簡求值，熟知分式混合運算的法則是解答此題的關鍵.
21.解方程： .
【考點】解分式方程.
【專題】計算題.
【分析】先去分母把分式方程化為整式方程，求出整式方程中x的值，代入公分母進行檢驗即可.
【解答】解：方程兩邊同時乘以2(3x﹣1)，得4﹣2(3x﹣1)=3，
化簡，﹣6x=﹣3，解得x= .
檢驗：x= 時，2(3x﹣1)=2×(3× ﹣1)≠0
所以，x= 是原方程的解.
【點評】本題考查的是解分式方程.在解答此類題目時要注意驗根，這是此類題目易忽略的地方.
22.先化簡，再求值： ，其中x=3.
【考點】分式的化簡求值.
【分析】首先將括號里面通分，進而因式分解化簡求出即可.
【解答】解： ，
=[ + ]×
= ×
= ，
當x=3時，原式=2.
【點評】此題主要考查了分式的化簡求值，正確因式分解得出是解題關鍵.
23.在邊長為1的小正方形組成的正方形網格中建立如圖片所示的平面直角坐標系，已知格點三角形ABC(三角形的三個頂點都在小正方形上)
(1)畫出△ABC關于直線l：x=﹣1的對稱三角形△A1B1C1;并寫出A1、B1、C1的坐標.
(2)在直線x=﹣l上找一點D，使BD+CD最小，滿足條件的D點為 (﹣1，1) .
提示：直線x=﹣l是過點(﹣1，0)且垂直于x軸的直線.
【考點】作圖-軸對稱變換;軸對稱-最短路線問題.
【分析】(1)分別作出點A、B、C關于直線l：x=﹣1的對稱的點，然后順次連接，并寫出A1、B1、C1的坐標;
(2)作出點B關于x=﹣1對稱的點B1，連接CB1，與x=﹣1的交點即為點D，此時BD+CD最小，寫出點D的坐標.
【解答】解：(1)所作圖形如圖所示：
A1(3，1)，B1(0，0)，C1(1，3);
(2)作出點B關于x=﹣1對稱的點B1，
連接CB1，與x=﹣1的交點即為點D，
此時BD+CD最小，
點D坐標為(﹣1，1).
故答案為：(﹣1，1).
【點評】本題考查了根據軸對稱變換作圖，解答本題的關鍵是根據網格結構作出對應點的位置，并順次連接.
24.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線AC的中點為O，過點O作AC的垂線分別與AD、BC相交于點E、F，連接AF.求證：AE=AF.
【考點】線段垂直平分線的性質;等腰三角形的判定與性質.
【專題】證明題;壓軸題.
【分析】方法一：連接CE，由與EF是線段AC的垂直平分線，故AE=CE，再由AE∥BC可知∠ACB=∠DAC，故可得出△AOE≌△COF，故AE=CF，所以四邊形AFCE是平行四邊形，再根據AE=CE可知四邊形AFCE是菱形，故可得出結論.
方法二：首先證明△AOE≌△COF，可得OE=OF，進而得到AC垂直平分EF，再根據線段垂直平分線的性質可得AE=AF.
【解答】證明：連接CE，
∵EF是線段AC的垂直平分線，
∴AE=CE，OA=OC，
∵AE∥BC，
∴∠ACB=∠DAC，
在△AOE與△COF中，
∵ ，
∴△AOE≌△COF，
∴AE=CF，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
∵AE=CE，
∴四邊形AFCE是菱形，
∴AE=AF.
另法：∵AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，
∵ ，
∴△AOE≌△COF﹙ASA﹚，
∴OE=OF，
∴AC垂直平分EF，
∴AE=AF.
【點評】本題考查的是線段垂直平分線的性質及菱形的判定定理，根據題意作出輔助線，構造出平行四邊形是解答此題的關鍵.
25.閱讀下面材料完成分解因式
x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=(x2+px)+(qx+pq)
=x(x+p)+q(x+p)
=(x+p)(x+q)
這樣，我們得到x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
利用上式可以將某些二次項系數為1的二次三項式分解因式.
例把x2+3x+2分解因式
分析：x2+3x+2中的二次項系數為1，常數項2=1×2，一次項系數3=1+2，這是一個x2+(p+q)x+pq型式子.
解：x2+3x+2=(x+1)(x+2)
請仿照上面的方法將下列多項式分解因式：
①x2+7x+10; ②2y2﹣14y+24.
【考點】因式分解-十字相乘法等.
【專題】閱讀型.
【分析】仿照上述的方法，將原式分解即可.
【解答】解：①x2+7x+10=(x+2)(x+5);
②2y2﹣14y+24=2(y2﹣7y+12)=2(y﹣3)(y﹣4).
【點評】此題考查了因式分解﹣十字相乘法，熟練掌握十字相乘的方法是解本題的關鍵.
26.問題背景：
如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°.E，F分別是BC，CD上的點.且∠EAF=60°.探究圖中線段BE，EF，FD之間的數量關系.
小王同學探究此問題的方法是，延長FD到點G.使DG=BE.連結AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結論，他的結論應是 EF=BE+DF ;
探索延伸：
如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°.E，F分別是BC，CD上的點，且∠EAF= ∠BAD，上述結論是否仍然成立，并說明理由;
實際應用：
如圖3，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心(O處)北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時的速度前進.1.5小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E，F處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時兩艦艇之間的距離.
【考點】全等三角形的判定與性質.
【專題】壓軸題;探究型.
【分析】問題背景：根據全等三角形對應邊相等解答;
探索延伸：延長FD到G，使DG=BE，連接AG，根據同角的補角相等求出∠B=∠ADG，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△ADG全等，根據全等三角形對應邊相等可得AE=AG，∠BAE=∠DAG，再求出∠EAF=∠GAF，然后利用“邊角邊”證明△AEF和△GAF全等，根據全等三角形對應邊相等可得EF=GF，然后求解即可;
實際應用：連接EF，延長AE、BF相交于點C，然后求出∠EOF= ∠AOB，判斷出符合探索延伸的條件，再根據探索延伸的結論解答即可.
【解答】解：問題背景：EF=BE+DF;
探索延伸：EF=BE+DF仍然成立.
證明如下：如圖，延長FD到G，使DG=BE，連接AG，
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，
∴∠B=∠ADG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG(SAS)，
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF= ∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△GAF(SAS)，
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF;
實際應用：如圖，連接EF，延長AE、BF相交于點C，
∵∠AOB=30°+90°+(90°﹣70°)=140°，
∠EOF=70°，
∴∠EOF= ∠AOB，
又∵OA=OB，
∠OAC+∠OBC=(90°﹣30°)+(70°+50°)=180°，
∴符合探索延伸中的條件，
∴結論EF=AE+BF成立，
即EF=1.5×(60+80)=210海里.
答：此時兩艦艇之間的距離是210海里.
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，讀懂問題背景的求解思路，作輔助線構造出全等三角形并兩次證明三角形全等是解題的關鍵，也是本題的難點.
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