高一數學必修一集合與函數的概念

高一數學必修一集合與函數的概念

　　集合與函數都是高一的數學學習的知識點，需要學生學習和掌握，下面學習啦的小編將為大家帶來關于集合與函數的概念的分析介紹，希望能夠幫助到大家。

　　高一數學必修一集合與函數概念介紹

　　第一章集合與函數概念

　　一：集合的含義與表示

　　1、集合的含義：集合為一些確定的、不同的東西的全體，人們能意識到這些東西，并且能判斷一個給定的東西是否屬于這個整體。

　　把研究對象統稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合，簡稱為集。

　　2、集合的中元素的三個特性：

　　(1)元素的確定性：集合確定，則一元素是否屬于這個集合是確定的：屬于或不屬于。

　　(2)元素的互異性：一個給定集合中的元素是唯一的，不可重復的。

　　(3)元素的無序性:集合中元素的位置是可以改變的，并且改變位置不影響集合

　　3、集合的表示：{…}

　　(1)用大寫字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}

　　(2)集合的表示方法：列舉法與描述法。

　　a、列舉法：將集合中的元素一一列舉出來{a,b,c……}

　　b、描述法：

　　①區間法：將集合中元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合。

　　{xR|x-3>2},{x|x-3>2}

　　②語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

　　③Venn圖:畫出一條封閉的曲線，曲線里面表示集合。

　　4、集合的分類：

　　(1)有限集：含有有限個元素的集合

　　(2)無限集：含有無限個元素的集合

　　(3)空集：不含任何元素的集合

　　5、元素與集合的關系：

　　(1)元素在集合里，則元素屬于集合，即：aA

　　(2)元素不在集合里，則元素不屬于集合，即：a￠A

　　注意：常用數集及其記法：

　　非負整數集(即自然數集)記作：N

　　正整數集N*或N+

　　整數集Z

　　有理數集Q

　　實數集R

　　6、集合間的基本關系

　　(1).“包含”關系(1)—子集

　　定義：如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們說這兩個集合有包含關系，稱集合A是集合B的子集。記作：(或BA)

　　注意：有兩種可能(1)A是B的一部分;

　　(2)A與B是同一集合。

　　反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA

　　(2).“包含”關系(2)—真子集

　　如果集合，但存在元素xB且x￠A，則集合A是集合B的真子集

　　如果AB,且AB那就說集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)讀作A真含與B

　　(3).“相等”關系：A=B“元素相同則兩集合相等”

　　如果AB同時BA那么A=B

　　(4).不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ

　　規定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

　　(5)集合的性質

　　①任何一個集合是它本身的子集。AA

　　②如果AB,BC,那么AC

　　③如果AB且BC，那么AC

　　④有n個元素的集合，含有2n個子集，2n-1個真子集

　　7、集合的運算

　　運算類型 交集 并集 補集

　　定義 由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集.記作AB(讀作‘A交B’)，即AB={x|xA，且xB｝. 由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A,B的并集.記作：AB(讀作‘A并B’)，即AB={x|xA，或xB}). 全集：一般，若一個集合漢語我們所研究問題中這幾道的所有元素，我們就稱這個集合為全集，記作：U

　　設S是一個集合，A是S的一個子集，由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集(或余集)記作，

　　CSA=

　　韋恩圖示

　　性質 A∩A=A

　　A∩Φ=Φ

　　A∩B=BA

　　A∩BA

　　A∩BB AUA=A

　　AUΦ=A

　　AUB=BUA

　　AUBA

　　AUBB (CuA)∩(CuB)=Cu(AUB)

　　(CuA)U(CuB)=Cu(A∩B)

　　AU(CuA)=U

　　A∩(CuA)=Φ.

　　二、函數的概念

　　1.函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數.記作：y=f(x)，x∈A.

　　(1)其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域;

　　(2)與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數的值域.

　　2.函數的三要素：定義域、值域、對應法則

　　3.函數的表示方法：

　　(1)解析法：明確函數的定義域

　　(2)圖想像：確定函數圖像是否連線，函數的圖像可以是連續的曲線、直線、折線、離散的點等等。

　　(3)列表法：選取的自變量要有代表性，可以反應定義域的特征。

　　4、函數圖象知識歸納

　　(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標，函數值y為縱坐標的點P(x，y)的集合C，叫做函數y=f(x),(x∈A)的圖象.C上每一點的坐標(x，y)均滿足函數關系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為坐標的點(x，y)，均在C上.

　　(2)畫法

　　A、描點法：B、圖象變換法：平移變換;伸縮變換;對稱變換，即平移。

　　(3)函數圖像平移變換的特點：

　　1)加左減右——————只對x

　　2)上減下加——————只對y

　　3)函數y=f(x)關于X軸對稱得函數y=-f(x)

　　4)函數y=f(x)關于Y軸對稱得函數y=f(-x)

　　5)函數y=f(x)關于原點對稱得函數y=-f(-x)

　　6)函數y=f(x)將x軸下面圖像翻到x軸上面去，x軸上面圖像不動得

　　函數y=|f(x)|

　　7)函數y=f(x)先作x≥0的圖像，然后作關于y軸對稱的圖像得函數f(|x|)

　　三、函數的基本性質

　　1、函數解析式子的求法

　　(1)、函數的解析式是函數的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數關系時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函數的定義域.

　　(2)、求函數的解析式的主要方法有：

　　1)代入法：

　　2)待定系數法：

　　3)換元法：

　　4)拼湊法：

　　2.定義域：能使函數式有意義的實數x的集合稱為函數的定義域。

　　求函數的定義域時列不等式組的主要依據是：

　　(1)分式的分母不等于零;

　　(2)偶次方根的被開方數不小于零;

　　(3)對數式的真數必須大于零;

　　(4)指數、對數式的底必須大于零且不等于1.

　　(5)如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意的x的值組成的集合.

　　(6)指數為零底不可以等于零，

　　(7)實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義.

　　3、相同函數的判斷方法：①表達式相同(與表示自變量和函數值的字母無關);

　　②定義域一致(兩點必須同時具備)

　　4、區間的概念：

　　(1)區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間

　　(2)無窮區間

　　(3)區間的數軸表示

　　5、值域(先考慮其定義域)

　　(1)觀察法：直接觀察函數的圖像或函數的解析式來求函數的值域;

　　(2)反表示法：針對分式的類型，把Y關于X的函數關系式化成X關于Y的函數關系式，

　　由X的范圍類似求Y的范圍。

　　(3)配方法：針對二次函數的類型，根據二次函數圖像的性質來確定函數的值域，

　　注意定義域的范圍。

　　(4)代換法(換元法)：作變量代換，針對根式的題型，轉化成二次函數的類型。

　　6.分段函數

　　(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。

　　(2)各部分的自變量的取值情況.

　　(3)分段函數的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集.

　　(4)常用的分段函數有取整函數、符號函數、含絕對值的函數

　　7.映射

　　一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：AB為從集合A到集合B的一個映射。記作“f(對應關系)：A(原象)B(象)”

　　對于映射f：A→B來說，則應滿足：

　　(1)集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的;

　　(2)集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個;

　　(3)不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。

　　注意：映射是針對自然界中的所有事物而言的，而函數僅僅是針對數字來說的。所以函數是映射，而映射不一定的函數

　　8、函數的單調性(局部性質)及最值

　　(1)、增減函數

　　1)設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1

　　2)如果對于區間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1f(x2)，

　　那么就說f(x)在這個區間上是減函數.區間D稱為y=f(x)的單調減區間.

　　注意：函數的單調性是函數的局部性質;函數的單調性還有單調不增，和單調不減兩種

　　(2)、圖象的特點

　　如果函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數，那么說函數y=f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性，在單調區間上增函數的圖象從左到右是上升的，減函數的圖象從左到右是下降的.

　　(3)、函數單調區間與單調性的判定方法

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