七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(2)
七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
1、三邊關(guān)系： 三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。
用字母可表示為a+b>c,a+c>b,b+c>a;a-b<c,a-c<b,b-c<a。
2、判斷三條線段a,b,c能否組成三角形：
(1)當(dāng)a+b>c,a+c>b,b+c>a同時(shí)成立時(shí)，能組成三角形;
(2)當(dāng)兩條較短線段之和大于最長線段時(shí)，則可以組成三角形。
3、確定第三邊(未知邊)的取值范圍時(shí)，它的取值范圍為大于兩邊的差而小于兩邊的和，即.
三、三角形中三角的關(guān)系
1、三角形內(nèi)角和定理：三角形的三個(gè)內(nèi)角的和等于1800。
2、三角形按內(nèi)角的大小可分為三類：
(1)銳角三角形，即三角形的三個(gè)內(nèi)角都是銳角的三角形;
(2)直角三角形，即有一個(gè)內(nèi)角是直角的三角形，我們通常用“RtΔ”表示“直角三角形”,其中直角∠C所對(duì)的邊AB稱為直角三角表的斜邊，夾直角的兩邊稱為直角三角形的直角邊。
注：直角三角形的性質(zhì)：直角三角形的兩個(gè)銳角互余。
(3)鈍角三角形，即有一個(gè)內(nèi)角是鈍角的三角形。
3、判定一個(gè)三角形的形狀主要看三角形中最大角的度數(shù)。
4、直角三角形的面積等于兩直角邊乘積的一半。
5、任意一個(gè)三角形都具備六個(gè)元素，即三條邊和三個(gè)內(nèi)角。都具有三邊關(guān)系和三內(nèi)角之和為1800的性質(zhì)。
6、三角形內(nèi)角和定理包含一個(gè)等式，它是我們列出有關(guān)角的方程的重要等量關(guān)系。
四、三角形的三條重要線段
1、三角形的三條重要線段是指三角形的角平分線、中線和高線。
2、三角形的角平分線：
(1)三角形的一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線。
(2)任意三角形都有三條角平分線，并且它們相交于三角形內(nèi)一點(diǎn)。
3、三角形的中線：
(1)在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)與它對(duì)邊中點(diǎn)的線段，叫做這個(gè)三角形的中線。
(2)三角形有三條中線，它們相交于三角形內(nèi)一點(diǎn)。
4、三角形的高線：
從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線做垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱為三角形的高。
五、全等圖形
1、兩個(gè)能夠重合的圖形稱為全等圖形。
2、全等圖形的性質(zhì)：全等圖形的形狀和大小都相同。
3、全等圖形的面積或周長均相等。
4、判斷兩個(gè)圖形是否全等時(shí)，形狀相同與大小相等兩者缺一不可。
5、全等圖形在平移、旋轉(zhuǎn)、折疊過程中仍然全等。
6、全等圖形中的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)線段都分別相等。
六、全等分割
1、把一個(gè)圖形分割成兩個(gè)或幾個(gè)全等圖形叫做把一個(gè)圖形全等分割。
2、對(duì)一個(gè)圖形全等分割：
(1)首先要觀察分析該圖形，發(fā)現(xiàn)圖形的構(gòu)成特點(diǎn);
(2)其次要大膽嘗試，敢于動(dòng)手，必要時(shí)可采用計(jì)算、交流、討論等方法完成。
七、全等三角形
1、能夠重合的兩個(gè)三角形是全等三角形，用符號(hào)“≌”連接，讀作“全等于”。
2、用“≌”連接的兩個(gè)全等三角形，表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上。
3、全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等。這是今后證明邊、角相等的重要依據(jù)。
4、兩個(gè)全等三角形，準(zhǔn)確判定對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角，即找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)是關(guān)鍵。
八、全等三角形的判定
1、三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡寫為“邊邊邊”或“SSS”。
2、兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡寫為“角邊角”或“ASA”。
3、兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡寫為“角角邊”或“AAS”。
4、兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡寫為“邊角邊”或“SAS”。
5、注意以下內(nèi)容
(1)三角形全等的判定條件中必須是三個(gè)元素，并且一定有一組邊對(duì)應(yīng)相等。
(2)三邊對(duì)應(yīng)相等，兩邊及夾角對(duì)應(yīng)相等，一邊及任意兩角對(duì)應(yīng)相等，這樣的兩個(gè)三角形全等。
(3)兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等不能判定兩三角形全等。
6、熟練運(yùn)用以下內(nèi)容
(1)熟練運(yùn)用三角形判定條件，是解決此類題的關(guān)鍵。
(2)已知“SS”，可考慮A：第三邊，即“SSS”;B：夾角，即“SAS”。
(3)已知“SA”，可考慮A：另一角，即“AAS”或“ASA”;B：夾角的另一邊，即“SAS”。
(4)已知“AA”，可考慮A：任意一邊，即“AAS”或“ASA”。
7、三角形的穩(wěn)定性：根據(jù)三角形全等的判定方法(SSS)可知，只要三角形三邊的長度確定了，這個(gè)三角形的形狀和大小就完全確定了，三角形的這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性。
九、作三角形
1、作圖題的一般步驟：
(1)已知，即將條件具體化;
(2)求作，即具體敘述所作圖形應(yīng)滿足的條件;
(3)分析，即尋找作圖方法的途徑(通常是畫出草圖);
(4)作法，即根據(jù)分析所得的作圖方法，作出正式圖形，并依次敘述作圖過程;
(5)證明，即驗(yàn)證所作圖形的正確性(通常省略不寫)。
2、熟練以下三種三角形的作法及依據(jù)。
(1)已知三角形的兩邊及其夾角，作三角形。
(2)已知三角形的兩角及其夾邊，作三角形。
(3)已知三角形的三邊，作三角形。
十、利用三角形全等測距離
1、利用三角形全等測距離，實(shí)際上是利用已有的全等三角形，或構(gòu)造出全等三角形，運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)(對(duì)應(yīng)邊相等)，把較難測量或無法測量的距離轉(zhuǎn)化成已知線段或較容易測量的線段的長度，從而得到被測距離。
2、運(yùn)用全等三角形解決實(shí)際問題的步驟：
(1)先明確實(shí)際問題應(yīng)該用哪些幾何知道解決;
(2)根據(jù)實(shí)際問題抽象出幾何圖形;
(3)結(jié)合圖形和題意分析已知條件;
(4)找到解決問題的途徑。
十一、直角三角形全等的條件
1、在直角三角形中，斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”。
2、“HL”是直角三角形特有的判定條件，對(duì)非直角三角形是不成立的;
3、書寫時(shí)要規(guī)范，即在三角形前面必須加上“Rt”字樣。
十二、分析-綜合法
1、我們在平時(shí)解幾何題時(shí)，采用的解題方法通常有兩種，綜合法與分析法。
2、綜合法：從問題的條件出發(fā)，通過分析條件，依據(jù)所學(xué)知識(shí)，逐步探索，直到得出問題的結(jié)論。
3、分析法：從問題的結(jié)論出發(fā)，不斷尋找使結(jié)論成立的條件，直至已知條件。
4、在具體解題中，通常是兩種方法結(jié)合起來使用，既運(yùn)用綜合法，又運(yùn)用分析法。
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第五章生活中的軸對(duì)稱
一、軸對(duì)稱圖形
1、如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸。
2、理解軸對(duì)稱圖形要抓住以下幾點(diǎn)：
(1)指一個(gè)圖形;
(2)存在一條直線(對(duì)稱軸);
(3)圖形被直線分成的兩部分互相重合;
(4)軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸有的只有一條，有的則存在多條;
(5)線段、角、長方形、正方形、菱形、等腰三角形、圓都是軸對(duì)稱圖形;
二、軸對(duì)稱
1、對(duì)于兩個(gè)圖形，如果沿一條直線對(duì)折后，它們能互相重合，那么稱這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，這條直線就是對(duì)稱軸。可以說成：這兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱。
2、理解軸對(duì)稱應(yīng)注意：
(1)有兩個(gè)圖形;
(2)沿某一條直線對(duì)折后能夠完全重合;
(3)軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形一定是全等形，但兩個(gè)全等的圖形不一定是軸對(duì)稱圖形;
4)對(duì)稱軸是直線而不是線段;
1、角平分線所在的直線是該角的對(duì)稱軸。
2、性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。
四、線段的垂直平分線
1、垂直于一條線段并且平分這條線段的直線叫做這條線段的垂直平分線，又叫線段的中垂線。
2、性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩端點(diǎn)的距離相等。
五、等腰三角形
1、有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形;
2、相等的兩條邊叫做腰;另一邊叫做底邊;
3、兩腰的夾角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角;
4、三條邊都相等的三角形也是等腰三角形。
5、等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，有一條對(duì)稱軸(等邊三角形除外)，其底邊上的高或頂角的平分線，或底邊上的中線所在的直線都是它的對(duì)稱軸。
6、等腰三角形的三條重要線段不是它的對(duì)稱軸，它們所在的直線才是等腰三角形的對(duì)稱軸。
7、等腰三角形底邊上的高，底邊上的中線，頂角的平分線互相重合，簡稱為“三線合一”。
8、“三線合一”是等腰三角形所特有的性質(zhì)，一般三角形不具備這一重要性質(zhì)。
9、“三線合一”是等腰三角形特有的性質(zhì)，是指其頂角平分線，底邊上的高和中線，這三線，并非其他。
10、等腰三角形的兩個(gè)底角相等，簡寫成“等邊對(duì)等角”。
11、判定一個(gè)三角形是等腰三角形常用的兩種方法：
(1)兩條邊相等的三角形是等腰三角形;
(2)如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么它們所對(duì)的邊也相等相等，簡寫為“等角對(duì)等邊”。
六、等邊三角形
1、等邊三角形是指三邊都相等的三角形，又稱正三角形，是最特殊的三角形。
2、等邊三角形是底與腰相等的等腰三角形，所以等邊三角形具備等腰三角形的所有性質(zhì)。
3、等邊三角形有三條對(duì)稱軸，三角形的高、角平分線和中線所在的直線都是它的對(duì)稱軸。
4、等邊三角形的三邊都相等，三個(gè)內(nèi)角都是600。
七、軸對(duì)稱的性質(zhì)
1、兩個(gè)圖形沿一條直線對(duì)折后，能夠重合的點(diǎn)稱為對(duì)應(yīng)點(diǎn)(對(duì)稱點(diǎn))，能夠重合的線段稱為對(duì)應(yīng)線段，能夠重合的角稱為對(duì)應(yīng)角。
2、關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等圖形。
3、如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分。
4、如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角都相等。
5、類似地，軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)有：
(1)軸對(duì)稱圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分。
(2)軸對(duì)稱圖形的對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角相等。
(3)根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)可求作軸對(duì)稱圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)、對(duì)應(yīng)線段或?qū)?yīng)角，并由此能補(bǔ)全軸對(duì)稱圖形。
八、圖案設(shè)計(jì)
1、作出簡單平面圖形經(jīng)過軸對(duì)稱后的圖形，實(shí)際上是軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)的靈活運(yùn)用。
2、作出簡單平面圖形經(jīng)過軸對(duì)稱后的圖形的步驟:
(1)首先要確定一個(gè)簡單平面圖形上的幾個(gè)特殊點(diǎn);
(2)然后利用軸對(duì)稱的性質(zhì)，作出其相應(yīng)的對(duì)稱點(diǎn)(對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分)。
(3)分別連接其對(duì)稱點(diǎn)，則可得其對(duì)稱圖形。
3、表達(dá)方式(以點(diǎn)M為例)：
(1)過點(diǎn)M作對(duì)稱軸的垂線，垂足為A;
(2)延長MA到M’到，使M’A=MA，則點(diǎn)M’就是點(diǎn)M關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)。
(3)在復(fù)雜的作圖中，也可以敘述為：作出點(diǎn)M關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)M’.
4、在運(yùn)用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案時(shí)，就注意以下幾點(diǎn)：
(1)要有明確的設(shè)計(jì)意圖;
(2)創(chuàng)意要新穎獨(dú)特;
(3)設(shè)計(jì)出的圖案要符合要求;
(4)能清楚地表達(dá)自己的設(shè)計(jì)意圖和制作過程。
5、圖案的設(shè)計(jì)除采用對(duì)稱的手段外，通常還綜合采用旋轉(zhuǎn)、倒置、重復(fù)等手段和形式。
6、設(shè)計(jì)的圖案要美觀、大方，積極向上，反映時(shí)代特色。
九、鏡面對(duì)稱
1、鏡面對(duì)稱的有關(guān)性質(zhì)：
(1)任何一個(gè)平面圖形(物體)在鏡子中的像與它是可以重合的。因此，一個(gè)軸對(duì)稱圖形在鏡子中的像仍是軸對(duì)稱圖形。
(2)若一個(gè)平面圖形正對(duì)鏡面，則其左(右)側(cè)在鏡中的像是其右(左)側(cè);
(3)若一個(gè)平面圖形(物體)垂直于鏡面擺放，則靠近鏡面的部分，其像也靠近鏡面;
2、關(guān)于數(shù)字0、1、3、8在鏡面中像的兩個(gè)結(jié)論：
(1)如果寫數(shù)字的紙條垂直于鏡面擺放，則紙條上寫的0、1、3、8所成的像與原來的數(shù)字完全一樣。
(2)如果紙條正對(duì)鏡面擺放，則紙條上寫的0、1、8這三個(gè)數(shù)字在鏡中的像和原來的數(shù)字完全一樣。
3、像與物體到鏡面的距離相等。
4、像與物體的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被鏡面垂直平分。
5、由鏡中的時(shí)間來判斷真實(shí)時(shí)間是近幾年來中考的一個(gè)熱點(diǎn)。時(shí)間的表示有用一般數(shù)字表示的，也有直接用鐘表來表示的。在判斷時(shí)，大家要注意靈活利用鏡面對(duì)稱的知識(shí)來加以解決。
七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(六)
第六章 概率
一、事件
1、事件分為必然事件、不可能事件、不確定事件。
2、必然事件：事先就能肯定一定會(huì)發(fā)生的事件。也就是指該事件每次一定發(fā)生，不可能不發(fā)生，即發(fā)生的可能是100%(或1)。
3、不可能事件：事先就能肯定一定不會(huì)發(fā)生的事件。也就是指該事件每次都完全沒有機(jī)會(huì)發(fā)生，即發(fā)生的可能性為零。
4、不確定事件：事先無法肯定會(huì)不會(huì)發(fā)生的事件，也就是說該事件可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，即發(fā)生的可能性在0和1之間。
5、三種事件都是相對(duì)于事件發(fā)生的可能性來說的，若事件發(fā)生的可能性為100%，則為必然事件;若事件發(fā)生的可能性為0，則為不可能事件;若事件不一定發(fā)生，即發(fā)生的可能性在0∽1之間，則為不確定事件。
6、簡單地說，必然事件是一定會(huì)發(fā)生的事件;不可能事件是絕對(duì)不可能發(fā)生的事件;不確定事件是指有可能發(fā)生，也有可能不發(fā)生的事件。
7、表示事件發(fā)生的可能性的方法通常有三種：
(1)用語言敘述可能性的大小。
(2)用圖例表示。
(3)用概率表示。
二、等可能性
1、等可能性：是指幾種事件發(fā)生的可能性相等。
2、游戲規(guī)則的公平性：就是看游戲雙方的結(jié)果是否具有等可能性。
(1)首先要看游戲所出現(xiàn)的結(jié)果的兩種情況中有沒有必然事件或不可能事件，若有一個(gè)必然事件或不可能事件，則游戲是不公平的;
(2)其次如果兩個(gè)事件都為不確定事件，則要看這兩個(gè)事件發(fā)生的可能性是否相同;即看雙方獲勝的可能性是否相同，只有雙方獲勝的可能性相同，游戲才是公平的。
(3)游戲是否公平，并不一定是游戲結(jié)果的兩種情況發(fā)生的可能性都是二分之一，只要對(duì)游戲雙方獲勝的事件發(fā)生的可能性一樣即可。
三、概率
1、概率：是反映事件發(fā)生的可能性的大小的量，它是一個(gè)比例數(shù)，一般用P來表示，P(A)=事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)/所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)。
2、必然事件發(fā)生的概率為1，記作P(必然事件)=1;
3、不可能事件發(fā)生的概率為0，記作P(不可能事件)=0;
4、不確定事件發(fā)生的概率在0∽1之間，記作0<P(不確定事件)<1。
5、概率是對(duì)“可能性”的定量描述，給人以更直接的感覺。
6、概率并不提供確定無誤的結(jié)論，這是由不確定現(xiàn)象造成的。
7、概率的計(jì)算：
(1)直接數(shù)數(shù)法：即直接數(shù)出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果的總數(shù)n，再數(shù)出事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)m，利用概率公式直接得出事件A的概率。
(2)對(duì)于較復(fù)雜的題目，我們可采用“列表法”或畫“樹狀圖法”。
四、幾何概率
1、事件A發(fā)生的概率等于此事件A發(fā)生的可能結(jié)果所組成的面積(用SA表示)除以所有可能結(jié)果組成圖形的面積(用S全表示)，所以幾何概率公式可表示為P(A)=SA/S全，這是因?yàn)槭录l(fā)生在每個(gè)單位面積上的概率是相同的。
2、求幾何概率：
(1)首先分析事件所占的面積與總面積的關(guān)系;
(2)然后計(jì)算出各部分的面積;
(3)最后代入公式求出幾何概率。
五、設(shè)計(jì)概率模型(游戲或事件)
1、設(shè)計(jì)符合要求的簡單概率模型(游戲或事件)是對(duì)概率計(jì)算的逆向運(yùn)用。
2、設(shè)計(jì)通常分四步：
(1)首先分析設(shè)計(jì)應(yīng)符合什么條件;
(2)其次確定選用什么圖形表示更合理;
(3)然后再按一定要求和操作經(jīng)驗(yàn)來設(shè)計(jì)模型;
(4)最后再通過計(jì)算或其他方法來驗(yàn)證設(shè)計(jì)的模型是否符合條件。
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