北師大版八年級下冊數學課本第一章復習題答案
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北師大版八年級下冊數學課本第一章復習題答案
1.已知：兩直線平行，內錯角相等;已知：兩直線平行，同位角相等;等量代換.
2.證明：
∵AD//CB，
∴∠ACD=∠CAD.
∵CB=AD,CA=AC,
∴△ABC≌△CDA(SAS).
3.證明：
(1)∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∵∠ABD=∠ACE,
∴∠ABC-∠ABD=∠ACB-∠ACE,
∴∠DBC=∠ECB,即∠OBC=∠OCB.
∴OB=OC(等角對等邊).
(2)在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(ASA)，
∴AD=AE.
∵AB=AC，
∴AB-AE=AC-AD,即BE=CD.
4.證明：
∵BD,CE為△ABC的高，且BD=CE,又BC=BC，
∴Rt△BCD≌Rt△CBE(HL)，
∴∠ABC=∠ACB.
∴AB=AC,即△ABC是等腰三角形.
5.解：如圖1-5-24所示.
∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A：∠B：∠C=1:2:3，
,∴∠A=30°，∠C=90°.
∵在Rt△ABC中，∠A=30°，
6.證明：如圖1-5-25所示，連接OP.
∵AN⊥OB,BM⊥OA,
∴ ∠PNO =∠PMO=90°.
在Rt△PNO與Rt△PMO中，
∴Rt△PNO≌Rt△PMO(HL).
∴PM=PN.
7.證明：(1)如圖1-5-26所示，
∵C是線段AB的垂直平分線上的點，
∴AC=BC.
∴△ABC是等腰三角形.同理可證△ABD是等腰三角形.
(2)第一種情況：點C，D在小段AB所在直線的異側.
∵AC=BC,
∴∠CAB=∠CBA.
∵AD=BD,
∴∠DAB=∠DBA .
∴∠CAB+∠DAB=∠CBA+∠DBA,即∠CAD=∠CBD.
第二種情況：點C,D在線段AB所在直線的同側，利用同樣方法推理可得∠CAD=∠CBD.
8.已知：線段a(如圖1-5-27所示).求作：等腰△ABC，使得AB=AC，BC=a，BC邊上的高AD=2a.
作法：如圖1-5-28所示.
(1)作射線BM，在BM上截取線段BC=a;
(2)作線段BC的垂直平分線DE交BC于點D;
(3)在射線DE上截取DA=2a;
(4)連接AB,AC,則△ABC即為所求.
9.解：在Rt△ABC中，
∵∠BAC=90°，AB=AC=a，
∴BC=
a.
∵AD⊥BC，
∴BD=1/2BC=
/2a.
∵AD⊥BC，∠B=45°，
∴AD=BD=
/2a.
10.解：①Rt△AOD≌Rt△AOE .
證明：
∵高BD，CE交于點O，
∴∠ADO=∠AEO=90°.
∵OD=OE，AO=AO,
∴Rt△AOD≌Rt△AOE(HL).
②Rt△BOE≌Rt△COD.
證明：
由①知∠BEO=∠CDO=90°，
又∵OE=OD且∠BOE=∠COD,
∴△BOE≌△COD(ASA).
③Rt△BCE≌Rt△CBD.
證明：
由②知∠BEC=∠CDB=90°，BE=CD且BC=CB,
∴Rt△BCE≌Rt△CBD(HL).
④△ABM≌△ACM.
證明：
由③知∠ABC=∠ACB，由①知∠BAM=∠CAM,又
∵AM=AM，
∴△ABM≌△ACM(AAS).
⑤Rt△ABD≌Rt△ACE.
證明：
∵∠ADB=∠AEC=90°，∠BAD=∠CAE，又由①知AE=AD,
∴△ABD≌Rt△ACE(ASA).
⑥△BOM≌△COM.
證明：由①知∠AOE=∠AOD，由②知∠BOE=∠COD,
∴∠AOE+∠BOE=∠AOD+∠COD,即∠AOB=∠AOC，
∴∠BOM=∠COM.
由③知∠BOC=∠OCB，
又∵OM=OM.
∴△BOM≌△COM(AAS).
11.證明：如圖1-5-29所示，連接BE.
∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE.
∴∠ABE=∠A=30°.
∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°.
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=30°.
∴BE=2CE.
∴AE=2CE.
12.解：∠AED=∠C=90°, ∠B=60°，
∴∠A=30°.
∴AD=2DE=2.
∴AC=AD+CD=4.
∵∠A=∠A, ∠AED=∠C ,
∴△AED∽△ACB，
∴DE/BC=AE/AC ,
13.解：此題答案不唯一.添加條件：∠CAB=∠DBA或∠CBA=∠DAB或AC=BD或BC=AD.選擇添加條件AC=BD加以證明.
證明：在Rt△ACB和Rt△BDA中，
∴Rt△ACB≌Rt△BDA(HL).
14.已知：在△ABC中，AB=AC,求證：∠B與∠C都是銳角.
證明：∵AB=AC，∴∠B=∠C.假設∠B與∠C都為直角或鈍角，于是∠B+∠C≥180°，這與三角形內角和定理矛盾，因此∠B和∠C必為銳角.即等腰三角形的底角必為銳角.
15.解：△AFD是直角三角形.理由如下：
∵AB=AD，
∴∠B=∠ADB=64°，
∴△BAD=180°-∠ADB-∠B=180°-64°-64°=52°.
∵∠BAC=72°，
而∠BAC=∠BAD+∠DAC,
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=72°-52°=20°.
∵AD=DE, ∠E=55°，
∴DAE=∠E=55°(等邊對等角).
∵∠DAE=∠DAC+∠FAE,
∴∠FAE=∠DAE-∠DAC=55°-20°=35°.
∵∠AFD=∠FAE+∠E，
∴∠AFD=35°+55°=90°，
∴△AFD是直角三角形.
16.解：∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE.
又∵BCE的周長=BE+EC+BC=AC+BC=8.
又∵AC-BC=2，得方程組
∵AB=AC ,
∴ AB=5.
17.證明：在等邊三角形ABC中，AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C.
∵AD=BE=CF,
∴ AB-AD=BC-BE=AC-CF，即DB=EC=FA.在△BDE和△CEF中，
∴△BDE≌△CEF(SAS).
∴ DE=EF.同理可證△AFD≌△CEF(SAS),
∴ FD=EF,DE=EF=FD.
∴△DEF是等邊三角形.
18.解：作圖如圖1-5-30所示，△ABC是所求作的等腰直角三角形.
19.解：如圖1-5-31所示,在等腰△ABC中,AB=AC=5，BC=6.過點A作AD⊥BC交BC于點D，
∴BD=1/2BC=3.
在Rt△ABD中，由勾股定理得AD²=AB²-BD²=5²-3²=16，
∴ AD=4.
∴S△ABC=1/2BC • AD=1/2×6×4=12.
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