高三數學函數及映射的概念復習知識點(2)

　　2、函數：

　　(1)定義(傳統)：如果在某變化過程中有兩個變量x，y并且對于x在某個范圍內的每一個確定的值，按照某個對應法則，y都有唯一確定的值和它對應，那么y就是x的函數，x叫做自變量，x的取值范圍叫做函數的定義域，和x的值對應的y的值叫做函數值，函數值的集合叫做函數的值域。

　　(2)函數的集合定義：設A，B都是非空的數集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任何一個元素x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱

　　f：x→y為從集合A到集合B的一個函數，記作y=f(x)，x∈A，其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數f(x)的定義域，與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{ f(x)|x∈A}叫做函數f(x)的值域。顯然值域是集合B的子集。

　　3、構成函數的三要素：

　　定義域，值域，對應法則。

　　值域可由定義域唯一確定，因此當兩個函數的定義域和對應法則相同時，值域一定相同，它們可以視為同一函數。

　　4、函數的表示方法：

　　(1)解析法：如果在函數y=f(x)(x∈A)中，f(x)是用代數式(或解析式)來表達的，則這種表示函數的方法叫做解析式法;

　　(2)列表法：用表格的形式表示兩個量之間函數關系的方法，稱為列表法;

　　(3)圖象法：就是用函數圖象表示兩個變量之間的關系。

　　注意：函數的圖象可以是一個點，或一群孤立的點，或直線，或直線的一部分，或若干曲線組成。

　　映射f：A→B的特征：

　　(1)存在性：集合A中任一a在集合B中都有像;

　　(2)惟一性：集合A中的任一a在集合B中的像只有一個;

　　(3)方向性：從A到B的映射與從B到A的映射一般是不一樣的;

　　(4)集合B中的元素在集合A中不一定有原象，若集合B中元素在集合A中有原像，原像不一定惟一。

　　(1)函數兩種定義的比較：

　　①相同點：1°實質一致2°定義域，值域意義一致3°對應法則一致

　　②不同點：1°傳統定義從運動變化觀點出發，對函數的描述直觀，具體生動.

　　2°近代定義從集合映射觀點出發，描述更廣泛，更具有一般性.

　　(2)對函數定義的更深層次的思考：

　　映射與函數的關系：函數是一種特殊的映射f：A→B，其特殊性表現為集合A，B均為非空的數集. .函數:AB是特殊的映射。特殊在定義域A和值域B都是非空數集!據此可知函數圖像與軸的垂線至多有一個公共點，但與軸垂線的公共點可能沒有，也可能有任意個。小結：函數概念8個字：非空數集上的映射。

　　對于映射這個概念，應明確以下幾點：

　　①映射中的兩個集合A和B可以是數集，點集或由圖形組成的集合以及其它元素的集合.

　　②映射是有方向的，A到B的映射與B到A的映射往往是不相同的.

　　③映射要求對集合A中的每一個元素在集合B中都有象，而這個象是唯一確定的.這種集合A中元素的任意性和在集合B中對應的元素的唯一性構成了映射的核心.

　　④映射允許集合B中的某些元素在集合A中沒有原象，也就是由象組成的集合

　　.

　　⑤映射允許集合A中不同的元素在集合B中有相同的象，即映射只能是“多對一”或“一對一”，不能是“一對多”.

　　一一映射：設A，B是兩個集合，f：A→B是從集合A到集合B的映射，如果在這個映射的作用下，對于集合A中的不同的元素，在集合B中有不同的象，而且B中每一元素都有原象，那么這個映射叫做從A到B上的一一映射. 一一映射既是一對一又是B無余的映射.

　　在理解映射概念時要注意：⑴A中元素必須都有象且唯一; ⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。總結：取元任意性，成象唯一性。

　　對函數概念的理解：

　　函數三要素

　　(1)核心——對應法則等式y=f(x)表明，對于定義域中的任意x，在“對應法則f”的作用下，即可得到y.因此，f是使“對應”得以實現的方法和途徑.是聯系x與y的紐帶，從而是函數的核心.對于比較簡單的函數，對應法則可以用一個解析式來表示，但在不少較為復雜的問題中，函數的對應法則f也可以采用其他方式(如圖表或圖象等).

　　(2)定義域定義域是自變量x的取值范圍，它是函數的一個不可缺少的組成部分，定義域不同而解析式相同的函數，應看作是兩個不同的函數. 在中學階段所研究的函數通常都是能夠用解析式表示的.如果沒有特別說明，函數的定義域就是指能使這個式子有意義的所有實數x的集合.在實際問題中，還必須考慮自變量所代表的具體的量的允許取值范圍問題.

　　(3)值域值域是全體函數值所組成的集合.在一般情況下，一旦定義域和對應法則確定，函數的值域也就隨之確定.因此，判斷兩個函數是否相同，只要看其定義域與對應法則是否完全相同，若相同就是同一個函數，若定義域和對應法則中有一個不同，就不是同一個函數. 同一函數概念。構成函數的三要素是定義域，值域和對應法則。而值域可由定義域和對應法則唯一確定，因此當兩個函數的定義域和對應法則相同時，它們一定為同一函數。

　　(4)關于函數符號y=f(x)

　　1°、y=f(x)即“y是x的函數”這句話的數學表示.僅僅是函數符號，不是表示“y等于f與x的乘積”.f(x)也不一定是解析式.

　　2°、f(x)與f(a)的區別：f(x)是x的函數，在通常情況下，它是一個變量.f(a)表示自變量x=a時所得的函數值，它是一個常量即是一個數值.f(a)是f(x)的一個當x=a時的特殊值.

　　3°如果兩個函數的定義域和對應法則相同雖然表示自變量的與函數的字母不相同，那么它們仍然是同一個函數，但是如果定義域與對應法則中至少有一個不相同，那么它們就不是同一個函數.