理科高二年級數學期中考試試題
大家要學習好數學的話就必須要多做題，多看，今天小編就給大家分享一下高二數學，需要的來閱讀哦
理科高二數學上學期期中試卷
一、單選題
1.命題“若 ,則 且 ”的逆否命題是( D )
A. 若 ,則 且 B. 若 ,則 或
C. 若 且 ,則 D. 若 或 ,則
2已知拋物線方程為 ，則該拋物線的焦點坐標為( C )
A. B. C. D.
3.下列命題錯誤的是(B )
A. 命題“ ， ”的否定是“ ， ”;
B. 若 是假命題，則 ， 都是假命題
C. 雙曲線 的焦距為
D. 設 ， 是互不垂直的兩條異面直線，則存在平面 ，使得 ，且
4.與橢園 共焦點且漸近線方程為 的雙曲線的標準方程為( D )
A. B. C. D.
5.已知 .若“ ”是真命題，則實數a的取值范圍是( C )
A. (1，+∞) B. (-∞，3) C. (1，3) D.
6.直線 截圓 所得弦的長度為4，則實數 的值是( A)
A. -3 B. -4 C. -6 D.
7.方程 表示的曲線是( D )
A. 兩條直線 B. 兩條射線 C. 兩條線段 D. 一條直線和一條射線
8.已知 、 是橢圓 ： 的兩個焦點， 為橢圓 上一點，且 ，若 的面積為9，則 的值為( C )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9.如圖，空間四面體 的每條邊都等于1，點 ， 分別是 ， 的中點，則 等于(A )
A. B. C. D.
10.已知橢圓 的左、右焦點分別為 ， ， 為橢圓上的動點，則
的最小值為(B )
A. B. C. D.
11.如圖，在所有棱長均為a 的直三棱柱ABC—A1B1C1 中，D,E 分別為BB1,A1C1 的中點，則異面直線AD,CE 所成角的余弦值為(C)
A. B. C. D.
12. 為雙曲線 上一點， 分別為 的左、右焦點， ，若 外接圓半徑與其內切圓半徑之比為 ，則 的離心率為(D)
A. B. 2 C. 或 D. 2或3
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D C B D C A D C A B C D
二、填空題
13.已知O為空間任意一點，A,B,C,D四點滿足任意三點不共線，但四點共面，
且 ,則 __________;
【答案】-1
14.有下列幾個命題:
①“若 ,則 ”的否命題;②“若 ,則 , 互為相反數”的逆命題;
③“若 ,則 ”的逆否命題;④ “若 ,則 有實根”的逆否命題;
其中真命題的序號是_____.
【答案】②③④
15.15.已知點 在橢圓 上，則 的最大值為___________;
【答案】4
16.已知橢圓 上一點A關于原點的對稱點為點 為其右焦點，若 ,設 ,且 ，則橢圓的離心率 的取值范圍為______________
【答案】
三、解答題
17.已知 ，已知命題 ：方程 表示焦點在 軸上的橢圓;命題 ：“函數 在 上為單調增函數.若“ 或 ”為真命題，“ 且 ”為假命題，求實數 的取值范圍.
【答案】 或
【試題解析】
若 為真命題，則 解得 若 為真命題，則 即 ,
若“ 或 ”為真命題，“ 且 ”為假命題，則 一真一假.
當 時，由 得 ,當 時，由 得
綜上，實數 的取值范圍是 或
18.已知向量 ， ，若向量 同時滿足下列三個條件：
① ;② ;③ 與 垂直.
(1)求向量 的坐標;
(2)若向量 與向量 共線，求向量 與 夾角的余弦值.
【答案】(1) 或 ;(2) .
(1)設 ，則由題可知 解得 或
所以 或 .
(2)因為向量 與向量 共線，所以 .
又 ， ，所以 ， ，
所以 ，且 ， ，
所以 與 夾角的余弦值為 .
19.如圖，設 是圓 上的動點，點 是 在 軸上的投影， 為 上一點，且 .
(1)當 在圓上運動時，求點 的軌跡 的方程;
(2)求過點 且斜率為 的直線被 所截線段的長度.
【答案】(1) .(2) .
(1)設點 的坐標為 ，點 的坐標為 ，由已知得 .∵ 在圓上， ，
即 ，整理得 ，即 的方程為 .
(2)過點 且斜率為 的直線方程為 ，
設直線與 的交點為 ， ，將直線方程 代入 的方程，
得 ，即 .∴x1+x2=3，x1•x2=-8∴線段 的長度為
.
∴直線被 所截線段的長度為 .
20.如圖所示，四棱錐 中， 底面 ， ， ， ， ， ， 為 的中點.
(1)求證： 平面 ;
(2)求直線 與平面 所成角的正弦值.
【答案】(1)見解析; (2) .
【解析】
(1)證明：因為 ， ， ，所以 ， ，
在 中， ， ， ，由余弦定理可得： 解得： 所以 ，所以 是直角三角形，又 為 的中點，所以 又 ，所以 為等邊三角形，所以 ，所以 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
(2)解：由(1)可知 ，以點 為原點，以 , ， 所在直線分別為 軸， 軸， 軸建立空間直角坐標系，則 ， ， ， .
所以 ， ， .
設 為平面 的法向量，則 ，即
設 ，則 ， ，即平面 的一個法向量為 ，
所以 ,所以直線 與平面 所成角的正弦值為 .
21.已知 為雙曲線 的左、右焦點，過 作垂直于 軸的直線，并在 軸上方交雙曲線于點 ，且 .
(1)求雙曲線 的方程;
(2)過圓 上任意一點 作切線 交雙曲線 于 兩個不同點， 中點為 ，
若 ，求實數
【答案】(1) ;(2) ;(3)見解析
【解析】：(1)根據已知條件 得 ，∴焦點坐標為 ，
∵ 軸，∴ 在直角三角形 中， ，解得 ，
于是所求雙曲線方程為 .
(2)①當直線 的斜率不存在時，則 ，于是 ，此時 ，
②當直線 的斜率存在時，設 的方程為 切線 與 的交點坐標為 ，
于是有 消去 化成關于 的二次為 .
∵ 為 的中點，∴ 即 坐標為
則 ， 又點 到直線 的距離為 ， .代入得： ， ，故 .
22.已知拋物線 ： ( )與橢圓 ： 相交所得的弦長為
(Ⅰ)求拋物線 的標準方程;
(Ⅱ)設 ， 是 上異于原點 的兩個不同點，直線 和 的傾斜角分別為 和 ，當 ， 變化且 為定值 ( )時，證明：直線 恒過定點，并求出該定點的坐標.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)直線 恒過定點 .
【解析】(Ⅰ)設拋物線 與橢圓 交于 ， 兩點.由橢圓的對稱性可知， ， ， 將點 代入拋物線 中，得 ，
再將點 代入橢圓 中，得 ，解得 .故拋物線 的標準方程為 .
(Ⅱ)設點 ， ，由題意得 (否則 ，不滿足 )，且 ， ，
設直線 ， 的方程分別為 ， ， 聯立 ，解得 ， ，聯立 ，解得 ， ; 則由兩點式得，直線 的方程為 .
化簡得 .①因為 ，由 ，得 ，得 ，②將②代入①，化簡得 ，得 .
得 ，得 ，得 ，
即 .令 ，不管 取何值，都有 .所以直線 恒過定點 .
考點：(1)軌跡方程;(2)直線過定點;(3)直線與圓的位置關系.
第一學期高二數學試卷題目
選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.)
1.不等式 的解集為 ( )
A. B.
C. D.
2.在 中，若 ，則角A是( )
A.鈍角 B.直角 C.銳角 D.不能確定
3.對于任意實數 ，不等式 恒成立，則實數 取值范圍( )
A. B. C. D.
4.設 ，給出下列三個結論：① ;② ;
③ .其中所有的正確結論的序號是 ( )
A.①③ B.①② C.②③ D.①②③
5.若變量x，y滿足約束條件 則z=2x+y的最大值為( )
A.0 B.5 C.-3 D.-2
6.已知等比數列{an}的前n項和Sn=2n+4r，則 r=( )
A. B. C. D.
7.已知滿足條件 ， ， 的 的個數有兩個，則x的取值范圍是 ( )
A. B. C. D.
8.設 是等差數列,下列結論中一定成立的是( )
A.若 ，則 B.若 ，則
C .若 ，則 D.若 ，則
9.等比數列 的各項均為正數，且 ，則 ( )
A.60 B.50 C.40 D.20+log2 5
10.如圖， 一艘船上午10：30在A處測得燈塔S在它的北偏東30°處，之后它繼續沿正北方向勻速航行，上午11：00到達B處，此時又測得燈塔S在它的北偏東75°處，且與它相距9 n mile,則此船的航速是( )
A.16 n mile/h B.18 n mile/h
C.32 n mile/h D.36 n mile/h
11.等差數列{an}中， ， ,且 < ， 為其前n項之和 ，則使 的最大正整數 是( )
A.198 B. 199 C.200 D.201
12. 中，三個內角 的對邊分別為 ，若 成等差數列，且 ，則 ( )
A. B. C. 2 D.
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.)
13.公差為2的等差數列 中， 成等比數列，則 的前 項和為 .
14.∆ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c， 若 的面積為 ，則角B= ,
15.設 ，若關于 的不等式 在 恒成立， 則 的取值范圍為 .
16.已知數列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項是20，接下來的兩項是20，21，再接下來的三項是20，21，22，依此類推.記 此數列為 ，則 。
三、解答題(本大題6小題，共70分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)
17.(本小題滿分10分)在△ 中，角 所對的邊分別為 ，已知 ， ， .
(1) 求 的值; (2) 求 的值.
18.(本小題滿分12分)設函數 ，其中 。
(1)若不等式 的解集為 ，求實數 值。
(2)當 時，解關于x的不等式 。
19.(本小題滿分12分)已知數列 是 等比數列， ， 是 和 的等差中項.
(1)求數列 的前n項和 ;
(2)設 ，求數列 的前 項和 .
20.(本小題滿分12分)如圖，已知圓內接四邊形ABCD中，AB=3,AD=2,∠BCD=1200
(1)求線段BD的長與圓的面積。
(2)求四邊形ABCD的周長的最大值。
21.(本小題滿分12分)閩越水鎮是閩侯縣打造閩都水鄉文化特色小鎮核心區，該小鎮有一塊1800平方米的矩形地塊，開發商準備在中間挖出三個矩形池塘養閩侯特色金魚，挖出的泥土堆在池塘四周形成基圍(陰影部分所示)種植柳樹，形成柳中觀魚特色景觀。假設池塘周圍的基圍寬均為2米，如圖，設池塘所占的總面積為 平方米.
(1)試用 表示a及 ;
(2)當 取何值時，才能使得 最大?并求出 的最大值.
22.定義 為n個正數 的“均倒數”。已知正項數列{an}的前n項的“均倒數”為 。
(1)求 數列{an}的通項公式。
(2)設數列 的前n項和為 ，若4 < 對一切 恒成立試求實數m的取值范圍。
(3)令 ，問：是否存在正整數k使得 對一切 恒成立，如存在求出k值，否則說明理由。
高中二年 數學 科
參考答案及評分參考
1.C 2.C 3.D 4.B 5.B
6.A 7. B 8. D. 9.B 10 D
11. B .12. C.
13.170 14. 15. 16. 2
17.解：(I)由余弦定理， ，
得 ， ……3分
. ……5分
(II)方法1：由余弦定理，得 ， ……8分
∵ 是 的內角， ……9分
∴ . …10分
方法2：∵ ，且 是 的內角，
∴ . ……6分[
根據正弦定理， ，
. …… 10分
18.解：(1)由于不等式 的解集為 ，所以1與5為方程 的兩根，
即 ……………………2分
a=3,k= ………………………4分
(用韋達定理計算同樣得分)
(2)a=3時， ，解方程 得 …………………5分
由于1- = 所以
當 時， 此時不等式 的解集為 ………7分
當 時， 此時不等式 的解集為 ………9分
當 時， 此時不等式 的解集為 ………11分
綜上
當 時，不等式 解集為
當 時，不等式 解集為
當 時，不等式 解集為 ………12分
(如果誤用第一結論，結果正確，可酌情給2分)
19.解：(Ⅰ)設數列 的公比為 ，
因為 ，所以 ， .…………………………………………1分
因為 是 和 的等差中項，所以 .……………………2分
即 ，化簡得 .
因為公比 ，所以 .………………………………………………………4分
所以 ,所以數列 的前n項和 = …6分
(Ⅱ)因為 ，所以 .
所以 .…………………8分
則 ， ①
②………………9分
①- ②得
=
= ……………11分
所以 …………12分
20.解：(1)由于四邊形ABCD為圓內接四邊形，所以∠BCD+∠BAD=1800
由題設知∠BCD=1200，所以∠BAD=600……………1分
在 中由余弦定理得
= =7
……………4分
由正弦定理得 ………6分
(2)解法一：設∠CBD=θ，那么00<θ<600……………7分
在 中有正弦定理得
……………8分
……………9分
四邊形ABCD的周長=5+
= …………11分
由于00<θ<600，所以600<θ+600<1200
所以θ+600=900即所以θ=300時四邊形ABCD的周長取得最大值5+ ……………12分
解法二：
設 ， ，在 中由余弦定理得 …7分
…………8分
………9分
四邊形ABCD的周長 ………11分
當且僅當 時上式取等號， 四邊形ABCD的周長最大值為
……12分
(沒有取等條件扣一分)
21.(1)由題圖形知，3a+6=x，∴a=x-63.………2分
則總面積S=1 800x-4•a+2a1 800x-6………4分
=a5 400x-16=x-635 400x-16
=1 832-10 800x+16x3，
即S=1 832-10 800x+16x3(x>0).……… 6分
(定義域沒寫扣一分)
(2)由S=1 832-10 800x+16x3，
得S≤1 832-2 10 800x•16x3……… 8分
=1 832-2×240=1 352(平方米).……… 9分
當且僅當10 800x=16x3，此時，x=45. ………11分
即當x為45米時，S最 大，且S最大值為1 352平方米.……… 12分
22.解：(1)設數列 的前n項和為 ，
由于數列{an}的前n項的“均倒數”為 ，所以
= ……2分
當
當
(對當 成立)
……4分
(2) = = ……5分
= = ……6分
< 對一切 恒成立
解之得
即m 的取值范圍是 …8分
(3)解法一： = ……9分
由于
= ……10分
時 ， 時
時 取得最大值，即存在正整數k=10使得 對一切 恒成立
……12分
解法二： = ……9分
假設存在正整數k使得 則 為數列 中的最大項
由 得 …10分
…11分 又 k=10即存在正整數k=10使得 對一切 恒成立…12分
高二數學上學期期中試卷閱讀
一、選擇題：本題共12個小題，每小題5分，共60分.
1.已知集合M={x|2x 1}，N={x|﹣2 x 2}，則 RM∩N=( )
A.[﹣2，1] B.[0，2] C.(0，2] D.[﹣2，2]
2.“x 2”是“x2+x﹣6 0”的( )
A.必要不充分條件 B.充分不必要條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
3.已知a=log20.3，b=20.3，c=0.32，則a，b，c三者的大小關系是( )
A.b c a B.b a c C.a b c D.c b a
4.2路公共汽車每5分鐘發車一次，小明到乘車點的時刻是隨機的，則他候車時間不超過兩分鐘的概率是( )
A. B. C. D.
5.已知高一(1)班有48名學生，班主任將學生隨機編號為01，02，……，48，用系統抽樣方法，從中抽8人，若05號被抽到了，則下列編號的學生被抽到的是( )
A.16 B.22 C.29 D.33
6.直線2x+3y﹣9=0與直線6x+my+12=0平行，則兩直線間的距離為( )
A. B. C.21 D.13
7.某幾何體的三視圖如圖所示，圖中每一個小方
格均為正方形，且邊長為1，則該幾何體的體
積為( )
A. B.
C. D.
8.在△ABC中， 則( )
A. B.
C. D.
9.已知m，n R，且m﹣2n+6=0，則 的最小值為( )
A. B.4 C. D.3
10.已知某算法的程序框圖如圖所示，則該算法的功能
是( )
A.求首項為1，公差為2 的等差數列前2017項和
B.求首項為1，公差為2 的等差數列前2018項和
C.求首項為1，公差為4 的等差數列前1009項和
D.求首項為1，公差為4 的等差數列前1010項和
11.已知四棱錐P﹣ABCD的頂點都在球O的球面上，底
面ABCD是邊長為2的正方形，且PA⊥面ABCD，
若四棱錐的體積為 ，則該球的體積為( )
A.64 π B.8 π
C.24π D.6π
12.定義在R上的函數f(x)滿足：f(x﹣2)的對稱軸為x=2，f(x+1)= (f(x)≠0)，且f(x)在區間(1，2)上單調遞增，已知α，β是鈍角三角形中的兩銳角，則f(sinα)和f(cosβ)的大小關系是( )
A.f(sinα) f(cosβ) B.f(sinα) f(cosβ)
C.f(sinα)=f(cosβ) D.以上情況均有可能
二、填空題：本題共4個小題，每小題5分，共20分.
13.在等比數列{an}中，已知 =8，則 =__________
14. 已知變量x,y滿足約束條件 ，則目標函數z=2x-y的最大值是________
15.將函數f(x)=sin( 2x)的圖象向左平移 個長度單位，得到函數g(x)的圖象，則函數g(x)的單調遞減區間是__________
16.由直線x+2y﹣7=0上一點P引圓x2+y2﹣2x+4y+2=0的一條切線，切點為A，則|PA|的最小值為__________
二.解答題(共6小題)
17.(本小題滿分10分)已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，2acosC=bcosC+ccosB.
(1)求角C的大小;
(2)若c= ，a2+b2=10，求△ABC的面積.
18.(本小題滿分12分)對某校高一年級學生參加社區服務次數進行統計，隨機抽取M名學生作為樣本，得到這M名學生參加社區服務的次數.根據此數據作出了頻數與頻率的統計表和頻率分布直方圖如下：
分組 頻數 頻率
[10，15) 10 0.25
[15，20) 25 n
[20，25) m p
[25，30) 2 0.05
合計 M 1
(1)求出表中M，p及圖中a的值;
(2)若該校高一學生有360人，試估計該校高一學生參加社區服務的次數在區間[15，20)內的人數;
(3)在所取樣本中，從參加社區服務的次數不少于20次的學生中任選2人，請列舉出所有基本事件，并求至多1人參加社區服務次數在區間[20，25)內的概率.
19.(本小題滿分12分)如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1= AB=1，點E在棱AB上移動.
(1)證明： B1C⊥平面D1EA;
(2)若BE= ，求二面
角D1﹣EC﹣D的大小.
20.(本小題滿分12分)設數列{an}的前n項和Sn滿足：Sn=nan﹣2n(n﹣1)，首項 =1.
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)設數列 的前n項和為Mn，求證： Mn .
21.(本小題滿分12分)已知圓C經過原點O(0，0)且與直線y=2x﹣8相切于點P(4，0).
(1)求圓C的方程;
(2)已知直線l經過點(4, 5)，且與圓C相交于M，N兩點，若|MN|=2，求出直線l的方程.
22.(本小題滿分12分)已知函數 (k R)，且滿足f(﹣1)=f(1).
(1)求k的值;
(2)若函數y=f(x)的圖象與直線 沒有交點，求a的取值范圍;
(3)若函數 ，x [0，log23]，是否存在實數m使得h(x)最小值為0，若存在，求出m的值;若不存在，請說明理由.
理科數學試卷答案
一. 選擇題(共12小題)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C B A A C B B C A C B A
二、填空題
13. 4 14.2
15. 16.
二.解答題(共6小題)
17.【解答】解：(1)∵△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，2acosC=bcosC+ccosB，
∴2sinAcosC=sinBcosC+sinCcosB，
∵A+B+C=π，∴2sinAcosC=sin(B+C)=sinA，
∴cosC= ，∵0
(2)∵c= ，a2+b2=10， ，
∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，
即7=10﹣ab，解得ab=3，
∴△ABC的面積S= = = .(5分)
18. 【解答】(1)由分組[10，15)內的頻數是10，頻率是0.25知， ，所以M=40.
因為頻數之和為40，所以 .
因為a是對應分組[15，20)的頻率與組距的商，所以 .(4分)
(2)因為該校高三學生有360人，分組[15，20)內的頻率是0.625，
所以估計該校高三學生參加社區服務的次數在此區間內的人數為360×0.625=225人.(7分)
(3)這個樣本參加社區服務的次數不少于20次的學生共有3+2=5人
設在區間[20，25)內的人為{a1，a2，a3}，在區間[25，30)內的人為{b1，b2}.
則任選2人共有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)10種情況，(9分)
而兩人都在[20，25)內共有(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)3種情況，
至多一人參加社區服務次數在區間[20，25)內的概率為 .(12分)
19.
(6分)
(6分)
20.【解答】解：(1)Sn=nan﹣2n(n﹣1)，
當n≥2時，Sn﹣1=(n﹣1)an﹣1﹣2(n﹣1)(n﹣2)，
相減可得an=nan﹣2n(n﹣1)﹣(n﹣1)an﹣1+2(n﹣1)(n﹣2)，
化為an=an﹣1+4，
則{an}為首項為1，公差為4的等差數列，
即有an=1+4(n﹣1)=4n﹣3;(6分)
(2)證明： = = ( ﹣ )，
前n項和為Mn= (1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ )
= (1﹣ )，
由 (1﹣ )在自然數集上遞增，可得n=1時取得最小值 ，
且 (1﹣ )< ，
則 ≤Mn< .(6分)
21.【解答】解：(1)由已知，得圓心在經過點P(4，0)且與y=2x﹣8垂直的直線 上，它又在線段OP的中垂線x=2上，
所以求得圓心C(2，1)，半徑為 .
所以圓C的方程為(x﹣2)2+(y﹣1)2=5.(6分)
(2)①當直線l的斜率存在時，
設直線l的方程為 ，即 .
因為|MN|=2，圓C的半徑為 ，所以圓心到直線的距離d=2
,解得 ，所以直線 ,
②當斜率不存在時，即直線l:x=4，符合題意
綜上直線l為 或x=4(12分)
22.已知函數 (k R)，且滿足f(﹣1)=f(1).
(1)求k的值;
(2)若函數y=f(x)的圖象與直線 沒有交點，求a的取值范圍;
(3)若函數 ，x [0，log23]，是否存在實數m使得h(x)最小值為0，若存在，求出m的值;若不存在，請說明理由.
【解答】解：(1)∵f(﹣1)=f(1)，
即 ∴ (3分)
(2)由題意知方程 即方程 無解，
令 ，則函數y=g(x)的圖象與直線y=a無交點
∵
任取x1、x2 R，且x1
∴ .∴ ，
∴g(x)在(﹣∞，+∞)上是單調減函數.
∵ ，∴ .
∴a的取值范圍是(﹣∞，0].(7分)
注意：如果從復合函數角度分析出單調性，給全分. …9分
(3)由題意h(x)=4x+m×2x，x [0，log23]，
令t=2x [1，3]，φ(t)=t2+mt，t [1，3]，
∵開口向上，對稱軸 .
當 ， ，m=﹣1
當 ， ，m=0(舍去)
當 ，即m<﹣6，φ(t)min=φ(3)=9+3m=0，m=﹣3(舍去)
∴存在m=﹣1得h(x)最小值為0(12分)
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