高二數(shù)學(xué)下冊等比數(shù)列單元訓(xùn)練題及答案
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高二數(shù)學(xué)下冊等比數(shù)列單元訓(xùn)練題及答案
一、選擇題(每小題6分，共42分)
1.b2=ac,是a,b,c成等比數(shù)列的( )
A.充分不必要條件 B.必要非充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】因當(dāng)b2=ac時，若a=b=c=0,則a,b,c不成等比數(shù)列;若a,b,c成等比，則 ，即b2=ac.
2.一個公比q為正數(shù)的等比數(shù)列{an}，若a1+a2=20,a3+a4=80,則a5+a6等于( )
A.120 B.240 C.320 D.480
【答案】C
【解析】∵a1+a2,a3+a4,a5+a6也成等比數(shù)列(公比為q2).
∴a5+a6= =320.
3.數(shù)列{an}的前n項和Sn=3n+a,要使{an}是等比數(shù)列，則a的值為( )
A.0 B.1 C.-1 D.2
【答案】C
【解析】∵an=
要使{an}成等比，則3+a=2•31-1=2•30=2,即a=-1.
4.設(shè)f(x)是定義在R上恒不為零的函數(shù)，對任意實數(shù)x,y∈R,都有f(x)•f(y)=f(x+y),若a1= ,an=f(n)(n∈N*),則數(shù)列{an}前n項和Sn的取值范圍是( )
A.[ ，2) B.[ ，2]
C.[ ，1) D.[ ，1]
【答案】C
【解析】因f(n+1)=f(1)•f(n),則an+1=a1•an= an，
∴數(shù)列{an}是以 為首項，公比為 的等比數(shù)列.
∴an=( )n.
Sn= =1-( )n.
∵n∈N*,∴ ≤Sn<1.
5.等比數(shù)列{an}的各項都是正數(shù)，且a2, a3,a1成等差數(shù)列，則 的值是( )
A. B.
C. D. 或
【答案】B
【解析】∵a3=a2+a1,
∴q2-q-1=0,q= ，或q= (舍).
∴ .
6.(2010北京宣武區(qū)模擬，4)在正項等比數(shù)列{an}中，a1、a99是方程x2-10x+16=0的兩個根，則a40•a50•a60的值為( )
A.32 B.64 C.±64 D.256
【答案】B
【解析】因a1•a99=16,故a502=16,a50=4,a40•a50•a60=a503=64.
7.如果P是一個等比數(shù)列的前n項之積，S是這個等比數(shù)列的前n項之和，S′是這個等比數(shù)列前n項的倒數(shù)和，用S、S′和n表示P，那么P等于( )
A.(S•S′ B.
C.( )n D.
【答案】B
【解析】設(shè)等比數(shù)列的首項為a1,公比q(q≠1)
則P=a1•a2•…•an=a1n• ,
S=a1+a2+…+an= ,
S′= +…+ ,
∴ =(a12qn-1 =a1n =P,
當(dāng)q=1時和成立.
二、填空題(每小題5分，共15分)
8.在等比數(shù)列中，S5=93，a2+a3+a4+a5+a6=186,則a8=___________________.
【答案】384
【解析】易知q≠1，由S5= =93及 =186.
知a1=3,q=2,故a8=a1•q7=3×27=384.
9.(2010湖北八校模擬，13)在數(shù)列{an}中，Sn=a1+a2+…+an,a1=1,an+1= Sn(n≥1),則an=
【答案】( )•( )n-2
【解析】∵an+1= Sn,
∴an= Sn-1(n≥2).
①-②得,an+1-an= an,
∴ (n≥2).
∵a2= S1= ×1= ,
∴當(dāng)n≥2時，an= •( )n-2.
10.給出下列五個命題，其中不正確的命題的序號是_______________.
①若a,b,c成等比數(shù)列，則b= ②若a,b,c成等比數(shù)列，則ma,mb,mc(m為常數(shù))也成等比數(shù)列 ③若{an}的通項an=c(b-1)bn-1(bc≠0且b≠1),則{an}是等比數(shù)列 ④若{an}的前n項和Sn=apn(a,p均為非零常數(shù))，則{an}是等比數(shù)列 ⑤若{an}是等比數(shù)列，則an,a2n,a3n也是等比數(shù)列
【答案】②④
【解析】②中m=0,ma,mb,mc不成等比數(shù)列;
④中a1=ap,a2=ap(p-1),a3=ap2(p-1), ,故②④不正確，①③⑤均可用定義法判斷正確.
三、解答題(11—13題每小題10分，14題13分，共?43分)
11.等比數(shù)列{an}的公比為q，作數(shù)列{bn}使bn= ,
(1)求證數(shù)列{bn}也是等比數(shù)列;
(2)已知q>1,a1= ,問n為何值時，數(shù)列{an}的前n項和Sn大于數(shù)列{bn}的前n項和Sn′.
(1)證明：∵ =q,
∴ 為常數(shù)，則{bn}是等比數(shù)列.
(2)【解析】Sn=a1+a2+…+an
= ,
Sn′=b1+b2+…+bn
= ,
當(dāng)Sn>Sn′時，
.
又q>1,則q-1>0,qn-1>0,
∴ ,即qn>q7,
∴n>7,即n>7(n∈N*)時，Sn>Sn′.
12.已知數(shù)列{an}:a1,a2,a3,…,an,…,構(gòu)造一個新數(shù)列：a1,(a2-a1),(a3-a2),…,(an-an-1),…此數(shù)列是首項為1，公比為 的等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項;
(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn.
【解析】(1)由已知得an-an-1=( )n-1(n≥2),a=1,
an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)
= [1-( )n].
(2)Sn=a1+a2+a3+…+an
= - [ +( )2+…+( )n]
= - [1-( )n]
= ×( )n.
13.在等比數(shù)列{an}中,a1+a3=10,a2+a4=20,設(shè)cn=11-log2a2n.
(1)求數(shù)列{cn}的前n項和Sn.
(2)是否存在n∈N*,使得 成立?請說明理由.
【解析】(1)由已知得
∴an=a1qn-1=2n.
∴cn=11-log2a2n=11-log222n
=11-2n.
Sn=c1+c2+…+cn= =-n2+10n.
(2)假設(shè)存在n∈N*,使得 即 .
∴22n+3×2n-3<0,解得 .
∵ =1,而2n≥2,
故不存在n∈N*滿足 .
14.(2010湖北黃岡中學(xué)模擬，22) 已知函數(shù)f(x)= ,x∈(0,+∞),數(shù)列{xn}滿足xn+1=f(xn),(n=1,2,…),且x1=1.
(1)設(shè)an=|xn- |,證明：an+1
(2)設(shè)(1)中的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，證明：Sn< .
證明：(1)an+1=|xn+1- |=|f(xn)- |= .
∵xn>0,
∴an+1<( -1)|xn- |<|xn- |=an,
故an+1
(2)由(1)的證明過程可知
an+1<( -1)|xn- |
<( -1)2|xn-1- |
<…<( -1)n|x1- |=( -1)n+1
∴Sn=a1+a2+…+an<|x1- |+( -1)2+…+( -1)n
=( -1)+( -1)2+…+( -1)n
= [1-( -1)n]< .
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