九年級數學秋季學期期末試題

　　…

　　根據探究請用m的代數式表示線段n的取值范圍：　

　　[拓廣探究]

　　由二維的平面我們可以聯想到三維的立體空間，類比上面問題解決的方法解決如下問題.

　　問題(1)：把棱長為4個單位長的大正方體，切成棱長為1個單位小正方體，允許邊切邊調動，最少要切　6　次.

　　問題(2)：把棱長為8個單位長的大正方體，切成棱長為1個單位小正方體，允許邊切邊調動，最少要切　9　次，

　　問題(3)：把棱長為n (n 為正整數) 個單位長的大正方體，切成邊長為1個單位小正方體，允許邊切邊調動，最少要切　 ，n≤ 　次.

　　請用m的代數式表示線段n的取值范圍：　

　　【分析】解決此題的關鍵之一是熟悉截取線段的過程，得出n與m的數量關系，其次是截取二維平面圖形，三維立體圖形次數之間的關系.

　　【解答】解：由截取一維線段所得到的圖標可知當8

　　故答案是：8.

　　然后觀察左列n的值與右列m的值的關系可以得到2m﹣1

　　故答案是：2m﹣1

　　當n=1180時，通過計算可知符合條件的m的值等于11.

　　故答案是11.

　　熟悉了截取的過程很容易得到當n的值相等時，截取二維圖形的次數是一維圖形的次數的2倍，截取三維圖形的次數是截取一維線段的次數的三倍.

　　當8

　　故答案是：8.

　　截取一維線段時用m的代數式表示線段n的取值范圍：2m﹣1

　　所以，截取二維圖片時，m的代數式表示線段n的取值范圍是：

　　同理，截取三維立體圖形時，n為4時，要切6次，故答案是：6.

　　n為8時，要切9次，故答案時9.

　　用m的代數式表示線段n的取值范圍：

　　故答案是

　　【點評】熟悉截取線段的方法和截取過程，仔細觀察線段長度和截取次數的關系，然后找到截取不同的圖形，當邊長相等時，截取次數的關系是解決問題的關鍵.

　　24.(12分)如圖，在平行四邊形ABCD中，AC⊥BC，AB=10.AC=6.動點P在線段BC上從點B出發沿BC方向以每秒1個單位長的速度勻速運動;動點Q在線段DC上從點D出發沿DC 的力向以每秒1個單位長的速度勻速運動，過點P作PE⊥BC.交線段AB于點E.若P、Q兩點同時出發，當其中一點到達終點時整個運動隨之停止，設運動時間為t秒.

　　(1)當t為何值時，QE∥BC?

　　(2)設△PQE的面積為S，求出S與t的函數關系式：

　　(3)是否存在某一時刻t，使得△PQE的面積S最大?若存在，求出此時t的值; 若不存在，請說明理由.

　　(4)是否存在某一時刻t，使得點Q在線段EP的垂直平分線上?若存在，求出此時t的值;若不存在，請說明理由.

　　【分析】(1)先用勾股定理求出BC，進而得出CD=AB=10，利用銳角三角函數得出∠B的相關三角函數，再判斷出△CGQ∽△CAD，利用得出的比例式建立方程即可得出結論;

　　(2)同(1)的方法，利用三角函數求出CH，QH，最后利用面積的差即可得出結論;

　　(3)借助(2)的結論即可得出結論;

　　(4)先由垂直平分線得出PM= t，再表示出CN，用PM=CN建立方程即可得出結論.

　　【解答】解：(1)如圖1，記EQ與AC的交點為G，

　　∵AC⊥BC，

　　∴∠ACB=90°，

　　在Rt△ABC中，AB=10，AC=6，

　　根據勾股定理得，BC=8，

　　tanB= = ，

　　∵四邊形ABCD是平行四邊形，

　　∴CD=AB=10，AD=BC=8，

　　由運動知，BP=t，DQ=t，

　　∴PC=8﹣t，CQ=10﹣t，

　　∵PE⊥BC，

　　∴∠BPE=90°，

　　在Rt△BPE中，sinB= ，cosB= ，tanB= = = ，

　　∴PE= t，

　　∵EQ∥BC，

　　∴∠PEQ=∠BPE=90°，

　　∴四邊形CPEG是矩形，

　　∴CG=PE= t，

　　∵EQ∥BC，

　　∴△CGQ∽△CAD，

　　∴ ，

　　∴ .

　　∴t= ;

　　(2)如圖2，

　　過點Q作QH⊥BC交BC的延長線于H，

　　∵四邊形ABCD是平行四邊形，

　　∴AB∥CD，

　　∴∠DCH=∠B，

　　在Rt△CHQ中，sin∠QCH= = = ，

　　∴QH= (10﹣t)，cos∠HCQ= = = ，

　　∴CH= (10﹣t)，

　　∴PH=PC+CH=8﹣t+ (10﹣t)=16﹣ t，

　　∴S=S梯形QHPE﹣S△QPH= [ (10﹣t)+ t]×(16﹣ t)﹣ ×(16﹣ t)× (10﹣t)=﹣ (t﹣ )2+ ，

　　∵點E在線段AB上，

　　∴點P在線段BC上，

　　∴0

　　點Q在CD上，

　　∴0

　　∴0

　　即：S=﹣ (t﹣ )2+ (0

　　(3)由(2)知，S=﹣ (t﹣ )2+ (0

　　∴t= 時，S最大= ;

　　(4)如圖3，

　　過點Q作QM⊥PE于M，交AC于N，

　　∵點Q在線段EP的垂直平分線上，

　　∴PM= PE= t，

　　同(2)的方法得，CN= (10﹣t)，

　　易知，四邊形PCNM是矩形，

　　∴PM=CN，

　　∴ t= (10﹣t)，

　　∴t= .

　　關于九年級數學上學期期末試卷

　　一、選擇題(本大題共6小題，每小題3分，共18分。每小題只有一個正確選項，請將這個正確的選項填在下面的表格中)

　　1.如圖所示的幾何體的俯視圖是(　　)

　　A. B.

　　C. D.

　　2.一元二次方程x2+4x=5配方后可變形為(　　)

　　A.(x+2)2=5 B.(x+2)2=9 C.(x﹣2)2=9 D.(x﹣2)2=21

　　3.已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流I(單位：A)與電阻R(單位：Ω)是反比例函數關系，它的圖象如圖所示，則I與R的函數表達式為(　　)

　　A.I= B.I= C.I= D.I=

　　4.如圖，某班上體育課，甲、乙兩名同學分別站在C、D的位置時，乙的影子DA恰好與甲影子CA在同一條直線上，已知甲身高1.8米，乙身高1.5米，甲的影長是6米，則甲、乙兩同學相距(　　)米.

　　A.1 B.2 C.3 D.5

　　5.一次函數y=ax+b與反比例函數y= ，其中ab<0，a、b為常數，它們在同一坐標系中的圖象可以是(　　)

　　A. B.

　　C. D.

　　6.如圖，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD中點，BE交AC于點F，DF的長為(　　)

　　A. B. C. D.

　　二、填空題(每小題3分，共18分)

　　7.若關于x的方程x2+3x+k=0的一個根是1，則k的值為　 　.

　　8.某幾何體的三視圖如圖所示，則組成該幾何體的小正方體的個數是　 　.

　　9.某種商品的標價為400元/件，經過兩次降價后的價格為324元/件，并且兩次降價的百分率相同，則該商品每次降價的百分率為　 　.

　　10.關于x的方程(a﹣5)x2﹣4x﹣1=0有實數根，則a滿足　 　.

　　11.如圖，反比例函數y= (k≠0，x>0)的圖象經過矩形OABC的對角線AC的中點D，若矩形OABC的面積32，則k的值為　 　.

　　12.如圖，在菱形ABCD中，∠B=60°，BC=6，E為BC中點，F是AB上一點，G為AD上一點，且BF=2，∠FEG=60°，EG交AC于點H，下列結論正確的是　 　.(填序號即可)

　　①△BEF∽△CHE

　　②AG=1

　　③EH=

　　④S△BEF=3S△AGH

　　三、解答題(本大題共5小題，每小題6分，共計30分)

　　13.用公式法解一元二次方程：2x2﹣7x+6=0.

　　14.如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，D是AB的中點，AE∥CD，AC∥ED，求證：四邊形ACDE是菱形.

　　15.如圖，在矩形ABCD中，M是BC中點，請你僅用無刻度直尺按要求作圖.

　　(1)在圖1中，作AD的中點P;

　　(2)在圖2中，作AB的中點Q.

　　16.已知關于x的一元二次方程x2﹣(k+2)x+2k=0.

　　(1)求證：無論k取何值，原方程總有實數根;

　　(2)若原方程的兩實根都小于4，且k為正整數，直接寫出k的值.

　　17.小樂放學回家看到桌上有一盤包子，其中有豆沙包、肉包各1個，蘿卜包2個，這些包子除餡外無其他差別.

　　(1)小樂隨機地從盤子中取出一個包子，取出的是肉包的概率是多少?

　　(2)請用樹狀圖或表格表示小樂隨機地從盤中取出兩個包子的所有可能結果，并求取出的兩個包子都是蘿卜包的概率.

　　四、解答題(本大題共3小題，每小題8分，共24分)

　　18.如圖，鄭明同學站在A處，測得他在路燈OC下影子AP的長與他的身高相等，都為1.5m，他向路燈方向走1m到B處時發現影子剛好落在A點.

　　(1)請在圖中畫出形成影子的光線，并確定光源O的位置;

　　(2)求路燈OC的高.

　　19.如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC三個頂點的坐標分別是A(2，2)，B(3，0)，C(1，﹣1)，AC交x軸于點P.

　　(1)∠ACB的度數為　 　;

　　(2)P點坐標為　 　;

　　(3)以點O為位似中心，將△ABC放大為原來的2倍，請在圖中畫出所有符合條件的三角形.

　　20.某工廠設計了一款成本為20元/件的工藝品投放市場進行試銷，經過調查，得到如下數據：

　　銷售單價x(元∕件) … 30 40 50 60 …

　　每天銷售量y(件) … 500 400 300 200 …

　　(1)研究發現，每天銷售量y與單價x滿足一次函數關系，求出y與x的關系式;

　　(2)當地物價部門規定，該工藝品銷售單價最高不能超過45元/件，那么銷售單價定為多少時，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤8000元?

　　五、解答題(本大題共2小題，每小題9分，共18分)

　　21.如圖，已知矩形ABCD和▱BCEF，AF=BE，AF與BE交于點G，∠AGB=60°.

　　(1)求證：AF=DE;

　　(2)若AB=6，BC=8，求AF.

　　22.如圖，已知一次函數y= x﹣3與反比例函數y= 的圖象相交于點A(4，n)，與x軸相交于點B.

　　(1)填空：n的值為　 　，k的值為　 　;

　　(2)以AB為邊作菱形ABCD，使點C在x軸正半軸上，點D在第一象限，求點D的坐標;

　　(3)觀察反比例函數y= 的圖象，當y≥﹣3時，請直接寫出自變量x的取值范圍.

　　六、解答題(本大題共12分)

　　23.閱讀下列材料，并按要求解答.

　　【模型介紹】

　　如圖①，C是線段A、B上一點E、F在AB同側，且∠A=∠B=∠ECF=90°，看上去像一個“K“，我們稱圖①為“K”型圖.

　　【性質探究】

　　性質1：如圖①，若EC=FC，△ACE≌△BFC

　　性質2：如圖①，若EC≠FC，△ACE～△BFC且相似比不為1.

　　【模型應用】

　　應用1：如圖②，在四邊形ABCD中，∠ADC=90°，AD=1，CD=2，BC=2 ，AB=5.求BD.

　　應用2：如圖③，已知△ABC，分別以AB、AC為邊向外作正方形ABGF、正方形ACDE，AH⊥BC，連接EF.交AH的反向延長線于點K，證明：K為EF中點.

　　(1)請你完成性質1的證明過程;

　　(2)請分別解答應用1，應用2提出的問題.

　　參考答案與試題解析

　　一、選擇題(本大題共6小題，每小題3分，共18分。每小題只有一個正確選項，請將這個正確的選項填在下面的表格中)

　　1.如圖所示的幾何體的俯視圖是(　　)

　　A. B.

　　C. D.

　　【分析】根據俯視圖的作法即可得出結論.

　　【解答】解：從上往下看該幾何體的俯視圖是D.

　　故選：D.

　　【點評】本題考查的是簡單幾何體的三視圖，熟知俯視圖的作法是解答此題的關鍵.

　　2.一元二次方程x2+4x=5配方后可變形為(　　)

　　A.(x+2)2=5 B.(x+2)2=9 C.(x﹣2)2=9 D.(x﹣2)2=21

　　【分析】兩邊配上一次項系數一半的平方可得.

　　【解答】解：∵x2+4x=5，

　　∴x2+4x+4=5+4，即(x+2)2=9，

　　故選：B.

　　【點評】本題主要考查解一元二次方程的基本技能，熟練掌握解一元二次方程的常用方法和根據不同方程靈活選擇方法是解題的關鍵.

　　3.已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流I(單位：A)與電阻R(單位：Ω)是反比例函數關系，它的圖象如圖所示，則I與R的函數表達式為(　　)

　　A.I= B.I= C.I= D.I=

　　【分析】根據函數圖象可用電阻R表示電流I的函數解析式為I= ，再把(6，2)代入可得k的值，進而可得函數解析式.

　　【解答】解：設用電阻R表示電流I的函數解析式為I= ，

　　∵過(6，2)，

　　∴k=6×2=12，

　　∴I= ，

　　故選：A.

　　【點評】此題主要考查了待定系數法求反比例函數解析式，關鍵是掌握凡是函數圖象經過的點必能滿足解析式.

　　4.如圖，某班上體育課，甲、乙兩名同學分別站在C、D的位置時，乙的影子DA恰好與甲影子CA在同一條直線上，已知甲身高1.8米，乙身高1.5米，甲的影長是6米，則甲、乙兩同學相距(　　)米.

　　A.1 B.2 C.3 D.5

　　【分析】根據甲的身高與影長構成的三角形與乙的身高和影長構成的三角形相似，列出比例式解答.

　　【解答】解：設兩個同學相距x米，

　　∵△ADE∽△ACB，

　　∴ ，

　　∴ ，

　　解得：x=1.

　　故選：A.

　　【點評】本題考查了相似三角形的應用，根據身高與影長的比例不變，得出三角形相似，運用相似比即可解答.

　　5.一次函數y=ax+b與反比例函數y= ，其中ab<0，a、b為常數，它們在同一坐標系中的圖象可以是(　　)

　　A. B.

　　C. D.

　　【分析】根據一次函數的位置確定a、b的大小，看是否符合ab<0，計算a﹣b確定符號，確定雙曲線的位置.

　　【解答】解：A、由一次函數圖象過一、三象限，得a>0，交y軸負半軸，則b<0，

　　滿足ab<0，

　　∴a﹣b>0，

　　∴反比例函數y= 的圖象過一、三象限，

　　所以此選項不正確;

　　B、由一次函數圖象過二、四象限，得a<0，交y軸正半軸，則b>0，

　　滿足ab<0，

　　∴a﹣b<0，

　　∴反比例函數y= 的圖象過二、四象限，

　　所以此選項不正確;

　　C、由一次函數圖象過一、三象限，得a>0，交y軸負半軸，則b<0，

　　滿足ab<0，

　　∴a﹣b>0，

　　∴反比例函數y= 的圖象過一、三象限，

　　所以此選項正確;

　　D、由一次函數圖象過二、四象限，得a<0，交y軸負半軸，則b<0，

　　滿足ab>0，與已知相矛盾

　　所以此選項不正確;

　　故選：C.

　　【點評】本題考查了一次函數與反比例函數圖象與系數的關系，熟練掌握兩個函數的圖象的性質是關鍵.

　　6.如圖，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD中點，BE交AC于點F，DF的長為(　　)

　　A. B. C. D.

　　【分析】先在Rt△ABE中利用勾股定理求出BE= ，再證明△AFE∽△CFB，根據相似三角形對應邊成比例得出BF= BE= ，然后證明△ADF≌△ABF，即可得出DF=BF= .

　　【解答】解：∵在正方形ABCD中，AB=2，E是AD中點，

　　∴∠BAE=90°，AE= AD= AB=1，

　　∴BE= = .

　　∵AE∥BC，

　　∴△AFE∽△CFB，

　　∴ = = ，

　　∴BF=2EF，

　　∵BF+EF=BE，

　　∴BF= BE= .

　　在△ADF與△ABF中，

　　，

　　∴△ADF≌△ABF，

　　∴DF=BF= .

　　故選：C.

　　【點評】本題考查了正方形的性質，相似三角形、全等三角形的判定與性質，勾股定理，求出BF= BE= 是解題的關鍵.

　　二、填空題(每小題3分，共18分)

　　7.若關于x的方程x2+3x+k=0的一個根是1，則k的值為　﹣4　.

　　【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數的值.即用這個數代替未知數所得式子仍然成立.把x=1代入原方程就可以得到一個關于k的方程，解這個方程即可求出k的值.

　　【解答】解：把x=1代入方程x2+3x+k=0得到1+3+k=0，解得k=﹣4.

　　故本題答案為k=﹣4.

　　【點評】本題考查的是一元二次方程的根即方程的解的定義.

　　8.某幾何體的三視圖如圖所示，則組成該幾何體的小正方體的個數是　5　.

　　【分析】根據三視圖，該幾何體的主視圖以及俯視圖可確定該幾何體共有兩行3列，故可得出該幾何體的小正方體的個數.

　　【解答】解：綜合三視圖，我們可得出，這個幾何體的底層應該有4個小正方體，第二層應該有1個小正方體，

　　因此搭成這個幾何體的小正方體的個數為4+1=5個;

　　故答案為：5.

　　【點評】本題考查學生對三視圖掌握程度和靈活運用能力，同時也體現了對空間想象能力方面的考查.如果掌握口訣“俯視圖打地基，正視圖瘋狂蓋，左視圖拆違章”就更容易得到答案.

　　9.某種商品的標價為400元/件，經過兩次降價后的價格為324元/件，并且兩次降價的百分率相同，則該商品每次降價的百分率為　10%　.

　　【分析】設該商品每次降價的百分率為x，根據該商品的標價及經過兩次降價后的價格，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其中小于1的值即可得出結論.

　　【解答】解：設該商品每次降價的百分率為x，

　　根據題意得：400(1﹣x)2=324，

　　解得：x1=0.1=10%，x2=1.9(不合題意，舍去).

　　答：該商品每次降價的百分率為10%.

　　故答案為：10%.

　　【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵.

　　10.關于x的方程(a﹣5)x2﹣4x﹣1=0有實數根，則a滿足　a≥1　.

　　【分析】由于x的方程(a﹣5)x2﹣4x﹣1=0有實數根，那么分兩種情況：(1)當a﹣5=0時，方程一定有實數根;(2)當a﹣5≠0時，方程成為一元二次方程，利用判別式即可求出a的取值范圍.

　　【解答】解：(1)當a﹣5=0即a=5時，方程變為﹣4x﹣1=0，此時方程一定有實數根;

　　(2)當a﹣5≠0即a≠5時，

　　∵關于x的方程(a﹣5)x2﹣4x﹣1=0有實數根

　　∴16+4(a﹣5)≥0，

　　∴a≥1.

　　所以a的取值范圍為a≥1.

　　故答案為：a≥1.

　　【點評】本題考查了一元二次方程根的判別式的應用.切記不要忽略一元二次方程二次項系數不為零這一隱含條件.

　　11.如圖，反比例函數y= (k≠0，x>0)的圖象經過矩形OABC的對角線AC的中點D，若矩形OABC的面積32，則k的值為　8　.

　　【分析】過點D作DE⊥OA于點E，連接OD，由矩形的性質可知：S△AOC= S矩形OABC=16，從而可求出△ODE的面積，利用反比例函數中k的幾何意義即可求出k的值.

　　【解答】解：過點D作DE⊥OA于點E，連接OD，

　　由矩形的性質可知：S△AOC= S矩形OABC=16，

　　又∵ED是△ACO的中位線，

　　∴ED= CO，

　　∴S△ODE= S△ACO=4

　　∴ |k|=4，

　　∵k>0

　　∴k=8，

　　故答案為：8

　　【點評】本題考查反比例函數系數k的幾何意義，解題的關鍵是求出△ODE的面積，本題屬于中等題型.

　　12.如圖，在菱形ABCD中，∠B=60°，BC=6，E為BC中點，F是AB上一點，G為AD上一點，且BF=2，∠FEG=60°，EG交AC于點H，下列結論正確的是　①②③　.(填序號即可)

　　①△BEF∽△CHE

　　②AG=1

　　③EH=

　　④S△BEF=3S△AGH

　　【分析】依據∠B=∠ECH=60°，∠BEF=CHE，即可得到△BEF∽△CHE;依據△AGH∽△CEH，可得 ，即可得出AG= CE=1;過F作FP⊥BC于P，依據EF= ， ，即可得到EH= EF= ;依據S△CEH=9S△AGH，S△CEH= S△BEF，可得9S△AGH= S△BEF，進而得到S△BEF=4S△AGH.

　　【解答】解：∵菱形ABCD中，∠B=60°，∠FEG=60°，

　　∴∠B=∠ECH=60°，∠BEF=CHE=120°﹣∠CEH，

　　∴△BEF∽△CHE，故①正確;

　　∴ = ，

　　又∵BC=6，E為BC中點，BF=2，

　　∴ ，即CH=4.5，

　　又∵AC=BC=6，

　　∴AH=1.5，

　　∵AG∥CE，

　　∴△AGH∽△CEH，

　　∴ ，

　　∴AG= CE=1，故②正確;

　　如圖，過F作FP⊥BC于P，則∠BFP=30°，

　　∴BP= BF=1，PE=3﹣1=2，PF= ，

　　∴Rt△EFP中，EF= = ，

　　又∵ ，

　　∴EH= EF= ，故③正確;

　　∵AG= CE，BF= CE，△△BEF∽△CHE，△AGH∽△CEH，

　　∴S△CEH=9S△AGH，S△CEH= S△BEF，

　　∴9S△AGH= S△BEF，

　　∴S△BEF=4S△AGH，故④錯誤;

　　故答案為：①②③.

　　【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質、菱形的性質、等邊三角形的性質的綜合運用.在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發揮基本圖形的作用.

　　三、解答題(本大題共5小題，每小題6分，共計30分)

　　13.用公式法解一元二次方程：2x2﹣7x+6=0.

　　【分析】方程利用公式法求出解即可.

　　【解答】解：方程2x2﹣7x+6=0，

　　這里a=2，b=﹣7，c=6，

　　∵△=49﹣48=1，

　　∴x= ，

　　則x1=2，x2=1.5.

　　【點評】此題考查了解一元二次方程﹣公式法，熟練掌握求根公式是解本題的關鍵.

　　14.如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，D是AB的中點，AE∥CD，AC∥ED，求證：四邊形ACDE是菱形.

　　【分析】根據直角三角形斜邊上的中線的性質和等邊三角形的判定定理推知△ACD為等邊三角形，則平行四邊形ACDE是菱形.

　　【解答】證明：∵AE∥CD，AC∥ED，

　　∴四邊形ACDE是平行四邊形，

　　∵∠ACB=90°，D為AB的中點，

　　∴CD= AB=AD，

　　∵∠ACB=90°，∠B=30°，

　　∴∠CAB=60°，

　　∴△ACD為等邊三角形，

　　∴AC=CD，

　　∴平行四邊形ACDE是菱形.

　　【點評】本題考查了菱形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、直角三角形斜邊上的中線性質;熟練掌握菱形的判定與性質，證明四邊形ACDE是平行四邊形是解決問題的關鍵.

　　15.如圖，在矩形ABCD中，M是BC中點，請你僅用無刻度直尺按要求作圖.

　　(1)在圖1中，作AD的中點P;

　　(2)在圖2中，作AB的中點Q.

　　【分析】(1)連接AC、BD交于點O，作直線OM交AD于點P，點P即為所求;

　　(2)在(1)的基礎上，連接PB交AC與K，作直線DK交AB于點Q，點Q即為所求;

　　【解答】解：(1)如圖點P即為所求;

　　(2)如圖點Q即為所求;

　　【點評】本題考查作圖﹣基本作圖，矩形的性質，三角形的中線交于一點等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型.

　　16.已知關于x的一元二次方程x2﹣(k+2)x+2k=0.

　　(1)求證：無論k取何值，原方程總有實數根;

　　(2)若原方程的兩實根都小于4，且k為正整數，直接寫出k的值.

　　【分析】(1)利用根的判別式證明即可;

　　(2)利用因式分解法求出兩個解，然后根據k為正整數寫出k的值即可.

　　【解答】(1)證明：△=b2﹣4ac，

　　=(k+2)2﹣4×1×2k，

　　=k2+4k+4﹣8k，

　　=k2﹣4k+4，

　　=(k﹣2)2，

　　∵無論k取何值，(k﹣2)2≥0，

　　∴△≥0，

　　∴無論k取何值，原方程總有實數根;

　　(2)解：因式分解得，(x﹣2)(x﹣k)=0，

　　于是得，x﹣2=0，x﹣k=0，

　　x1=2，x2=k，

　　∵原方程的兩實根都小于4，

　　∴k<4，

　　∵k為正整數，

　　∴k=1、2、3.

　　【點評】本題考查了一元二次方程根的判別式，因式分解法解一元二次方程，難點在于(2)求出方程的兩個根.

　　17.小樂放學回家看到桌上有一盤包子，其中有豆沙包、肉包各1個，蘿卜包2個，這些包子除餡外無其他差別.

　　(1)小樂隨機地從盤子中取出一個包子，取出的是肉包的概率是多少?

　　(2)請用樹狀圖或表格表示小樂隨機地從盤中取出兩個包子的所有可能結果，并求取出的兩個包子都是蘿卜包的概率.

　　【分析】(1)直接利用概率公式求出取出的是肉包的概率;

　　(2)直接列舉出所有的可能，進而利用概率公式求出答案.

　　【解答】解：(1)∵有豆沙包、肉包各1個，蜜棗包2個，

　　∴隨機地從盤中取出一個粽子，取出的是肉包的概率是： ;

　　(2)如圖所示：

　　，

　　一共有12種可能，取出的兩個都是蘿卜包的有2種，

　　故取出的兩個都是蘿卜包概率為： = .

　　【點評】此題主要考查了樹狀圖法求概率，正確列舉出所有的可能是解題關鍵.

　　四、解答題(本大題共3小題，每小題8分，共24分)

　　18.如圖，鄭明同學站在A處，測得他在路燈OC下影子AP的長與他的身高相等，都為1.5m，他向路燈方向走1m到B處時發現影子剛好落在A點.

　　(1)請在圖中畫出形成影子的光線，并確定光源O的位置;

　　(2)求路燈OC的高.

　　【分析】(1)作射線PE，AF交于點O，點O即為所求;

　　(2)設OC=x.由AE∥OC，可得 = ，推出PC=x，AC=x﹣1.5，再由BF∥OC，可得 = ，由此構建方程即可解決問題;

　　【解答】解：(1)光源O的位置如圖所示;

　　(2)設OC=x.

　　∵AE∥OC，

　　∴ = ，

　　∴ = ，

　　∴PC=x，

　　∴AC=x﹣1.5，

　　∵BF∥OC，

　　∴ = ，

　　∴ = ，

　　∴x=4.5，

　　答：路燈OC的高為4.5米.

　　【點評】本題考查相似三角形的應用、中心投影、平行線分線段成比例定理等知識，解題的關鍵是學會利用參數構建方程解決問題，屬于中考常考題型.

　　19.如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC三個頂點的坐標分別是A(2，2)，B(3，0)，C(1，﹣1)，AC交x軸于點P.

　　(1)∠ACB的度數為　45°　;

　　(2)P點坐標為　( ，0)　;

　　(3)以點O為位似中心，將△ABC放大為原來的2倍，請在圖中畫出所有符合條件的三角形.

　　【分析】(1)由題意得到三角形ABC為等腰直角三角形，即可確定出所求角度數;

　　(2)利用待定系數法求出直線AC解析式，即可確定出P坐標;

　　(3)以為位似中心，將△ABC放大為原來的2倍，畫出相應圖形，如圖所示.

　　【解答】解：(1)∵∠ABC=90°，AB=CB= ，

　　∴△ABC為等腰直角三角形，

　　∴∠ACB=45°;

　　故答案為：45°;

　　(2)由題意得：A(2，2)，C(1，﹣1)，

　　設直線AC解析式為y=kx+b，

　　把A與C坐標代入得： ，

　　解得： ，即直線AC解析式為y=3x﹣4，

　　令y=0，得到x= ，

　　則P的坐標為( ，0);

　　故答案為：( ，0);

　　(3)如圖所示：△A1B1C1和△A2B2C2為所求三角形.

　　【點評】此題考查了作圖﹣位似變換，待定系數法求一次函數解析式，以及等腰三角形的判定與性質，熟練掌握各自的性質是解本題的關鍵.

　　20.某工廠設計了一款成本為20元/件的工藝品投放市場進行試銷，經過調查，得到如下數據：

　　銷售單價x(元∕件) … 30 40 50 60 …

　　每天銷售量y(件) … 500 400 300 200 …

　　(1)研究發現，每天銷售量y與單價x滿足一次函數關系，求出y與x的關系式;

　　(2)當地物價部門規定，該工藝品銷售單價最高不能超過45元/件，那么銷售單價定為多少時，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤8000元?

　　【分析】(1)利用待定系數法求解可得;

　　(2)根據“總利潤=單件利潤×銷售量”可得關于x的一元二次方程，解之即可得.

　　【解答】解：(1)設y=kx+b，

　　根據題意可得 ，

　　解得： ，

　　則y=﹣10x+800;

　　(2)根據題意，得：(x﹣20)(﹣10x+800)=8000，

　　整理，得：x2﹣100x+2400=0，

　　解得：x1=40，x2=60，

　　∵銷售單價最高不能超過45元/件，

　　∴x=40，

　　答：銷售單價定為40元/件時，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤8000元.

　　【點評】本題主要考查一元二次方程的應用，解題的關鍵是熟練掌握待定系數法求函數解析式及找到題目蘊含的相等關系.

　　五、解答題(本大題共2小題，每小題9分，共18分)

　　21.如圖，已知矩形ABCD和▱BCEF，AF=BE，AF與BE交于點G，∠AGB=60°.

　　(1)求證：AF=DE;

　　(2)若AB=6，BC=8，求AF.

　　【分析】(1)欲證明AF=DE，只要證明四邊形ADEF是平行四邊形即可;

　　(2)連接BD.利用勾股定理求出BD，再證明△BDE是等邊三角形即可;

　　【解答】(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，

　　∴AD∥BC，AD=BC，

　　∵四邊形BCEF是平行四邊形，

　　∴BC∥EF，BC=EF，

　　∴AD=EF，AD∥EF，

　　∴四邊形ADEF是平行四邊形，

　　∴AF=DE.

　　(2)連接BD.

　　∵四邊形ABCD是矩形，

　　∴∠BCD=90°，CD=AB=6，

　　∵BC=8，

　　∴BD= =10，

　　∵四邊形ADEF是平行四邊形，

　　∴AF∥DE，

　　∴∠AGB=∠BED=60°，

　　∵AF=DE=BE，

　　∴△BDE是等邊三角形，

　　∴AF=BE=BD=10.

　　【點評】本題考查矩形的性質、全等三角形的判定和性質、平行四邊形的判定和性質、等邊三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型.

　　22.如圖，已知一次函數y= x﹣3與反比例函數y= 的圖象相交于點A(4，n)，與x軸相交于點B.

　　(1)填空：n的值為　3　，k的值為　12　;

　　(2)以AB為邊作菱形ABCD，使點C在x軸正半軸上，點D在第一象限，求點D的坐標;

　　(3)觀察反比例函數y= 的圖象，當y≥﹣3時，請直接寫出自變量x的取值范圍.

　　【分析】(1)把點A(4，n)代入一次函數y= x﹣3，得到n的值為3;再把點A(4，3)代入反比例函數y= ，得到k的值為12;

　　(2)根據坐標軸上點的坐標特征可得點B的坐標為(2，0)，過點A作AE⊥x軸，垂足為E，過點D作DF⊥x軸，垂足為F，根據勾股定理得到AB= ，根據AAS可得△ABE≌△DCF，根據菱形的性質和全等三角形的性質可得點D的坐標;

　　(3)根據反比例函數的性質即可得到當y≥﹣3時，自變量x的取值范圍.

　　【解答】解：(1)把點A(4，n)代入一次函數y= x﹣3，

　　可得n= ×4﹣3=3;

　　把點A(4，3)代入反比例函數y= ，

　　可得3= ，

　　解得k=12.

　　故答案為：3，12.

　　(2)∵一次函數y= x﹣3與x軸相交于點B，

　　∴ x﹣3=0，

　　解得x=2，

　　∴點B的坐標為(2，0)，

　　如圖，過點A作AE⊥x軸，垂足為E，

　　過點D作DF⊥x軸，垂足為F，

　　∵A(4，3)，B(2，0)，

　　∴OE=4，AE=3，OB=2，

　　∴BE=OE﹣OB=4﹣2=2，

　　在Rt△ABE中，

　　AB= = = ，

　　∵四邊形ABCD是菱形，

　　∴AB=CD=BC= ，AB∥CD，

　　∴∠ABE=∠DCF，

　　∵AE⊥x軸，DF⊥x軸，

　　∴∠AEB=∠DFC=90°，

　　在△ABE與△DCF中，

　　，

　　∴△ABE≌△DCF(ASA)，

　　∴CF=BE=2，DF=AE=3，

　　∴OF=OB+BC+CF=2+ +2=4+ ，

　　∴點D的坐標為(4+ ，3).

　　(3)當y=﹣3時，﹣3= ，

　　解得x=﹣4.

　　故當y≥﹣3時，自變量x的取值范圍是x≤﹣4或x>0.

　　【點評】本題屬于反比例函數綜合題，考查了待定系數法求函數解析式，菱形的性質和全等三角形的判定和性質，勾股定理，反比例函數的性質等知識，求反比例函數與一次函數的交點坐標，把兩個函數關系式聯立成方程組求解即可.

　　六、解答題(本大題共12分)

　　23.閱讀下列材料，并按要求解答.

　　【模型介紹】

　　如圖①，C是線段A、B上一點E、F在AB同側，且∠A=∠B=∠ECF=90°，看上去像一個“K“，我們稱圖①為“K”型圖.

　　【性質探究】

　　性質1：如圖①，若EC=FC，△ACE≌△BFC

　　性質2：如圖①，若EC≠FC，△ACE～△BFC且相似比不為1.

　　【模型應用】

　　應用1：如圖②，在四邊形ABCD中，∠ADC=90°，AD=1，CD=2，BC=2 ，AB=5.求BD.

　　應用2：如圖③，已知△ABC，分別以AB、AC為邊向外作正方形ABGF、正方形ACDE，AH⊥BC，連接EF.交AH的反向延長線于點K，證明：K為EF中點.

　　(1)請你完成性質1的證明過程;

　　(2)請分別解答應用1，應用2提出的問題.

　　【分析】(1)根據AAS即可證明;

　　(2)①應用1：如圖2中，連接AC，作BH⊥DC交DC的延長線與H.首先證明符合“k模型”，利用性質2根據相似三角形的性質即可解決問題;

　　②應用2：如圖③中，作FM⊥KH于M，EN⊥HN于N.由性質1可知：△ABH≌△FAM，△AHC≌△ENA，推出FM=AH，AH=EN，推出FM=EN，再證明△FKN≌△EKN即可解決問題;

　　【解答】解：(1)如圖①中，

　　∵∠A=∠ECF=∠B=90°，

　　∴∠ACE+∠BCF=90°，∠BCF+∠F=90°，

　　∴∠ACE=∠F，∵EC=CF，

　　∴△ACE≌△BFC.

　　(2)①應用1：如圖2中，連接AC，作BH⊥DC交DC的延長線與H.

　　在Rt△ADC中，∵∠ADC=90°，AD=1，CD=2，

　　∴AC= = ，

　　∵AC2+BC2=5+20=25，AB2=52=25，

　　∴AC2+BC2=AB2，

　　∴∠ACB=90°，

　　∴∠ADC=∠ACB=∠CHB=90°，

　　∴符合“K”型圖，

　　∴△ACD∽△CBH，

　　∴ = = ，

　　∴ = = ，

　　∵CH=2，BH=4，

　　∴DH=4，

　　在Rt△BDH中，BD= =4 .

　　②應用2：如圖③中，作FM⊥KH于M，EN⊥HN于N.

　　由性質1可知：△ABH≌△FAM，△AHC≌△ENA，

　　∴FM=AH，AH=EN，

　　∴FM=EN，

　　∵∠FKM=∠EKN，∠M=∠ENK=90°，

　　∴△FKN≌△EKN，

　　∴FK=KE，

　　∴K為EF中點.

　　九年級上學期數學期末試題閱讀

　　一、選擇題(本題共10小題，每小題3分，共30分)

　　1.如圖，小明同學將一個圓錐和一個三棱柱組成組合圖形，觀察其三視圖，其俯視圖是(　　)

　　A. B.

　　C. D.

　　2.在中華經典美文閱讀中，小明同學發現自己的一本書的寬與長之比為黃金比.已知這本書的長為20cm，則它的寬約為(　　)

　　A.12.36cm B.13.6cm C.32.36cm D.7.64cm

　　3.把方程x2﹣8x+3=0化成(x+m)2=n的形式，則m，n的值是(　　)

　　A.4，13 B.﹣4，19 C.﹣4，13 D.4，19

　　4.某學校有320名學生，現對他們的生日進行統計(可以不同年)，下列說法正確的是(　　)

　　A.至少有兩人生日相同

　　B.可能有兩人生日相同，且可能性較大

　　C.不可能有兩人生日相同

　　D.可能有兩人生日相同，但可能性較小

　　5.如圖，在▱ABCD中，E為CD上一點，連接AE、BD，且AE、BD交于點F，S△DEF：S△ABF=4：25，則DE：EC=(　　)

　　A.2：5 B.2：3 C.3：5 D.3：2

　　6.一元二次方程x2+x+1=0的根的情況是(　　)

　　A.有兩個不相等的實數根 B.有兩個相等的實數根

　　C.無實數根 D.無法確定

　　7.如圖.若要使平行四邊形ABCD成為菱形.則需要添加的條件是(　　)

　　A.AB=CD B.AD=BC C.AB=BC D.AC=BD

　　8.已知直線y=kx(k>0)與雙曲線y= 交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則x1y2+x2y1的值為(　　)

　　A.﹣6 B.﹣9 C.0 D.9

　　9.某超市舉行購物“翻牌抽獎”活動，如圖所示，四張牌分別對應價值5，10，15，20(單位：元)的四件獎品，如果隨機翻兩張牌，且第一次翻過的牌不再參加下次翻牌，則所獲獎品總價值不低于30元的概率為(　　)

　　A. B. C. D.

　　10.如果反比例函數 的圖象在所在的每個象限內y都是隨著x的增大而減小，那么m的取值范圍是(　　)

　　A.m> B.m< C.m≤ D.m≥

　　二、填空題(本大題共4小題，每小題3分，共12分)

　　11.若 = = ≠0，則 =　 　.

　　12.請從以下兩個小題中任選一個作答，若多選，則按所選的第一小題計分.

　　(1)方程x2﹣9x+18=0的兩個根是等腰三角形的底和腰，則這個等腰三角形的周長為

　　(2)如圖所示，兩個等邊三角形，兩個矩形，兩個正方形，兩個菱形各成一組，每組中的一個圖形在另一個圖形的內部，對應平行，且對應邊之間的距離都相等，那么兩個圖形不相似的一組是(請填寫正確答案的序號)　 　.

　　13.如圖，四邊形ABCD是正方形，延長AB到點E，使AE=AC，連結CE，則∠BCE的度數是　 　度.

　　14.如圖，在平面直角坐標系中，直線l∥x軸，且直線l分別與反比例函數y= (x>0)和y=﹣ (x<0)的圖象交于點P、Q，連結PO、QO，則△POQ的面積為　 　.

　　三、解答題(本大題共9小題，共58分)

　　15.(5分)如圖，已知△ABC，∠BAC=90°，請用尺規過點A作一條直線，使其將△ABC分成兩個相似的三角形(保留作圖痕跡，不寫作法)

　　16.(6分)如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別為：點A(1，3)，點B(4，2)，點C(2，1).

　　(1)作出與△ABC關于x軸對稱的圖形△A1B1C1;

　　(2)以原點O為位似中心，在原點的另一側畫出△ABC的位似圖形△A2B2C2，使 ，并寫出點A2，B2，C2的坐標.

　　17.(6分)在“測量物體的高度”活動中，某數學興趣小組的3名同學選擇了測量學校里的兩棵樹的高度，在同一時刻的陽光下，他們分別做了以下工作：

　　小芳：測得一根長為1米的竹竿的影長為0.8米;

　　小麗：測量甲樹的影長為4米(如圖1);

　　小華：發現乙樹的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教學樓的墻壁上(如圖2)，墻壁上的影長為1.2米，落在地面上的影長為2.4米.

　　(1)請直接寫出甲樹的高度為　 　米;

　　(2)求乙樹的高度.

　　18.(7分)如圖，已知菱形ABCD中，對角線ACBD相交于點O，過點C作CE∥BD，過點D作DE∥AC，CE與DE相交于點E.

　　(1)求證：四邊形CODE是矩形.

　　(2)若AB=5，AC=6，求四邊形CODE的周長.

　　19.(7分)有三張正面分別標有數字：﹣1，1，2的卡片，它們除數字不同外其余全部相同，現將它們背面朝上，洗勻后從中隨機抽出一張記下數字.

　　(1)請用列表或畫樹狀圖的方法(只選其中一種)，表示兩次抽出卡片上的數字的所有結果;

　　(2)將第一次抽出的數字作為點的橫坐標x，第二次抽出的數字作為點的縱坐標y，求點(x，y)落在雙曲線y= 上的概率.

　　20.(7分)現代互聯網技術的廣泛應用，催生了快遞行業的高度發展，據調查，長沙市某家小型“大學生自主創業”的快遞公司，今年三月份與五月份完成投遞的快遞總件數分別為10萬件和12.1萬件，現假定該公司每月投遞的快遞總件數的增長率相同.

　　(1)求該快遞公司投遞總件數的月平均增長率;

　　(2)如果平均每人每月最多可投遞0.6萬件，那么該公司現有的21名快遞投遞業務員能否完成今年6月份的快遞投遞任務?如果不能，請問至少需要增加幾名業務員?

　　21.(7分)在矩形ABCD中，AB=10，BC=12，點E為DC的中點，連接BE，過點A作AF⊥BE，垂足為點F.

　　(1)求證：△BEC∽△ABF;

　　(2)求AF的長.

　　22.(6分)我市某蔬菜生產基地在氣溫較低時，用裝有恒溫系統的大棚栽培一種在自然光照且溫度為18℃的條件下生長最快的新品種.如圖是某天恒溫系統從開啟到關閉及關閉后，大棚內溫度y(℃)隨時間x(小時)變化的函數圖象，其中BC段是雙曲線 的一部分.請根據圖中信息解答下列問題：

　　(1)恒溫系統在這天保持大棚內溫度18℃的時間有多少小時?

　　(2)求k的值;

　　(3)當x=16時，大棚內的溫度約為多少度?

　　23.(7分)如圖，四邊形ABCD為正方形，點A坐標為(0，1)，點B坐標為(0，﹣2)，反比例函數y= (k≠0)的圖象經過點C，一次函數y=ax+b(a≠0)的圖象經過A、C兩點.

　　(1)求反比例函數與一次函數的表達式;

　　(2)若點P是反比例函數y= (k≠0)圖象上的一點，△OAP的面積恰好等于正方形ABCD的面積，求P點的坐標.

　　參考答案與試題解析

　　一、選擇題(本題共10小題，每小題3分，共30分)

　　1.如圖，小明同學將一個圓錐和一個三棱柱組成組合圖形，觀察其三視圖，其俯視圖是(　　)

　　A. B.

　　C. D.

　　【分析】根據組合圖形的俯視圖，對照四個選項即可得出結論.

　　【解答】解：由題意得：俯視圖與選項B中圖形一致.

　　故選：B.

　　【點評】本題考查了簡單組合體的三視圖，解題的關鍵是會畫簡單組合圖形的三視圖.本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，掌握簡單組合體三視圖的畫法是關鍵.

　　2.在中華經典美文閱讀中，小明同學發現自己的一本書的寬與長之比為黃金比.已知這本書的長為20cm，則它的寬約為(　　)

　　A.12.36cm B.13.6cm C.32.36cm D.7.64cm

　　【分析】把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值( )叫做黃金比.

　　【解答】解：方法1：設書的寬為x，則有(20+x)：20=20：x，解得x=12.36cm.

　　方法2：書的寬為20×0.618=12.36cm.

　　故選：A.

　　【點評】理解黃金分割的概念，找出黃金分割中成比例的對應線段是解決問題的關鍵.

　　3.把方程x2﹣8x+3=0化成(x+m)2=n的形式，則m，n的值是(　　)

　　A.4，13 B.﹣4，19 C.﹣4，13 D.4，19

　　【分析】此題考查了配方法解一元二次方程，解題時要注意解題步驟的準確應用，把左邊配成完全平方式，右邊化為常數.

　　【解答】解：∵x2﹣8x+3=0

　　∴x2﹣8x=﹣3

　　∴x2﹣8x+16=﹣3+16

　　∴(x﹣4)2=13

　　∴m=﹣4，n=13

　　故選：C.

　　【點評】配方法的一般步驟：

　　(1)把常數項移到等號的右邊;

　　(2)把二次項的系數化為1;

　　(3)等式兩邊同時加上一次項系數一半的平方.

　　選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數為1，一次項的系數是2的倍數.

　　4.某學校有320名學生，現對他們的生日進行統計(可以不同年)，下列說法正確的是(　　)

　　A.至少有兩人生日相同

　　B.可能有兩人生日相同，且可能性較大

　　C.不可能有兩人生日相同

　　D.可能有兩人生日相同，但可能性較小

　　【分析】依據可能性的大小的概念對各選項進行逐一分析即可.

　　【解答】解：A、因為每年有365天而某學校只有320人，所以至少有兩名學生生日相同是隨機事件.故本選項錯誤;

　　B、因為 = >50%，所以可能性較大.正確;

　　C、兩人生日相同是隨機事件，故本選項錯誤;

　　D、由B可知，可能性較大，故本選項錯誤.

　　故選：B.

　　【點評】本題主要考查可能性大小的比較，關鍵是確定所給事件的類型;隨機事件是指在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件;概率較小的事件發生的可能性較小.

　　5.如圖，在▱ABCD中，E為CD上一點，連接AE、BD，且AE、BD交于點F，S△DEF：S△ABF=4：25，則DE：EC=(　　)

　　A.2：5 B.2：3 C.3：5 D.3：2

　　【分析】先根據平行四邊形的性質及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根據S△DEF：S△ABF=4：25即可得出其相似比，由相似三角形的性質即可求出 DE：AB的值，由AB=CD即可得出結論.

　　【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

　　∴AB∥CD，

　　∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE，

　　∴△DEF∽△BAF，

　　∵S△DEF：S△ABF=4：25，

　　∴DE：AB=2：5，

　　∵AB=CD，

　　∴DE：EC=2：3.

　　故選：B.

　　【點評】本題考查的是相似三角形的判定與性質及平行四邊形的性質，熟知相似三角形邊長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方是解答此題的關鍵.

　　6.一元二次方程x2+x+1=0的根的情況是(　　)

　　A.有兩個不相等的實數根 B.有兩個相等的實數根

　　C.無實數根 D.無法確定

　　【分析】先計算判別式的值，然后根據判別式的意義確定方程根的情況.

　　【解答】解：△=12﹣4×1=﹣3<0，

　　所以方程無實數根.

　　故選：C.

　　【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與△=b2﹣4ac有如下關系：當△>0時，方程有兩個不相等的實數根;當△=0時，方程有兩個相等的實數根;當△<0時，方程無實數根.

　　7.如圖.若要使平行四邊形ABCD成為菱形.則需要添加的條件是(　　)

　　A.AB=CD B.AD=BC C.AB=BC D.AC=BD

　　【分析】菱形的判定方法有三種：

　　①定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形;

　　②四邊相等;

　　③對角線互相垂直平分的四邊形是菱形.∴可添加：AB=AD或AC⊥BD.

　　【解答】解：因為一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，

　　那么可添加的條件是：AB=BC.

　　故選：C.

　　【點評】本題考查菱形的判定，答案不唯一.有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形;對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

　　8.已知直線y=kx(k>0)與雙曲線y= 交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則x1y2+x2y1的值為(　　)

　　A.﹣6 B.﹣9 C.0 D.9

　　【分析】先根據點A(x1，y1)，B(x2，y2)是雙曲線y= 上的點可得出x1•y1=x2•y2=3，再根據直線y=kx(k>0)與雙曲線y= 交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點可得出x1=﹣x2，y1=﹣y2，再把此關系代入所求代數式進行計算即可.

　　【解答】解：∵點A(x1，y1)，B(x2，y2)是雙曲線y= 上的點

　　∴x1•y1=x2•y2=3①，

　　∵直線y=kx(k>0)與雙曲線y= 交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，

　　∴x1=﹣x2，y1=﹣y2②，

　　∴原式=﹣x1y1﹣x2y2=﹣3﹣3=﹣6.

　　故選：A.

　　【點評】本題考查的是反比例函數的對稱性，根據反比例函數的圖象關于原點對稱得出x1=﹣x2，y1=﹣y2是解答此題的關鍵.

　　9.某超市舉行購物“翻牌抽獎”活動，如圖所示，四張牌分別對應價值5，10，15，20(單位：元)的四件獎品，如果隨機翻兩張牌，且第一次翻過的牌不再參加下次翻牌，則所獲獎品總價值不低于30元的概率為(　　)

　　A. B. C. D.

　　【分析】首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與所獲獎品總價值不低于30元的情況，再利用概率公式即可求得答案.

　　【解答】解：畫樹狀圖得：

　　∵共有12種等可能的結果，所獲獎品總價值不低于30元的有4種情況，

　　∴所獲獎品總價值不低于30元的概率為： = .

　　故選：C.

　　【點評】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率.用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比.

　　10.如果反比例函數 的圖象在所在的每個象限內y都是隨著x的增大而減小，那么m的取值范圍是(　　)

　　A.m> B.m< C.m≤ D.m≥

　　【分析】根據反比例函數的性質可得1﹣2m>0，再解不等式即可.

　　【解答】解：∵反比例函數 的圖象在所在的每個象限內y都是隨著x的增大而減小，

　　∴1﹣2m>0，

　　解得：m< ，

　　故選：B.

　　【點評】此題主要考查了反比例函數的性質.對于反比例函數y= ，當k>0時，在每一個象限內，函數值y隨自變量x的增大而減小;當k<0時，在每一個象限內，函數值y隨自變量x增大而增大.

　　二、填空題(本大題共4小題，每小題3分，共12分)

　　11.若 = = ≠0，則 =　 　.

　　【分析】根據已知比例關系，用未知量k分別表示出a、b和c的值，代入原式中，化簡即可得到結果.

　　【解答】解：設 = = =k≠0，

　　則a=2k，b=3k，c=4k，

　　所以 = = .

　　故答案是： .

　　【點評】本題考查了比例的性質.已知幾個量的比值時，常用的解法是：設一個未知數，把題目中的幾個量用所設的未知數表示出來，實現消元.

　　12.請從以下兩個小題中任選一個作答，若多選，則按所選的第一小題計分.

　　(1)方程x2﹣9x+18=0的兩個根是等腰三角形的底和腰，則這個等腰三角形的周長為　15

　　(2)如圖所示，兩個等邊三角形，兩個矩形，兩個正方形，兩個菱形各成一組，每組中的一個圖形在另一個圖形的內部，對應平行，且對應邊之間的距離都相等，那么兩個圖形不相似的一組是(請填寫正確答案的序號)　②　.

　　【分析】(1)求出方程的解，分為兩種情況：①當等腰三角形的三邊是3，3，6時，②當等腰三角形的三邊是3，6，6時，看看是否符合三角形的三邊關系定理，若符合求出即可.

　　(2)根據相似多邊形的定義逐一進行判斷后即可確定正確的選項.

　　【解答】解：(1)x2﹣9x+18=0，

　　∴(x﹣3)(x﹣6)=0，

　　∴x﹣3=0，x﹣6=0，

　　∴x1=3，x2=6，

　　當等腰三角形的三邊是3，3，6時，3+3=6，不符合三角形的三邊關系定理，

　　∴此時不能組成三角形，

　　當等腰三角形的三邊是3，6，6時，此時符合三角形的三邊關系定理，周長是3+6+6=15，

　　故答案為：15.

　　(2)由題意得，①中三角形對應角相等，對應邊成比例，兩三角形相似;

　　③，④中正方形，菱形四條邊均相等，所以對應邊成比例，又角也相等，所以正方形，菱形相似;

　　而②中矩形四個角相等，但對應邊不一定成比例，

　　所以②中矩形不是相似多邊形，

　　故答案為：②.

　　【點評】本題考查了解一元二次方程和三角形的三邊關系定理及相似圖形，關鍵是確定三角形的三邊的長度及相似圖形的定義.

　　13.如圖，四邊形ABCD是正方形，延長AB到點E，使AE=AC，連結CE，則∠BCE的度數是　22.5　度.

　　【分析】根據正方形的性質，易知∠CAE=∠ACB=45°;等腰△CAE中，根據三角形內角和定理可求得∠ACE的度數，進而可由∠BCE=∠ACE﹣∠ACB得出∠BCE的度數.

　　【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，

　　∴∠CAB=∠BCA=45°;

　　△ACE中，AC=AE，則：

　　∠ACE=∠AEC= (180°﹣∠CAE)=67.5°;

　　∴∠BCE=∠ACE﹣∠ACB=22.5°.

　　故答案為22.5.

　　【點評】此題主要考查的是正方形、等腰三角形的性質及三角形內角和定理.

　　14.如圖，在平面直角坐標系中，直線l∥x軸，且直線l分別與反比例函數y= (x>0)和y=﹣ (x<0)的圖象交于點P、Q，連結PO、QO，則△POQ的面積為　7　.

　　【分析】根據反比例函數比例系數k的幾何意義得到S△OQM=4，S△OPM=3，然后利用S△POQ=S△OQM+S△OPM進行計算.

　　【解答】解：如圖，

　　∵直線l∥x軸，

　　∴S△OQM= ×|﹣8|=4，S△OPM= ×|6|=3，

　　∴S△POQ=S△OQM+S△OPM=7.

　　故答案為7.

　　【點評】本題考查了反比例函數比例系數k的幾何意義：在反比例函數y= 圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值|k|.

　　三、解答題(本大題共9小題，共58分)

　　15.(5分)如圖，已知△ABC，∠BAC=90°，請用尺規過點A作一條直線，使其將△ABC分成兩個相似的三角形(保留作圖痕跡，不寫作法)

　　【分析】過點A作AD⊥BC于D，利用等角的余角相等可得到∠BAD=∠C，則可判斷△ABD與△CAD相似.

　　【解答】解：如圖，AD為所作.

　　【點評】本題考查了作圖﹣相似變換：兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到.解決本題的關鍵是利用有一組銳角相等的兩直角三角形相似.

　　16.(6分)如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別為：點A(1，3)，點B(4，2)，點C(2，1).

　　(1)作出與△ABC關于x軸對稱的圖形△A1B1C1;

　　(2)以原點O為位似中心，在原點的另一側畫出△ABC的位似圖形△A2B2C2，使 ，并寫出點A2，B2，C2的坐標.

　　【分析】(1)分別作出點A、B、C關于x軸的對稱點，再順次連接可得;

　　(2)根據位似圖形的定義作出點A、B、C在原點的另一側的對應點，再順次連接即可得.

　　【解答】解：(1)如圖所示，△A1B1C1即為所求;

　　(2)如圖所示，△A2B2C2即為所求，

　　點A2的坐標為(﹣2，﹣6)，B2的坐標為(﹣8，﹣4)，C2的坐標為(﹣4，﹣2).

　　【點評】本題主要考查作圖﹣軸對稱變換、位似變換，解題的關鍵是根據軸對稱變換和位似變換的定義作出變換后的對應點.

　　17.(6分)在“測量物體的高度”活動中，某數學興趣小組的3名同學選擇了測量學校里的兩棵樹的高度，在同一時刻的陽光下，他們分別做了以下工作：

　　小芳：測得一根長為1米的竹竿的影長為0.8米;

　　小麗：測量甲樹的影長為4米(如圖1);

　　小華：發現乙樹的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教學樓的墻壁上(如圖2)，墻壁上的影長為1.2米，落在地面上的影長為2.4米.

　　(1)請直接寫出甲樹的高度為　5.1　米;

　　(2)求乙樹的高度.

　　【分析】(1)根據測得一根長為1米的竹竿的影長為0.8米，利用比例式直接得出樹高;

　　(2)根據輔助線作法得出假設沒有墻時影子長度，即可求出答案.

　　【解答】解：(1)根據題意得：

　　= ，

　　解得：x=5.1(米)，

　　故答案為：5.1.

　　(2)假設AB是乙樹，

　　∴BC=2.4m，CD=1.2m，

　　∴ = ，

　　∴ = ，

　　∴CE=0.96(m)，

　　∴ = ，

　　∴AB=4.2(m)，

　　答：乙樹的高度為4.2m.

　　【點評】此題主要考查了相似三角形的應用，根據同一時刻影長與高成比例以及假設沒有墻或臺階時求出影長是解決問題的關鍵.

　　18.(7分)如圖，已知菱形ABCD中，對角線ACBD相交于點O，過點C作CE∥BD，過點D作DE∥AC，CE與DE相交于點E.

　　(1)求證：四邊形CODE是矩形.

　　(2)若AB=5，AC=6，求四邊形CODE的周長.

　　【分析】(1)由條件可證得四邊形CODE為平行四邊形，再由菱形的性質可求得∠COD=90°，則可證得四邊形CODE為矩形;

　　(2)由菱形的性質可求得AO和OC，在Rt△AOB中可求得BO，則可求得OD的長，則可求得答案.

　　【解答】(1)證明：

　　∵CE∥BD，DE∥AC，

　　∴四邊形CODE為平行四邊形，

　　∵四邊形ABCD為菱形，

　　∴AC⊥BD，

　　∴∠COD=90°，

　　∴平行四邊形CODE是矩形;

　　(2)解：

　　∵四邊形ABCD為菱形，

　　∴AO=OC= AC= ×6=3，OD=OB，∠AOB=90°，

　　在Rt△AOB中，由勾股定理得BO2=AB2﹣AO2，

　　∴BO= =4，

　　∴DO=BO=4，

　　∴四邊形CODE的周長=2×(3+4)=14.

　　【點評】本題主要考查矩形、菱形的判定和性質，掌握矩形的判定方法及菱形的對角線互相垂直平分是解題的關鍵.

　　19.(7分)有三張正面分別標有數字：﹣1，1，2的卡片，它們除數字不同外其余全部相同，現將它們背面朝上，洗勻后從中隨機抽出一張記下數字.

　　(1)請用列表或畫樹狀圖的方法(只選其中一種)，表示兩次抽出卡片上的數字的所有結果;

　　(2)將第一次抽出的數字作為點的橫坐標x，第二次抽出的數字作為點的縱坐標y，求點(x，y)落在雙曲線y= 上的概率.

　　【分析】(1)畫出樹狀圖即可得解;

　　(2)根據反比例函數圖象上點的坐標特征判斷出在雙曲線y= 上的情況數，再根據概率公式列式計算即可得解.

　　【解答】解：(1)根據題意畫出樹狀圖如下：

　　(2)當x=﹣1時，y= =﹣2;當x=1時，y= =2;當x=2時，y= =1.

　　∴一共有9種等可能的情況，點(x，y)落在雙曲線y= 上有2種情況：(1，2)，(2，1)，

　　∴點(x，y)落在雙曲線y= 上的概率為： .

　　【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法以及反比例函數圖象上點的坐標特征，根據抽卡的規律用樹狀圖表示兩次抽出卡片上的數字的所有結果是解題的關鍵.

　　20.(7分)現代互聯網技術的廣泛應用，催生了快遞行業的高度發展，據調查，長沙市某家小型“大學生自主創業”的快遞公司，今年三月份與五月份完成投遞的快遞總件數分別為10萬件和12.1萬件，現假定該公司每月投遞的快遞總件數的增長率相同.

　　(1)求該快遞公司投遞總件數的月平均增長率;

　　(2)如果平均每人每月最多可投遞0.6萬件，那么該公司現有的21名快遞投遞業務員能否完成今年6月份的快遞投遞任務?如果不能，請問至少需要增加幾名業務員?

　　【分析】(1)設該快遞公司投遞總件數的月平均增長率為x，根據“今年三月份與五月份完成投遞的快遞總件數分別為10萬件和12.1萬件，現假定該公司每月投遞的快遞總件數的增長率相同”建立方程，解方程即可;

　　(2)首先求出今年6月份的快遞投遞任務，再求出21名快遞投遞業務員能完成的快遞投遞任務，比較得出該公司不能完成今年6月份的快遞投遞任務，進而求出至少需要增加業務員的人數.

　　【解答】解：(1)設該快遞公司投遞總件數的月平均增長率為x，根據題意得

　　10(1+x)2=12.1，

　　解得x1=0.1，x2=﹣2.1(不合題意舍去).

　　答：該快遞公司投遞總件數的月平均增長率為10%;

　　(2)今年6月份的快遞投遞任務是12.1×(1+10%)=13.31(萬件).

　　∵平均每人每月最多可投遞0.6萬件，

　　∴21名快遞投遞業務員能完成的快遞投遞任務是：0.6×21=12.6<13.31，

　　∴該公司現有的21名快遞投遞業務員不能完成今年6月份的快遞投遞任務

　　∴需要增加業務員(13.31﹣12.6)÷0.6=1 ≈2(人).

　　答：該公司現有的21名快遞投遞業務員不能完成今年6月份的快遞投遞任務，至少需要增加2名業務員.

　　【點評】本題考查了一元二次方程的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程，再求解.

　　21.(7分)在矩形ABCD中，AB=10，BC=12，點E為DC的中點，連接BE，過點A作AF⊥BE，垂足為點F.

　　(1)求證：△BEC∽△ABF;

　　(2)求AF的長.

　　【分析】(1)在矩形ABCD中，有∠C=∠ABC=∠ABF+∠EBC=90°，由于AF⊥BE，所以∠AFB=∠C=90°，∠BAF=∠EBC，從而得證;

　　(2)在矩形ABCD中，AB=10，可知CD=AB=10，由于E為DC的中點，CE=5，由勾股定理可求得：BE=13，最后由△ABF∽△BEC得： ，從而可求出答案.

　　【解答】解：(1)在矩形ABCD中，

　　有∠C=∠ABC=∠ABF+∠EBC=90°

　　∵AF⊥BE，

　　∴∠AFB=∠C=90°，

　　∴∠BAF=∠EBC

　　∴△BEC∽△ABF

　　(2)在矩形ABCD中，AB=10，

　　∴CD=AB=10，

　　∵E為DC的中點，

　　∴CE=5，

　　又BC=12，

　　在Rt△BEC中，

　　由勾股定理得：BE=13，

　　由△ABF∽△BEC得：

　　即： = ，

　　∴解得：AF=

　　【點評】本題考查相似三角形的性質與判定，解題的關鍵熟練運用相似三角形的判定方法以及矩形的性質，本題屬于中等題型.

　　22.(6分)我市某蔬菜生產基地在氣溫較低時，用裝有恒溫系統的大棚栽培一種在自然光照且溫度為18℃的條件下生長最快的新品種.如圖是某天恒溫系統從開啟到關閉及關閉后，大棚內溫度y(℃)隨時間x(小時)變化的函數圖象，其中BC段是雙曲線 的一部分.請根據圖中信息解答下列問題：

　　(1)恒溫系統在這天保持大棚內溫度18℃的時間有多少小時?

　　(2)求k的值;

　　(3)當x=16時，大棚內的溫度約為多少度?

　　【分析】(1)根據圖象直接得出大棚溫度18℃的時間為12﹣2=10(小時);

　　(2)利用待定系數法求反比例函數解析式即可;

　　(3)將x=16代入函數解析式求出y的值即可.

　　【解答】解：(1)恒溫系統在這天保持大棚溫度18℃的時間為12﹣2=10小時.

　　(2)∵點B(12，18)在雙曲線y= 上，

　　∴18= ，

　　∴解得：k=216.

　　(3)當x=16時，y= =13.5，

　　所以當x=16時，大棚內的溫度約為13.5℃.

　　【點評】此題主要考查了反比例函數的應用，求出反比例函數解析式是解題關鍵.

　　23.(7分)如圖，四邊形ABCD為正方形，點A坐標為(0，1)，點B坐標為(0，﹣2)，反比例函數y= (k≠0)的圖象經過點C，一次函數y=ax+b(a≠0)的圖象經過A、C兩點.

　　(1)求反比例函數與一次函數的表達式;

　　(2)若點P是反比例函數y= (k≠0)圖象上的一點，△OAP的面積恰好等于正方形ABCD的面積，求P點的坐標.

　　【分析】(1)先根據A點和B點坐標得到正方形的邊長，則BC=3，于是可得到C(3，﹣2)，然后利用待定系數法求反比例函數與一次函數的解析式;

　　(2)設P(t，﹣ )，根據三角形面積公式和正方形面積公式得到 ×1×|t|=3×3，然后解絕對值方程求出t即可得到P點坐標.

　　【解答】解：(1)∵點A的坐標為(0，1)，點B的坐標為(0，﹣2)，

　　∴AB=1+2=3，

　　∵四邊形ABCD為正方形，

　　∴Bc=3，

　　∴C(3，﹣2)，

　　把C(3，﹣2)代入y= 得k=3×(﹣2)=﹣6，

　　∴反比例函數解析式為y=﹣ ，

　　把C(3，﹣2)，A(0，1)代入y=ax+b得 ，

　　解得 ，

　　∴一次函數解析式為y=﹣x+1;

　　(2)設P(t，﹣ )，

　　∵△OAP的面積恰好等于正方形ABCD的面積，

　　∴ ×1×|t|=3×3，解得t=18或t=﹣18，

　　∴P點坐標為(18，﹣ )或(﹣18， ).