九年級數學上學期期末試卷

時間：2016-07-27 14:30:19 鄭曉823由分享

　　九年級數學的學習需要的是大量的做題，大家要準備好期末試卷來練習，下面是學習啦小編為大家帶來的關于九年級數學上學期期末試卷，希望會給大家帶來幫助。

　　九年級數學上學期期末試卷：

　　一、選擇題(每小題3分，共36分)

　　1.下列事件是必然事件的為(　　)

　　A.明天太陽從西方升起

　　B.擲一枚硬幣，正面朝上

　　C.打開電視機，正在播放“夏津新聞”

　　D.任意一個三角形，它的內角和等于180

　　【考點】隨機事件.

　　【分析】根據必然事件、不可能事件、隨機事件的概念可區別各類事件.

　　【解答】解：A、明天太陽從西方升起是不可能事件，故A錯誤;

　　B、擲一枚硬幣，正面朝上是隨機事件，故B錯誤;

　　C、打開電視機，正在播放“夏津新聞”是隨機事件，故C錯誤;

　　D、任意一個三角形，它的內角和等于180是必然事件，故D正確;

　　故選：D.

　　【點評】本題考查了隨機事件，解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機事件的概念.必然事件指在一定條件下一定發生的事件.不可能事件是指在一定條件下，一定不發生的事件.不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件.

　　2.一元二次方程x2﹣2x=0的根是(　　)

　　A.x1=0，x2=﹣2 B.x1=1，x2=2 C.x1=1，x2=﹣2 D.x1=0，x2=2

　　【考點】解一元二次方程-因式分解法.

　　【分析】先分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可.

　　【解答】解：x2﹣2x=0，

　　x(x﹣2)=0，

　　x=0，x﹣2=0，

　　x1=0，x2=2，

　　故選D.

　　【點評】本題考查了解一元二次方程的應用，解此題的關鍵是能把一元二次方程轉化成一元一次方程，難度適中.

　　3.二次函數y= (x﹣1)2+2的圖象可由y= x2的圖象(　　)

　　A.向左平移1個單位，再向下平移2個單位得到

　　B.向左平移1個單位，再向上平移2個單位得到

　　C.向右平移1個單位，再向下平移2個單位得到

　　D.向右平移1個單位，再向上平移2個單位得到

　　【考點】二次函數圖象與幾何變換.

　　【分析】按照“左加右減，上加下減”的規律.

　　【解答】解：y= x2的圖象向右平移1個單位，再向上平移2個單位得到二次函數y= (x﹣1)2+2的圖象.

　　故選D.

　　【點評】考查了拋物線的平移以及拋物線解析式的變化規律：左加右減，上加下減.

　　4.在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，則EC的長為(　　)

　　A.1 B.2 C.3 D.4

　　【考點】平行線分線段成比例.

　　【分析】根據平行線分線段成比例可得，代入計算即可解答.

　　【解答】解：∵DE∥BC，

　　∴ ，

　　即，

　　解得：EC=2，

　　故選：B.

　　【點評】本題主要考查平行線分線段成比例，掌握平行線分線段所得線段對應成比例是解題的關鍵.

　　5.在⊙O中，直徑CD⊥弦AB，則下列結論中正確的是(　　)

　　A.∠C= ∠BOD B.AC=AB C.∠C=∠B D.∠A=∠BOD

　　【考點】垂徑定理.

　　【分析】根據垂徑定理，可得BE與AE的關系，根據全等三角形的判定與性質，可得∠AOD=∠BOD，根據圓周角定理，可得∠C= ∠AOD，再根據等量代換，可得答案.

　　【解答】解：連接AO，如圖：

　　由垂徑定理，得

　　AE=BE.

　　在△AEO和△BEO中，

　　，

　　∴△AEO≌△BEO(SAS)，

　　∴∠AOD=∠BOD.

　　由圓周角定理，得

　　∠C= ∠AOD.

　　由等量代換，得

　　∠C= ∠BOD，故A正確.

　　故選：A.

　　【點評】本題考查了垂徑定理，利用垂徑定理得出BE與AE的關系是解題關鍵，又利用了全等三角形的判定與性質，圓周角定理.

　　6.點P是▱ABCD邊AB上的一點，射線CP交DA的延長線于點E，則圖中相似的三角形有(　　)

　　A.0對 B.1對 C.2對 D.3對

　　【考點】相似三角形的判定;平行四邊形的性質.

　　【分析】利用相似三角形的判定方法以及平行四邊形的性質得出即可.

　　【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

　　∴AB∥DC，AD∥BC，

　　∴△EAP∽△EDC，△EAP∽△CPB，

　　∴△EDC∽△CBP，

　　故有3對相似三角形.

　　故選：D.

　　【點評】此題主要考查了相似三角形的判定以及平行四邊形的性質，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題關鍵.

　　7.二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則下列關系式錯誤的是(　　)

　　A.a<0 B.a+b+c<0 C.b2﹣4ac>0 D.b>0

　　【考點】二次函數圖象與系數的關系.

　　【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關系，然后根據對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷.

　　【解答】解：A、拋物線開口方向向下，則a<0，故本選項錯誤;

　　B、∵當x=1時，y>0，

　　∴a+b+c>0，故本選項正確;

　　C、拋物線與x軸有2個交點，則b2﹣4ac>0，故本選項錯誤;

　　D、對稱軸在y軸的右側，則a、b異號，即b>0，故本選項錯誤.

　　故選：B.

　　【點評】主要考查圖象與二次函數系數之間的關系，二次函數y=ax2+bx+c系數符號由拋物線開口方向、對稱軸、拋物線與y軸的交點拋物線與x軸交點的個數確定.

　　8.線段AB兩個端點的坐標分別為A(4，4)，B(6，2)，以原點O為位似中心，在第一象限內將線段AB縮小為原來的后得到線段CD，則端點C和D的坐標分別為(　　)

　　A.(2，2)，(3，2) B.(2，4)，(3，1) C.(2，2)，(3，1) D.(3，1)，(2，2)

　　【考點】位似變換;坐標與圖形性質.

　　【專題】壓軸題.

　　【分析】直接利用位似圖形的性質得出對應點坐標乘以得出即可.

　　【解答】解：∵線段AB兩個端點的坐標分別為A(4，4)，B(6，2)，

　　以原點O為位似中心，在第一象限內將線段AB縮小為原來的后得到線段CD，

　　∴端點的坐標為：(2，2)，(3，1).

　　故選：C.

　　【點評】此題主要考查了位似變換，正確把握位似圖形的性質是解題關鍵.

　　9.若在“正三角形、平行四邊形、菱形、正五邊形、正六邊形”這五種圖形中隨機抽取一種圖形，則抽到的圖形屬于中心對稱圖形的概率是(　　)

　　A. B. C. D.

　　【考點】概率公式;中心對稱圖形.

　　【專題】計算題.

　　【分析】根據中心對稱圖形的定義得到平行四邊形、菱形和正六邊形是中心對稱圖形，于是利用概率公式可計算出抽到的圖形屬于中心對稱圖形的概率.

　　【解答】解：這五種圖形中，平行四邊形、菱形和正六邊形是中心對稱圖形，

　　所以這五種圖形中隨機抽取一種圖形，則抽到的圖形屬于中心對稱圖形的概率= .

　　故選C.

　　【點評】本題考查了概率公式：隨機事件A的概率P(A)=事件A可能出現的結果數除以所有可能出現的結果數.也考查了中心對稱圖形.

　　10.AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，弦AD平分∠BAC，交BC于點E，AB=6，AD=5，則DE的長為(　　)

　　A.2.2 B.2.5 C.2 D.1.8

　　【考點】相似三角形的判定與性質;圓周角定理.

　　【分析】連接BD、CD，由勾股定理先求出BD的長，再利用△ABD∽△BED，得出 = ，可解得DE的長.

　　【解答】解：如圖1，連接BD、CD，

　　，

　　∵AB為⊙O的直徑，

　　∴∠ADB=90°，

　　∴BD= = = ，

　　∵弦AD平分∠BAC，

　　∴CD=BD= ，

　　∴∠CBD=∠DAB，

　　在△ABD和△BED中，

　　∴△ABD∽△BED，

　　∴ ，即，

　　解得DE= .

　　故選A.

　　【點評】此題主要考查了三角形相似的判定和性質及圓周角定理，解答此題的關鍵是得出△ABD∽△BED.

　　11.若函數y=mx2+(m+2)x+ m+1的圖象與x軸只有一個交點，那么m的值為(　　)

　　A.0 B.0或2 C.2或﹣2 D.0，2或﹣2

　　【考點】拋物線與x軸的交點.

　　【專題】分類討論.

　　【分析】分為兩種情況：函數是二次函數，函數是一次函數，求出即可.

　　【解答】解：分為兩種情況：

　　①當函數是二次函數時，

　　∵函數y=mx2+(m+2)x+ m+1的圖象與x軸只有一個交點，

　　∴△=(m+2)2﹣4m( m+1)=0且m≠0，

　　解得：m=±2，

　　②當函數是一次函數時，m=0，

　　此時函數解析式是y=2x+1，和x軸只有一個交點，

　　故選：D.

　　【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點，根的判別式的應用，用了分類討論思想，題目比較好，但是也比較容易出錯.

　　12.將△ABC沿著過AB中點D的直線折疊，使點A落在BC邊上的A1處，稱為第1次操作，折痕DE到BC的距離記為h1;還原紙片后，再將△ADE沿著過AD中點D1的直線折疊，使點A落在DE邊上的A2處，稱為第2次操作，折痕D1E1到BC的距離記為h2;按上述方法不斷操作下去…，經過第2016次操作后得到的折痕D2015E2015到BC的距離記為h2016，到BC的距離記為h2016.若h1=1，則h2016的值為(　　)

　　A. B.1﹣ C. D.2﹣

　　【考點】翻折變換(折疊問題).

　　【專題】規律型.

　　【分析】根據中點的性質及折疊的性質可得DA=DA'=DB，從而可得∠ADA'=2∠B，結合折疊的性質可得∠ADA'=2∠ADE，可得∠ADE=∠B，繼而判斷DE∥BC，得出DE是△ABC的中位線，證得AA1⊥BC，得到AA1=2，求出h1=2﹣1=1，同理h2=2﹣ ，h3=2﹣ × =2﹣ ，于是經過第n次操作后得到的折痕Dn﹣1En﹣1到BC的距離hn=2﹣ ，求得結果h2016=2﹣ .

　　【解答】解：連接AA1.

　　由折疊的性質可得：AA1⊥DE，DA=DA1，

　　又∵D是AB中點，

　　∴DA=DB，

　　∴DB=DA1，

　　∴∠BA1D=∠B，

　　∴∠ADA1=2∠B，

　　又∵∠ADA1=2∠ADE，

　　∴∠ADE=∠B，

　　∴DE∥BC，

　　∴AA1⊥BC，

　　∴AA1=2，

　　∴h1=2﹣1=1，

　　同理，h2=2﹣ ，h3=2﹣ × =2﹣

　　…

　　∴經過第n次操作后得到的折痕Dn﹣1En﹣1到BC的距離hn=2﹣ .

　　∴h2016=2﹣ .

　　故選：D.

　　【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質，三角形中位線的性質，平行線等分線段定理，找出規律是解題的關鍵.

　　二、填空題(每小題4分，共20分)

　　13.方程(x+2)(x﹣3)=x+2的解是　x1=﹣2，x2=4　.

　　【考點】解一元二次方程-因式分解法.

　　【分析】先移項，再提取公因式，求出x的值即可.

　　【解答】解：原式可化為(x+2)(x﹣3)﹣(x+2)=0，

　　提取公因式得，(x+2)(x﹣4)=0，

　　故x+2=0或x﹣4=0，解得x1=﹣2，x2=4.

　　故答案為：x1=﹣2，x2=4.

　　【點評】本題考查的是解一元二次方程，熟知因式分解法解一元二次方程的一般步驟是解答此題的關鍵.

　　14.二次函數y=x2﹣2x+3的最小值是　2　.

　　【考點】二次函數的最值.

　　【分析】把函數的解析式化為頂點式的形式即可解答.

　　【解答】解：∵二次函數y=x2﹣2x+3可化為y=(x﹣1)2+2的形式，

　　∴二次函數y=x2﹣2x+3的最小值是2.

　　【點評】本題由于函數的二次項系數較小，所以可把函數解析式化為頂點式即y=a(x+h)2+k的形式解答.

　　15.△ABC與△DEF位似，位似中心為點O，且△ABC的面積等于△DEF面積的，則AB：DE=　2：3　.

　　【考點】位似變換.

　　【分析】由△ABC經過位似變換得到△DEF，點O是位似中心，根據位似圖形的性質，即可得AB∥DE，即可求得△ABC的面積：△DEF面積= ，得到AB：DE═2：3.

　　【解答】解：∵△ABC與△DEF位似，位似中心為點O，

　　∴△ABC∽△DEF，

　　∴△ABC的面積：△DEF面積=( )2= ，

　　∴AB：DE=2：3，

　　故答案為：2：3.

　　【點評】此題考查了位似圖形的性質.注意掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其對應的面積比等于相似比的平方.

　　16.A，B，C三點在⊙O上，且AB是⊙O的直徑，半徑OD⊥AC，垂足為F，若∠A=30°，OF=3，則BC=　6　.

　　【考點】三角形中位線定理;垂徑定理;圓周角定理;特殊角的三角函數值.

　　【分析】根據垂徑定理和30°的角易得圓的半徑為2OF，即可求得直徑;易得∠C為90°，那么BC等于直徑AB的一半.

　　【解答】解：∵OD⊥AC，垂足為F

　　∴△AFO是直角三角形，∠A=30°

　　∴OA=2OF=2×3=6

　　∴AB=2×6=12

　　又∵AB是圓的直徑，∠ACB為圓周角

　　∴∠ACB=90°

　　在Rt△ABC中，A=30°

　　∴BC= AB= ×12=6.

　　【點評】本題涉及面較廣，涉及垂徑定理以及特殊角的三角函數.

　　17.在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，斜邊AB=2，O是AB的中點，以O為圓心，線段OC的長為半徑畫圓心角為90°的扇形OEF，弧EF經過點C，則圖中陰影部分的面積為　 ﹣ 　.

　　【考點】扇形面積的計算.

　　【分析】連接OC，作OM⊥BC，ON⊥AC，證明△OMG≌△ONH，則S四邊形OGCH=S四邊形OMCN，求得扇形FOE的面積，則陰影部分的面積即可求得.

　　【解答】解：連接OC，作OM⊥BC，ON⊥AC.

　　∵CA=CB，∠ACB=90°，點O為AB的中點，

　　∴OC= AB=1，四邊形OMCN是正方形，OM= .

　　則扇形FOE的面積是： = .

　　∵OA=OB，∠AOB=90°，點D為AB的中點，

　　∴OC平分∠BCA，

　　又∵OM⊥BC，ON⊥AC，

　　∴OM=ON，

　　∵∠GOH=∠MON=90°，

　　∴∠GOM=∠HON，

　　則在△OMG和△ONH中，

　　，

　　∴△OMG≌△ONH(AAS)，

　　∴S四邊形OGCH=S四邊形OMCN=( )2= .

　　則陰影部分的面積是： ﹣ .

　　故答案為： ﹣ .

　　【點評】本題考查了三角形的全等的判定與扇形的面積的計算的綜合題，正確證明△OMG≌△ONH，得到S四邊形OGCH=S四邊形OMCN是解題的關鍵.

　　三、解答題(共64分)

　　18.閱讀材料：如果是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根，那么x1+x2=﹣ ，x1x2= ，這就是著名的韋達定理.現在我們利用韋達定理解決問題：

　　已知m與n是方程2x2﹣6x+3=0的兩根

　　(1)填空：m+n=　3　，m•n=　　;

　　(2)計算與m2+n2的值.

　　【考點】根與系數的關系.

　　【專題】計算題.

　　【分析】(1)直接根據根與系數的關系求解;

　　(2)先利用代數式變形得到) = ，m2+n2=(m+n)2﹣2mn，然后利用整體代入的方法計算.

　　【解答】解：(1)m+n=﹣ =3，mn= ;

　　故答案為3， ;

　　(2) = = =2;

　　m2+n2=(m+n)2﹣2mn=32﹣2× =6.

　　【點評】本題考查了根與系數的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根時，x1+x2=﹣ ，x1x2= .

　　19.為了參加中考體育測試，甲、乙、丙三位同學進行足球傳球訓練，球從一個人腳下隨機傳到另一個人腳下，且每位傳球人傳給其余兩人的機會是均等的，由甲開始傳球，共傳球三次.

　　(1)請利用樹狀圖列舉出三次傳球的所有可能情況;

　　(2)求三次傳球后，球回到甲腳下的概率;

　　(3)三次傳球后，球回到甲腳下的概率大還是傳到乙腳下的概率大?

　　【考點】列表法與樹狀圖法.

　　【分析】(1)畫出樹狀圖，

　　(2)根據(1)的樹形圖，利用概率公式列式進行計算即可得解;

　　(3)分別求出球回到甲腳下的概率和傳到乙腳下的概率，比較大小即可.

　　【解答】解：(1)根據題意畫出樹狀圖如下：

　　由樹形圖可知三次傳球有8種等可能結果;

　　(2)由(1)可知三次傳球后，球回到甲腳下的概率= ;

　　(3)由(1)可知球回到甲腳下的概率= ，傳到乙腳下的概率= ，

　　所以球回到乙腳下的概率大.

　　【點評】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件;樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件.

　　20.據某市車管部門統計，2013年底全市汽車擁有量為150萬輛，而截至到2015年底，全市的汽車擁有量已達216萬輛，假定汽車擁有量年平均增長率保持不變.

　　(1)求年平均增長率;

　　(2)如果不加控制，該市2017年底汽車擁有量將達多少萬輛?

　　【考點】一元二次方程的應用.

　　【分析】(1)假設出平均增長率為x，可以得出2013年該市汽車擁有量為150(1+x)，2015年為150(1+x)(1+x)=216，即150(1+x)2=216，進而求出具體的值;

　　(2)結合上面的數據2017應該在2015年的基礎上增長，而且增長率相同，同理，即為216(1+20%)2.

　　【解答】解：設該市汽車擁有量的年平均增長率為x.

　　根據題意，得150(1+x)2=216.

　　解得：x=0.2或x=﹣2.2(不合題意，舍去).

　　∴年平均增長率為20%.

　　(2)216(1+20%)2=311.04(萬輛).

　　答：如果不加控制，該市2017年底汽車擁有量將達311.04萬輛.

　　【點評】此題主要考查了一元二次方程的應用，以及增長率問題，正確表示出每一年的擁有汽車輛數，是解決問題的關鍵.

　　21.在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC交于點D，E，過點D作⊙O的切線DF，交AC于點F.

　　(1)求證：DF⊥AC;

　　(2)若⊙O的半徑為4，∠CDF=22.5°，求陰影部分的面積.

　　【考點】切線的性質;扇形面積的計算.

　　【分析】(1)連接OD，易得∠ABC=∠ODB，由AB=AC，易得∠ABC=∠ACB，等量代換得∠ODB=∠ACB，利用平行線的判定得OD∥AC，由切線的性質得DF⊥OD，得出結論;

　　(2)連接OE，利用(1)的結論得∠ABC=∠ACB=67.5°，易得∠BAC=45°，得出∠AOE=90°，利用扇形的面積公式和三角形的面積公式得出結論.

　　【解答】(1)證明：連接OD，

　　∵OB=OD，

　　∴∠ABC=∠ODB，

　　∵AB=AC，

　　∴∠ABC=∠ACB，

　　∴∠ODB=∠ACB，

　　∴OD∥AC，

　　∵DF是⊙O的切線，

　　∴DF⊥OD，

　　∴DF⊥AC.

　　(2)解：連接OE，

　　∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，

　　∴∠ABC=∠ACB=67.5°，

　　∴∠BAC=45°，

　　∵OA=OE，

　　∴∠AOE=90°，

　　∵⊙O的半徑為4，

　　∴S扇形AOE=4π，S△AOE=8 ，

　　∴S陰影=4π﹣8.

　　【點評】本題主要考查了切線的性質，扇形的面積與三角形的面積公式，圓周角定理等，作出適當的輔助線，利用切線性質和圓周角定理，數形結合是解答此題的關鍵.

　　22.某食品零售店為儀器廠代銷一種面包，未售出的面包可退回廠家，以統計銷售情況發現，當這種面包的單價定為7角時，每天賣出160個.在此基礎上，這種面包的單價每提高1角時，該零售店每天就會少賣出20個.考慮了所有因素后該零售店每個面包的成本是5角.

　　設這種面包的單價為x(角)，零售店每天銷售這種面包所獲得的利潤為y(角).

　　(1)用含x的代數式分別表示出每個面包的利潤與賣出的面包個數;

　　(2)求y與x之間的函數關系式;

　　(3)當面包單價定為多少時，該零售店每天銷售這種面包獲得的利潤最大?最大利潤為多少?

　　【考點】二次函數的應用.

　　【專題】壓軸題.

　　【分析】(1)設每個面包的利潤為(x﹣5)角.

　　(2)依題意可知y與x的函數關系式.

　　(3)把函數關系式用配方法可解出x=10時y有最大值.

　　【解答】解：(1)每個面包的利潤為(x﹣5)角

　　賣出的面包個數為[160﹣(x﹣7)×20])

　　(2)y=(x﹣5)=﹣20x2+400x﹣1500

　　即y=﹣20x2+400x﹣1500

　　(3)y=﹣20x2+400x﹣1500=﹣20(x﹣10)2+500

　　∴當x=10時，y的最大值為500.

　　∴當每個面包單價定為10角時，該零售店每天獲得的利潤最大，最大利潤為500角.

　　【點評】求二次函數的最大(小)值有三種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法，常用的是后兩種方法.本題難度一般.

　　23.在△ABC中，AB=AC，點P、D分別是BC、AC邊上的點，且∠APD=∠B.

　　(1)求證：AC•CD=CP•BP;

　　(2)若AB=10，BC=12，當PD∥AB時，求BP的長.

　　【考點】相似三角形的判定與性質.

　　【分析】(1)易證∠APD=∠B=∠C，從而可證到△ABP∽△PCD，即可得到 = ，即AB•CD=CP•BP，由AB=AC即可得到AC•CD=CP•BP;

　　(2)由PD∥AB可得∠APD=∠BAP，即可得到∠BAP=∠C，從而可證到△BAP∽△BCA，然后運用相似三角形的性質即可求出BP的長.

　　【解答】解：(1)∵AB=AC，∴∠B=∠C.

　　∵∠APD=∠B，∴∠APD=∠B=∠C.

　　∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC，

　　∴∠BAP=∠DPC，

　　∴△ABP∽△PCD，

　　∴ = ，

　　∴AB•CD=CP•BP.

　　∵AB=AC，

　　∴AC•CD=CP•BP;

　　(2)∵PD∥AB，∴∠APD=∠BAP.

　　∵∠APD=∠C，∴∠BAP=∠C.

　　∵∠B=∠B，

　　∴△BAP∽△BCA，

　　∴ = .

　　∵AB=10，BC=12，

　　∴ = ，

　　∴BP= .

　　【點評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質、等腰三角形的性質、平行線的性質、三角形外角的性質等知識，把證明AC•CD=CP•BP轉化為證明AB•CD=CP•BP是解決第(1)小題的關鍵，證到∠BAP=∠C進而得到△BAP∽△BCA是解決第(2)小題的關鍵.

　　24.二次函數y=ax2+bx﹣3的圖象與x軸交于A(﹣1，0)，B(3，0)兩點，與y軸交于點C，該拋物線的頂點為M.

　　(1)求該拋物線的解析式及點M的坐標;

　　(2)判斷△BCM的形狀，并說明理由;

　　(3)探究坐標軸上是否存在點P，使得以點P、A、C為頂點的三角形與△BCM相似?若存在，請直接寫出點P的坐標;若不存在，請說明理由.

　　【考點】二次函數綜合題.

　　【分析】(1)已知拋物線圖象上的三點坐標，可用待定系數法求出該拋物線的解析式;

　　(2)根據B、C、M的坐標，可求得△BCM三邊的長，然后判斷這三條邊的長是否符合勾股定理即可;

　　(3)假設存在符合條件的P點;首先連接AC，根據A、C的坐標及(2)題所得△BDC三邊的比例關系，即可判斷出點O符合P點的要求，因此以P、A、C為頂點的三角形也必與△COA相似，那么分別過A、C作線段AC的垂線，這兩條垂線與坐標軸的交點也符合點P點要求，可根據相似三角形的性質(或射影定理)求得OP的長，也就得到了點P的坐標.

　　【解答】解：(1)∵二次函數y=ax2+bx﹣3的圖象與x軸交于A(﹣1，0)，B(3，0)兩點，

　　∴ ，

　　解得：，

　　則拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3;

　　(2)△BCM為直角三角形，理由為：

　　對于拋物線解析式y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4，即頂點M坐標為(1，﹣4)，

　　令x=0，得到y=﹣3，即C(0，﹣3)，

　　根據勾股定理得：BC=3 ，BM=2 ，CM= ，

　　∵BM2=BC2+CM2，

　　∴△BCM為直角三角形;

　　(3)若∠APC=90°，即P點和O點重合，如圖1，

　　連接AC，