2017年高考江蘇卷數學試題和答案(2)
2017年高考江蘇卷數學試題和答案
2017年高考江蘇卷數學試題解析版
一、填空題本大題共14小題，每小題5分共計70分.請把答案填寫在答題卡相應位置上
1. 已知集合，，若則實數的值為 ▲ .
【考點】元素的互異性
【名師點睛(1)認清元素的屬性，解決集合問題時，認清集合中元素的屬性(是點集、數集或其他情形)和化簡集合是正確求解的兩個先決條件.
(2)注意元素的互異性.在解決含參數的集合問題時，要注意檢驗集合中元素的互異性，否則很可能會因為不滿足“互異性”而導致解題錯誤.
(3)防范空集.在解決有關等集合問題時，往往忽略空集的情況，一定先考慮是否成立，以防漏解.
2. 已知復數其中i是虛數單位，則的模是 ▲ .
【考點】復數的模
點睛. 其次要熟悉復數相關基本概念，如復數的實部為、虛部為、模為、對應點為、共軛為
3. 某工廠生產甲、乙、丙、丁四種不同型號的產品,產量分別為200,400,300,100件.為檢驗產品的質量,現用分層抽樣的方法從以上所有的產品中抽取60件進行檢驗,則應從丙種型號的產品中抽取 ▲ 件.
【解析】所求人數為，故答案為18.
【考點】分層抽樣
點睛在分層抽樣的過程中，為了保證每個個體被抽到的可能性是相同的，這就要求各層所抽取的個體數與該層所包含的個體數之比等于樣本容量與總體的個體數之比，即niNi=nN.
4. 右圖是一個算法流程圖，若輸入的值為,則輸出的的值是 ▲ .
【解析】由題意，故答案為-2.
【考點】循環結構流程圖
點睛
5. 若 則 ▲ .
【考點】兩角和正切公式
點睛
(1)給角求值：關鍵是正確選用公式，以便把非特殊角的三角函數轉化為特殊角的三角函數.
(2)給值求值：關鍵是找出已知式與待求式之間的聯系及函數的差異.
①一般可以適當變換已知式，求得另外函數式的值，以備應用;
②變換待求式，便于將已知式求得的函數值代入，從而達到解題的目的.
(3)給值求角：實質是轉化為“給值求值”，先求角的某一函數值，再求角的范圍，確定角.
6. 如圖,在圓柱內有一個球,該球與圓柱的上、下面及母線均相切.記圓柱的體積為,球的體積為,則的值是 ▲ .
【解析】設球半徑為，則.故答案為.
【考點】圓柱體積
點睛
(1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式進行求解. (2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉換法、分割法、補形法等方法進行求解.
7. 記函數的定義域為.在區間上隨機取一個數,則的概率是 ▲ .
【考點】幾何概型概率
【名師點睛(1)當試驗的結果構成的區域為長度、面積、體積等時，應考慮使用幾何概型求解.
(2)利用幾何概型求概率時，關鍵是試驗的全部結果構成的區域和事件發生的區域的尋找，有時需要設出變量，在坐標系中表示所需要的區域.
幾何概型有兩個特點：一是無限性，二是等可能性.基本事件可以抽象為點，盡管這些點是無限的，但它們所占據的區域都是有限的，因此可用“比例解法”求解幾何概型的概率.
8. 在平面直角坐標系中,雙曲線的右準線與它的兩條漸近線分別交于點,,其焦點是,則四邊形的面積是 ▲ .
【答案】
【名師點睛.已知雙曲線方程求漸近線
2.已知漸近線 設雙曲線方程
3雙曲線焦點到漸近線距離為為對應準線與漸近線的交點
9. 等比數列的各項均為實數,其前項的和為,已知,則= ▲ .
【答案】32
【解析】當時，顯然不符合題意;
當時，，解得，則.
【名師點睛在解決等差、等比數列的運算問題時，兩個處理思路,一是利用基本量,將多元問題簡化為一元問題,雖有一定量的運算,但思路簡潔,目標明確;二是利用等差、等比數列的性質性質是兩種數列基本規律的深刻體現，是解決等差、等比數列問題既快捷又方便的工具，應有意識地去應用.但在應用性質時要注意性質的前提條 在解決等差、等比數列的運算問題時，經常采用“巧用性質、整體考慮、減少運算量”的方法.
10. 某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為萬元,要使一年的總運費與總存儲之和最小,則的值是 ▲ .
【答案】30
【解析】總費用，當且僅當，即時等號成立.
【名師點睛在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數)、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應用，否則會出現錯誤.
11. 已知函數, 其中e是自然對數的底數. 若,則實數的取值范圍是 ▲ .
【答案】
函數性質解不等式
點睛解函數不等式首先根據函數的性質把不等式轉化為的形式，然后根據函數的單調性去掉“”，轉化為具體的不等式(組)，此時要注意與的取值應在外層函數的定義域內
12. 如圖在同一個平面內，向量,,的模分別為1,1,與的夾角為且tan=7與的夾角為45°若 則 ▲ .
3
【解析】由可得，，根據向量的分解，
易得，即，即，即得，
所以.
【考點】向量表示
點睛(1)向量的坐標運算將向量與代數有機結合起來，這就為向量和函數、方程、不等式方程、不等式
(2)以向量為載體求相關變量的取值范圍，是向量與函數、不等式、三角函數等相結合的一類綜合問題.通過向量的坐標運算，將問題轉化為解不等式或求函數值域，是解決這類問題的一般方法.
(3)向量的兩個作用：①載體作用：關鍵是利用向量的意義、作用脫去“向量外衣”，轉化為我們熟悉的數學問題;②工具作用：利用向量可解決一些垂直、平行、夾角與距離問題.
13. 在平面直角坐標系中點在圓上若則點的橫坐標的取值范圍是 ▲ .
【考點】直線與圓線性規劃
點睛或縱坐標
14. 設是定義在且周期為1的函數，在區間上 其中集合，則方程的解的個數是 ▲ .
8
【解析】由于 ，則需考慮 的情況
范圍內， 且 時，設 ，且 互質
，則由 ，可設 ，且 互質
，則 ，此時左邊為整數，右邊非整數，矛盾，因此
與方程
點睛(或函數零點個數)問題，可利用函數的值域或最值，結合函數的單調性、草圖確定其中參數范圍.從圖象的最高點、最低點，分析函數的最值、極值;從圖象的對稱性，分析函數的奇偶性;從圖象的走向趨勢，分析函數的單調性、周期性等.
二、解答題：本大題共6小題，共計90分.請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15(本小題滿分14分)
如圖在三棱錐A-BCD中AB⊥AD, BC⊥BD, 平面ABD平面BCD點EF(E與AD不重合分別在棱ADBD上且EFAD.
求證：(1)EF平面ABC;
(2)ADAC.
【答案】(1)見解析(2)見解析
【解析】證明：(1)在平面內，因為ABAD，，.
【考點】線面判定定理、判定與性質定理，面面垂直性質定理
點睛垂直、平行關系證明中應用轉化與化歸思想的常見類型.
(1)證明線面、面面平行，需轉化為證明線線平行.
(2)證明線面垂直，需轉化為證明線線垂直.
(3)證明線線垂直，需轉化為證明線面垂直.
(本小題滿分14分)
已知向量
(1)若a∥b求x的值;
(2)記求的最大值和最小值以及對應的的值
【答案】(1)(2)時，取得最大值 時，取得最值.
【解析】解：因為，a∥b，
(2).
，，
.
于是，當，即時，取最大值3;
當，即時，取最小值.
共線，數量積
點睛1)向量平行，,
(2)向量垂直，
(3)向量加減：
(本小題滿分14分)
如圖,在平面直角坐標系中,橢圓的左、右焦點分別為, ,離心率為,兩準線之間的距離為8.點在橢圓上，且位于第一象限，過點作 直線的垂,過點作直線的垂線.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)若直線的交點在橢圓上求點的坐標.
(2)
【解析】解
從而直線的方程， ①
直線的方程. ②
由①②，解得，所以
因為點在橢圓上，，即或
因此點P的坐標.
【考點】橢圓方程，直線與橢圓位置關系
點睛要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質、點曲線上則點的坐標滿足曲線方程
18.(本小題滿分1分)
如圖,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱臺形玻璃容器Ⅱ的高均為32cm,容器Ⅰ的底面對角線AC的長為10cm容器Ⅱ的兩底面對角線的長分別為14cm和62cm. 分別在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水水深均為12cm現有一根玻璃棒l其長度為40cm.(容器厚度、玻璃棒粗細均忽略不計)
(1)將放在容器Ⅰ中的一端置于點A處另一端置于側棱求沒入水中部分的長度;
(2)將放在容器Ⅱ中的一端置于點E處，另一端置于側棱上，求沒入水中部分的長度.
【解析】:(1)由正棱柱的定義，平面，所以平面，.
記玻璃棒的另一端落在處.
( 如果將“沒入水中部分冶理解為“水面以上部分冶，則結果為24cm)
(2)如圖，O，O1是正棱臺的兩底面中心.
由正棱臺的定義，OO1⊥平面 EFGH， 所以平面E1EGG1⊥平面EFGH，O1O⊥EG.
同理，平面 E1EGG1⊥平面E1F1G1H1，O1O⊥E1G1.
記玻璃棒的另一端落在GG1上點N處.
過G作GK⊥E1G，K為垂足， 則GK =OO1=32.
因為EG = 14，E1G1= 62，
所以KG1= ，從而.
設則.
因為，所以.
在中，由正弦定理可得，解得.
因為，所以.
于是.
記EN與水面的交點為P2，過 P2作P2Q2⊥EG，Q2為垂足，則 P2Q2⊥平面 EFGH，故P2Q2=12，從而 EP2=.
答:玻璃棒l沒入水中部分的長度為20cm.
(如果將“沒入水中部分冶理解為“水面以上部分冶，則結果為20cm)
【考點】正余弦定理
【名師點睛解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據正、余弦定理結合已知條件靈活轉化邊和角之間的關系，從而達到解決問題的目的.其基本步驟是：
第一步：定條件即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標出來，然后確定轉化的方向.
第三步：求結果.
19.(本小題滿分16分)
對于給定的正整,若數列滿足
對任意正整數總成立，則稱數列是數列”.
(1)證明：等差數列是數列”;
(2)若數列既是數列”，又是數列”，證明：是等差數列.
當時，，①
當時，.②
由①知，，③
，④
所以數列是等差數列
【考點】等差數列定義及通項公式
點睛證明為等差數列的方法：
(1)用定義證明：為常數;
(2)用等差中項證明：;
(3)通項法： 為的一次函數;
(4)前項和法：
20.(本小題滿分16分)
已知函數有極值且導函數的極值點是的零點(極值點是指函數取極值時對應的自變量的值)
求關于 的函數關系式，并寫出定義域;
證明：
(3)若這兩個函數的所有極值之和不小于，求的取值范圍
【答案】(1)(2)見解析()
解(1)由，得.
當時，有極小值.
因為的極值點是的零點.
所以，又，故.
因為有極值，故有實根，從而，即.
時，，故在R上是增函數，沒有極值;
時，有兩個相異的實根，.
列表如下
x + 0 – 0 + 極大值 極小值 故的極值點是.
從而，
因為，所以，故，即.
因此.
(3)由(1)知，的極值點是，且，.
從而
因此a的取值范圍為.
導數研究函數單調性、極值及零點
點睛函數的零點問題方程解的通過導數研究函數的單調性、最大值、最小值、變化趨勢等，借助函數的大致圖象零點歸根到底還是研究函數的性質，如單調性、極值，然后通過數形結合的思想找到解題的思路
數學II
21.【選做題】本題包括、、、四小題，請選定其中兩題，并在相應的答題區域內作答，若多做，則按作答的前兩題評分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
A.選修4—1：幾何證明選講(本小題滿分10分)
如圖，AB為半圓O的直徑,直線PC切半圓O于點C，AP⊥PC，P為垂足.
求證：(1)
(2).
【答案】見解析
【解析(1)因為半圓O點，
所以，
所以
性質，相似三角形
點睛1.解決與圓有關的成比例線段問題的兩種思路
(1)直接應用相交弦、切割線定理及其推論;(2)當比例式(等積式)中的線段分別在兩個三角形中時，可轉化為證明三角形相似，一般思路為“相似三角形→比例式→等積式”.在證明中有時還要借助中間比來代換，解題時應靈活把握.
2.應用相交弦定理、切割線定理要抓住幾個關鍵內容：如線段成比例與相似三角形、圓的切線及其性質、與圓有關的相似三角形等.
B選修4—2：矩陣與變換(本小題滿分10分)
已知矩陣 A= ，B=.
(1)求;
(2)若曲線在矩陣對應的變換作用下得到另一曲線,求的方程.
【答案】(1)(2)
【解析解(1)因為A==，
所以AB==.
(2)設曲線上的任意一點，
AB對應的變換下,
則，即，.
因為在曲線上，所以
從而，即
因此曲線矩陣AB對應的變換下.
【考點】矩陣乘法、線性變換
點睛乘法注意對應：
變換注意前后對應點：點在矩陣變換下變成點
在平面坐標系中中已知直線的參考方程為為參數,曲線的參數方程為為參數設為曲線上的動點，求點到直線的距離的最小值
【答案】
【解析解直線的普通方程為
因此當點的坐標為時曲線到直線的距離.
【考點】參數方程普通方程
點睛1.將參數方程化為普通方程，消參數常用代入法、加減消元法、三角恒等變換法. 2.把參數方程化為普通方程時，要注意哪一個量是參數，并且要注意參數的取值對普通方程中x及y的取值范圍的影響.
D.[選修4-5：不等式選講](本小題滿分10分)
已知為實數，且證明
【考點】柯西不等式
【名師點睛柯西不等式的一般形式：設a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn為實數，則(a+a+…+a)(b+b+…+b)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2，當且僅當bi=0或存在一個數k，使ai=kbi(i=1,2，…，n)時，等號成立.
【必做題】第22、23題，每小題10分，計20分.請把答案寫在答題卡的指定區域內解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
如圖, 在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=,
.
(1)求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值;
(2)求二面角B-A1D-A的正弦值
【解析】解：在平面ABCD內，過點A作AEAD，交BC于點E.
因此異面直線A1B與AC1所成角的余弦值為.
(2)平面A1DA的一個法向量為.
設為平面BA1D的一個法向量，
又，
則即
不妨取x=3，則，
因此二面角B-A1D-A的正弦值為.
、異面直線所成角及二面角
點睛利用法向量求解空間線面角的關鍵在于“四破”：第一，破“建系關”，構建恰當的空間直角坐標系;第二，破“求坐標關”，準確求解相關點的坐標;第三，破“求法向量關”，求出平面的法向量;第四，破“應用公式關”.
已知一個口袋有個白球個黑球),這些球除顏色外全部相同現將口袋中的球隨機的逐個取出，并放入如圖所示的編號為的抽屜內，其中第次取球放入編號為的抽屜.
2 3 (1)試求編號為2的抽屜內放的是黑球的概率;
(2)隨機變量表示最后一個取出的黑球所在抽屜編號的倒數是的數學期望證明
【答案】(1)(2)見解析
【解析】解:(1) 編號為2的抽屜內放的是黑球的概率為: .
(2) 隨機變量 X 的概率分布為:
X … … P … … 隨機變量 X 的期望為：
隨機變量分布、數學期望
點睛求解離散型隨機變量的數學期望的一般步驟為：
第一步是“判斷取值”，即判斷隨機變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義;
第二步是“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式(常見的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨立事件的概率積公式，以及對立事件的概率公式等)，求出隨機變量取每個值時的概率;
第三步是“寫分布列”，即按規范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確;
第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機變量的數學期望的定義求期望的)，則此隨機變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式()求得.因此，應熟記常見的典型分布的期望公式，可加快解題速度.
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