2017年高考全國Ⅱ卷理數試題和答案(2)
2017年高考全國Ⅱ卷理數試題和答案
2017年高考全國Ⅱ卷理數試題解析版
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。 1.( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
試題分析：由復數除法的運算法則有：，故選D。
【考點】 復數的除法
【名師點睛】復數的代數形式的運算主要有加、減、乘、除。除法實際上是分母實數化的過程。在做復數的除法時，要注意利用共軛復數的性質：若z1，z2互為共軛復數，則z1·z2=|z1|2=|z2|2，通過分子、分母同乘以分母的共軛復數將分母實數化。
2.設集合，。若，則( )
A. B. C. D.
【答案】C
3.我國古代數學名著《算法統宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈?”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的2倍，則塔的頂層共有燈( )
A.1盞 B.3盞 C.5盞 D.9盞
【答案】B
4.如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分所得，則該幾何體的體積為( )
B. C. D.
【答案】B
【解析】
試題分析：由題意，該幾何體是一個組合體，下半部分是一個底面半徑為3，高為4的圓柱，其體積，上半部分是一個底面半徑為3，高為4的圓柱的一半，其體積，該組合體的體積為：。故選B。
【考點】 三視圖;組合體的體積
【名師點睛】在由三視圖還原為空間幾何體的實際形狀時，要從三個視圖綜合考慮，根據三視圖的規則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線。在還原空間幾何體實際形狀時，一般是以正視圖和俯視圖為主，結合側視圖進行綜合考慮。求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關系和數量關系，利用相應體積公式求解。
5.設，滿足約束條件，則的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】A
6.安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有( )
A.12種 B.18種 C.24種 D.36種
【答案】D
【解析】
試題分析：由題意可得，一人完成兩項工作，其余兩人每人完成一項工作，據此可得，只要把工作分成三份：有種方法，然后進行全排列即可，由乘法原理，不同的安排方式共有種方法。 故選D。
【考點】 排列與組合;分步乘法計數原理
【名師點睛】(1)解排列組合問題要遵循兩個原則：一是按元素(或位置)的性質進行分類;二是按事情發生的過程進行分步。具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)。
(2)不同元素的分配問題，往往是先分組再分配。在分組時，通常有三種類型：不均勻分組;均勻分組;部分均勻分組，注意各種分組類型中，不同分組方法的求法。
7.甲、乙、丙、丁四位同學一起去向老師詢問成語競賽的成績。老師說：你們四人中有2位優秀，2位良好，我現在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績?？春蠹讓Υ蠹艺f：我還是不知道我的成績。根據以上信息，則( )
A.乙可以知道四人的成績 B.丁可以知道四人的成績
C.乙、丁可以知道對方的成績 D.乙、丁可以知道自己的成績
【答案】D
8.執行右面的程序框圖，如果輸入的，則輸出的( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】B
(3)按照題目的要求完成解答并驗證。
9.若雙曲線(，)的一條漸近線被圓所截得的弦長為2，則的離心率為( )
A.2 B. C. D.
【答案】A
10.已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為( )
A. B. C. D.
【答案】C
11.若是函數的極值點，則的極小值為( )
A. B. C. D.1
【答案】A
【解析】
試題分析：由題可得
因為，所以，，故
令，解得或，所以在單調遞增，在單調遞減
所以極小值為，故選A。
【考點】 函數的極值;函數的單調性
【名師點睛】(1)可導函數y=f(x)在點x0處取得極值的充要條件是f′(x0)=0，且在x0左側與右側f′(x)的符號不同。
(2)若f(x)在(a，b)內有極值，那么f(x)在(a，b)內絕不是單調函數，即在某區間上單調增或減的函數沒有極值。
12.已知是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內一點，則的最小是( )
A. B. C. D.
【答案】B
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13.一批產品的二等品率為，從這批產品中每次隨機取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件數，則 。
【答案】
14.函數()的最大值是 。
【答案】1
【解析】
試題分析：化簡三角函數的解析式：
，
由自變量的范圍：可得：，
當時，函數取得最大值1。
【考點】 三角變換，復合型二次函數的最值。
【名師點睛】本題經三角函數式的化簡將三角函數的問題轉化為二次函數的問題，二次函數、二次方程與二次不等式統稱“三個二次”，它們常結合在一起，有關二次函數的問題，數形結合，密切聯系圖象是探求解題思路的有效方法。一般從：開口方向;對稱軸位置;判別式;端點函數值符號四個方面分析。
15.等差數列的前項和為，，，則 。
【答案】
【解析】
試題分析：設等差數列的首項為，公差為，
由題意有： ，解得 ，
數列的前n項和,
裂項有：，據此：
。
【考點】 等差數列前n項和公式;裂項求和。
【名師點睛】等差數列的通項公式及前n項和公式，共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現了用方程的思想解決問題。數列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數列的兩個基本量，用它們表示已知和未知是常用方法。使用裂項法求和時，要注意正負項相消時消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點，實質上造成正負相消是此法的根源與目的
16.已知是拋物線的焦點，是上一點，的延長線交軸于點。若為的中點，則 。
【答案】6
【考點】拋物線的定義;梯形中位線在解析幾何中的應用。
【名師點睛】拋物線的定義是解決拋物線問題的基礎，它能將兩種距離(拋物線上的點到焦點的距離、拋物線上的點到準線的距離)進行等量轉化。如果問題中涉及拋物線的焦點和準線，又能與距離聯系起來，那么用拋物線定義就能解決問題。因此，涉及拋物線的焦半徑、焦點弦問題，可以優先考慮利用拋物線的定義轉化為點到準線的距離，這樣就可以使問題簡單化。
三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、解答過程或演算步驟。第17~21題為必做題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要求作答。
(一)必考題：共60分。
17.(12分)
的內角所對的邊分別為，已知，
(1)求;
(2)若，的面積為，求。
【答案】(1);
(2)。
18.(12分)
海水養殖場進行某水產品的新、舊網箱養殖方法的產量對比，收獲時各隨機抽取了100 個網箱，測量各箱水產品的產量(單位：kg)某頻率分布直方圖如下：
設兩種養殖方法的箱產量相互獨立，記A表示事件：“舊養殖法的箱產量低于50kg, 新養殖法的箱產量不低于50kg”，估計A的概率;
填寫下面列聯表，并根據列聯表判斷是否有99%的把握認為箱產量與養殖方法有關：
箱產量<50kg 箱產量≥50kg 舊養殖法 新養殖法
根據箱產量的頻率分布直方圖，求新養殖法箱產量的中位數的估計值(精確到0.01)
附：
【答案】(1);
(2) 有的把握認為箱產量與養殖方法有關;
(3)。
(2)根據箱產量的頻率分布直方圖得列聯表
箱產量 箱產量 舊養殖法 62 38 新養殖法 34 66
由于，故有的把握認為箱產量與養殖方法有關。
19.(12分)
如圖，四棱錐P-ABCD中，側面PAD為等比三角形且垂直于底面ABCD， E是PD的中點。
(1)證明：直線 平面PAB;
(2)點M在棱PC 上，且直線BM與底面ABCD所成角為 ，求二面角的余弦值。
【答案】(1)證明略;
(2) 。
(2)由已知得,以A為坐標原點，的方向為x軸正方向，為單位長，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，,，
設則，
因為BM與底面ABCD所成的角為45°，而是底面ABCD的法向量，
【考點】 判定線面平行;面面角的向量求法
【名師點睛】(1)求解本題要注意兩點：一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想進行向量運算，要認真細心，準確計算。
(2)設m，n分別為平面α，β的法向量，則二面角θ與互補或相等，故有|cos θ|=|cos|=。求解時一定要注意結合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角。
20. (12分)
設O為坐標原點，動點M在橢圓C：上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足。
求點P的軌跡方程;
(2)設點Q在直線上，且。證明：過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F。
【答案】(1) 。
(2)證明略。
(2)由題意知。設,則
，
。
由得，又由(1)知，故
。
所以，即。又過點P存在唯一直線垂直于OQ，所以過點P且垂直于OQ的直線過C的左焦點F。
【考點】 軌跡方程的求解;直線過定點問題。
【名師點睛】求軌跡方程的常用方法有：
(1)直接法：直接利用條件建立x，y之間的關系F(x，y)=0。
(2)待定系數法：已知所求曲線的類型，求曲線方程。
(3)定義法：先根據條件得出動點的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程。
(4)代入(相關點)法：動點P(x，y)依賴于另一動點Q(x0，y0)的變化而運動，常利用代入法求動點P(x，y)的軌跡方程。
21.(12分)
已知函數，且。
(1)求;
(2)證明：存在唯一的極大值點，且。
【答案】(1);
(2)證明略。
(2)由(1)知 ，。
設，則。
當 時， ;當 時， ，
所以 在 單調遞減，在 單調遞增。
(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，按所做的第一題計分。
22。[選修4-4：坐標系與參數方程](10分)
在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為。
(1)M為曲線上的動點，點P在線段OM上，且滿足,求點P的軌跡的直角坐標方程;
(2)設點A的極坐標為，點B在曲線上，求面積的最大值。
【答案】(1);
(2) 。
【考點】 圓的極坐標方程與直角坐標方程;三角形面積的最值。
【名師點睛】本題考查了極坐標方程的求法及應用。重點考查了轉化與化歸能力。遇到求曲線交點、距離、線段長等幾何問題時，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標方程后求解，或者直接利用極坐標的幾何意義求解。要結合題目本身特點，確定選擇何種方程。
23.[選修4-5：不等式選講](10分)
已知。證明：
(1);
(2)。
【答案】(1)證明略;
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