上學期高二年級數學考試試題
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高二數學上學期期中試卷閱讀
可能用到的公式：球的體積公式 (其中R為球的半徑)
一.選擇題(共12題，每題5分，共60分，每小題只有一項是正確答案)
1. 設 ， ，則 ( )
A. B. C. D.
2.已知空間的兩條直線 及兩個平面 ，β，下列四個命題中正確的是( )
①若 ∥ ， ⊥ ，則 ⊥ ;②若 ∥β， ， β，則 ∥ ;
③若 ∥ ， ∥ ，則 ∥ ;④若 ∥β， ∥ ， ⊥ ，則 ⊥β
A. ①③ B、②④ C、①④ D、②③
3.橢圓 的左右焦點分別為 ，點P在橢圓上，則 的周長為( )
A、20 B、18 C、16 D、14
4.已知三棱錐A-BCD中，AD⊥BC，AD⊥CD，則有( )
A、平面ABC⊥平面ADC B、平面ADC⊥平面BCD
C、平面ABC⊥平面BDC D、 平面ABC⊥平面ADB
5.正方體ABCD—A1B1C1D1中，異面直線BD1與AC所成的角等于( )
A.60° B.45° C.30° D.90°
6. 如果執行下面的框圖，輸入N=5，則輸出的數等于 ( )
A. B、 C. D.
7.“ ”是“ ”的( )
A、充分不必要條件 B、必要不充分條件
C、充要條件 D、既不充分也不必要條件
8、橢圓 的左右焦點分別為 ，點P在橢圓上， 軸，且 是等腰直角三角形，則該橢圓的離心率為( )
A、 B、 C、 D、
9.如圖，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E為AB的中點，將△ADE與△BEC分別沿ED、EC向上折起，使A、B重合于點P，則P﹣DCE三棱錐的外接球的體積為( )
A. B. C . D.
10.某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的各個面中,最大的面積是( )
A. B.
C. 1 D.
11.已知方程 有兩個不同的實數解，則實數 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
12.已知點P(1，1)及圓C： ，點M，N在圓C上，若PM⊥PN，則|MN|的取值范圍為( )
A. B.
C. D.
二.填空題(共4題，每題5分，共20分)
13.已知向量 =(4，2)，向量 =( ，3)，且 // ,則 =
14. 已知正三棱錐S-ABC的側棱長為2，底面邊長為1，則側棱SA與底面ABC所成角的余弦值等于
15.菱形ABCD的邊長為2，且∠BAD=60°，將三角形ABD沿BD折起，得到三棱錐A-BCD，則三棱錐A-BCD體積的最大值為
16. 函數 的圖像與函數 的圖像所有交點的橫坐標之和等于
三.解答題(共5題，70分)
17(12分)、已知A、B、C是 ABC的內角， 分別是角A，B，C的對邊。
若
(Ⅰ)求角C的大小;
(Ⅱ)若 ,求 ABC面積的最大值
18(14分). 如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°.
O為AB的中點
(1)證明：AB⊥平面A1OC
(2)若AB=CB=2，平面ABC 平面A1ABB1，求三棱柱ABC-A1B1C1的體積.
19(14分).在數列 中， ,
(I)設 ，求數列 及 的通項公式
(II)求數列 的前 項和
20(14分)、已知過點A(0，4)，且斜率為 的直線與圓C： ，相交于不同兩點M、N.
(1)求實數 的取值范圍;
(2)求證： 為定值;
(3)若O為坐標原點，問是否存在以MN為直徑的圓恰過點O，若存在則求 的值，若不存在，說明理由。
21.(16分)已知函數 ， .
(1)若函數 在 上是增函數，求實數 的取值范圍;
(2)若存在實數 使得關于 的方程 有三個不相等的實數根，求實數 的取值范圍.
)參考答案
一.選擇題答(每題5分)DCBBD，BADCA，CA
二 填空題答6; ;1;12(每題5分)
17解：(I)由正弦定理及
得 …………………2分
由余弦定理 …………………4分
又 ，則 …………………………………6分
(II)由(I)得 ，又 ， 得
又 可得
…8分
……10分
當 時取得等號 ……11分
所以的 ABC面積最大值為 ……12分
18解：(1)證明：連結A1B.，因為CA=CB，OA=OB，所OC⊥AB
因為AB=AA1，∠BAA1=60°，所三角形AA1B為等邊三角形，
所以AA1=A1B，又OA=OB，所以OA1⊥AB，又 = ， 面A1OC
(2)由題可知， 與 是邊長為2的等邊三角形，得
平面ABC 平面A1ABB 平面ABC 平面A1ABB=AB，
由(1)OA1⊥AB， 平面A1ABB
面ABC
為三棱柱ABC-A1B1C1的高
=3
19【解析】(I)由已知有
則
( )
又 ，得
(II)由(I)知 ,
令
則
兩式相減得
=
=
20解：(1)(一)設直線方程為 ，即 ，點C(2，3)到直線的距離為
,解得
(二)設直線方程為 ，聯立圓C的方程得
,此方程有兩個不同的實根
,解得
(2)設直線方程為 ，聯立圓C的方程得
,設M ,
則
(2) 假設存在滿足條件的直線，則有
得 ，從而得 ,此方程無實根
所以，不存在以MN為直徑的圓過原點。
21.解：(1) ， ………………3分
當 時， 的對稱軸為： ;
當 時， 的對稱軸為： ;
∴當 時， 在R上是增函數，即 時，函數 在 上是增函數; ………………6分
(2)方程 的解即為方程 的解.
①當 時，函數 在 上是增函數，∴關于 的方程 不可能有三個不相等的實數根; ………………8分
②當 時，即 ，∴ 在 上單調增，在 上單調減，在 上單調增，∴當 時，關于 的 方程 有三個不相等的實數根;即 ，
∵ ∴ . ………………10分
設 ，∵存在 使得關于 的方程 有三個不相等的實數根， ∴ ，又可證 在 上單調增
∴ ∴ ;………………12分
③當 時，即 ，∴ 在 上單調增，在 上單調減，在 上單調增，………………13分
∴當 時，關 于 的方程 有三個不相等的實數根;
即 ，∵ ∴ ，設
∵存在 使得關于 的方程 有三個不相等的實數根，
∴ ，又可證 在 上單調減∴
∴ ; ………………15分
綜上： . ………………16分
關于高二數學上學期期中試卷
一、選擇題(每小題3分，共30分)
1.已知點 和 在直線 的兩側，則實數 的取值范圍為( )
2.已知橢圓的標準方程為 ，則橢圓的焦點坐標為( )
3. 已知 ，且 ，則 有( )
最大值 最大值 最小值 最小值
4.如圖，△A'B'C'是△ABC的直觀圖，其中 ， 軸， 軸，那么△ABC是( )
A. 等腰三角形 B. 鈍角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形
5.設實數 滿足約束條件 ，則目標函數 的最大值為( )
6.過正方體 的棱 、 的中點 、 作一個截面，使截面與底面 所成二面角為 ，則此截面的形狀為( )
三角形或五邊形 三角形或四邊形 正六邊形 三角形或六邊形
7.已知 、 為不同直線， 、 為不同平面，則下列說法正確的是( )
若 ， ， ，則 ; 若 ， ，則
若 ， ， 、 不平行，則 、 為異面直線;
若 ， ， ，則 .
8.異面直線 與 成 角，異面直線 與 成 角，則異面直線 與 所成角的取值范圍是( )
9.已知橢圓 ，過橢圓右焦點 的直線 交橢圓于 兩點，交 軸于點 ，設 ，則 ( )
10.如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐 中， 分別是棱 上的動點，且滿足 ，則線段 中點的軌跡是( )
一條線段 一個三角形
一段圓弧 橢圓的一部分
二、填空題(本大題7個小題，單空題每題4分，多空題每題6分，共36分)
11. 某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是邊長為4的正三角形，俯視圖是由邊長為4的正三角形和一個半圓構成，則該幾何體的表面積為________，體積為________.
12. 雙曲線 的實軸長為________， 漸近線方程是________ .
13. 與圓 外切，且與圓 內切的動圓圓心的軌跡方程為________.
14. 雙曲線 的兩個焦點分別為 ，點 在雙曲線上，且滿足 ，則 的周長為________，面積為________. .
15. 若 ，且 ，當且僅當________時， 取得最小值________. .
16. 已知 是球 表面上的點， 平面 ， ， ， ，則球 的體積等于________. .
17. 已知函數 ， ，若對任意 ， 恒成立，則實數 的取值范圍________. .
三、解答題(本大題5個小題，共54分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
18. (1)若雙曲線的一條漸近線方程為 ，且兩頂點間的距離為6，求該雙曲線方程.
(2)一組平行直線 與橢圓 相交，求弦的中點的軌跡方程.
19. 如圖，在四棱錐 中，底面 為菱形， 平面 . ， 為 的中點， .
(1)求證： 平面 ;
(2)求直線 與平面 所成角的正弦值.
20. 已知函數 ， .
(1)當 時，解不等式 ;
(2)當 時，若關于 的方程 在 上的解集為空集，求實數 的取值范圍.
21.如圖，在三棱柱 中， 、 分別是 、 的中點.
(1)設棱 的中點為 ，證明： 平面 ;
(2)若 ， ， ，且平面 平面 ，求二面角 的余弦值.
22.已知橢圓 的兩個頂點分別為 ，點 為橢圓上異于 的點，設直線 的斜率為 ，直線 的斜率為 ，且 .
(1)求橢圓 的離心率;
(2)若 ，設直線 與 軸交于點 ，與橢圓交于 兩點，求 面積的最大值.
期中試卷
四、選擇題(每小題3分，共30分)
1~10
五、填空題(本大題7個小題，單空題每題4分，多空題每題6分，共36分)
11.
12.
13.
14.
15. 18
16.
17.
六、解答題(本大題5個小題，共54分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
18. 若焦點在 軸上，易得雙曲線的標準方程為 .................2
若焦點在 軸上，雙曲線的標準方程為 。....................4
設 與橢圓 的兩交點 其中點
則 .........8
又 ，消去 得 。.....................9
所以弦的中點 的軌跡方程為 ………....10
19. 證明： 平面 ,又 平面 ，所以 ..........2
又底面 是菱形， ,得 為正三角形， 為 的中點，易得 ，所以 , ,故 平面 ...........................5
連接 ，易證 . 平面 ,又 平面 ,得面 面 ，且交線為 ，在平面 內，過 作 ,則 面 ，故 為 在平面 上的射影，即 為所求線面角。.............8
在 中易求 , , ...............10
其它解法酌情給分。
20. 解： 當 時， ，.......2
由 ，
當 時，由 解得 ;
當 時，由 解得 舍去 ;
當 時，由 解得 。
故原不等式的解集為 。.........................5
當 且 時， ， ， 。..........7
要使 在 上的解集為空集，即在 上無實根。記 ，為開口向上的拋物線。
當 時，須滿足 解得 。
綜上 ...................10
21. 證明： 為 上的中點，易證四邊形 為平行四邊形，連接 交 于點 則 為 的中點。連接 ,由中位線知 ,又 面 面 ,故 平面 ................5
易證 為正 ，又 為中點， 也為正 。面 面 ,且交線為 ,過 作 交于點 ，則 平面 .過 作 ,連結 則 ,則 為二面角 的平面角。........9
易求 , ， , ...............12
22. 解： 設 為橢圓 上的點
則 ， ........................................2
又
.............................................5
由 知 且 ..............................6
設直線 ，代入橢圓方程有
設 由韋達定理 .........................................8
.10
令 即有 代入上式得
當且僅當 即 時等號成立
面積最大值為 ......................................................................................12
第I卷(選擇題 共60分)
一、選擇題：(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1.數列 的通項公式為 ，則 的第 項是( )
A. B. C. D.
2.在 中， , , ,則 等于( )
A. B. C. D.
3. 等比數列 的前 項和 則 的值為( )
A . B. C . D.
4. 在 中， 分別是角 的對邊，若 ，
則 的形狀是( )
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等腰直角三角形
5.各項均為正數的等比數列 ，前 項和為 ，若 ， ，則 ( )
A. B. C. D.
6. 我國古代數學著作《九章算術》有如下問題：“今有金箠(chuí)，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤，問次一尺各重幾何?”意思是：“現有一根金箠，長五尺，一頭粗，一頭細，在粗的一端截下1尺，重4斤，在細的一端截下1尺，重2斤，問依次每一尺各重多少斤?”根據上題的已知條件，若金箠由粗到細是均勻變化的，問第二尺與第四尺的重量之和為( )
A.6斤 B.9斤 C.9.5斤 D.12斤
7.若實數 滿足 ，則 的最小值為( )
A. B. C. D.
8.設等差數列 的前 項和為 ，已知 ， ，則 的最小值為( )
A. B. C. 或 D.
9.已知正數 的等差中項是 ，且 ，則 的最小值是( )
A. B. C. D.
10. 若不等式 對一切實數 都成立，則實數 的取值范圍為( )
A. B. C. D.
11.如圖，某景區欲在兩山頂 之間建纜車，需要測量兩山頂間的距離.已知山高 ， ,在水平面上 處測得山頂 的仰角為 ，山頂 的仰角為 ， ,
則兩山頂 之間的距離為( )
A. B. C. D.
12. 中，角 的對邊長分別為 ，若 ，則 的最大值為 ( )
A.1 B. C. D.
第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)
二、填空題：(本大題共4小題，每小題5分，共20分)
13.已知 ，則 的最小值為_______________.
14.已知 中， ， ， ，則 面積為_______ __.
15. 在數列 中，已知 ， ，記 為數列 的前 項和，則 ________.
16.已知首項為2的正項數列 的前 項和為 ，且當 時， .若
恒成立，則實數 的取值范圍為__________ _____.
三、解答題：(本大題共6題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17.(本小題滿分10分).
設 是公比為正數的等比數列，若 ， 且 ， ， 成等差數列.
(1)求 的通項公式;
(2)設 ，求證：數列 的前 項和 .
18.(本小題滿分12分)
已知關于 的不等式 的解集為 .
(1)求 的值;
(2)解關于 的不等式 .
19.(本小題滿分12分)
在 中，角 的對邊分別為 ，若 .
(1)求角 ;
(2)若 的面積為 ， ，求 的值.
20.(本小題滿分12分)
在 中，設角 , , 的對邊分別為 , , ，已知
(1)求角 的大小;
(2)若 ，求 周長的取值范圍.
21.(本小題滿分12分)
已知數列 滿足
(1)求數列 的通項公式;
(2)若 ， ，求 成立的正整數 的最小值.
22.(本小題滿分12分)
某漁業公司年初用81萬元購買一艘捕魚船，第一年各種費用為1萬元，以后每年都增加2萬元，每年捕魚收益30萬元.
(1)問第幾年開始獲利?
(2)若干年后，有兩種處理方案：方案一：年平均獲利最大時，以46萬元出售該漁船;
方案二：總純收入獲利最大時，以10萬元出售該漁船.問：哪一種方案合算?請說明理由.
參考答案
一、選擇題(每小題5分，共12小題，共60分)
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D C B C A D A C B A D
二、填空題(每小題5分，共4小題，共20分)
13、 14、 15、 16、
三、解答題(第17題10分，18-22題每題12分，共70分)
17、解：(1)設等比數列 的公比為 ，
∵ ， ， 成等差數列
∴ 即 ，……………………………(2分)
即 ，解得 或 (舍去)，∴ .……………………………(4分)
所以 的通項為 ( ) ……………………………(5分)
(2)由上知 ∵ ，
∴ ， ……………………………(7分)
∴
……………………………(9分)
∴ ……………………………(10分)
即數列 的前 項和為 .
18、解：(1)由題意知： 且 和 是方程 的兩根，……………………………(2分)
由根與系數的關系有 ，解得 ……………………………(6分)
(2)不等式 可化為 ，
即 . ……………………………(8分)
其對應方程的兩根為
①當 即 時，原不等式的解集為 ;……………………………(9分)
②當 即 時，原不等式的解集為 ;……………………………(10分)
③當 即 時，原不等式的解集為 ; ……………………………(11分)
綜上所述：當 時，原不等式的解集為 ;
當 時，原不等式的解集為 ;
當 時，原不等式的解集為 ;
……………………………(12分)
19、解：(1)(法一)：在 中，由正弦定理得
∴ ……………………………(2分)
又 ，∴ ，
∴ ……………………………(4分)
∴ ……………………………(5分)
， 故 ……………………………(6分)
(法二)由余弦定理得 ………………………(2分)
∴ ……………………………(3分)
∴ , ……………………………(5分)
, 故 . ……………………………(6分)
(2) ，所以 . ……………………………(7分)
又
∴由余弦定理得
∴ ……………………………(9分)
又由正弦定理知 ……………………………(10分)
∴ 即
∴ ……………………………(12分)
20、(1)由題意知 ……………………………(1分)
即 ……………………………(2分)
由正弦定理得 ……………………………(3分)
由余弦定理得 …………………………… (4分)
又 ， 故 …………………………… (5分)
(2)(法一)：由上知 ，
∴由余弦定理有 ，……………………………(6分)
又 ，∴ ， ……………………………(7分)
又∵
∴ ，(當且僅當 時取等號) ……………………………(8分)
∴ ， 即
解得 ，(當且僅當 時取等號) ……………………………(10分)
又∵三角形兩邊之和大于第三邊,即
∴ ……………………………(11分)
∴ ……………………………(12分)
所以 的周長的范圍為
(法二)由正弦定理知
∴ , ……………………………(6分)
又
則 的周長
…………………………(8分)
∵ ∴ ∴ ……………………………(10分)
∴ ，
所以 的周長的范圍為 .……………………………(12分)
21、解：(1)由 ………①
當 時， ………② ……………………………(2分)
①–②得 即 ……………………………(3分)
當 時， 也滿足上式 ……………………………(4分)
∴ ……………………………(5分)
(2)由(1)得, , ……………………………(6分)
所以 ………①
∴ ………② ……………………………(7分)
①-②，得
……………………………(9分)
依題意 ，即 即 成立， ……………………………(10分)
又當 時, ,
當 時, . ……………………………(11分)
故使 成立的正整數 的最小值為5. ……………………………(12分)
22、解：(1)設第n年開始獲利，獲利為y萬元，
由題意知，n年共收益30n萬元，每年的費用是以1為首項，2為公差的等差數列，
故n年的總費用為 . ……………………………(2分)
∴獲利為 ……………………………(4分)
由 即 解得 ……………………………(5分)
∵n∈N*，∴n=4時，即第4年開始獲利. ……………………………(6分)
(2)方案一：n年內年平均獲利為 .
由于 ，當且僅當n=9時取“=”號.
∴ (萬元).
即前9年年平均收益最大，此時總收益為12×9+46=154(萬元).……………………………(9分)
方案二：總純收入獲利 .
∴ 當n=15時， 取最大值144，此時總收益為144+10=154(萬元).
……………………………(11分)
∵兩種方案獲利相等，但方案一中n=9，所需的時間短，
∴方案一較合算. ……………………………(12分)
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