九年級數學上學期期中試題
數學是很多的同學都覺得很難的一個科目，其實沒有很難的，今天小編就給大家參考一下九年級數學，希望大家來收藏哦
初三九年級數學上期中試卷
一、選擇題(本大題共10小題，共30.0分)
1.若關于x的方程(a+1)x2+2x-1=0是一元二次方程，則a的取值范圍是( )
A. B. C. D.
2.下列圖形中，是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
3.下面的函數是二次函數的是( )
A. B. C. D.
4.已知拋物線y=ax2+bx+c(a<0)過A(-3，0)，B(1，0)，C(-5，y1)，D(-2，y2)四點，則y1與y2的大小關系是( )
A. B. C. D. 不能確定
5.一個等腰三角形的兩條邊長分別是方程x2-7x+10=0的兩根，則該等腰三角形的周長是( )
A. 12 B. 9 C. 13 D. 12或9
6.二次函數y=x2-2x+2的頂點坐標是( )
A. B. C. D.
7.關于x的一元二次方程(m-2)x2+(2m+1)x+m-2=0有兩個不相等的正實數根，則m的取值范圍是( )
A. B. 且
C. D.
8.正方形ABCD在直角坐標系中的位置如下圖表示，將正方形ABCD繞點A順時針方向旋轉180°后，C點的坐標是( )
9.把拋物線y=x2+1向右平移3個單位，再向下平移2個單位，得到拋物線( )
A. B. C. D.
10.如圖，正方形ABCD的邊長為4，點P、Q分別是CD、AD的中點，動點E從點A向點B運動，到點B時停止運動;同時，動點F從點P出發，沿P→D→Q運動，點E、F的運動速度相同.設點E的運動路程為x，△AEF的面積為y，能大致刻畫y與x的函數關系的圖象是( )
A. B.
C. D.
二、填空題(本大題共8小題，共24.0分)
11.拋物線y=-4(x+1)2+1的開口方向向______，對稱軸是______，頂點的坐標是______.
12.一元二次方程(x+1)(3x-2)=0的一般形式是______.
13.點A(-3，m)和點B(n，2)關于原點對稱，則m+n=______.
14.某種植物的主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣數量的小分支.若主干、支干和小分支的總數是57，設每個支干長出x個小分支，則可列方程為______.
15.已知函數y=x2+2x-3，當x______時，y隨x的增大而增大.
16.若一元二次方程(m-1)x2-4x-5=0沒有實數根，則m的取值范圍是______.
17.如圖，二次函數y=ax2+bx+c的圖象與y軸正半軸相交，其頂點坐標為(0.5，1)，下列結論：
?、賏bc<0;②a+b=0;③4ac-b2=4a;④a+b+c<0.其中正確的有______個.
18.如圖，在平面直角坐標系中，將△ABO繞點A順時針旋轉到△AB1C1的位置，點B、O分別落在點B1、C1處，點B1在x軸上，再將△AB1C1繞點B1順時針旋轉到△A1B1C2的位置，點C2在x軸上，將△A1B1C2繞點C2順時針旋轉到△A2B2C2的位置，點A2在x軸上，依次進行下去….若點A(，0)，B(0，2)，則B2的坐標為______;點B2016的坐標為______.
三、計算題(本大題共2小題，共22.0分)
19.x2-2x-3=0(配方法)
20.某文具店購進一批紀念冊，每本進價為20元，在銷售過程中發現該紀念冊每周的銷售量y(本)與每本紀念冊的售價x(元)之間滿足一次函數關系：當銷售單價為22元時，銷售量為36本;當銷售單價為24元時，銷售量為32本.
(1)求出y與x的函數關系式;
(2)設該文具店每周銷售這種紀念冊所獲得的利潤為w元，將該紀念冊銷售單價定為多少元時，才能使文具店銷售該紀念冊所獲利潤最大?最大利潤是多少?
四、解答題(本大題共6小題，共74.0分)
21.在如圖所示的直角坐標系中，解答下列問題：
(1)分別寫出A、B兩點的坐標;
(2)將△ABC繞點A順時針旋轉90°，畫出旋轉后的△AB1C1.
22.已知：關于x的一元二次方程x2-3x-k=0有兩個不相等的實數根.
(1)求k的取值范圍;
(2)請選擇一個k的負整數值，并求出方程的根.
23.某電腦銷售商試銷某一品牌電腦1月份的月銷售額為400000，現為了擴大銷售，銷售商決定降價銷售，在原來1月份平均銷售量的基礎上，經2月份的市場調查，3月份調整價格后，月銷售額達到576000元.求1月份到3月份銷售額的月平均增長率.
24.在我校的周末廣場文藝演出活動中，舞臺上有一幅矩形地毯，它的四周鑲有寬度相同的花邊(如圖).地毯中央的矩形圖案長8米、寬6米，整個地毯的面積是80平方米.求花邊的寬.
25.如圖，四邊形ABCD是邊長為2，一個銳角等于60°的菱形紙片，將一個∠EDF=60°的三角形紙片的一個頂點與該菱形頂點D重合，按順時針方向旋轉這個三角形紙片，使它的兩邊分別交CB，BA(或它們的延長線)于點E，F;
(1)當CE=AF時，如圖①，DE與DF的數量關系是______;
(2)繼續旋轉三角形紙片，當CE≠AF時，如圖②，(1)的結論是否成立?若成立，加以證明;若不成立，請說明理由;
(3)再次旋轉三角形紙片，當點E，F分別在CB，BA的延長線上時，如圖③，請直接寫出DE與DF的數量關系.
26.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+2x+c與x軸交A(-1，0)，B兩點，與y軸交于點C(0，3)，拋物線的頂點為點E.
(1)求拋物線的解析式;
(2)經過B，C兩點的直線交拋物線的對稱軸于點D，點P為直線BC上方拋物線上的一個動點，當點P運動到點E時，求△PCD的面積;
(3)點N在拋物線對稱軸上，點M在x軸上，是否存在這樣的點M與點N，使以M，N，C，B為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在，請直接寫出點M的坐標(不寫求解過程);若不存在，請說明理由.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
解：由題意得：a+1≠0，
解得：a≠-1.
故選：A.
根據一元二次方程的定義：只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫一元二次方程可得a+1≠0，再解即可.
此題主要考查了一元二次方程的定義，一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(且a≠0).特別要注意a≠0的條件.這是在做題過程中容易忽視的知識點.
2.【答案】B
【解析】
解：A、既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形，故此選項錯誤;
B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項正確;
C、既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形，故此選項錯誤;
D、既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形，故此選項錯誤;
故選：B.
根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義可直接得到答案.
此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：
軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合;
中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與原圖重合.
3.【答案】B
【解析】
解：A、y=3x+1，二次項系數為0，故本選項錯誤;
B、y=x2+2x，符合二次函數的定義，故本選項正確;
C、y=，二次項系數為0，故本選項錯誤;
D、y=，是反比例函數，故本選項錯誤.
故選：B.
根據二次函數的定義：一般地，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常數，a≠0)的函數，判斷各選項即可.
本題考查二次函數的定義，判斷函數是否是二次函數，首先是要看它的右邊是否為整式，若是整式且仍能化簡的要先將其化簡，然后再根據二次函數的定義作出判斷，要抓住二次項系數不為0這個關鍵條件.
4.【答案】C
【解析】
解：∵拋物線過A(-3，0)、B(1，0)兩點，
∴拋物線的對稱軸為x==-1，
∵a<0，拋物線開口向下，離對稱軸越遠，函數值越小，
比較可知C點離對稱軸遠，對應的縱坐標值小，
即y1
故選：C.
根據A(-3，0)、B(1，0)兩點可確定拋物線的對稱軸，再根據開口方向，C、D兩點與對稱軸的遠近，判斷y1與y2的大小關系.
此題主要考查了二次函數圖象上點的坐標特征，比較拋物線上兩點縱坐標的大小，關鍵是確定對稱軸，開口方向，兩點與對稱軸的遠近.
5.【答案】A
【解析】
解：x2-7x+10=0，
(x-2)(x-5)=0，
x-2=0，x-5=0，
x1=2，x2=5，
?、俚妊切蔚娜吺?，2，5
∵2+2<5，
∴不符合三角形三邊關系定理，此時不符合題意;
?、诘妊切蔚娜吺?，5，5，此時符合三角形三邊關系定理，三角形的周長是2+5+5=12;
即等腰三角形的周長是12.
故選：A.
求出方程的解，即可得出三角形的邊長，再求出即可.
本題考查了等腰三角形性質、解一元二次方程、三角形三邊關系定理的應用等知識，關鍵是求出三角形的三邊長.
6.【答案】A
【解析】
解：y=x2-2x+2的頂點橫坐標是-=1，縱坐標是=1，
y=x2-2x+2的頂點坐標是(1，1).
故選：A.
根據頂點坐標公式，可得答案.
本題考查了二次函數的性質，二次函數的頂點坐標是(-，).
7.【答案】D
【解析】
解：根據題意得m-2≠0且△=(2m+1)2-4(m-2)(m-2)>0，
解得m>且m≠2，
設方程的兩根為a、b，則a+b=->0，ab==1>0，
而2m+1>0，
∴m-2<0，即m<2，
∴m的取值范圍為
故選：D.
根據一元二次方程的定義和根的判別式的意義得到m-2≠0且△=(2m+1)2-4(m-2)(m-2)>0，解得m>且m≠2，再利用根與系數的關系得到->0，則m-2<0時，方程有正實數根，于是可得到m的取值范圍為
本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與△=b2-4ac有如下關系：當△>0時，方程有兩個不相等的兩個實數根;當△=0時，方程有兩個相等的兩個實數根;當△<0時，方程無實數根.也考查了根與系數的關系.
8.【答案】B
【解析】
解：AC=2，
則正方形ABCD繞點A順時針方向旋轉180°后C的對應點設是C′，則AC′=AC=2，
則OC′=3，
故C′的坐標是(3，0).
故選：B.
正方形ABCD繞點A順時針方向旋轉180°后，C點的對應點與C一定關于A對稱，A是對稱點連線的中點，據此即可求解.
本題考查了旋轉的性質，理解C點的對應點與C一定關于A對稱，A是對稱點連線的中點是關鍵.
9.【答案】C
【解析】
解：由題意得原拋物線的頂點為(0，1)，
∴平移后拋物線的頂點為(3，-1)，
∴新拋物線解析式為y=(x-3)2-1，
故選：C.
易得原拋物線的頂點及平移后拋物線的頂點，根據平移不改變拋物線的二次項系數可得新的拋物線解析式.
考查二次函數的幾何變換;用到的知識點為：二次函數的平移不改變二次項的系數;得多新拋物線的頂點是解決本題的突破點.
10.【答案】A
【解析】
解：當F在PD上運動時，△AEF的面積為y=AE•AD=2x(0≤x≤2)，
當F在AD上運動時，△AEF的面積為y=AE•AF=x(6-x)=-x2+3x(2
圖象為：
故選：A.
分F在線段PD上，以及線段DQ上兩種情況，表示出y與x的函數解析式，即可做出判斷.
此題考查了動點問題的函數問題，解決本題的關鍵是讀懂圖意，得到相應y與x的函數解析式.
11.【答案】下 直線x=-1 (-1，1)
【解析】
解：拋物線y=-4(x+1)2+1的開口方向、對稱軸和頂點坐標是：
開口向下，對稱軸為直線x=-1，頂點(-1，1).
故答案為：下，直線x=-1，(-1，1).
利用a=-4得出圖象的開口方向，再利用頂點式得出拋物線的對稱軸和頂點坐標.
此題主要考查了二次函數的性質，正確利用頂點式得出函數頂點坐標是解題關鍵.
12.【答案】3x2+x-2=0
【解析】
解：(x+1)(3x-2)=0，
3x2-2x+3x-2=0，
3x2+x-2=0.
故答案為：3x2+x-2=0.
利用多項式的乘法展開，然后合并同類項即可.
本題考查了一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a，b，c是常數且a≠0).
13.【答案】1
【解析】
解：∵點A(-3，m)和點B(n，2)關于原點對稱，
∴m=-2，n=3，
故m+n=3-2=1.
故答案為：1.
根據兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反，可得出m、n的值，代入可得出代數式的值.
本題考查了關于原點對稱的點的坐標的特點，注意掌握兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反.
14.【答案】x2+x+1=57
【解析】
解：設每個支干長出x個小分支，
根據題意列方程得：x2+x+1=57.
故答案為x2+x+1=57.
由題意設每個支干長出x個小分支，每個小分支又長出x個分支，則又長出x2個分支，則共有x2+x+1個分支，即可列方程.
此題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，要根據題意分別表示主干、支干、小分支的數目，找到關鍵描述語，找到等量關系是解決問題的關鍵.
15.【答案】>-1
【解析】
解：∵y=x2+2x-3=(x+1)2-4，a=1>0，
∴函數y=x2+2x-3的圖象開口向上，對稱軸為直線x=-1，當x>-1時，y隨x的增大而增大，
故答案為：>-1.
先將拋物線的解析式化為頂點式，根據二次函數的性質可知，x的取值在什么范圍內，y隨x的增大而增大.
本題考查二次函數的性質，解題的關鍵是明確二次函數的性質，根據二次函數的性質可以得到二次函數圖象的升降情況.
16.【答案】m<
【解析】
解：∵一元二次方程(m-1)x2-4x-5=0沒有實數根，
∴△=16-4(m-1)×(-5)<0，且m-1≠0，
∴m<.
故答案為：m<.
據關于x的一元二次方程(m-1)x2-4x-5=0沒有實數根，得出△=16-4(m-1)×(-5)<0，從而求出m的取值范圍.
本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式△=b2-4ac：當△>0，方程有兩個不相等的實數根;當△=0，方程有兩個相等的實數根;當△<0，方程沒有實數根.
17.【答案】3
【解析】
解：①∵拋物線開口向下，∴a<0，∵拋物線與y軸正半軸相交，∴c>0，對稱軸在y軸的右側，∴b>0，∴abc<0，故①正確;
?、凇邟佄锞€的對稱軸為x=，∴x=-=，∴a+b=0，故②正確;
③∵拋物線頂點的縱坐標為1，∴=1，∴4ac-b2=4a，故③正確;
④∵a+b=0，c>0，∴a+b+c>0，故④錯誤.
其中正確的是①②③.
故答案為：3.
①根據拋物線的開口方向和拋物線與y軸的交點坐標即可確定;
?、诟鶕佄锞€的對稱軸即可判定;
?、鄹鶕佄锞€的頂點縱坐標即可判定;
?、苡蒩+b=0，c>0，即可判定a+b+c>0.
此題主要考查二次函數圖象與系數之間的關系，會利用對稱軸的范圍求2a與b的關系，以及二次函數的自變量與對應的函數值，頂點坐標的熟練運用.
18.【答案】(6，2) (6048，2)
【解析】
解：∵A(，0)，B(0，2)，
∴Rt△AOB中，AB=，
∴OA+AB1+B1C2=+2+=6，
∴B2的橫坐標為：6，且B2C2=2，即B2(6，2)，
∴B4的橫坐標為：2×6=12，
∴點B2016的橫坐標為：2016÷2×6=6048，點B2016的縱坐標為：2，
即B2016的坐標是(6048，2).
故答案為：(6，2)，(6048，2).
首先根據已知求出三角形三邊長度，然后通過旋轉發現，B、B2、B4…每偶數之間的B相差6個單位長度，根據這個規律可以求得B2016的坐標.
此題考查了點的坐標規律變換以及勾股定理的運用，通過圖形旋轉，找到所有B點之間的關系是解決本題的關鍵.
19.【答案】解：移項得：x2-2x=3，
配方得：x2-2x+1=3+1，
即(x-1)2=4，
開方得：x-1=±2，
故原方程的解是：x1=3，x2=-1.
【解析】
移項后配方得到x2-2x+1=3+1，推出(x-1)2=4，開方后得出方程x-1=±2，求出方程的解即可.
本題考查了解一元一次方程和用配方法解一元二次方程的應用，關鍵是配方得出(x-1)2=4，題目比較好，難度不大.
20.【答案】解：(1)設y與x的關系式為y=kx+b，
把(22，36)與(24，32)代入，
得：，
解得：，
則y=-2x+80;
(2)由題意可得：
w=(x-20)(-2x+80)
=-2x2+120x-1600
=-2(x-30)2+200，
此時當x=30時，w最大，
∴即當x=30時，w最大=-2×(30-30)2+200=200(元)，
答：該紀念冊銷售單價定為30元時，才能使文具店銷售該紀念冊所獲利潤最大，最大利潤是200元.
【解析】
(1)利用待定系數法求解可得;
(2)根據所獲得總利潤=每本利潤×銷售數量列出函數解析式，配方成頂點式可得答案.
本題主要考查二次函數的應用，解題的關鍵是熟練掌握待定系數法求函數解析式，根據銷售問題中關于利潤的相等關系列出函數解析式及二次函數的性質.
21.【答案】解：(1)由點A、B在坐標系中的位置可知：A(2，0)，B(-1，-4);
(2)如圖所示：
【解析】
(1)直接根據點A、B在坐標系中的位置寫出其坐標即可;
(2)根據圖形旋轉的性質畫出旋轉后的△AB1C1即可;
本題考查的是旋轉變換，熟知圖形旋轉后所得圖形與原圖形全等是解答此題的關鍵.
22.【答案】解：(1)∵一元二次方程x2-3x-k=0有兩個不相等的實數根，
∴△=(-3)2-4×1×(-k)>0，
解得k>-;
(2)當k=-2時，方程為x2-3x+2=0，
因式分解得(x-1)(x-2)=0，
解得x1=1，x2=2.
【解析】
(1)根據方程有兩個不相等的實數根根，則根的判別式△=b2-4ac>0，建立關于k的不等式，求出k的取值范圍;
(2)k取負整數，再解一元二次方程即可.
本題考查的是根的判別式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，當△>0時，方程有兩個不相等的兩個實數根是解答此題的關鍵.
23.【答案】解：設1月份到3月份銷售額的月平均增長率為x，
根據題意得：400000(1+x)2=576000，
解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2(舍去).
答：1月份到3月份銷售額的月平均增長率為20%.
【解析】
設1月份到3月份銷售額的月平均增長率為x，根據該品牌電腦1月份及3月份的月銷售額，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論.
本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵.
24.【答案】解：設花邊的寬為x米，
根據題意得(2x+8)(2x+6)=80，
解得x1=1，x2=-8，
x2=-8不合題意，舍去.
答：花邊的寬為1米.
【解析】
本題可根據地毯的面積為80平方米來列方程，其等量關系式可表示為：(矩形圖案的長+兩個花邊的寬)×(矩形圖案的寬+兩個花邊的寬)=地毯的面積.
本題可根據關鍵語句和等量關系列出方程，判斷所求的解是否符合題意，舍去不合題意的解.
25.【答案】DE=DF
【解析】
解：(1)DE=DF;
理由：∵四邊形ABCD是菱形，
∴DA=DC，∠A=∠C，
∵AF=CE，
∴△DAF≌△DCE(SAS)，
∴DE=DF.
(2)成立.
理由：連接BD.
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=AB.
又∵∠DAB=60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∴AD=BD，∠ADB=60°，
∴∠DBE=∠DAF=60°.
∵∠EDF=60°，
∴∠ADB=∠EDF=60°，
∴∠ADF=∠BDE，
∴△ADF≌△BDE(ASA)，
∴DE=DF.
(3)結論：DF=DE.
理由：如圖3，連接BD.
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=AB.
又∵∠A=60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∴AD=BD，∠ADB=60°，同法可證∠DBC=60°，
∴∠DBE=∠DAF=120°
∵∠EDF=ADB=60°，
∴∠ADF=∠BDE，
∴△ADF≌△BDE(ASA)，
∴DF=DE;
(1)證明△DAF≌△DCE(SAS)即可判斷;
(2)由菱形的性質得到△ABD是等邊三角形，再證明△ADF≌△BDE即可;
(3)由菱形的性質得到△ABD是等邊三角形，再證明△ADF≌△BDE即可;
本題考查幾何變換綜合題、菱形的性質、等邊三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，判斷三角形是等邊三角形(△ABD是等邊三角形)是解本題的突破點.
26.【答案】解：(1)將A(-1，0)，C(0，3)代入y=ax2+2x+c，得：
，解得：，
∴拋物線的解析式為y=-x2+2x+3.
(2)當y=0時，有-x2+2x+3=0，
解得：x1=-1，x2=3，
∴點B的坐標為(3，0).
∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，
∴點E的坐標為(1，4).
設過B，C兩點的直線解析式為y=kx+b(k≠0)，
將B(3，0)，C(0，3)代入y=kx+b，得：
，解得：，
∴直線BC的解析式為y=-x+3.
∵點D是直線與拋物線對稱軸的交點，
∴點D的坐標為(1，2)，
∴DE=2，
∴當點P運動到點E時，△PCD的面積=×2×1=1.
(3)設點M的坐標為(m，0)，點N的坐標為(1，n).
分三種情況考慮：
?、佼斔倪呅蜟BMN為平行四邊形時，有1-0=m-3，
解得：m=4，
∴此時點M的坐標為(4，0);
②當四邊形CMNB為平行四邊形時，有m-1=0-3，
解得：m=-2，
∴此時點M的坐標為(-2，0);
?、郛斔倪呅蜟MBN為平行四邊形時，有0-1=m-3，
解得：m=2，
∴此時點M的坐標為(2，0).
綜上所述：存在這樣的點M與點N，使以M，N，C，B為頂點的四邊形是平行四邊形，點M的坐標為(4，0)或(-2，0)或(2，0).
【解析】
(1)由點A，C的坐標，利用待定系數法即可求出拋物線的解析式;
(2)利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出點B的坐標，利用配方法可求出頂點E的坐標，由點B，C的坐標，利用待定系數法可求出直線BC的解析式，利用一次函數圖象上點的坐標特征可得出點D的坐標，再利用三角形的面積公式即可求出當點P運動到點E時△PCD的面積;
(3)設點M的坐標為(m，0)，點N的坐標為(1，n)，分四邊形CBMN為平行四邊形、四邊形CMNB為平行四邊形及四邊形CMBN為平行四邊形三種情況，利用平行四邊形的性質找出關于m的一元一次方程，解之即可得出結論.
本題考查了待定系數法求二次函數解析式、二次函數圖象上點的坐標特征、待定系數法求一次函數解析式、一次函數圖象上點的坐標特征、三角形的面積以及平行四邊形的性質，解題的關鍵是：(1)根據點的坐標，利用待定系數法求出二次函數解析式;(2)利用一次函數圖象上點的坐標特征及配方法，求出點D，E的坐標;(3)分四邊形CBMN為平行四邊形、四邊形CMNB為平行四邊形及四邊形CMBN為平行四邊形三種情況求出點M的坐標.
九年級數學上學期期中試卷
一、選擇題(本大題共12小題，共36.0分)
1.下列方程中，一定是關于x的一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.觀察下列圖案，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
3.一元二次方程x2-2x=3的二次項系數、一次項系數、常數項分別是( )
A. 1、2、 B. 1、2、3 C. 1、、3 D. 1、、
4.在平面直角坐標系中，有A(2，-1)、B(-1，-2)、C(2，1)、D(-2，1)四點.其中，關于原點對稱的兩點為( )
A. 點A和點B B. 點B和點C C. 點C和點D D. 點D和點A
5.將拋物線y=2x2平移后得到拋物線y=2x2+1，則平移方式為( )
A. 向左平移1個單位 B. 向右平移1個單位
C. 向上平移1個單位 D. 向下平移1個單位
6.設x1，x2是一元二次方程x2-2x-3=0的兩根，則x1+x2=( )
A. B. 2 C. 3 D.
7.將二次函數y=x2-4x+2化為頂點式，正確的是( )
A. B. C. D.
8.設A(-2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是拋物線y=(x-1)2-3上的三點，則y1，y2，y3的大小關系為
( )
A. B. C. D.
9.△ABC是等邊三角形，點P在△ABC內，PA=2，將△PAB繞點A逆時針旋轉得到△P1AC，則P1P的長等于( )
A. 2
B.
C.
D. 1
10.二次函數 y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，下列結論：①ac>0;②當x≥1時，y隨x的增大而減小;③2a+b=0;④b2-4ac<0;⑤4a-2b+c>0，其中正確的個數是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
11.已知一元二次方程x2-8x+15=0的兩個解恰好分別是等腰△ABC的底邊長和腰長，則△ABC的周長為( )
A. 13 B. 11或13 C. 11 D. 12
12.在同一直角坐標系中，函數y=mx+m和函數y=-mx2+2x+2(m是常數，且m≠0)的圖象可能是( )
A. B.
C. D.
二、填空題(本大題共6小題，共18.0分)
13.方程x2-1=0的解為______.
14.已知關于x的方程x2+mx-6=0的一個根為2，則m=______.
15.二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則方程ax2+bx+c=0的兩根為______.
16.函數y=(x-1)2+3，當x______時，函數值y隨x的增大而增大.
17.一座石拱橋的橋拱是近似的拋物線形，建立如圖所示的平面直角坐標系，其函數關系式為y=-，當水面離橋拱頂的高度OC是4m時，水面的寬度AB為______m.
18.如圖①，在△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4.將△AOB沿x軸依次以點A、B、O為旋轉中心順時針旋轉，分別得到圖②、圖③、…，則旋轉得到的圖⑩的直角頂點的坐標為______.
三、計算題(本大題共2小題，共20.0分)
19.某商品的進價為每件40元.當售價為每件60元時，每星期可賣出300件，現需降價處理，且經市場調查：每降價1元，每星期可多賣出20件.在確保盈利的前提下，解答下列問題：
(1)若設每件降價x元、每星期售出商品的利潤為y元，請寫山y與x的函數關系式，并求出自變量x的取值范圍;
(2)當降價多少元時，每星期的利潤最大?最大利潤是多少?
20.如圖，拋物線y=ax2+2x+c經過點A(0，3)，B(-1，0)，請解答下列問題：
(1)求拋物線的解析式;
(2)拋物線的頂點為點D，對稱軸與x軸交于點E，連接BD，求BD的長.
(3)點F在拋物線的對稱軸上運動，是否存在點F，使△BFC的面積為4，如果存在，求出點F的坐標;如果不存在，請說明理由.
四、解答題(本大題共6小題，共46.0分)
21.解方程：3x(x-1)=2x-2.
22.在如圖的方格紙中，每個小方格都是邊長為1個單位的正方形，△ABC的頂點均在格點上，請在所給直角坐標系中按要求畫圖和解答下列問題：
(1)將△ABC沿x軸向右平移4個單位，在圖中畫出平移后的△A1B1C1
(2)作△ABC關于坐標原點成中心對稱的△A2B2C2.
(3)求B1的坐標______，C2的坐標______.
23.已知二次函數y=-x2-2x+3.
(1)將其配方成y=a(x-k)2+h的形式，并寫出它的開口方向、對稱軸及頂點坐標.
(2)在平面直角坐標系中畫出函數的圖象，并觀察圖象，當y≥0時，x的取值范圍.
24.如圖所示，把一個直角三角尺ACB繞著30°角的頂點B順時針旋轉，使得點A與CB的延長線上的點E重合，連接CD.
(1)試判斷△CBD的形狀，并說明理由;
(2)求∠BDC的度數.
25.某市某樓盤準備以每平方米6000元的均價對外銷售，由于購房者持幣觀望，銷售不暢.房地產開發商為了加快資金周轉，對價格經過兩次下調后，決定以每平方米4860元的均價開盤銷售.求平均每次下調的百分率.
26.已知：關于x的方程x2+4x+(2-k)=0有兩個不相等的實數根.
(1)求實數k的取值范圍.
(2)取一個k的負整數值，且求出這個一元二次方程的根.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
解：A、不是一元二次方程，故此選項錯誤;
B、是一元二次方程，故此選項正確;
C、不是一元二次方程，故此選項錯誤;
D、不是一元二次方程，故此選項錯誤;
故選：B.
根據只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫一元二次方程進行解答即可.
此題主要考查了一元二次方程定義，判斷一個方程是否是一元二次方程應注意抓住5個方面：“化簡后”;“一個未知數”;“未知數的最高次數是2”;“二次項的系數不等于0”;“整式方程”.
2.【答案】C
【解析】
解：A、不是軸對稱圖形，不符合題意，故本選項錯誤;
B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意，故本選項錯誤;
C、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，符合題意，故本選項正確;
D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意，故本選項錯誤.
故選：C.
根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.
本題考查軸對稱圖形及中心對稱圖形的知識，要注意：軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合;中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與原圖形重合.
3.【答案】D
【解析】
解：方程可化為：x2-2x-3=0，
二次項系數為1、一次項系數為-2、常數項為-3.
故選：D.
將方程化為一元二次方程的一般形式，然后找出二次項系數、一次項系數、常數項.
本題考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2叫做二次項，a叫做二次項系數;bx叫做一次項;c叫做常數項.
4.【答案】D
【解析】
解：A(2，-1)與D(-2，1)關于原點對稱，
故選：D.
根據關于原點對稱，橫縱坐標都互為相反數即可得出答案.
本題考查了關于原點對稱點的坐標，掌握P(a，b)關于原點對稱點的坐標P′(-a，-b)是解題的關鍵.
5.【答案】C
【解析】
解：拋物線y=2x2平移得到拋物線y=2x2+1的步驟是：向上平移1個單位.
故選：C.
直接利用二次函數圖象平移規律(左加右減，上加下減)進而得出答案.
此題主要考查了二次函數圖象與幾何變換，正確記憶平移規律是解題關鍵.
6.【答案】B
【解析】
解：根據根與系數的關系，
x1+x2=-=2.
故選：B.
根據兩根和與系數的關系，直接可得結論.
本題考查了根與系數的關系.記住根與系數的關系是關鍵.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與系數的關系為：x1+x2=-，x1•x2=.
7.【答案】A
【解析】
解：y=x2-4x+2
=x2-4x+4-2
=(x-2)2-2.
故選：A.
直接利用配方法將原式變形進而得出答案.
此題主要考查了二次函數的三種形式，正確應用完全平方公式是解題關鍵.
8.【答案】B
【解析】
解：∵y=(x-1)2-3，
∴拋物線的對稱軸為直線x=1，
∵拋物線開口向上，而點A(-2，y1)到對稱軸的距離最遠，B(1，y2)在對稱軸上，
∴y2
故選：B.
由y=(x-1)2-3可知拋物線的對稱軸為直線x=1，根據二次函數的性質，通過三點與對稱軸距離的遠近來比較函數值的大小.
本題考查了二次函數圖象與系數的關系.此題需要掌握二次函數圖象的增減性.
9.【答案】A
【解析】
解：∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=AB，∠CAB=60°，
∵將△PAB繞點A逆時針旋轉得到△P1AC，
∴△CP1A≌△BPA，
∴AP1=AP，∠CAP1=∠BAP，
∴∠CAB=∠CAP+∠BAP=∠CAP+∠CAP1=60°，
即∠PAP1=60°，
∴△APP1是等邊三角形，
∴P1P=PA=2，
故選：A.
根據等邊三角形的性質推出AC=AB，∠CAB=60°，根據旋轉的性質得出△CP1A≌△BPA，推出AP1=AP，∠CAP1=∠BAP，求出∠PAP1=60°，得出△APP1是等邊三角形，即可求出答案.
本題考查了等邊三角形的性質和判定，全等三角形的性質和判定，旋轉的性質等知識點，關鍵是得出△APP1是等邊三角形，注意“有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形，等邊三角形的對應邊相等，每個角都等于60°.
10.【答案】B
【解析】
解：①∵拋物線開口向上，且與y軸交于負半軸，
∴a>0，c<0，
∴ac<0，結論①錯誤;
?、凇邟佄锞€開口向上，且拋物線對稱軸為直線x=1，
∴當x≥1時，y隨x的增大而增大，結論②錯誤;
?、邸邟佄锞€對稱軸為直線x=1，
∴-=1，
∴b=-2a，
∴2a+b=0，結論③正確;
?、堋遖>0，c<0，b=-2a，
∴b2-3ac=4a2-3ac=a(4a-3c)>0，結論④錯誤;
?、荨弋攛=-2時，y>0，
∴4a-2b+c>0，結論⑤正確.
故選：B.
?、儆蓲佄锞€的開口方向及與y軸交點的位置，即可得出a>0、c<0，進而可得出ac<0，結論①錯誤;②由拋物線的開口方向及對稱軸，可得出當x≥1時，y隨x的增大而增大，結論②錯誤;③由拋物線對稱軸為直線x=1，即可得出b=-2a，進而可得出2a+b=0，結論③正確;④由a>0、c<0、b=-2a，可得出b2-3ac=4a2-3ac=a(4a-3c)>0，結論④錯誤;⑤由當x=-2時，y>0可得出4a-2b+c>0，結論⑤正確.綜上即可得出結論.
本題考查了二次函數圖象與系數的關系以及二次函數的性質，逐一分析五條結論的正誤是解題的關鍵.
11.【答案】B
【解析】
解：∵x2-8x+15=0，
∴(x-3)(x-5)=0，
∴x-3=0或x-5=0，
即x1=3，x2=5，
∵一元二次方程x2-8x+15=0的兩個解恰好分別是等腰△ABC的底邊長和腰長，
∴當底邊長和腰長分別為3和5時，3+3>5，
∴△ABC的周長為：3+3+5=11;
∴當底邊長和腰長分別為5和3時，3+5>5，
∴△ABC的周長為：3+5+5=13;
∴△ABC的周長為：11或13.
故選：B.
由一元二次方程x2-8x+15=0的兩個解恰好分別是等腰△ABC的底邊長和腰長，利用因式分解法求解即可求得等腰△ABC的底邊長和腰長，然后分別從當底邊長和腰長分別為3和5時與當底邊長和腰長分別為5和3時去分析，即可求得答案.
此題考查了因式分解法解一元二次方程、等腰三角形的性質以及三角形三邊關系.此題難度不大，注意分類討論思想的應用.
12.【答案】D
【解析】
解：A、由函數y=mx+m的圖象可知m<0，即函數y=-mx2+2x+2開口方向朝上，與圖象不符，故A選項錯誤;
B、由函數y=mx+m的圖象可知m<0，對稱軸為x=-=-=<0，則對稱軸應在y軸左側，與圖象不符，故B選項錯誤;
C、由函數y=mx+m的圖象可知m>0，即函數y=-mx2+2x+2開口方向朝下，與圖象不符，故C選項錯誤;
D、由函數y=mx+m的圖象可知m<0，即函數y=-mx2+2x+2開口方向朝上，對稱軸為x=-=-=<0，則對稱軸應在y軸左側，與圖象相符，故D選項正確;
故選：D.
本題主要考查一次函數和二次函數的圖象所經過的象限的問題，關鍵是m的正負的確定，對于二次函數y=ax2+bx+c，當a>0時，開口向上;當a<0時，開口向下.對稱軸為x=-，與y軸的交點坐標為(0，c).
本題主要考查了一次函數和二次函數的圖象性質以及分析能力和讀圖能力，要掌握它們的性質才能靈活解題.
13.【答案】x1=1，x2=-1
【解析】
解：x2-1=0，
(x+1)(x-1)=0，
x-1=0，x+1=0，
x1=1，x2=-1，
故答案為：x1=1，x2=-1.
分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可.
本題考查了學生對解一元二次方程的應用，本題難度比較低，關鍵是能把一元二次方程轉化成一元一次方程.
14.【答案】1
【解析】
解：把x=2代入方程x2+mx-6=0，
得：4+2m-6=0，
解方程得：m=1.
故答案為：1.
把x=2代入方程x2+mx-6=0得到一個關于m的一元一次方程，求出方程的解即可.
本題主要考查對解一元一次方程，等式的性質，一元二次方程的解等知識點的理解和掌握，能得到方程4+2m-6=0是解此題的關鍵.
15.【答案】x1=-1，x2=3
【解析】
解：∵拋物線與x軸的一交點坐標為(-1，0)，對稱軸方程為x=1，
∴拋物線與x軸的另一交點坐標與(-1，0)關于直線x=1對稱，
∴拋物線與x軸的另一交點坐標(3，0).
∴方程ax2+bx+c=0的兩根為：x1=-1，x2=3.
故答案是：x1=-1，x2=3.
結合圖象得到拋物線與x軸的一交點坐標為(-1，0)，對稱軸方程為x=1，則拋物線與x軸的另一交點坐標與(-1，0)關于直線x=1對稱.
考查了拋物線與x軸的交點.解題時，需要掌握拋物線y=ax2+bx+c與一元二次方程ax2+bx+c=0間的轉化關系.
16.【答案】>1
【解析】
解：可直接得到對稱軸是x=1，
∵a=>0，
∴函數圖象開口向上，
∴當x>1時，函數值y隨x的增大而增大.
先求對稱軸，再利用函數值在對稱軸左右的增減性可得x的范圍.
主要考查了函數的單調性和求拋物線的對稱軸和頂點坐標的方法.
17.【答案】16
【解析】
解：根據題意B的縱坐標為-4，
把y=-4代入y=-x2，
得x=±8，
∴A(-8，-4)，B(8，-4)，
∴AB=16m.
即水面寬度AB為16m.
故答案為：16.
根據題意，把y=-4直接代入解析式即可解答.
此題考查了二次函數的實際應用，掌握二次函數的對稱性是解決問題的關鍵.
18.【答案】(36，0)
【解析】
解：∵在△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4，
∴AB=5，
∴圖③、④的直角頂點坐標為(12，0)，
∵每旋轉3次為一循環，
∴圖⑥、⑦的直角頂點坐標為(24，0)，
∴圖⑨、⑩的直角頂點為(36，0).
故答案為：(36，0).
如圖，在△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4，則AB=5，每旋轉3次為一循環，則圖③、④的直角頂點坐標為(12，0)，圖⑥、⑦的直角頂點坐標為(24，0)，所以，圖⑨、⑩10的直角頂點為(36，0).
本題主要考查了旋轉的性質、坐標與圖形的性質及勾股定理，找出圖形旋轉的規律“旋轉3次為一循環”，是解答本題的關鍵.
19.【答案】解：(1)y=(60-x)(300+20x)-40(300+20x)，
即y=-20x2+100x+6000.
因為降價要確保盈利，所以40<60-x≤60(或40<60-x<60也可).
解得0≤x<20(或0
(2)當時，
y有最大值，
即當降價2.5元時，利潤最大且為6125元.
【解析】
(1)根據題意，賣出了(60-x)(300+20x)元，原進價共40(300+20x)元，則y=(60-x)(300+20x)-40(300+20x).
(2)根據x=-時，y有最大值即可求得最大利潤.
本題考查的是二次函數的應用以及畫圖能力，難度中等.
20.【答案】解：(1)把A(0，3)，B(-1，0)代入y=ax2+2x+c得，即得，
∴拋物線的解析式為y=-x2+2x+3;
(2)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，
∴D(1，4)，
∴BD==2;
(3)存在.
∵拋物線的對稱性為直線x=1，B(-1，0)，
∴C(3，0)，
設F(1，m)，
∵△BFC的面積為4，
∴•(3+1)•|m|=4，
∴|m|=2，解得m=2或m=-2，
∴點F的坐標為(1，2)或(1，-2).
【解析】
(1)利用待定系數法求拋物線解析式;
(2)把(1)的解析式配成頂點式得到D點坐標，然后兩點間的距離公式計算BD的長;
(3)先利用對稱性確定C點坐標，設F(1，m)，根據三角形面積公式得到•(3+1)•|m|=4，然后解絕對值方程求出m即可得到點F的坐標.
本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數y=ax2+bx+c(a，b，c是常數，a≠0)與x軸的交點坐標問題轉化為解關于x的一元二次方程.也考查了待定系數法求二次函數解析式和二次函數的性質.
21.【答案】解：3x(x-1)-2(x-1)=0
(x-1)(3x-2)=0
∴x1=1，x2=.
【解析】
把右邊的項移到左邊，用提公因式法進行因式分解求出方程的根.
本題考查的是用因式分解法解方程，根據題目的結構特點，用提公因式法因式分解求出方程的根.
22.【答案】(2，-2) (4，1)
【解析】
解：(1)△A1B1C1如圖所示;
(2)△A2B2C2如圖所示;
(3)求B1的坐標(2，-2)，C2的坐標(4，1).
(1)分別作出A，B，C的對應點A1，B1，C1即可;
(2)分別作出A，B，C的對應點△A2，B2，C2即可;
(3)根據B1，C2，的位置寫出坐標即可;
本題考查作圖-旋轉變換，平移變換，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型.
23.【答案】解：(1)二次函數y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4，
故該函數的開口向下，對稱軸是直線x=-1，頂點坐標為(-1，4);
(2)當y=0時，0=-x2-2x+3，得x=-3或x=1，
故該函數的圖象如右圖所示，
當y≥0時，x的取值范圍是-3≤x≤1.
【解析】
(1)根據題目中的函數解析式，利用配方法可以將題目中的函數解析式化為y=a(x-k)2+h的形式，并寫出它的開口方向、對稱軸及頂點坐標;
(2)根據題目中的函數解析式可以畫出函數的圖象，并直接寫出當y≥0時，x的取值范圍.
本題考查拋物線與x軸的交點、二次函數的性質，二次函數的三種形式，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質和數形結合的思想解答.
24.【答案】解：(1)∵△EBD由△ABC旋轉而成，
∴△ABC≌△EBD，
∴BC=BD，
∴△CBD是等腰三角形.
(3)∵△ABC≌△EBD，
∴∠EBD=∠ABC=30°，
∴∠DBC=180-30°=150°，
∵△CBD是等腰三角形，
∴∠BDC===15°.
【解析】
(1)根據圖形旋轉不變性的性質得出△ABC≌△EBD，故可得出BC=BD，由此即可得出結論;
(2)根據圖形選旋轉不變性的性質求出∠EBD的度數，再由等腰三角形的性質即可得出∠BDC的度數.
本題考查的是旋轉的性質，熟知圖形旋轉不變性的性質是解答此題的關鍵.
25.【答案】解：設平均每次降價的百分率是x，根據題意列方程得，
6000(1-x)2=4860，
解得：x1=10%，x2=1.9(不合題意，舍去);
答：平均每次降價的百分率為10%.
【解析】
設平均每次下調的百分率為x，利用預訂每平方米銷售價格×(1-每次下調的百分率)2=開盤每平方米銷售價格列方程解答即可.
此題考查了一元二次方程的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程，再求解.
26.【答案】解：(1)∵方程x2+4x+(2-k)=0有兩個不相等的實數根，
∴42-4(2-k)>0，
即4k+8>0，解得k>-2;
(2)若k是負整數，k只能為-1;
如果k=-1，原方程為x2+4x+3=0，
解得：x1=-1，x2=-3.
【解析】
(1)因為方程有兩個不相等的實數根，△>0，由此可求k的取值范圍;
(2)在k的取值范圍內，取負整數，代入方程，解方程即可.
此題考查一元二次方程根的情況與判別式△的關系：(1)△>0⇔方程有兩個不相等的實數根;(2)△=0⇔方程有兩個相等的實數根;(3)△<0⇔方程沒有實數根.
秋季學期九年級數學半期統考試題
一、選擇題(每小題3分，共30分)
1.方程2x2-3x+1=0化為(x+a)2=b的形式，正確的是( C )
A.(x-32)2=16 B.2(x-34)2=116 C.(x-34)2=116 D.以上都不對
2.(益陽中考)下列判斷錯誤的是( D )
A.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形 B.四個內角都相等的四邊形是矩形
C.四條邊都相等的四邊形是菱形 D.兩條對角線垂直且平分的四邊形是正方形
3.(遂寧中考)關于x的一元二次方程(a-1)x2+2x+1=0有兩個實數根，則a的取值范圍為( C )
A.a≤2 B.a<2 C.a≤2且a≠1 D.a<2且a≠1
4.菱形OACB在平面直角坐標系中的位置如圖所示，點C的坐標是(6，0)，點A的縱坐標是1，則點B的坐標是( B )
A.(3，1) B.(3，-1) C.(1，-3) D.(1，3)
5.(涼山州中考)若關于x的方程x2+2x-3=0與2x+3=1x-a有一個解相同，則a的值為( C )
A.1 B.1或-3 C.-1 D.-1或3
6.(河北中考)如圖是邊長為10 cm的正方形鐵片，過兩個頂點剪掉一個三角形，以下四種剪法中，裁剪線長度所標的數據(單位：cm)不正確的是( A )
7.(湖州中考)一個布袋里裝有4個只有顏色不同的球，其中3個紅球，1個白球.從布袋里摸出1個球，記下顏色后放回，攪勻，再摸出1個球，則兩次摸到的球都是紅球的概率是( D )
A.116 B.12 C.38 D.916
8.(蘭州中考)王叔叔從市場上買了一塊長80 cm，寬70 cm的矩形鐵皮，準備制作一個工具箱.如圖，他將矩形鐵皮的四個角各剪掉一個邊長x cm的正方形后，剩余的部分剛好能圍成一個底面積為3000 cm2的無蓋長方形工具箱，根據題意列方程為( C )
A.(80-x)(70-x)=3000 B.80×70-4x2=3000
C.(80-2x)(70-2x)=3000 D.80×70-4x2-(70+80)x=3000
,第8題圖) ,第9題圖) ,第10題圖)
9.(郴州中考)如圖，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF為直角三角形，∠AEB=∠CFD=90°，AE=CF=5，BE=DF=12，則EF的長是( C )
A.7 B.8 C.72 D.73
10.如圖，在矩形ABCD中，點E是AD的中點，∠EBC的平分線交CD于點F，將△DEF沿EF折疊，點D恰好落在BE上M點處，延長BC、EF交于點N.有下列四個結論：①DF=CF;②BF⊥EN;③△BEN是等邊三角形;④S△BEF=3S△DEF.其中，將正確結論的序號全部選對的是( B )
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④
點撥：由折疊的性質、矩形的性質與角平分線的性質，可證得CF=FM=DF，①正確;易求得∠BFE=∠BFN，則可得BF⊥EN，②正確;易證得△BEN是等腰三角形，但無法判定是等邊三角形，③錯誤;易求得BM=2EM=2DE，即可得EB=3EM，根據等高三角形的面積比等于對應底的比，④正確
二、填空題(每小題3分，共18分)
11.(黑龍江中考)如圖，在平行四邊形ABCD中，延長AD到點E，使DE=AD，連接EB，EC，DB請你添加一個條件__EB=DC(答案不唯一)__，使四邊形DBCE是矩形.
12.(成都中考)已知x1，x2是關于x的一元二次方程x2-5x+a=0的兩個實數根，且x12-x22=10，則a=__214__.
,第11題圖) ,第13題圖) ,第16題圖)
13.(紹興中考)如圖為某城市部分街道示意圖，四邊形ABCD為正方形，點G在對角線BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD=1500 m，小敏行走的路線為B→A→G→E，小聰行走的路線為B→A→D→E→F.若小敏行走的路程為3100 m，則小聰行走的路程為__4600__m.
14.(綿陽中考)同時拋擲兩枚質地均勻的骰子，則事件“兩枚骰子的點數和小于8且為偶數”的概率是__14__.
15.(達州期末)對于實數a，b，定義運算“*”：a*b=a2-ab(a≥b)a*b=ab-b2(a
16.如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠ABC=120°，E，F分別為AD，CD上的動點，且AE+CF=2，則線段EF長的最小值是__3__.
三、解答題(共72分)
17.(6分) 解下列方程：
(1)4x2-(3x+1)2=0; (2)x2-6x+2=0.
解：x1=-15，x2=-1 解：x1=3+7，x2=3-7
18.(6分)(雅安中考)如圖，E，F是正方形ABCD的對角線AC上的兩點，且AE=CF.
(1)求證：四邊形BEDF是菱形;
(2)若正方形邊長為4，AE=2，求菱形BEDF的面積.
(1)證明：連接BD交AC于點O，∵四邊形ABCD為正方形，∴BD⊥AC，OD=OB=OA=OC，∵AE=CF，∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF，∴四邊形BEDF為平行四邊形，且BD⊥EF，∴四邊形BEDF為菱形
(2)解：∵正方形邊長為4，∴BD=AC=42，∵AE=CF=2，∴EF=22，∴S菱形BEDF=12BD•EF=12×42×22=8
19.(7分)(巴中中考)某商店準備進一批季節性小家電，進價40元.經市場預測，銷售定價為52元時，可售出180個，定價每增加1元，銷售量凈減少10個;定價每減少1元，銷售量凈增加10個.因受庫存的影響，每批次進貨個數不得超過180個，商店若想獲利2000元，則應進貨多少個?定價為多少元?
解：設每個商品的定價是x元，由題意得(x-40)[180-10(x-52)]=2000，整理得x2-110x+3000=0，解得x1=50，x2=60.當x=50時，進貨180-10(50-52)=200個>180個，不符合題意，舍去;當x=60時，進貨180-10(60-52)=100個<180個，符合題意.
答：當該商品每個定價為60元時，進貨100個
20.(7分)(南充中考)已知關于x的一元二次方程x2-(m-3)x-m=0
(1)求證：方程有兩個不相等的實數根;
(2)如果方程的兩實根為x1、x2，且x12+x22-x1x2=7，求m的值.
(1)證明：∵x2-(m-2)x-m=0，∴Δ=[-(m-3)]2-4×1×(-m)=m2-2m+9=(m-1)2+8>0，∴方程有兩個不相等的實數根
(2)∵x2-(m-3)x-m=0，方程的兩實根為x1、x2，且x12+x22-x1x2=7，∴(x1+x2)2-3x1x2=7，∴(m-3)2-3×(-m)=7，解得m1=1，m2=2，即m的值是1或2
21.(8分)(泰州中考)如圖，正方形ABCD中，G為BC邊上一點，BE⊥AG于E，DF⊥AG于F，連接DE.
(1)求證：△ABE≌△DAF;
(2)若AF=1，四邊形ABED的面積為6，求EF的長.
證明：(1)易證△ABE≌△DAF(AAS)
(2)設EF=x，則AE=DF=x+1，由題意2×12×(x+1)×1+12×x×(x+1)=6，解得x=2或-5(舍棄)，∴EF=2
22.(8分)(錦州中考)傳統節日“端午節”的早晨，小文媽媽為小文準備了四個粽子作早點：一個棗餡粽，一個肉餡粽，兩個花生餡粽，四個粽子除內部餡料不同外，其它一切均相同.
(1)小文吃前兩個粽子剛好都是花生餡粽的概率為__16__;
(2)若媽媽在早點中給小文再增加一個花生餡的粽子，則小文吃前兩個粽子都是花生餡粽的可能性是否會增大?請說明理由.
解：(1)16 (2)會增大，理由：分別用A，B，C表示棗餡粽，肉餡粽，花生餡粽，畫樹狀圖得：
∵共有20種等可能的結果，兩個都是花生的有6種情況，∴都是花生的概率為：620=310>16;
∴給小文再增加一個花生餡的粽子，則小文吃前兩個粽子都是花生餡粽的可能性會增大
23.(8分)(重慶中考)為豐富居民業余生活，某居民區組建籌委會，該籌委會動員居民自愿集資建立一個書刊閱覽室.經預算，一共需要籌資30000元，其中一部分用于購買書桌、書架等設施，另一部分用于購買書刊.
(1)籌委會計劃，購買書刊的資金不少于購買書桌、書架等設施資金的3倍，問最多用多少資金購買書桌、書架等設施?
(2)經初步統計，有200戶居民自愿參與集資，那么平均每戶需集資150元.鎮政府了解情況后，贈送了一批閱覽室設施和書籍，這樣，只需參與戶共集資20000元.經籌委會進一步宣傳，自愿參與的戶數在200戶的基礎上增加了a%(其中a>0).則每戶平均集資的資金在150元的基礎上減少了109a%，求a的值.
解：(1)設用于購買書桌、書架等設施的為x元，則購買書籍的有(30000-x)元，
根據題意得：30000-x≥3x，解得：x≤7500.答：最多用7500元購買書桌、書架等設施
(2)根據題意得：200(1+a%)×150(1-109a%)=20000
整理得：a2+10a-3000=0，解得：a=50或a=-60(舍去)，所以a的值是50
24.(10分)如圖，矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E、P分別在AD、BC上，且DE=BP=1.
(1)判斷△BEC的形狀，并說明理由?
(2)判斷四邊形EFPH是什么特殊四邊形?并證明你的判斷;
(3)求四邊形EFPH的面積.
解：(1)△BEC是直角三角形：理由是：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC=∠ABP=90°，AD=BC=5，AB=CD=2，由勾股定理得：CE=CD2+DE2=22+12=5，同理BE=25，∴CE2+BE2=5+20=25，∵BC2=52=25，∴BE2+CE2=BC2，∴∠BEC=90°，∴△BEC是直角三角形
(2)四邊形EFPH為矩形，證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC，∵DE=BP，∴四邊形DEBP是平行四邊形，∴BE∥DP，∵AD=BC，AD∥BC，DE=BP，∴AE=CP，∴四邊形AECP是平行四邊形，∴AP∥CE，∴四邊形EFPH是平行四邊形，∵∠BEC=90°，∴平行四邊形EFPH是矩形
(3)在Rt△PCD中FC⊥PD，由三角形的面積公式得：PD•CF=PC•CD，∴CF=4×225=455，∴EF=CE-CF=5-455=155，∵PF=PC2-CF2=855，∴S矩形EFPH=EF•PF=85，答：四邊形EFPH的面積是85
25.(12分)(1)如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F是AD延長線上一點，且DF=BE.求證：CE=CF;
(2)如圖2，在正方形ABCD中，E是AB上一點，G是AD上一點，如果∠GCE=45°，請你利用(1)的結論證明：GE=BE+GD;
(3)運用(1)(2)解答中所積累的經驗和知識，完成下題：
如圖3，在四邊形ABCD中，AD∥BC(BC>AD)，∠B=90°，AB=BC，E是AB上一點，且∠DCE=45°，BE=4，DE=10，求四邊形ABCD的面積.
(1)證明：易證△CBE≌△CDF(SAS).∴CE=CF
(2)證明：如圖2，延長AD至F，使DF=BE，連接CF.由(1)知△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF.∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，又∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°.∵CE=CF，GC=GC，∴△ECG≌△FCG.∴GE=GF，∴GE=GF=DF+GD=BE+GD
(3)解：如圖3，過C作CG⊥AD，交AD延長線于G.在四邊形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠A=∠B=90°，又∵∠CGA=90°，AB=BC，∴四邊形ABCG為正方形.∴AG=BC.∵∠DCE=45°，根據(1)(2)可知，ED=BE+DG. ∴10=4+DG，即DG=6.設AB=x，則AE=x-4，AD=x-6，在Rt△AED中，∵DE2=AD2+AE2，即102=(x-6)2+(x-4)2.解這個方程，得：x=12或x=-2(舍去).∴AB=12.∴S梯形ABCD=12(AD+BC)•AB=12×(6+12)×12=108.
即梯形ABCD的面積為108
九年級數學上學期期中試卷閱讀
一、選擇題(共10小題，每小題3分，本大題滿分30分. 每一道小題有A、B、C、D的四個選項，其中有且只有一個選項最符合題目要求，把最符合題目要求的選項的代號直接填涂在答題卡內相應題號下的方框中，不涂、涂錯或一個方框內涂寫的代號超過一個，一律得0分.)
1.二次函數y=x2-2x+2的頂點坐標是
A.(1，1) B.(2，2) C.(1，2) D.(1，3)
2.平面直角坐標系內與點P(-2，3)關于原點對稱的點的坐標是
A.(3，-2) B.(2，3) C.(2，-3) D.(-3，-3)
3.已知拋物線C的解析式為y=ax2+bx+c，則下列說法中錯誤的是
A.a確定拋物線的開口方向與大小
B.若將拋物線C沿y軸平移，則a，b的值不變
C.若將拋物線C沿x軸平移，則a的值不變
D.若將拋物線C沿直線l：y=x+2平移，則a、b、c的值全變
4.如圖，B，C是⊙O上兩點，且∠α=96°，A是⊙O上一個動點(不與B，C重合)，則∠A為
A.48° B.132° C.48°或132° D.96°
5.如圖，△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，以點C為圓心的圓與AB相切，則⊙C的半徑為
A.2.3 B.2.4 C.2.5 D.2.6
6.如圖，將半徑為6cm的圓折疊后，圓弧恰好經過圓心，則折痕的長為
A. B. C. 2 D. 3
7.若二次函數y=mx2-4x+m有最大值-3，則m等于
A.m=4 B.m=-4 C.m=1 D.m=-1
8.在平面直角坐標系中，將點P(-3，2)繞點A(0，1)順時針旋轉90°，所得到的對應點P′的坐標為
A.(-1，-2) B.(3，-2) C.(1，4) D.(1，3)
9.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=，將△ACB繞點A逆時針旋轉60°得到△AC′B′，則CB′的長為
A. B. C.3 D.
10.如圖，已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象經過點(0，3)，(x1，0)，其中，2
A.②③④ B.①②③ C.②④ D.②③
二、填空題(共6小題，每小題3分，共18分)
11.已知二次函數y=ax2+4ax+c的圖象與x軸的一個交點為(-1，0)，則它與x軸的另一個交點
的坐標是 .
12.拋物線的部分圖象如圖所示，則當y>0時，x的取值范圍是_________________.
13.如圖，將Rt△ABC繞直角頂點C順時針旋轉90°，得到△A′B'C，連接AA'，若∠1= 20°，則∠B的度數為 .
14.如圖，C是⊙O的弦BA延長線上一點，已知∠COB=130°，∠C=20°，OB=2，則AB的長為________.
15.如圖，正方形ABCD的邊長為4 cm，以正方形的一邊BC為直徑在正方形ABCD內作半圓，再過點A作半圓的切線，與半圓切于點F，與CD交于點E，則S梯形ABCE= cm2.
16.如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，E，F分別在邊AC，BC，若以EF為直徑作圓經過AB上某點D，則EF長的取值范圍為 .
三、解答題(共8小題，共72分)
17.(5分)已知拋物線的頂點坐標是(-1，-4)，與y軸的交點是(0，-3)，求這個二次函數的解析式.
18.(8分)如圖所示，△ABC與點O在10×10
的網格中的位置如圖所示.
(1) 畫出△ABC繞點O逆時針旋轉90°后的圖形.
(2) 若⊙M能蓋住△ABC，則⊙M的半徑最小值為________.
19. (7分)河上有一座橋孔為拋物線形的拱橋(如圖1)，
水面寬6m時，水面離橋孔頂部3m，因降暴雨水面上升1m.
(1)建立如下的坐標系，求暴雨后水面的寬;
(2)一艘裝滿物資的小船，露出水面部分高為0.5m、寬4m(橫斷面如圖2所示)，暴雨后
這艘船能從這座拱橋下通過嗎?(注：結果保留根號.)
圖1 圖2
20.(7分)已知y關于x二次函數y=x2-(2k+1)x+(k2+5k+9)與x軸有交點.
(1)求k的取值范圍;
(2)若x1，x2是關于x的方程x2-(2k+1)x+(k2+5k+9)=0的兩個實數根，且x12+x22=39，
求k的值.
21.(7分)如圖，臺風中心位于點A，并沿東北方向AC移動，已知臺風移動的速度為50
千米/時，受影響區域的半徑為130千米，B市位于點A的
北偏東75°方向上，距離A點240千米處.
(1)說明本次臺風會影響B市;
(2)求這次臺風影響B市的時間.
22.(8分)某賓館有50個房間供游客居住，當每個房間定價120元時，房間會全部住滿，當每
個房間每天的定價每增加10元時，就會有一個房間空閑，如果游客居住房間，賓館需對每
個房間每天支出20元的各種費用，設每個房間定價為x元(x為整數).
(1)直接寫出每天游客居住的房間數量y與x的函數解析式.
(2)設賓館每天的利潤為W元，當每間房價定價為多少元時，賓館每天所獲利潤最大，最大利潤是多少?
23.(8分)如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，D是⊙O上一點，且 ，CE⊥DA交DA的延長線于點E.
(1)求證：∠CAB=∠CAE;
(2)求證：CE是⊙O的切線;
(3)若AE=1，BD=4，求⊙O的半徑長.
24.(10分)如圖1，已知△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，點D，E分別在CB，CA上，且CD=CE，連AD，BE，F為AD的中點，連CF.
(1)求證：CF=BE，且CF⊥BE;
(2)將△CDE繞點C順時針旋轉一個銳角(如圖2)，其它條件不變，此時(1)中的結論
是否仍成立?并證明你的結論.
25.(12分)如圖1，拋物線y=ax2+bx+c 的圖象與x軸交于A(-3，0)、B(1，0)兩點，與y軸交于點C，且OC=OA.
(1)求拋物線解析式;
(2)過直線AC上方的拋物線上一點M作y軸的平行線，與直線AC交于點N.已知M點
的橫坐標為m，試用含m的式子表示MN的長及△ACM的面積S，并求當MN的
長最大時S的值;
(3)如圖2，D(0，-2)，連接BD，將△OBD繞平面內的某點(記為P)逆時針旋轉
180°得到△O′B′D′，O、B、D的對應點分別為O′、B′、D′.若點B′、D′兩點恰好落
在拋物線上，求旋轉中心點P的坐標.
九年級數學評分標準
1-10 A C D C B A B C B D
11、(-3，0);12、-1
17、y=(x+1)2-4
18、(1)略;(2)(以AC為直徑)
19、因為當水面寬AB=6m時,水面離橋孔頂部3m,所以點A的坐標是(3,-3).
把x=3，y=-3代入y=ax2得-3=a×32，解得 a=.
把y=-2代入y=x2,得， .
解得， .
所以，點C、D的坐標分別為(,-2)、(-,-2),
CD=2.
答:水位上升1m時,水面寬約為2m.
(2)當x=2時，y=，
因為船上貨物最高點距拱頂1.5米，且||<1.5，所以這艘船能從橋下通過.
20、解：(1)∵y關于x二次函數y=x2-(2k+1)x+(k2+5k+9)與x軸有交點，
∴△≥0，即[-(2k+1)]2-4×1×(k2+5k+9)≥0，
解得k≤;
(2)根據題意可知x1+x2=2k+1，x1x2=k2+5k+9，
∵x12+x22=39，
∴(x1+x2)2-2x1x2=39，
∴(2k+1)2-2(k2+5k+9)=39，解得k=7或k=-4，
∵k≤，
∴k=-4.
21、解：(1)作BD⊥AC于點D.
在Rt△ABD中，由條件知，AB=240，∠BAC=75°﹣45°=30°，
∴BD=240×=120<130，
∴本次臺風會影響B市.
(2)如圖，以點B為圓心，以130為半徑作圓交AC于E，F，
若臺風中心移動到E時，臺風開始影響B市，臺風中心移動到F時，臺風影響結束.
由(1)得BD=240，由條件得BE=BF=130，
∴EF=2=100，
∴臺風影響的時間t==2(小時).
故B市受臺風影響的時間為2小時.
22、解：(1)y=50-=-0.1x+62;
(2)w=(x-20)(-0.1x+62)
=-0.1x2+64x-1240
=-0.1(x-320)2+9000，
∴當x=320時，w取得最大值，最大值為9000，
答：當每間房價定價為320元時，賓館每天所獲利潤最大，最大利潤是9000元.
23、證明：(1)∵，∴∠CDB=∠CBD，
∵∠CAE=∠CBD，∠CAB=∠CDB，
∴∠CAB=∠CAE;
(2)連接OC
∵AB為直徑，∴∠ACB=90°=∠AEC，
又∵∠CAB=∠CAE，∴∠ABC=∠ACE，
∵OB=OC，∴∠BCO=∠CBO，∴∠BCO=∠ACE，∴∠ECO=∠ACE+∠ACO=∠BCO+∠ACO=∠ACB=90°，
∴EC⊥OC，
∵OC是⊙O的半徑，
∴CE是⊙O的切線.
(3)過點C作CF⊥AB于點F，
∵∠CAB=∠CAE，CE⊥DA，
∴AE=AF，
在△CED和△CFB中，
，
∴△CED≌△CFB，
∴ED=FB，
設AB=x，則AD=x-2，
在△ABD中，由勾股定理得，x2=(x-2)2+42，
解得，x=5，
∴⊙O的半徑的長為2.5.
24、解：(1)在△ACD和△BCE中，
∵，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE、∠CAD=∠CBE，
∵F為AD中點，∠ACD=90°，
∴FC=AF=AD，
∴CF=BE，∠CAD=∠ACF，
∴∠CBE=∠ACF，
∴∠CBE+∠BCF=∠ACF+∠BCF=∠BCE=90°，
∴CF⊥BE;
(2)此時仍有CF=BE、CF⊥BE，
延長CF至G，使FG=CF，連接GA，
在△CDF和△GAF中，
∵，
∴△DFC≌△AFG(SAS)，
∴GA=CD，∠FDC=∠FAG，
∴AG∥DC，AG=CE，
∴∠GAC+∠DCA=180°，
又∵∠BCE+∠DCA=∠BCA+∠ACD+∠ECA=∠BCA+∠ECD=180°，
∴∠GAC=∠BCE，
在△BCE和△CAG中，
∵，
∴△BCE≌△CAG(SAS)，
∴CG=BE，∠CBE=∠ACG，
∴CF=BE，∠CBE+∠BCF=∠BCA=90°，
∴CF⊥BE.
解：(1)設拋物線解析式為y=a(x+3)(x-1)，
將C(0，3)代入解析式得，-3a=3,解得a=-1，
∴拋物線解析式為y=-x2-2x+3.
(2)如圖1中，
∵A(﹣3，0)，C(0，3)，
∴直線AC解析式為y=x+3，OA=OC=3，
設M(m，-m2-2m+3)，則N(m，m+3)，
則MN=-m2-2m+3-(m+3)=-m2-3m(-3
，
MN=-m2-3m=-(m+)2+，
∵a=-1<0， -3
∴m=-時，MN最大，此時S=;
(3)如圖2中，旋轉180°后，對應線段互相平行且相等，則BD與B′D′互相平行且相等.
設B′(t，-t2-2t+3)，則D′(t+1，-t2-2t+3+2)
∵B′在拋物線上，則-(t+1)2-2(t+1)+3=-t2-2t+3+2，
解得，t=，則B′的坐標為(，)，
P是點B和點B′的對稱中心，
∴P(，).
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