天水市九年級數學上冊期末試卷
天水市九年級數學上冊期末試卷
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天水市九年級數學上冊期末試卷：
一、選擇題(每小題4分，共40分)
1.下列二次根式中，最簡二次根式是( )
【考點】最簡二次根式.
【分析】判定一個二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個檢查最簡二次根式的兩個條件是否同時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是.
【解答】解：A、被開方數含能開得盡方的因數或因式，故A錯誤;
B、被開方數不含分母;被開方數不含能開得盡方的因數或因式，故B正確;
C、被開方數含分母，故C錯誤;
D、被開方數含能開得盡方的因數或因式，故D錯誤;
故選：B.
【點評】本題考查最簡二次根式的定義.根據最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個條件：被開方數不含分母;被開方數不含能開得盡方的因數或因式.
2.關于x的一元二次方程x2+4x+k=0有實數解，則k的取值范圍是( )
A.k≥4 B.k≤4 C.k>4 D.k=4
【考點】根的判別式;解一元一次不等式.
【專題】計算題.
【分析】根據方程解的情況和根的判別式得到b2﹣4ac≥0，求出即可.
【解答】解：∵關于x的一元二次方程x2+4x+k=0有實數解，
∴b2﹣4ac=42﹣4×1×k≥0，
解得：k≤4，
故選B.
【點評】本題主要考查對根的判別式，解一元一次不等式等知識點的理解和掌握，能熟練地運用根的判別式進行計算是解此題的關鍵.
3.下列四條線段中，不能成比例的是( )
A.a=3，b=6，c=2，d=4 B.a=1，b= ，c= ，d=
C.a=4，b=6，c=5，d=10 D.a=2，b= ，c= ，d=2
【考點】比例線段.
【專題】應用題.
【分析】若a，b，c，d成比例，即有a：b=c：d.只要代入驗證即可.
【解答】解：A、3：6=2：4，則a：b=c：d，即a，b，c，d成比例;
B、1： = ： ，則a：b=d：c.故a，b，d，c成比例;
C、四條線段中，任意兩條的比都不相等，因而不成比例;
D、 ：2= ：2 ，即b：a=c：d，故b，a，c，d成比例.
故選C.
【點評】本題主要考查了成比例的定義，并且注意敘述線段成比例時，各個線段的順序，難度適中.
4.下列各種圖形中，有可能不相似的是( )
A.有一個角是45°的兩個等腰三角形
B.有一個角是60°的兩個等腰三角形
C.有一個角是110°的兩個等腰三角形
D.兩個等腰直角三角形
【考點】相似三角形的判定.
【分析】分別利用等腰三角形的判定方法，結合內角度數以及等腰三角形的性質判斷即可.
【解答】解：A、各有一個角是45°的兩個等腰三角形，有可能是一個為頂角，另一個為底角，此時不相似，故此選項符合題意;
B、各有一個角是60°的兩個等腰三角形是等邊三角形，兩個等邊三角形相似，故此選項不合題意;
C、各有一個角是110°的兩個等腰三角形，此角必為頂角，則底角都為35°，則這兩個三角形必相似，故此選項不合題意;
D、兩個等腰直角三角形，兩角對應相等，此三角形必相似，故此選項不合題意;
故選：A.
【點評】此題考查了相似三角形的判定：
①有兩個對應角相等的三角形相似;
②有兩個對應邊的比相等，且其夾角相等，則兩個三角形相似;
③三組對應邊的比相等，則兩個三角形相似.
5.順次連結任意四邊形各邊中點所得到的四邊形一定是( )
A.平行四邊形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
【考點】中點四邊形.
【分析】順次連接任意四邊形四邊中點所得的四邊形，一組對邊平行并且等于原來四邊形某一對角線的一半，說明新四邊形的對邊平行且相等.所以是平行四邊形.
【解答】解：證明：如圖，連接AC，
∵E、F、G、H分別是四邊形ABCD邊的中點，
∴HG∥AC，HG= AC，EF∥AC，EF= AC;
∴EF=HG且EF∥HG;
∴四邊形EFGH是平行四邊形.
故選A.
【點評】本題考查了平行四邊形的判斷及三角形的中位線定理的應用，三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.
6.下列事件中為必然事件的是( )
A.從一定高度落下的圖釘落地后頂尖朝上
B.打開數學課本時剛好翻到第60頁
C.早晨太陽一定從東方升起
D.今年14歲的小明一定是初中學生
【考點】隨機事件.
【分析】必然事件就是一定發生的事件，根據定義即可判斷.
【解答】解：A、從一定高度落下的圖釘落地后頂尖朝上是隨機事件，故選項錯誤;
B、打開數學課本時剛好翻到第60頁是隨機事件，故選項錯誤;
C、早晨太陽一定從東方升起是必然事件，選項正確;
D、今年14歲的小明一定是初中學生是隨機事假，選項錯誤.
故選C.
【點評】本題考查了必然事件的定義，解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機事件的概念.必然事件指在一定條件下一定發生的事件.不可能事件是指在一定條件下，一定不發生的事件.不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件.
7.如圖，小正方形的邊長均為1，則圖中三角形與△ABC相似的是( )
A. B. C. D.
【考點】相似三角形的判定.
【專題】網格型.
【分析】設小正方形的邊長為1，根據已知可求出△ABC三邊的長，同理可求出陰影部分的各邊長，從而根據相似三角形的三邊對應成比例即可得到答案.
【解答】解：∵小正方形的邊長均為1
∴△ABC三邊分別為2， ，
同理：A中各邊的長分別為： ，3， ;
B中各邊長分別為： ，1， ;
C中各邊長分別為：1、2 ， ;
D中各邊長分別為：2， ， ;
∵只有B項中的三邊與已知三角形的三邊對應成比例，且相似比為
故選B.
【點評】此題主要考查學生對相似三角形的判定方法的理解及運用.
8.如圖，某游樂場一山頂滑梯的高為h，滑梯的坡角為α，那么滑梯長l為( )
A. B. C. D.h•sinα
【考點】解直角三角形的應用-坡度坡角問題.
【專題】幾何圖形問題.
【分析】由已知轉化為解直角三角形問題，角α的正弦等于對邊比斜邊求出滑梯長l.
【解答】解：由已知得：sinα= ，
∴l= ，
故選：A.
【點評】此題考查的知識點是解直角三角形的應用﹣坡度較問題，關鍵是把實際問題轉化為解直角三角形.
9.如圖，△ABC中，cosB= ，sinC= ，AC=5，則△ABC的面積是( )
A. B.12 C.14 D.21
【考點】解直角三角形.
【分析】根據已知作出三角形的高線AD，進而得出AD，BD，CD，的長，即可得出三角形的面積.
【解答】解：過點A作AD⊥BC，
∵△ABC中，cosB= ，sinC= ，AC=5，
∴cosB= = ，
∴∠B=45°，
∵sinC= = = ，
∴AD=3，
∴CD= =4，
∴BD=3，
則△ABC的面積是： ×AD×BC= ×3×(3+4)= .
故選A.
【點評】此題主要考查了解直角三角形的知識，作出AD⊥BC，進而得出相關線段的長度是解決問題的關鍵.
10.如圖，在△ABC中，DF∥EG∥BC，且AD=DE=EB，△ABC被DF、EG分成三部分，且三部分面積分別為S1，S2，S3，則Sl：S2：S3=( )
A.1;1：1 B.1：2：3 C.1：3：5 D.1：4：9
【考點】相似三角形的判定與性質.
【專題】壓軸題.
【分析】先判斷出△ADF∽△AEG∽△ABC，再根據相似三角形的面積比等于相似比的平方解答即可.
【解答】解：∵DF∥EG∥BC，
∴△ADF∽△AEG∽△ABC，
又∵AD=DE=EB，
∴三個三角形的相似比是1：2：3，
∴面積的比是1：4：9，
設△ADF的面積是a，則△AEG與△ABC的面積分別是4a，9a，
∴S2=3a，S3=5a，則Sl：S2：S3=1：3：5.故選C.
【點評】本題比較容易，考查相似三角形的性質.利用相似三角形的性質時，要注意相似比的順序，同時也不能忽視面積比與相似比的關系.相似比是聯系周長、面積、對應線段等的媒介，也是相似三角形計算中常用的一個比值.
二、填空題(每題4分，共32分)
11.某一時刻一根4米的旗桿的影長為6米，同一時刻同一地點，有一名學生的身高為1.6米，則他的影子長為 2.4m .
【考點】相似三角形的應用.
【分析】要求出他的影子長，利用在同一時刻同一地點任何物體的高與其影子長的比值相同解題.
【解答】解：設他的影子長為x，根據在同一時刻同一地點任何物體的高與其影子長的比值相同得：
= ，
解得：x=2.4，
故他的影子長為2.4米，
故答案為：2.4m.
【點評】此題主要考查了相似三角形的應用，解題關鍵是了解在同一時刻同一地點任何物體的高與其影子長的比值相同.
12.若 = ，則 = .
【考點】代數式求值.
【專題】計算題.
【分析】對已知式子分析可知，原式可根據比例合比性質可直接得出比例式的值.
【解答】解：根據 = 得3a=5b，則 = .故答案為： .
【點評】主要考查了靈活利用比例的合比性質的能力.
13.如圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形，每個小正方形的頂點叫格點.△ABC的頂點都在方格的格點上，則cosA= .
【考點】銳角三角函數的定義;勾股定理.
【專題】網格型.
【分析】根據勾股定理，可得AC的長，根據鄰邊比斜邊，可得角的余弦值.
【解答】解：如圖 ，
由勾股定理得AC=2 ，AD=4，
cosA= ，
故答案為： .
【點評】本題考查了銳角三角函數的定義，角的余弦是角鄰邊比斜邊.
14.點D、E、F分別為△ABC三邊的中點，且S△DEF=2，則△ABC的面積為 8 .
【考點】三角形中位線定理.
【分析】根據中位線定理可證△DEF∽△CBA，相似比為 ，所以S△BAC=4S△DEF=4×2=8.
【解答】解：∵D，E，F分別為△ABC三邊的中點，
∴DE= BC，EF= AB，DF= AC，
∴△DEF∽△CBA，相似比為 ，
∴S△DEF：S△BAC=1：4，
即S△BAC=4S△DEF=4×2=8.
故答案是：8.
【點評】本題考查的是三角形中位線定理及相似三角形的性質.相似三角形的面積之比等于相似比的平方.
15.課間操時小華、小軍、小剛的位置如圖所示，小華對小剛說，如果我的位置用(0，0)表示，小軍的位置用(2，1)表示，那么小剛的位置可以用坐標表示成 (4，3) .
【考點】坐標確定位置.
【專題】數形結合.
【分析】以小華的位置為坐標原點建立直角坐標系，然后寫出小剛所在位置的坐標即可.
【解答】解：如圖，小剛的位置可以用坐標表示成(4，3).
故答案為(4，3).
【點評】本題考查了坐標確定位置：平面坐標系中的點與有序實數對一一對應;記住平面內特殊位置的點的坐標特征.
16.一筐蘋果分成兩堆，其中一堆蘋果數是總數的八分之一的平方，另一堆蘋果數為12，則這兩堆蘋果總數為 16或48 .
【考點】一元二次方程的應用.
【分析】設這兩堆蘋果總數為x，則其中一堆蘋果數是( x)2，根據兩堆之和為x列出方程并解答.
【解答】解：設這兩堆蘋果總數為x，則
( x)2+12=x，
整理，得x2﹣64x+768=0，
解得x1=16，x2=48.
故答案是：16或48.
【點評】本題考查了一元二次方程的應用.解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程，再求解.
17.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AD=1，BD=4，則CD= 2 .
【考點】相似三角形的判定與性質.
【分析】首先證△ACD∽△CBD，然后根據相似三角形的對應邊成比例求出CD的長.
【解答】解：Rt△ACB中，∠ACB=90°，CD⊥AB;
∴∠ACD=∠B=90°﹣∠A;
又∵∠ADC=∠CDB=90°，
∴△ACD∽△CBD;
∴CD2=AD•BD=4，即CD=2.
【點評】此題主要考查的是相似三角形的判定和性質.
18.將一副三角尺如圖所示疊放在一起，則 的值是 .
【考點】相似三角形的判定與性質.
【分析】由∠BAC=∠ACD=90°，可得AB∥CD，即可證得△ABE∽△DCE，然后由相似三角形的對應邊成比例，可得： ，然后利用三角函數，用AC表示出AB與CD，即可求得答案.
【解答】解：∵∠BAC=∠ACD=90°，
∴AB∥CD，
∴△ABE∽△DCE，
∴ ，
∵在Rt△ACB中∠B=45°，
∴AB=AC，
∵在Rt△ACD中，∠D=30°，
∴CD= = AC，
∴ = = .
故答案為： .
【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質與三角函數的性質.此題難度不大，注意掌握數形結合思想的應用.
三、解答題
19.計算
(1)
(2)2cos30°+sin60°+2tan45°•tan60°.
【考點】實數的運算;負整數指數冪;特殊角的三角函數值.
【專題】計算題;實數.
【分析】(1)原式第一項化為最簡二次根式，第二項利用特殊角的三角函數值計算，第三項利用負整數指數冪法則計算，最后一項利用絕對值的代數意義化簡，計算即可得到結果;
(2)原式利用特殊角的三角函數值計算即可得到結果.
【解答】解：(1)原式=3 ﹣3× +4﹣2+ =3 +2;
(2)原式=2× + +2×1× =3 + = .
【點評】此題考查了實數的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.
20.解方程
(1)9(x﹣2)2=4(x+1)2
(2) .
【考點】解一元二次方程-因式分解法.
【分析】(1)利用直接開平方法解方程即可;
(2)先移項，使方程的右邊化為零，再將方程左邊分解因式后，利用兩數相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉化為兩個一元一次方程來求解.
【解答】解：(1)9(x﹣2)2=4(x+1)2，
[3(x﹣2)]2=[2(x+1)]2，
直接開平方，得
3(x﹣2)=2(x+1)，或3(x﹣2)=﹣2(x+1)，
解得，x1=8，x2= ;
(2) ，
移項得， x2﹣x﹣2 =0，
分解因式得，(x﹣ )( x+2)=0，
x﹣ =0，或 x+2=0，
解得，x1= ，x2=﹣ .
【點評】此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵.
21.雅安地震牽動著全國人民的心，某單位開展了“一方有難，八方支援”賑災捐款活動.第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元.
(1)如果第二天、第三天收到捐款的增長率相同，求捐款增長率;
(2)按照(1)中收到捐款的增長率速度，第四天該單位能收到多少捐款?
【考點】一元二次方程的應用.
【專題】增長率問題.
【分析】(1)解答此題利用的數量關系是：第一天收到捐款錢數×(1+每次增長的百分率)2=第三天收到捐款錢數，設出未知數，列方程解答即可;
(2)第三天收到捐款錢數×(1+每次增長的百分率)=第四天收到捐款錢數，依此列式子解答即可.
【解答】解：(1)設捐款增長率為x，根據題意列方程得，
10000×(1+x)2=12100，
解得x1=0.1，x2=﹣2.1(不合題意，舍去);
答：捐款增長率為10%.
(2)12100×(1+10%)=13310元.
答：第四天該單位能收到13310元捐款.
【點評】本題考查了一元二次方程的應用，列方程的依據是：第一天收到捐款錢數×(1+每次降價的百分率)2=第三天收到捐款錢數.
22.已知：關于x的方程2x2+kx﹣1=0.
(1)求證：方程有兩個不相等的實數根;
(2)若方程的一個根是﹣1，求另一個根及k值.
【考點】解一元二次方程-因式分解法;根與系數的關系.
【專題】計算題;證明題.
【分析】若方程有兩個不相等的實數根，則應有△=b2﹣4ac>0，故計算方程的根的判別式即可證明方程根的情況，第二小題可以直接代入x=﹣1，求得k的值后，解方程即可求得另一個根.
【解答】證明：(1)∵a=2，b=k，c=﹣1
∴△=k2﹣4×2×(﹣1)=k2+8，
∵無論k取何值，k2≥0，
∴k2+8>0，即△>0，
∴方程2x2+kx﹣1=0有兩個不相等的實數根.
解：(2)把x=﹣1代入原方程得，2﹣k﹣1=0
∴k=1
∴原方程化為2x2+x﹣1=0，
解得：x1=﹣1，x2= ，即另一個根為 .
【點評】本題是對根的判別式與根與系數關系的綜合考查，一元二次方程根的情況與判別式△的關系：
(1)△>0⇔方程有兩個不相等的實數根;
(2)△=0⇔方程有兩個相等的實數根;
(3)△<0⇔方程沒有實數根.
并且本題考查了一元二次方程的解的定義，已知方程的一個根求方程的另一根與未知系數是常見的題型.
23.一個不透明的口袋里裝有紅、黃、綠三種顏色的球(除顏色不同外其余都相同)，其中紅球有2個，黃球有1個，從中任意捧出1球是紅球的概率為 .
(1)試求袋中綠球的個數;
(2)第1次從袋中任意摸出1球(不放回)，第2次再任意摸出1球，請你用畫樹狀圖或列表格的方法，求兩次都摸到紅球的概率.
【考點】列表法與樹狀圖法;概率公式.
【分析】(1)此題的求解方法是：借助于方程求解;
(2)此題需要兩步完成，所以采用樹狀圖或者列表法都比較簡單.
【解答】解：(1)設綠球的個數為x.由題意，得 =
解得x=1，經檢驗x=1是所列方程的根，所以綠球有1個;
(2)根據題意，畫樹狀圖：
由圖知共有12種等可能的結果，
即(紅1，紅2)，(紅1，黃)，(紅1，綠)，(紅2，紅1)，(紅2，黃)，(紅2，綠)，(黃，紅1)，(黃，紅2)，(黃，綠)，(綠，紅1)，(綠，紅2)，(綠，黃)，其中兩次都摸到紅球的結果有兩種(紅，紅)，(紅，紅).
∴P(兩次都摸到紅球)= = ;
或根據題意，畫表格：
第1次
第2次 紅1 紅2 黃 綠
紅1 (紅2，紅1) (黃，紅1) (綠，紅1)
紅2 (紅1，紅2) (黃，紅2) (綠，紅2)
黃 (紅1，黃) (紅2，黃) (綠，黃)
綠 (紅1，綠) (紅2，綠) (黃，綠)
由表格知共有12種等可能的結果，其中兩次都摸到紅球的結果有兩種，
∴P(兩次都摸到紅球)= = .
【點評】列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件;樹狀圖法適用于兩步或兩部以上完成的事件.解題時還要注意是放回實驗還是不放回實驗.用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比.
24.如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC，P是對角線BD的中點，M是DC的中點，N是AB的中點.求證：∠PMN=∠PNM.
【考點】三角形中位線定理.
【專題】證明題.
【分析】根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得PM= BC，PN= AD，然后求出PM=PN，再根據等邊對等角證明即可.
【解答】證明：∵P是對角線BD的中點，M是DC的中點，N是AB的中點，
∴PM、PN分別是△BCD和△ABD的中位線，
∴PM= BC，PN= AD，
∵AD=BC，
∴PM=PN，
∴∠PMN=∠PNM.
【點評】本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，等邊對等角的性質，熟記定理與性質是解題的關鍵.
25.如圖，某校數學興趣小組的同學欲測量一座垂直于地面的古塔BD的高度，他們先在A處測得古塔頂端點D的仰角為45°，再沿著BA的方向后退20m至C處，測得古塔頂端點D的仰角為30°.求該古塔BD的高度(結果保留根號).
【考點】解直角三角形的應用-仰角俯角問題.
【分析】在Rt△ABD和Rt△BCD中，分別解直角三角形，用BD表示AB和BC，然后根據BC﹣AB=20m，可求得塔BD的高度.
【解答】解：根據題意可知：∠BAD=45°，∠BCD=30°，AC=20m.
在Rt△ABD中，
∵∠BAD=∠BDA=45°，
∴AB=BD.
在Rt△BDC中，
∵tan∠BCD= ，
∴ = ，
則BC= BD，
又∵BC﹣AB=AC，
∴ BD﹣BD=20，
解得：BD= =10 +10(m).
答：古塔BD的高度為( )m.
【點評】本題考查了解直角三角形的應用，解答本題的關鍵是利用仰角建立直角三角形，利用解直角三角形的知識分別用BD表示出AB、BC的長度.
26.如圖，在平行四邊形ABCD中，過點A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F為線段DE上一點，且∠AFE=∠B.
(1)求證：△ADF∽△DEC;
(2)若AB=8，AD=6 ，AF=4 ，求AE的長.
【考點】相似三角形的判定與性質;勾股定理;平行四邊形的性質.
【專題】壓軸題.
【分析】(1)利用對應兩角相等，證明兩個三角形相似△ADF∽△DEC;
(2)利用△ADF∽△DEC，可以求出線段DE的長度;然后在Rt△ADE中，利用勾股定理求出線段AE的長度.
【解答】(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC.
∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C.
在△ADF與△DEC中，
∴△ADF∽△DEC.
(2)解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD=AB=8.
由(1)知△ADF∽△DEC，
∴ ，∴DE= = =12.
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE= = =6.
【點評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質、平行四邊形的性質和勾股定理三個知識點.題目難度不大，注意仔細分析題意，認真計算，避免出錯.
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