黃岡市2016-2017學年高一期末文理科數學試卷(2)
黃岡市2016-2017學年高一下期末理科數學試卷
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題所給的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1.下列結論正確的是( )
A.若ab，則ac2bc2 B.若a2b2，則ab
C.若ab，c0，則ac
2.設數列an}是等差數列，若a2a4+a6=12，則a1a2+…+a7等于( )
A.14 B.21 C.28 D.35
3.設l，m是兩條不同的直線，α是一個平面，則下列命題正確的是( )
A.若lm，mα，則lα B.若lα，lm，則mα
C.若lα，mα，則lm D.若lα，mα，則lm
4.在ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若3a=2b，則的值為( )
A.﹣ B. C.1 D.
5.已知等比數列an}中，a3=2，a4a6=16，則=( )
A.2 B.4 C.8 D.16
6.從點(2，3)射出的光線沿斜率k=的方向射到y軸上，則反射光線所在的直線方程為( )
A.x2y﹣4=0 B.2xy﹣1=0 C.x6y﹣16=0 D.6xy﹣8=0
7.若α，β為銳角，且滿足cosα=，cos(αβ)=，則sinβ的值為( )
A.﹣ B. C. D.
8.若動點A(x1，y2)、B(x2，y2)分別在直線l1：xy﹣11=0和l2：xy﹣1=0上移動，則AB中點M所在直線方程為( )
A.x﹣y﹣6=0 B.xy+6=0 C.x﹣y6=0 D.xy﹣6=0
9.已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中，正(主)視圖，側(左)視圖均是由三角形與半圓構成，俯視圖由圓與內接三角形構成，根據圖中的數據可得此幾何體的體積為( )
A. B. C. D.
10.將正偶數集合2，4，6，…從小到大按第n組有2n個偶數進行分組：2，4，6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，…，則2018位于( )組.
A.30 B.31 C.32 D.33
11.已知實數x，y滿足，則ω=的取值范圍是( )
A.﹣1，] B.﹣，] C.﹣，1) D.﹣，)
12.在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中點，F是側面BCC1B1內的動點，且A1F平面D1AE，則A1F與平面BCC1B1所成角的正切值t構成的集合是( )
A.t|} B.t|≤t≤2} C.t|2} D.t|2}
二、填空題(每小題5分，本題共20分)
13.若關于x的不等式ax2﹣6xa2<0的解集是(1，m)，則m= .
14.若，則tan2α= .
15.若ABC的面積為，BC=2，C=60°，則邊AB的長度等于 .
16.已知不等式組表示的平面區域為D，則
(1)z=x2y2的最小值為 .
(2)若函數y=2x﹣1m的圖象上存在區域D上的點，則實數m的取值范圍是 .
三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17.在平面直角坐標系內，已知A(1，a)，B(﹣5，﹣3)，C(4，0);
(1)當a(，3)時，求直線AC的傾斜角α的取值范圍;
(2)當a=2時，求ABC的BC邊上的高AH所在直線方程l.
18.在ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊， =，且ac=2.
(1)求角B;
(2)求邊長b的最小值.
19.已知A(4，﹣3)，B(2，﹣1)和直線l：4x3y﹣2=0.
(1)求在直角坐標平面內滿足PA|=|PB|的點P的方程;
(2)求在直角坐標平面內一點P滿足PA|=|PB|且點P到直線l的距離為2的坐標.
20.如圖所示的多面體，它的正視圖為直角三角形，側視圖為正三角形，俯視圖為正方形(尺寸如圖所示)，E為VB的中點.
(1)求證：VD平面EAC;
(2)求二面角A﹣VB﹣D的余弦值.
21.某投資公司計劃投資A，B兩種金融產品，根據市場調查與預測，A產品的利潤y1與投資金額x的函數關系為y1=18﹣，B產品的利潤y2與投資金額x的函數關系為y2= (注：利潤與投資金額單位：萬元).
(1)該公司已有100萬元資金，并全部投入A，B兩種產品中，其中x萬元資金投入A產品，試把A，B兩種產品利潤總和表示為x的函數，并寫出定義域;
(2)在(1)的條件下，試問：怎樣分配這100萬元資金，才能使公司獲得最大利潤?其最大利潤為多少萬元?
22.已知曲線f(x)=(x0)上有一點列Pn(xn，yn)(nN*)，過點Pn在x軸上的射影是Qn(xn，0)，且x1x2+x3+…+xn=2n+1﹣n﹣2.(nN*)
(1)求數列xn}的通項公式;
(2)設四邊形PnQnQn1Pn+1的面積是Sn，求Sn;
(3)在(2)條件下，求證： ++…+<4.
2016-2017學年湖北省黃岡市高一(下)期末數學試卷(理科)
參考答案與試題解析
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題所給的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1.下列結論正確的是( )
A.若ab，則ac2bc2 B.若a2b2，則ab
C.若ab，c0，則ac
【考點】71：不等關系與不等式.
【分析】對于A，B舉反例即可，對于C，D根據不等式的性質可判斷
【解答】解：對于A：當c=0時，不成立，
對于B：當a=﹣2，b=1時，則不成立，
對于C：根據不等式的基本性質可得若ab，c0，則ac>b+c，故C不成立，
對于D：若<，則ab，成立，
故選：D
2.設數列an}是等差數列，若a2a4+a6=12，則a1a2+…+a7等于( )
A.14 B.21 C.28 D.35
【考點】85：等差數列的前n項和.
【分析】利用等差數列的通項公式性質及其求和公式即可得出.
【解答】解：數列an}是等差數列，a2a4+a6=12，
3a4=12，解得a4=4.
則a1a2+…+a7=7a4=28.
故選：C.
3.設l，m是兩條不同的直線，α是一個平面，則下列命題正確的是( )
A.若lm，mα，則lα B.若lα，lm，則mα
C.若lα，mα，則lm D.若lα，mα，則lm
【考點】LS：直線與平面平行的判定.
【分析】根據題意，依次分析選項：A，根據線面垂直的判定定理判斷.C：根據線面平行的判定定理判斷.D：由線線的位置關系判斷.B：由線面垂直的性質定理判斷;綜合可得答案.
【解答】解：A，根據線面垂直的判定定理，要垂直平面內兩條相交直線才行，不正確;
C：lα，mα，則lm或兩線異面，故不正確.
D：平行于同一平面的兩直線可能平行，異面，相交，不正確.
B：由線面垂直的性質可知：平行線中的一條垂直于這個平面則另一條也垂直這個平面.故正確.
故選B
4.在ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若3a=2b，則的值為( )
A.﹣ B. C.1 D.
【考點】HR：余弦定理;HP：正弦定理.
【分析】根據正弦定理，將條件進行化簡即可得到結論.
【解答】解：3a=2b，b=，
根據正弦定理可得===，
故選：D.
5.已知等比數列an}中，a3=2，a4a6=16，則=( )
A.2 B.4 C.8 D.16
【考點】8G：等比數列的性質.
【分析】設等比數列an}的公比為q，由于a3=2，a4a6=16，可得=2， =16，解得q2.可得=q4.
【解答】解：設等比數列an}的公比為q，a3=2，a4a6=16， =2， =16，
解得q2=2.
則==q4=4.
故選：B.
6.從點(2，3)射出的光線沿斜率k=的方向射到y軸上，則反射光線所在的直線方程為( )
A.x2y﹣4=0 B.2xy﹣1=0 C.x6y﹣16=0 D.6xy﹣8=0
【考點】IQ：與直線關于點、直線對稱的直線方程.
【分析】用點斜式求出入射光線方程，求出入射光線與反射軸y軸交點的坐標，再利用(2，3)關于y軸對稱點(﹣2，3)，在反射光線上，點斜式求出反射光線所在直線方程，并化為一般式.
【解答】解：由題意得，射出的光線方程為y﹣3=(x﹣2)，即x﹣2y4=0，與y軸交點為(0，2)，
又(2，3)關于y軸對稱點為(﹣2，3)，
反射光線所在直線過(0，2)，(﹣2，3)，
故方程為y﹣2=(x﹣0)，即 x2y﹣4=0.
故選：A.
7.若α，β為銳角，且滿足cosα=，cos(αβ)=，則sinβ的值為( )
A.﹣ B. C. D.
【考點】GQ：兩角和與差的正弦函數.
【分析】由條件利用同角三角函數的基本關系求得sinα、sin(αβ)的值，再利用兩角和差的正弦公式求得sinβ=sin(αβ)﹣α的值.
【解答】解：α，β為銳角，且滿足cosα=，cos(αβ)=，
sinα=，sin(αβ)=，
sinβ=sin[(αβ)﹣α=sin(αβ)cosα﹣cos(αβ)sinα=﹣=，
故選：B
8.若動點A(x1，y2)、B(x2，y2)分別在直線l1：xy﹣11=0和l2：xy﹣1=0上移動，則AB中點M所在直線方程為( )
A.x﹣y﹣6=0 B.xy+6=0 C.x﹣y6=0 D.xy﹣6=0
【考點】J3：軌跡方程.
【分析】根據題意可推斷出M點的軌跡為平行于直線l1、l2且到l1、l2距離相等的直線l進而根據兩直線方程求得M的軌跡方程.
【解答】解：由題意知，M點的軌跡為平行于直線l1、l2且到l1、l2距離相等的直線l，故其方程為xy﹣6=0，
故選：D.
9.已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中，正(主)視圖，側(左)視圖均是由三角形與半圓構成，俯視圖由圓與內接三角形構成，根據圖中的數據可得此幾何體的體積為( )
A. B. C. D.
【考點】L!：由三視圖求面積、體積.
【分析】先由三視圖還原成原來的幾何體，再根據三視圖中的長度關系，找到幾何體中的長度關系，進而可以求幾何體的體積.
【解答】解：由三視圖可得該幾何體的上部分是一個三棱錐，下部分是半球，
所以根據三視圖中的數據可得：
V=××
=，
故選C.
10.將正偶數集合2，4，6，…從小到大按第n組有2n個偶數進行分組：2，4，6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，…，則2018位于( )組.
A.30 B.31 C.32 D.33
【考點】F1：歸納推理.
【分析】根據題意可分析第一組、第二組、第三組、…中的數的個數及最后的數，從中尋找規律即可使問題得到解決.
【解答】解：第一組有2=12個數，最后一個數為4;
第二組有4=22個數，最后一個數為12即2(24);
第三組有6=23個數，最后一個數為24，即2(24+6);
…
第n組有2n個數，其中最后一個數為2(24+…+2n)=4(12+3+…+n)=2n(n1).
當n=31時，第31組的最后一個數為231×32=1984，
當n=32時，第32組的最后一個數為232×33=2112，
2018位于第32組.
故選：C
11.已知實數x，y滿足，則ω=的取值范圍是( )
A.﹣1，] B.﹣，] C.﹣，1) D.﹣，)
【考點】7C：簡單線性規劃.
【分析】作出不等式組對應的平面區域，利用直線的斜率公式，結合數形結合進行求解即可.
【解答】解：作出不等式組對應的平面區域如圖，
ω的幾何意義是區域內的點到定點D(﹣1，1)的斜率，
由圖象知當直線和BC：x﹣y=0平行時，直線斜率最大，此時直線斜率為1，但取不到，
當直線過A(1，0)時，直線斜率最小，
此時AD的斜率k==，
則ω的范圍是﹣，1)，
故選：C
12.在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中點，F是側面BCC1B1內的動點，且A1F平面D1AE，則A1F與平面BCC1B1所成角的正切值t構成的集合是( )
A.t|} B.t|≤t≤2} C.t|2} D.t|2}
【考點】MI：直線與平面所成的角.
【分析】設平面AD1E與直線BC交于點G，連接AG、EG，則G為BC的中點.分別取B1B、B1C1的中點M、N，連接AM、MN、AN，可證出平面A1MN平面D1AE，從而得到A1F是平面A1MN內的直線.由此將點F在線段MN上運動并加以觀察，即可得到A1F與平面BCC1B1所成角取最大值、最小值的位置，由此不難得到A1F與平面BCC1B1所成角的正切取值范圍.
【解答】解：設平面AD1E與直線BC交于點G，連接AG、EG，則G為BC的中點
分別取B1B、B1C1的中點M、N，連接AM、MN、AN，則
A1M∥D1E，A1M平面D1AE，D1E平面D1AE，
A1M∥平面D1AE.同理可得MN平面D1AE，
A1M、MN是平面A1MN內的相交直線
平面A1MN平面D1AE，
由此結合A1F平面D1AE，可得直線A1F平面A1MN，即點F是線段MN上上的動點.
設直線A1F與平面BCC1B1所成角為θ
運動點F并加以觀察，可得
當F與M(或N)重合時，A1F與平面BCC1B1所成角等于A1MB1，此時所成角θ達到最小值，滿足tanθ==2;
當F與MN中點重合時，A1F與平面BCC1B1所成角達到最大值，滿足tanθ==2
A1F與平面BCC1B1所成角的正切取值范圍為2，2]
故選：D
二、填空題(每小題5分，本題共20分)
13.若關于x的不等式ax2﹣6xa2<0的解集是(1，m)，則m= 2 .
【考點】74：一元二次不等式的解法.
【分析】由二次不等式的解集形式，判斷出 1，m是相應方程的兩個根，利用韋達定理求出m的值.
【解答】解：ax2﹣6xa2<0的解集是 (1，m)，
a>0，
1，m是相應方程ax2﹣6xa2=0的兩根，
解得 m=2;
故答案為：2.
14.若，則tan2α= .
【考點】GU：二倍角的正切.
【分析】由條件可得tanα的值，再利用二倍角的正切公式，即可求得結論.
【解答】解：，
2(sinαcosα)=sinα﹣cosα
sinα=﹣3cosα
tanα=﹣3
tan2α===
故答案為：
15.若ABC的面積為，BC=2，C=60°，則邊AB的長度等于 2 .
【考點】HP：正弦定理.
【分析】利用三角形面積公式列出關系式，把已知面積，a，sinC的值代入求出b的值，再利用余弦定理求出c的值即可.
【解答】解：ABC的面積為，BC=a=2，C=60°，
absinC=，即b=2，
由余弦定理得：c2=a2b2﹣2abcosC=44﹣4=4，
則AB=c=2，
故答案為：2
16.已知不等式組表示的平面區域為D，則
(1)z=x2y2的最小值為 .
(2)若函數y=2x﹣1m的圖象上存在區域D上的點，則實數m的取值范圍是 .
【考點】7C：簡單線性規劃.
【分析】由題意作平面區域，(1)利用目標函數的幾何意義，求解z=x2y2的最小值;
(2)利用圖形，求出圖形中A，B，C坐標;化簡y=2x﹣1m，從而確定最值.
【解答】解：由題意作不等式組平面區域如圖：
(1)z=x2y2的最小值為圖形中OP的距離的平方;
可得： =.
(2)
結合圖象可知，，可得B(，)，解得A(2，﹣1).當x時，
y=1m﹣2x，解得C(，)
x(，2時，y=2x﹣1m，m的范圍在A，B，C之間取得，y=2x﹣1m，
經過A時，可得3m=﹣1，即m=﹣4，m有最小值為﹣4;
經過C可得，可得m=，即最大值為：;
經過B可得1﹣+m=，m=.
函數y=2x﹣1m的圖象上存在區域D上的點，則實數m的取值范圍：.
故答案為：，.
三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17.在平面直角坐標系內，已知A(1，a)，B(﹣5，﹣3)，C(4，0);
(1)當a(，3)時，求直線AC的傾斜角α的取值范圍;
(2)當a=2時，求ABC的BC邊上的高AH所在直線方程l.
【考點】IG：直線的一般式方程.
【分析】(1)求出AC的斜率，根據a的范圍，求出AC的斜率的范圍，從而求出傾斜角的范圍即可;
(2)求出BC的斜率，根據垂直關系求出AH的斜率，代入點斜式方程即可求出l.
【解答】解：(1)KAC==﹣，
a(，3)，則KAC(﹣1，﹣)，
k=tanα，又α∈[0，π，
α∈(，);
(2)KBC==，
AH為高，AH⊥BC，
KAH•KBC=﹣1，
KAH=﹣3;
又l過點A(1，2)，
l：y﹣2=﹣3(x﹣1)，
即3xy﹣5=0.
18.在ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊， =，且ac=2.
(1)求角B;
(2)求邊長b的最小值.
【考點】HS：余弦定理的應用;HP：正弦定理.
【分析】(1)利用正弦定理化簡表達式，求角B;個兩角和與差的三角函數化簡求解即可.
(2)利用余弦定理求邊長b的最小值.推出b的表達式，利用基本不等式求解即可.
【解答】解：(1)在ABC中，由已知，
即cosCsinB=(2sinA﹣sinC)cosB，
sin(BC)=2sinAcosB，sinA=2sinAcosB，…4分
ABC 中，sinA0，
故. …6分.
(2)ac=2，
由(1)，因此b2=a2c2﹣2accosB=a2c2﹣ac …9分
由已知b2=(ac)2﹣3ac=4﹣3ac …10分
…11分
故b 的最小值為1.…12分
19.已知A(4，﹣3)，B(2，﹣1)和直線l：4x3y﹣2=0.
(1)求在直角坐標平面內滿足PA|=|PB|的點P的方程;
(2)求在直角坐標平面內一點P滿足PA|=|PB|且點P到直線l的距離為2的坐標.
【考點】IT：點到直線的距離公式.
【分析】(1)A(4，﹣3)，B(2，﹣1)，可得線段AB的中點M的坐標為(3，﹣2)，又kAB=﹣1，即可得出線段AB的垂直平分線方程.
(2)設點P的坐標為(a，b)，由于點P(a，b)在上述直線上，可得a﹣b﹣5=0.又點P(a，b)到直線l：4x3y﹣2=0的距離為2，可得=2，聯立解出即可得出.
【解答】解：(1)A(4，﹣3)，B(2，﹣1)，
線段AB的中點M的坐標為(3，﹣2)，又kAB=﹣1，
線段AB的垂直平分線方程為y2=x﹣3，
即點P的方程x﹣y﹣5=0.…
(2)設點P的坐標為(a，b)，
點P(a，b)在上述直線上，a﹣b﹣5=0.
又點P(a，b)到直線l：4x3y﹣2=0的距離為2，
=2，即4a3b﹣2=10，…
聯立可得或
所求點P的坐標為(1，﹣4)或.…
20.如圖所示的多面體，它的正視圖為直角三角形，側視圖為正三角形，俯視圖為正方形(尺寸如圖所示)，E為VB的中點.
(1)求證：VD平面EAC;
(2)求二面角A﹣VB﹣D的余弦值.
【考點】MR：用空間向量求平面間的夾角;LS：直線與平面平行的判定.
【分析】(1)欲證VD平面EAC，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證VD與平面EAC內一直線平行即可，而連接BD交AC于O點，連接EO，由已知易得VDEO，VD平面EAC，EO平面EAC，滿足定理條件;
(2)設AB的中點為P，則VP平面ABCD，建立坐標系，利用向量的夾角公式，可求二面角A﹣VB﹣D的余弦值.
【解答】(1)證明：由正視圖可知：平面VAB平面ABCD
連接BD交AC于O點，連接EO，由已知得BO=OD，VE=EB
VD∥EO
又VD平面EAC，EO平面EAC
VD∥平面EAC;
(2)設AB的中點為P，則VP平面ABCD，建立如圖所示的坐標系，
則=(0，1，0)
設平面VBD的法向量為
∴由，可得，可取=(，，1)
二面角A﹣VB﹣D的余弦值cosθ==
21.某投資公司計劃投資A，B兩種金融產品，根據市場調查與預測，A產品的利潤y1與投資金額x的函數關系為y1=18﹣，B產品的利潤y2與投資金額x的函數關系為y2= (注：利潤與投資金額單位：萬元).
(1)該公司已有100萬元資金，并全部投入A，B兩種產品中，其中x萬元資金投入A產品，試把A，B兩種產品利潤總和表示為x的函數，并寫出定義域;
(2)在(1)的條件下，試問：怎樣分配這100萬元資金，才能使公司獲得最大利潤?其最大利潤為多少萬元?
【考點】5D：函數模型的選擇與應用.
【分析】(1)其中x萬元資金投入A產品，則剩余的100﹣x(萬元)資金投入B產品，根據A產品的利潤y1與投資金額x的函數關系為y1=18﹣，B產品的利潤y2與投資金額x的函數關系為y2=，可得利潤總和;
(2)f(x)=40﹣﹣，x0，100，由基本不等式，可得結論.
【解答】解：(1)其中x萬元資金投入A產品，則剩余的100﹣x(萬元)資金投入B產品，
利潤總和f(x)=18﹣+=38﹣﹣(x0，100).…
(2)f(x)=40﹣﹣，x0，100，
由基本不等式得：f(x)40﹣2=28，取等號，當且僅當=時，即x=20.…
答：分別用20萬元和80萬元資金投資A、B兩種金融產品，可以使公司獲得最大利潤，最大利潤為28萬元.…
22.已知曲線f(x)=(x0)上有一點列Pn(xn，yn)(nN*)，過點Pn在x軸上的射影是Qn(xn，0)，且x1x2+x3+…+xn=2n+1﹣n﹣2.(nN*)
(1)求數列xn}的通項公式;
(2)設四邊形PnQnQn1Pn+1的面積是Sn，求Sn;
(3)在(2)條件下，求證： ++…+<4.
【考點】8I：數列與函數的綜合;8K：數列與不等式的綜合.
【分析】(1)求出n=1時，x1=1;n2時，將n換為n﹣1，兩式相減，即可得到所求通項公式;
(2)運用點滿足函數式，代入化簡，求出梯形的底和高，由梯形的面積公式，化簡可得;
(3)求得：，運用數列的求和方法：裂項相消求和，化簡即可得證.
【解答】解：(1)n=1時，x1=22﹣1﹣2=1，
n2時，x1x2+x3+…+xn﹣1=2n﹣(n﹣1)﹣2，
又x1x2+x3+…+xn=2n+1﹣n﹣2，
②﹣得：xn=2n﹣1(n=1仍成立)
故xn=2n﹣1;
(2)，
，又，，
故四邊形PnQnQn1Pn+1的面積為：;
(3)證明：，
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