九年級數學上學期期中試卷

　　A.m≤2或m≥3 B.m≤3或m≥4 C.2

　　10.(3分)已知二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖，有下列5個結論：

　　①abc<0;②3a+c>0;③4a+2b+c>0;④2a+b=0;⑤b2>4ac.

　　其中正確的結論的有(　　)

　　A.2個 B.3個 C.4個 D .5個

　　二.填空題(共5小題，滿分15分，每小題3分)

　　11.(3分)若m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一個根，則6m2﹣9m+2015的值為　 　.

　　12.(3分)方程x(x+1)=2(x+1)的解是　 　.

　　13.(3分)如圖，已知⊙O是△ABD的外接圓，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，則∠BCD的度數是　 　.

　　14.(3分)已知二次函數y=ax2+bx+c(a ≠0)中，函數值y與自變量x的部分對應值如下表：

　　x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 …

　　y … 3 ﹣2 ﹣5 ﹣6 ﹣5 …

　　則關于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣2的根是　 　.

　　15.(3分)如圖，線段AB=10，點P在線段AB上，在AB的同側分別以AP、BP為邊長作正方形APCD和BPEF，點M、N分別是EF、CD的中點，則MN的最小值是　 　.

　　三.解答題(共7小題，滿分55分)

　　16.(8分)解下列方程：

　　(1)x(x+5)=14;

　　(2)x2﹣2x﹣2=0

　　17.(6分)如圖，AB是⊙O的直徑，C、D兩點在⊙O上，若∠C=45°，

　　(1)求∠ABD的度數;

　　(2)若∠CDB=30°，BC=3，求⊙O的半徑.

　　18.(7分)如圖，△ABC三個頂點的坐標分別為A(2，4)，B(1，1)，C(4，3).

　　(1)請畫出△ABC關于x軸對稱的△A1B1C1，并寫出點A1的坐標;

　　(2)請畫出△ABC繞點B逆時針旋轉90°后的△A2BC2;

　　(3)求出(2)中C點旋轉到C2點所經過的路徑長(結果保留根號和π);

　　(4)求出(2)△A2BC2的面積是多少.

　　19.(8分)今年深圳“讀書月”期間，某書店將每本成本為30元的一批圖書，以40元的單價出售時，每天的銷售量是300本.已知在每本漲價幅度不超過10元的情況下，若每本漲價1元，則每天就會少售出10本，設每本書上漲了x元.請解答以下問題：

　　(1)填空：每天可售出書　 　本(用含x的代數式表示);

　　(2)若書店想通過售出這批圖書每天獲得3750元的利潤，應漲價多少元?

　　20.(8分)已知關于x的一元二次方程x2﹣(2m﹣2)x+(m2﹣2m)=0.

　　(1)求證：方程有兩個不相等的實數根.

　　(2)如果方程的兩實數根為x1，x2，且x12+x2 2=10，求m的值.

　　21.(9分)某企業(yè)信息部進行市場調研發(fā)現：

　　信息一：如果單獨投資A種產品，所獲利潤yA(萬元)與投資金額x(萬元)之間存在某種關系的部分對應值如下表：

　　x(萬元) 1 2 2.5 3 5

　　yA(萬元) 0.4 0.8 1 1.2 2

　　信息二：如果單獨投資B種產品，則所獲利潤yB(萬元)與投資金額x(萬元)之間存在二次函數關系：yB=ax2+bx，且投資2萬元時獲利潤2.4萬元，當投資4萬元時，可獲利潤3.2萬元.

　　(1)求出yB與x的函數關系式;

　　(2)從所學過的一次函數、二次函數、反比例函數中確定哪種函數能表示yA與x之間的關系，并求出yA與x的函數關系式;

　　(3)如果企業(yè)同時對A、B兩種產品共投資15萬元，請設計一個能獲得最大利潤的投資方案，并求出按此方案能獲得的最大利潤是多少?

　　22.(9分)如圖，拋物線y=ax2+bx(a<0)過點E(10，0)，矩形ABCD的邊AB在線段OE上(點A在點B的左邊)，點C，D在拋物線上.設A(t，0)，當t=2時，AD=4.

　　(1)求拋物線的函數表達式.

　　(2)當t為何值時，矩形ABCD的周長有最大值? 最大值是多少?

　　(3)保持t=2時的矩形ABCD不動，向右平移拋物線.當平移后的拋物線與矩形的邊有兩個交點G，H，且直線GH平分矩形的面積時，求拋物線平移的距離.

　　參考答案

　　一.選擇題

　　1.B.

　　2.C.

　　3.D.

　　4.A.

　　5.C.

　　6.B.

　　7.A.

　　8.D.

　　9.B.

　　10.C.

　　二.填空題

　　11 .2018

　　12.x1=2，x2=﹣1.

　　13.32°.

　　14.x1=﹣4，x2=0.

　　15.5.

　　三.解答題

　　16.解：(1)x2+5x﹣14=0，

　　(x+7)(x﹣2)=0，

　　x+7=0或x﹣2=0，

　　所以x1=﹣7，x2=2;

　　(2)x2﹣2x=2，

　　x2﹣2x+1=3，

　　(x﹣1)2=3，

　　x﹣1=± ，

　　所以x1=1+ ，x2=1﹣ .

　　17.解：(1)∵∠C=45°，

　　∴∠A=∠C=45°，

　　∵AB是⊙O的直徑，

　　∴∠ADB=90°，

　　∴∠ABD=45°;

　　(2)連接AC，

　　∵AB是⊙O的直徑，

　　∴∠ACB=90°，

　　∵∠CAB=∠CDB=30°，BC=3，

　　∴AB=6，

　　∴⊙O的半徑為3.

　　18.]解：(1)如圖，△A1B1C1為所作，點A1的坐標為(2，﹣4);

　　(2)如圖，△A2BC2為所作;

　　(3)BC= = ，

　　所以C點旋轉到C2點所經過的路徑長= = π;

　　(4)△A2BC2的面積=3×3﹣ ×1×2﹣ ×1×3﹣ ×2×3= .

　　19.

　　【解答】解：(1)∵每本書上漲了x元，

　　∴每天可售出書(300﹣10x)本.

　　故答案為：(300﹣10x).

　　(2)設每本書上漲了x元(x≤10)，

　　根據題意得：(40﹣30+x)(300﹣10x)=3750，

　　整理，得：x2﹣20x+75=0，

　　解得：x1=5，x2=15(不合題意，舍去).

　　答：若書店想每天獲得3750元的利潤，每本書應漲價5元.

　　20.

　　【解答】解：(1)由題意可知：△=(2m﹣2)2﹣4(m2﹣2m)

　　=4>0，

　　∴方程有兩個不相等的實數根.

　　(2)∵x1+x2=2m﹣2，x1x2=m2﹣2m，

　　∴ + =(x1+x2)2﹣2x1x2=10，

　　∴(2m﹣2)2﹣2(m2﹣2m)=10，

　　∴m2﹣2m﹣3=0，

　　∴m=﹣1或m=3

　　21.

　　【解答】解：(1)由題意得，將坐標(2，2.4)(4，3.2)代入函數關系式y(tǒng)B=ax2+bx，

　　求解得：

　　∴yB與x的函數關系式：yB=﹣0.2x2+1.6x

　　(2)根據表格中對應的關系可以確定為一次函數，

　　故設函數關系式y(tǒng)A=kx+b，將(1，0.4)(2，0.8)代入得： ，]

　　解得： ，

　　則yA=0.4x;

　　(3)設投資B產品x萬元，投資A產品(15﹣x)萬元，總利潤為W萬元，

　　W=﹣0.2x2+1.6x+0.4(15﹣x)=﹣0.2(x﹣3)2+7.8

　　即當投資B3萬元，A12萬元時所獲總利潤最大，為7.8萬元.

　　22.

　　【解答】解：(1)設拋物線解析式為y=ax(x﹣10)，

　　∵當t=2時，AD=4，

　　∴點D的坐標為(2，4)，

　　∴將點D坐標代入解析式得﹣16a=4，

　　解得：a=﹣ ，

　　拋物線的函數表達式為y=﹣ x2+ x;

　　(2)由拋物線的對稱性得BE=OA=t，

　　∴AB=10﹣2t，

　　當x=t時，AD=﹣ t2+ t，

　　∴矩形ABCD的周長=2(AB+AD)

　　=2[(10﹣2t)+(﹣ t2+ t)]

　　=﹣ t2+t+20

　　=﹣ (t﹣1)2+ ，

　　∵﹣ <0，

　　∴當t=1時，矩形ABCD的周長有最大值，最大值為 ;

　　(3)如圖，

　　當t=2時，點A、B、C、D的坐標分別為(2，0)、(8，0)、(8，4)、(2，4)，

　　∴矩形ABCD對角線的交點P的坐標為(5，2)，

　　當平移后的拋物線過點A時，點H的坐標為(4，4)，此時GH不能將矩形面積平分;

　　當平移后的拋物線過點C時，點G的坐標為(6，0)，此時GH也不能將矩形面積平分;

　　∴當G、H中有一點落在線段AD或BC上時，直線GH不可能將矩形的面積平分，

　　當點G、H分別落在線段AB、DC上時，直線GH過點P，必平分矩形ABCD的面積，

　　∵AB∥CD，

　　∴線段OD平移后得到的線段GH，

　　∴線段OD的中點Q平移后的對應點是P，

　　在△OBD中，PQ是中位線，

　　∴PQ= OB=4，

　　所以拋物線向右平移的距離是4個單位.

　　九年級數學上學期期中試題閱讀

　　一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分)

　　1.用因式分解法解一元二次方程x(x﹣3)=x﹣3時，原方程可化為(　　)

　　A.(x﹣1)(x﹣3)=0 B.(x+1)(x﹣3)=0 C.x (x﹣3)=0 D.(x﹣2)(x﹣3)=0

　　2.隨機擲一枚均勻的硬幣兩次，兩次正面都朝上的概率是(　　)

　　A. B. C. D.1

　　3.下列各組線段中是成比例線段的是(　　)

　　A.1cm，2cm，3cm，4cm B.1cm，2cm，2cm，4cm

　　C.3cm，5cm，9cm，13cm D.1cm，2cm，2cm，3cm

　　4.關于x的方程x2+(m﹣2)x+m+1=0有兩個相等的實數根，則m的值是(　　)

　　A.0 B.8 C.4 D.0或8

　　5.如圖，三角形ABC中，D、E、F分別是AB，AC，BC上的點，且DE∥BC，EF∥AB，AD：DB=1：2，BC=30cm，則FC的長為(　　)

　　A.10cm B.20cm C.5cm D.6cm

　　6.x=1是關于x的一元二次方程x2+mx﹣5=0的一個根，則此方程的另一個根是(　　)

　　A.5 B.﹣5 C.4 D.﹣4

　　7.已知x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣3=0的兩根，則x1+x2，x1x2的值分別為(　　)

　　A.﹣2，3 B.2，3 C.3，﹣2 D.﹣2，﹣3

　　8.如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC上的點，且DE∥BC，如果AD=2cm，DB=1cm，AE=1.8cm，則EC=(　　)

　　A.0.9cm B.1cm C.3.6cm D.0.2cm

　　9.一件商品的原價是100元，經過兩次提價后的價格為121元，如果每次提價的百分率都是x，根據題意，下面列出的方程正確的是(　　)

　　A.100(1+x)=121 B.100(1﹣x)=121 C.100(1+x)2=121 D.100(1﹣x)2=121

　　10.如圖，菱形ABCD的對角線相交于點O，過點D作DE∥AC，且DE= AC，連接CE、OE，連接AE，交OD于點F.若AB=2，∠ABC=60°，則AE的長為(　　)

　　A. B. C. D.

　　二、填空題(本大題共6小題，每小題4分，共24分)

　　11.方程(x﹣2)2=9的解是　　.

　　12.邊長為5cm的菱形，一條對角線長是6cm，則菱形的面積是　　cm2.

　　13.如果線段a，b，c，d成比例，且a=5，b=6，c=3，則d=　　.

　　14.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AE⊥BD，垂足為E，ED=3BE，則∠AOB的度數為　　.

　　15.x2﹣2x+3=0是關于x的一元二次方程，則a所滿足的條件是　　.

　　16.如圖，已知正方形ABCD的對角線長為2 ，將正方形ABCD沿直線EF折疊，則圖中陰影部分的周長為　　.

　　三、解答題(一)(本大題共3小題，每小題6分，共18分)

　　17.解方程x(x﹣1)=2.

　　18.解方程：x2﹣2x=2x+1.

　　19.如圖，在▱ABCD中，F是AD的中點，延長BC到點E，使CE= BC，連接DE，CF.求證：四邊形CEDF是平行四邊形.

　　四、解答題(二)(本大題共3小題，每小題7分，共21分)

　　20.(7分)已知：如圖，在菱形ABCD中，分別延長AB、AD到E、F，使得BE=DF，連接EC、FC.

　　求證：EC=FC.

　　21.(7分)某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利44元，為了擴大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當的減價措施，經調查發(fā)現，如果每件襯衫每降1元，商場平均每天可多售出5件.若商場平均每天要盈利1600元，每件襯衫應降價多少元?這時應進貨多少件?

　　22.(7分)一只箱子里共3個球，其中2個白球，1個紅球，它們除顏色外均相同.

　　(1)從箱子中任意摸出一個球是白球的概率是多少?

　　(2)從箱子中任意摸出一個球，不將它放回箱子，攪勻后再摸出一個球，求兩次摸出的球都是白球的概率，并畫出樹狀圖或列出表格.

　　五、解答題(三)(本大題共3小題，每小題9分，共27分)

　　23.(9分)如圖，在直角坐標系中放入一個矩形紙片ABCO，將紙片翻折后，點B恰好落在x軸上，記為B'，折痕為CE.直線CE的關系式是y=﹣ x+8，與x軸相交于點F，且AE=3.

　　(1)求OC長度;

　　(2)求點B'的坐標;

　　(3)求矩形ABCO的面積.

　　24.(9分)如圖，正方形ABCD中，M為BC上一點，F是AM的中點，EF⊥AM，垂足為F，交AD的延長線于點E，交DC于點N.

　　(1)求證：△ABM∽△EFA;

　　(2)若AB=12，BM=5，求DE的長.

　　25.(9分)如圖，矩形ABCD中，AB=16cm，BC=6cm，點P從點A出發(fā)沿AB向點B移動(不與點A、B重合)，一直到達點B為止;同時，點Q從點C出發(fā)沿CD向點D移動(不與點C、D重合).運動時間設為t秒.

　　(1)若點P、Q均以3cm/s的速度移動，則：AP=　　cm;QC=　　cm.(用含t的代數式表示)

　　(2)若點P為3cm/s的速度移動，點Q以2cm/s的速度移動，經過多長時間PD=PQ，使△DPQ為等腰三角形?

　　(3)若點P、Q均以3cm/s的速度移動，經過多長時間，四邊形BPDQ為菱形?

　　九年級(上)期中數學試卷

　　參考答案與試題解析

　　一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分)

　　1.用因式分解法解一元二次方程x(x﹣3)=x﹣3時，原方程可化為(　　)

　　A.(x﹣1)(x﹣3)=0 B.(x+1)(x﹣3)=0 C.x (x﹣3)=0 D.(x﹣2)(x﹣3)=0

　　【考點】解一元二次方程-因式分解法.

　　【分析】先移項，再分解因式，即可得出選項.

　　【解答】解：x(x﹣3)=x﹣3，

　　x(x﹣3)﹣(x﹣3)=0，

　　(x﹣3(x﹣1)=0，

　　故選A.

　　【點評】本題考查了解一元二次方程的應用，能正確分解因式是解此題的關鍵.

　　2.隨機擲一枚均勻的硬幣兩次，兩次正面都朝上的概率是(　　)

　　A. B. C. D.1

　　【考點】列表法與樹狀圖法.

　　【分析】首先利用列舉法，列得所有等可能的結果，然后根據概率公式即可求得答案.

　　【解答】解：隨機擲一枚均勻的硬幣兩次，

　　可能的結果有：正正，正反，反正，反反，

　　∴兩次正面都朝上的概率是 .

　　故選A.

　　【點評】此題考查了列舉法求概率的知識.解題的關鍵是注意不重不漏的列舉出所有等可能的結果，用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比.

　　3.下列各組線段中是成比例線段的是(　　)

　　A.1cm，2cm，3cm，4cm B.1cm，2cm，2cm，4cm

　　C.3cm，5cm，9cm，13cm D.1cm，2cm，2cm，3cm

　　【考點】比例線段.

　　【分析】分別計算各組數中最大與最小數的積和另外兩數的積，然后根據比例線段的定義進行判斷即可得出結論.

　　【解答】解：∵1×4≠2×3，

　　∴選項A不成比例;

　　∵1×4=2×2，

　　∴選項B成比例;

　　∵3×13≠5×9，

　　∴選項C不成比例;

　　∵3×1≠2×2，

　　∴選項D不成比例

　　故選B.

　　【點評】本題考查了比例線段：判定四條線段是否成比例，只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩條線段之比與后兩條線段之比是否相等即可，求線段之比時，要先統(tǒng)一線段的長度單位，最后的結果與所選取的單位無關系.

　　4.關于x的方程x2+(m﹣2)x+m+1=0有兩個相等的實數根，則m的值是(　　)

　　A.0 B.8 C.4 D.0或8

　　【考點】根的判別式.

　　【分析】根據方程x2+(m﹣2)x+m+1=0有兩個相等的實數根可得△=0，即(m﹣2)2﹣4(m+1)=0，解方程即可得m的值.

　　【解答】解：∵方程x2+(m﹣2)x+m+1=0有兩個相等的實數根，

　　∴△=0，即(m﹣2)2﹣4(m+1)=0，

　　解得：m=0或m=8，

　　故選：D.

　　【點評】此題考查了一元二次方程根的判別式的知識.此題比較簡單，注意掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與△=b2﹣4ac有如下關系：①當△>0時，方程有兩個不相等的兩個實數根;②當△=0時，方程有兩個相等的兩個實數根;③當△<0時，方程無實數根.

　　5.如圖，三角形ABC中，D、E、F分別是AB，AC，BC上的點，且DE∥BC，EF∥AB，AD：DB=1：2，BC=30cm，則FC的長為(　　)

　　A.10cm B.20cm C.5cm D.6cm

　　【考點】平行線分線段成比例.

　　【分析】先由DE∥BC，EF∥AB得出四邊形BDEF是平行四邊形，那么BF=DE.再由AD：DB=1：2，得出AD：AB=1：3.由DE∥BC，根據平行線分線段成比例定理得出DE：BC=AD：AB=1：3，將BC=30cm代入求出DE的長，即可得FC的長.

　　【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB，

　　∴四邊形BDEF是平行四邊形，

　　∴BF=DE.

　　∵AD：DB=1：2，

　　∴AD：AB=1：3.

　　∵DE∥BC，

　　∴DE：BC=AD：AB=1：3，即DE：30=1：3，

　　∴DE=10，

　　∴BF=10.

　　故FC的長為20cm.

　　故選B

　　【點評】此題考查了平行線分線段成比例定理，平行四邊形的判定與性質，比例的性質，難度不大，得出BF=DE，從而利用轉化思想是解題的關鍵.

　　6.x=1是關于x的一元二次方程x2+mx﹣5=0的一個根，則此方程的另一個根是(　　)

　　A.5 B.﹣5 C.4 D.﹣4

　　【考點】根與系數的關系.

　　【分析】由于該方程的一次項系數是未知數，所以求方程的另一解可以根據根與系數的關系進行計算.

　　【解答】解：設方程的另一根為x1，

　　由根據根與系數的關系可得：x1•1=﹣5，

　　∴x1=﹣5.

　　故選：B.

　　【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與系數的關系：若方程兩個為x1，x2，則x1+x2=﹣ ，x1•x2= .

　　7.已知x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣3=0的兩根，則x1+x2，x1x2的值分別為(　　)

　　A.﹣2，3 B.2，3 C.3，﹣2 D.﹣2，﹣3

　　【考點】根與系數的關系.

　　【分析】直接根據根與系數的關系求解.

　　【解答】解：根據題意得x1+x2= =﹣2; x1x2= ﹣3.

　　故選D.

　　【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與系數的關系，關鍵是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根時，x1+x2= ，x1x2= .

　　8.如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC上的點，且DE∥BC，如果AD=2cm，DB=1cm，AE=1.8cm，則EC=(　　)

　　A.0.9cm B.1cm C.3.6cm D.0.2cm

　　【考點】平行線分線段成比例.

　　【分析】根據平行線分線段成比例定理得到 = ，然后利用比例性質求EC的長.

　　【解答】解：∵DE∥BC，

　　∴ = ，即 = ，

　　∴EC=0.9(cm).

　　故選A.

　　【點評】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例.

　　9.一件商品的原價是100元，經過兩次提價后的價格為121元，如果每次提價的百分率都是x，根據題意，下面列出的方程正確的是(　　)

　　A.100(1+x)=121 B.100(1﹣x)=121 C.100(1+x)2=121 D.100(1﹣x)2=121

　　【考點】由實際問題抽象出一元二次方程.

　　【分析】設平均每次提價的百分率為x，根據原價為100元，表示出第一次提價后的價錢為100(1+x)元，然后再根據價錢為100(1+x)元，表示出第二次提價的價錢為100(1+x)2元，根據兩次提價后的價錢為121元，列出關于x的方程.

　　【解答】解：設平均每次提價的百分率為x，

　　根據題意得：100(1+x)2=121，

　　故選C.

　　【點評】此題考查了一元二次方程的應用，屬于平均增長率問題，一般情況下，假設基數為a，平均增長率為x，增長的次數為n(一般情況下為2)，增長后的量為b，則有表達式a(1+x)n=b，類似的還有平均降低率問題，注意區(qū)分“增”與“減”.

　　10.如圖，菱形ABCD的對角線相交于點O，過點D作DE∥AC，且DE= AC，連接CE、OE，連接AE，交OD于點F.若AB=2，∠ABC=60°，則AE的長為(　　)

　　A. B. C. D.

　　【考點】菱形的性質.

　　【分析】先求出四邊形OCED是平行四邊形，再根據菱形的對角線互相垂直求出∠COD=90°，證明四邊形OCED是矩形，再根據菱形的性質得出AC=AB，再根據勾股定理得出AE的長度即可.

　　【解答】解：在菱形ABCD中，OC= AC，AC⊥BD，

　　∴DE=OC，

　　∵DE∥AC，

　　∴四邊形OCED是平行四邊形，

　　∵AC⊥BD，

　　∴平行四邊形OCED是矩形，

　　∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，

　　∴△ABC為等邊三角形，

　　∴AD=AB=AC=2，OA= AC=1，

　　在矩形OCED中，由勾股定理得：CE=OD= = = ，

　　在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE= = = ;

　　故選：C.

　　【點評】本題考查了菱形的性質、平行四邊形的判定、矩形的判定與性質、勾股定理、等邊三角形的判定與性質;熟練掌握菱形的性質，證明四邊形是矩形是解決問題的關鍵.

　　二、填空題(本大題共6小題，每小題4分，共24分)

　　11.方程(x﹣2)2=9的解是　5或﹣1　.

　　【考點】解一元二次方程-直接開平方法.

　　【分析】觀察方程后發(fā)現，左邊是一個完全平方式，右邊是3的平方，即x﹣2=±3，解兩個一元一次方程即可.

　　【解答】解：開方得x﹣2=±3即：

　　當x﹣2=3時，x1=5;

　　當x﹣2=﹣3時，x2=﹣1.

　　故答案為：5或﹣1.

　　【點評】本題關鍵是將方程右側看做一個非負已知數，根據法則：要把方程化為“左平方，右常數，先把系數化為1，再開平方取正負，分開求得方程解”來求解.

　　12.邊長為5cm的菱形，一條對角線長是6cm，則菱形的面積是　24　cm2.

　　【考點】菱形的性質.

　　【分析】根據菱形對角線垂直且互相平分，即可得出菱形的另一條對角線的長，再利用菱形的面積公式求出即可.

　　【解答】解：如圖所示：設BD=6cm，AD=5cm，

　　∴BO=DO=3cm，

　　∴AO=CO= =4(cm)，

　　∴AC=8cm，

　　∴菱形的面積是： ×6×8=24(cm2).

　　故答案為：24.

　　【點評】此題主要考查了菱形的性質，熟練掌握菱形的面積公式以及對角線之間的關系是解題關鍵.

　　13.如果線段a，b，c，d成比例，且a=5，b=6，c=3，則d=　3.6　.

　　【考點】比例線段.

　　【分析】根據比例線段的定義，即可列出方程求解.

　　【解答】解：根據題意得： = ，即 = ，

　　解得：d=3.6.

　　故答案為3.6.

　　【點評】本題考查了比例線段的定義，注意a、b、c、d是成比例線段即 = ，要理解各個字母的順序.

　　14.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AE⊥BD，垂足為E，ED=3BE，則∠AOB的度數為　60°　.

　　【考點】矩形的性質.

　　【分析】由矩形的性質和已知條件證得△OAB是等邊三角形，繼而求得∠AOB的度數.

　　【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，

　　∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，

　　∴OA=OB，

　　∵ED=3BE，

　　∴BE：OB=1：2，

　　∵AE⊥BD，

　　∴AB=OA，

　　∴OA=AB=OB，

　　即△OAB是等邊三角形，

　　∴∠AOB=60°;

　　故答案為：60°.

　　【點評】此題考查了矩形的性質、等邊三角形的判定與性質、線段垂直平分線的性質.熟練掌握矩形的性質，證明△AOB是等邊三角形是解決問題的關鍵.

　　15.(a+2)x2﹣2x+3=0是關于x的一元二次方程，則a所滿足的條件是　a≠﹣2　.

　　【考點】一元二次方程的定義.

　　【分析】根據一元二次方程的定義得出a+2≠0，求出即可.

　　【解答】解：∵(a+2)x2﹣2x+3=0是關于x的一元二次方程，

　　∴a+2≠0，

　　∴a≠﹣2.

　　故答案為：a≠﹣2.

　　【點評】本題考查了一元二次方程的定義，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a b c都是常數，且a≠0).

　　16.如圖，已知正方形ABCD的對角線長為2 ，將正方形ABCD沿直線EF折疊，則圖中陰影部分的周長為　8　.

　　【考點】翻折變換(折疊問題).

　　【分析】先設正方形的邊長為a，再根據對角線長為2 求出a的值，由圖形翻折變換的性質可知AD=A′B′，A′H=AH，B′G=DG，由陰影部分的周長=A′B′+A′H+BH+BC+CG+B′G即可得出結論.

　　【解答】解：設正方形的邊長為a，則2a2=(2 )2，解得a=2，

　　翻折變換的性質可知AD=A′B′，A′H=AH，B′G=DG，

　　陰影部分的周長=A′B′+(A′H+BH)+BC+(CG+B′G)=AD+AB+BC+CD=2×4=8.

　　故答案為：8.

　　【點評】本題考查的是翻折變換的性質，即折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等.

　　三、解答題(一)(本大題共3小題，每小題6分，共18分)

　　17.解方程x(x﹣1)=2.

　　【考點】解一元二次方程-因式分解法.

　　【分析】首先將原方程變形化為一般式，然后利用因式分解法即可求得此方程的根.

　　【解答】解：∵x(x﹣1)=2，

　　∴x2﹣x﹣2=0，

　　∴(x﹣2)(x+1)=0，

　　即x﹣2=0或x+1=0，

　　∴x=2或x=﹣1，

　　∴原方程的根為：x1=2，x2=﹣1.

　　【點評】此題考查了一元二次方程的解法.注意在利用因式分解法解一元二次方程時，需首先將原方程化為一般式再求解.

　　18.解方程：x2﹣2x=2x+1.

　　【考點】解一元二次方程-配方法.

　　【分析】先移項，把2x移到等號的左邊，再合并同類項，最后配方，方程的左右兩邊同時加上一次項系數一半的平方，左邊就是完全平方式，右邊就是常數，然后利用平方根的定義即可求解.

　　【解答】解：∵x2﹣2x=2x+1，

　　∴x2﹣4x=1，

　　∴x2﹣4x+4=1+4，

　　(x﹣2)2=5，

　　∴x﹣2=± ，

　　∴x1=2+ ，x2=2﹣ .

　　【點評】此題考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步驟：(1)把常數項移到等號的右邊;(2)把二次項的系數化為1;(3)等式兩邊同時加上一次項系數一半的平方;(4)選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數為1，一次項的系數是2的倍數.

　　19.如圖，在▱ABCD中，F是AD的中點，延長BC到點E，使CE= BC，連接DE，CF.求證：四邊形CEDF是平行四邊形.

　　【考點】平行四邊形的判定與性質.

　　【分析】由“平行四邊形的對邊平行且相等”的性質推知AD∥BC，且AD=BC;然后根據中點的定義、結合已知條件推知四邊形CEDF的對邊平行且相等(DF=CE，且DF∥CE)，即四邊形CEDF是平行四邊形.

　　【解答】證明：如圖，在▱ABCD中，AD∥BC，且AD=BC.

　　∵F是AD的中點，

　　∴DF= .

　　又∵CE= BC，

　　∴DF=CE，且DF∥CE，

　　∴四邊形CEDF是平行四邊形.

　　【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質.平行四邊形的判定方法共有五種，應用時要認真領會它們之間的聯系與區(qū)別，同時要根據條件合理、靈活地選擇方法.

　　四、解答題(二)(本大題共3小題，每小題7分，共21分)

　　20.已知：如圖，在菱形ABCD中，分別延長AB、AD到E、F，使得BE=DF，連接EC、FC.

　　求證：EC=FC.

　　【考點】菱形的性質;全等三角形的判定與性質.

　　【分析】要證EC=FC，只要證明三角形BCE和DCF全等即可，兩三角形中已知的條件有BE=DF，CB=CD，那么只要證得兩組對應邊的夾角相等即可得出結論，根據四邊形ABCD是菱形我們可得出∠ABC=∠ADC，因此∠EBC=∠FDC.這樣就構成了三角形全等的條件.因此兩個三角形就全等了.

　　【解答】證明：∵四邊形ABCD是菱形，

　　∴BC=DC，∠ABC=∠ADC，

　　∴∠EBC=∠FDC.

　　在△EBC和△FDC中， ，

　　∴△EBC≌△FDC(SAS)，

　　∴EC=FC.

　　【點評】本題考查了菱形的性質和全等三角形的判定，求簡單的線段相等，可以通過全等三角形來證明，要注意利用此題中的圖形條件，如等角的補角相等.

　　21.某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利44元，為了擴大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當的減價措施，經調查發(fā)現，如果每件襯衫每降1元，商場平均每天可多售出5件.若商場平均每天要盈利1600元，每件襯衫應降價多少元?這時應進貨多少件?

　　【考點】一元二次方程的應用.

　　【分析】利用襯衣平均每天售出的件數×每件盈利=每天銷售這種襯衣利潤列出方程解答即可.

　　【解答】解：設每件襯衫應降價x元.

　　根據題意，得 (44﹣x)(20+5x)=1600，

　　解得x1=4，x2=36.

　　∵“擴大銷售量，減少庫存”，

　　∴x1=4應略去，

　　∴x=36.

　　20+5x=200.

　　答：每件襯衫應降價36元，進貨200件.

　　【點評】此題主要考查了一元二次方程的應用，利用基本數量關系：平均每天售出的件數×每件盈利=每天銷售的利潤是解題關鍵.

　　22.一只箱子里共3個球，其中2個白球，1個紅球，它們除顏色外均相同.

　　(1)從箱子中任意摸出一個球是白球的概率是多少?

　　(2)從箱子中任意摸出一個球，不將它放回箱子，攪勻后再摸出一個球，求兩次摸出的球都是白球的概率，并畫出樹狀圖或列出表格.

　　【考點】列表法與樹狀圖法.

　　【分析】(1)直接利用概率公式求解;

　　(2)畫樹狀圖展示所有6種等可能的結果數，再找出兩次摸出的球都是白球的結果數，然后根據概率公式求解.

　　【解答】解：(1)因為箱子里共3個球，其中2個白球，所以從箱子中任意摸出一個球是白球的概率是 ;

　　(2)畫樹狀圖為：

　　共有6種等可能的結果數，其中兩次摸出的球都是白球的結果數為2，

　　所以兩次摸出的球都是白球的概率= = .

　　【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果n，再從中選出符合事件A或B的結果數目m，然后利用概率公式計算事件A或事件B的概率.

　　五、解答題(三)(本大題共3小題，每小題9分，共27分)

　　23.如圖，在直角坐標系中放入一個矩形紙片ABCO，將紙片翻折后，點B恰好落在x軸上，記為B'，折痕為CE.直線CE的關系式是y=﹣ x+8，與x軸相交于點F，且AE=3.

　　(1)求OC長度;

　　(2)求點B'的坐標;

　　(3)求矩形ABCO的面積.

　　【考點】一次函數綜合題.

　　【分析】(1)在直線y=﹣ x+8中令x=0可求得C點坐標，則可求得OC長度;

　　(2)由折疊的性質可求得B′E，在Rt△AB′E中，可求得AB′，再由點E在直線CF上，可求得E點坐標，則可求得OA長，利用線段和差可求得OB′，則可求得點B′的坐標;

　　(3)由(1)、(2)可求得OC和OA，可求得矩形ABCO的面積.

　　【解答】解：

　　(1)∵直線y=﹣ x+8與y軸交于點為C，

　　∴令x=0，則y=8，

　　∴點C坐標為(0，8)，

　　∴OC=8;

　　(2)在矩形OABC中，AB=OC=8，∠A=90°，

　　∵AE=3，

　　∴BE=AB﹣BE=8﹣3=5，

　　∵是△CBE沿CE翻折得到的，

　　∴EB′=BE=5，

　　在Rt△AB′E中，AB′= = =4，

　　由點E在直線y=﹣ x+8上，設E(a，3)，

　　則有3=﹣ a+8，解得a=10，

　　∴OA=10，

　　∴OB′=OA﹣AB′=10﹣4=6，

　　∴點B′的坐標為(0，6);

　　(3)由(1)，(2)知OC=8，OA=10，

　　∴矩形ABCO的面積為OC×OA=8×10=80.

　　【點評】本題為一次函數的綜合應用，涉及直線與坐標軸的交點、軸對稱的性質、勾股定理、矩形的性質及方程思想等知識點.在(1)中注意求與坐標軸交點的方法，在(2)中求得E點坐標是解題的關鍵.本題涉及知識點不多，綜合性不強，難度不大，較容易得分.

　　24.如圖，正方形ABCD中，M為BC上一點，F是AM的中點，EF⊥AM，垂足為F，交AD的延長線于點E，交DC于點N.

　　(1)求證：△ABM∽△EFA;

　　(2)若AB=12，BM=5，求DE的長.

　　【考點】相似三角形的判定與性質;正方形的性質.

　　【分析】(1)由正方形的性質得出AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，得出∠AMB=∠EAF，再由∠B=∠AFE，即可得出結論;

　　(2)由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的長.

　　【解答】(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，

　　∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，

　　∴∠AMB=∠EAF，

　　又∵EF⊥AM，

　　∴∠AFE=90°，

　　∴∠B=∠AFE，

　　∴△ABM∽△EFA;

　　(2)解：∵∠B=90°，AB=12，BM=5，

　　∴AM= =13，AD=12，

　　∵F是AM的中點，

　　∴AF= AM=6.5，

　　∵△ABM∽△EFA，

　　∴ ，

　　即 ，

　　∴AE=16.9，

　　∴DE=AE﹣AD=4.9.

　　【點評】本題考查了正方形的性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理;熟練掌握正方形的性質，并能進行推理計算是解決問題的關鍵.

　　25.如圖，矩形ABCD中，AB=16cm，BC=6cm，點P從點A出發(fā)沿AB向點B移動(不與點A、B重合)，一直到達點B為止;同時，點Q從點C出發(fā)沿CD向點D移動(不與點C、D重合).運動時間設為t秒.

　　(1)若點P、Q均以3cm/s的速度移動，則：AP=　3t　cm;QC=　3t　cm.(用含t的代數式表示)

　　(2)若點P為3cm/s的速度移動，點Q以2cm/s的速度移動，經過多長時間PD=PQ，使△DPQ為等腰三角形?

　　(3)若點P、Q均以3cm/s的速度移動，經過多長時間，四邊形BPDQ為菱形?

　　【考點】四邊形綜合題.

　　【分析】(1)根據路程=速度×時間，即可解決問題.

　　(2)過點P作PE⊥CD于點E，利用等腰三角形三線合一的性質，DE= DQ，列出方程即可解決問題.

　　(3)當PD=PB時，四邊形BPDQ是菱形，列出方程即可解決問題.

　　【解答】解：(1)∵AP=3t，CQ=3t.

　　故答案為3t，3t;

　　(2)過點P作PE⊥CD于點E，

　　∴∠PED=90°，

　　∵PD=PQ，

　　∴DE= DQ

　　在矩形ABCD中，∠A=∠ADE=90°，CD=AB=16cm

　　∴四邊形PEDA是矩形，

　　∴DE=AP=3t，

　　又∵CQ=2t，

　　∴DQ=16﹣2t

　　∴由DE= DQ，

　　∴3t= ×(16﹣2t)，

　　∴t=2

　　∴當t=2時，PD=PQ，△DPQ為等腰三角形

　　(3)在矩形ABCD中，AB=CD，AB∥CD，AD=BC，依題知AP=CQ=3t

　　∴PB=DQ，

　　∴四邊形BPDQ是平行四邊形，

　　當PD=PB時，四邊形BPDQ是菱形，

　　∴PB=AB﹣AP=16﹣3t

　　在Rt△APD中，PD= = ，

　　由PD=PB，

　　∴16﹣3t= ，

　　∴(16﹣3t)2=9t2+36，

　　解得：

　　∴當 時，四邊形BPDQ是菱形.

　　【點評】本題考查四邊形綜合題，路程、速度、時間之間的關系，菱形的判定和性質，矩形的判定和性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活應用所學知識解決問題，學會添加常用輔助線，構造特殊四邊形解決問題，屬于中考常考題型.

　　九年級數學上學期期中試卷

　　一.選擇題(共10小題，滿分30分)

　　1.(3分)下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是(　　)

　　A. B. C. D.

　　2.(3分)下列方程中是一元二次方程的是(　　)

　　A.xy+2=1 B. C.x2=0 D.ax2+bx+c=0

　　3.(3分)一元二次方程x2﹣5x﹣6=0的根是(　　)

　　A.x1=1，x2=6 B.x1=2，x2=3 C.x1=1，x2 =﹣6 D.x1=﹣1，x2=6

　　4.(3分)拋物線y=3(x﹣1)2+1的頂點坐標是(　　)

　　A.(1，1) B.(﹣1，1) C.(﹣1，﹣1) D.(1，﹣1)

　　5.(3分)將拋物線y= x2﹣6x+21向左平移2個單位后，得到新拋 物線的解析式為(　　)

　　A.y= (x﹣8)2+5 B.y= (x﹣4)2+5

　　C.y= (x﹣8)2+3 D.y= (x﹣4)2+3

　　6.(3分)如圖，半 徑為5的⊙A中，弦BC，ED所對的圓心角分別是∠BAC，∠EAD，若DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，則弦BC的長等于(　　)

　　A.8 B.10 C.11 D.12

　　7.(3分)賓館有50間房供游客居住，當毎間房每天定價為180元時，賓館會住滿;當毎間房每天的定價每增加10元時，就會空閑一間房.如果有游客居住，賓館需對居住的毎間房每天支出20元的費用.當房價定為多少元時，賓館當天的利潤為10890元?設房價定為x元.則有(　　)

　　A.(180+x﹣20)(50﹣ )=10890

　　B.(x﹣20)(50﹣ )=10890

　　C.x(50﹣ )﹣50×20=10890

　　D.(x+1 80)(50﹣ )﹣50×20=10890

　　8.(3分)把一副三角板如圖(1)放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜邊AB=4，CD=5.把三角板DCE繞著點C順時針旋轉15°得到△D1CE1(如圖2)，此時AB與CD1交于點O，則線段AD1的長度為(　　)

　　A. B. C. D.4

　　9.(3分)如圖已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點P是BC的中點，兩邊PE、PF分別交AB和AC于點E、F，給出以下五個結論正確的個數有(　　)

　　①AE=CF②∠APE=∠CPF ③△BEP≌△AFP④△EPF是等腰直角三角形⑤當∠EPF在△ABC內繞頂點P旋轉時(點E不與A、B重合)，S四邊形AEPF= S△ABC.

　　A.2 B.3 C.4 D.5

　　10.(3分)二次函數y=ax2+bx+c (a≠0)的圖象如圖所示，對稱軸是x=﹣1.下列結論：①ab>0;②b2>4ac;③a﹣b+2c<0;④8a+c<0.其中正確的是(　　)

　　A.③④ B.①②③ C.①②④ D.①②③④

　　二.填空題(共6小題，滿分18分，每小題3分)

　　11.(3分)若m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一個根，則6m2﹣9m+2015的值為　 　.

　　12.(3分)將一元二次方程x2﹣6x+5=0化成(x﹣a)2=b的形式，則ab=　 　.

　　13.(3分)點A(﹣3，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)在拋物線y=2x2﹣4x+c上，則y1，y2，y3的大小關系是　 　.

　　14.(3分)如圖，BD是⊙O的直徑，∠CBD=30°，則∠A的度數為　 　.

　　15.(3分)如圖，在△ABC中，∠CAB=75°，在同一平面內，將△ABC繞點A旋轉到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，則∠BAB′=　 　.

　　16.(3分)二次函數y=x2﹣2x﹣5的最小值是　 　.

　　三.解答題(共9小題，滿分72分)

　　17.(7分)解方程

　　(1)x(x﹣2)+x﹣2=0

　　(2)(x﹣2)(x﹣5)=﹣2.

　　18.(7分)已知，拋物線y=ax2+2ax+c與y軸交于點C，與x軸交于A，B兩點，點A在點B左側.點B的坐標為(1，0)，OC=3OB.

　　(1)求拋物線的解析式;

　　(2)當a>0時，如圖所示，若點D是第三象限拋物線上方的動點，設點D的橫坐標為m，三角形ADC的面積為S，求出S與m的函數關系式，并直接寫出自變量m的取值范圍;請問當m為何值時，S有最大值?最大值是多少.

　　19.(7分)如圖，在⊙O中，半徑OC⊥AB，垂足為點D，AB=12，OD=8，求⊙O半徑的長.

　　20.(8分)已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的兩個根，求a2﹣a+b+3ab的值.

　　21.(8分)如圖，在△ABC中，已知AB=AC，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉100°，得到△ADE，連接BD，CE交于點F.

　　(1)求證：△ABD≌△ACE;

　　(2)求∠ACE的度數.

　　22.(8分)如圖，在矩形ABCD中，AB=10cm，AD=8cm，點P從點A出發(fā)沿AB以2cm/s的速度向點終點B運動，同時點Q從點B出發(fā)沿BC以1cm/s的速度向點終點C運動，它們到達終點后停止運動.

　　(1)幾秒后，點P、D的距離是點P、Q的距離的2倍;

　　(2)幾秒后，△DPQ的面積是24cm2.

　　23.(8分)某大學生創(chuàng)業(yè)團隊抓住商機，購進一批干果分裝成營養(yǎng)搭配合理的小包裝后出售，每袋成本3元.試銷期間發(fā)現每天的銷售量y(袋)與銷售單價x(元)之間滿足一次函數關系，部分數據如表所示，其中3.5≤x≤5.5，另外每天還需支付其他各項費用80元.

　　銷售單價x(元) 3.5 5.5

　　銷售量y(袋) 280 120

　　(1)請直接寫出y與x之間的函數關系式;

　　(2)如果每天獲得160元的利潤，銷售單價為多少元?

　　(3)設每天的利潤為w元，當銷售單價定為多少元時，每天的利潤最大?最大利潤是多少元?

　　24.(9分)我們定義：如圖1，在△ABC看，把AB點A順時針旋轉α(0°<α<180°)得到AB'，把AC繞點A逆時 針旋轉β得到AC'，連接B'C'.當α+β=180°時，我們稱△A'B'C'是△ABC的“旋補三角形”，△AB'C'邊B'C'上的中線AD叫做△ABC的“旋補中線”，點A叫做“旋補中心”.

　　特例感知：

　　(1)在圖2，圖3中，△AB'C'是△ABC的“旋補三角形”，AD是△ABC的“旋補中線”.

　　①如圖2，當△ABC為等邊三角形時，AD與BC的數量關系為AD=　 　BC;

　　②如圖3，當∠BAC=90°，BC=8時，則AD長為　 　.

　　猜想論證：

　　(2)在圖1中，當△ABC為任意三角形時，猜想AD與BC的數量關系，并給予證明.

　　25.(10分)如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸分別交于點A、B，與y軸交于點C，且OA=1，OB=3，頂點為D，對稱軸交x軸于點Q.

　　(1)求拋物線對應的二次函數的表達式;

　　(2)點P是拋物線的對稱軸上一點，以點P為圓心的圓經過A、B兩點，且與直線CD相切，求點P的坐標;

　　(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使得△DCM∽△BQC?如果存在，求出點M的坐標;如果不存在，請說明理由.

　　參考答案

　　一.選擇題

　　1 .C.

　　2.C.

　　3.D.

　　4.A.

　　5.D.

　　6.A.

　　7.B.

　　8.A.

　　9.D.

　　10.C.

　　二.填空題

　　11.

　　【解答】解：由題意可知：2m2﹣3m﹣1=0，

　　∴2m2﹣3m=1

　　∴原式=3(2m2﹣3m)+2015=2018

　　故答案為：2018

　　12.

　　【解答】解：x2﹣6x+5=0，

　　x2﹣6x=﹣5，

　　x2﹣6x+9=﹣5+9，

　　(x﹣3)2=4，

　　所以a=3，b=4，

　　ab=12，

　　故答案為：12.

　　13.

　　【解答】解：

　　∵y=2x2﹣4x+c，

　　∴當x=﹣3時，y1=2×(﹣3)2﹣4×(﹣3)+c=30+c，

　　當x=2時，y2=2×22﹣4×2+c=c，

　　當x=3 時，y3=2×32﹣4×3+c=6+c，

　　∵c<6+c<30+c，

　　∴y2

　　故答案為：y2

　　14.

　　【解答】解：∵BD是⊙O的直徑，

　　∴∠BCD=90°(直徑所對的圓周角是直角)，

　　∵∠CBD=30°，

　　∴∠D=60°(直角三角形的兩個銳角互余)，

　　∴∠A=∠D=60°(同弧所對的圓周角相等);

　　故答案是：60°.

　　15.

　　【解答】解：由題意得：

　　AC=AC′，

　　∴∠ACC′=∠AC′C;

　　∵CC′∥AB，且∠BAC=75°，

　　∴∠ACC′=∠AC′C=∠BAC=75°，

　　∴∠CAC′=180°﹣2×75°=30°;

　　由題意知：∠BAB′=∠CAC′=30°，

　　故答案為30°.

　　16.

　　【解答】解：∵原式可化為y=x2﹣2x+1﹣6=(x﹣1)2﹣6，

　　∴最小值為﹣6.

　　故答案為：﹣6

　　三.解答題(共9小題，滿分72分)

　　17.

　　【解答】解：(1)x(x﹣2)+x﹣2=0

　　(x﹣2)(x+1)=0

　　x﹣2=0或x+1=0

　　x1=2，x2=﹣1;

　　(2)(x﹣2)(x﹣5)=﹣2

　　x2﹣7x+12=0

　　(x﹣3)(x﹣4)=0

　　x﹣3=0或x﹣4=0

　　x1=3，x2=4.

　　18.

　　【解答】解：(1)∵點B的坐標為(1，0)，OC=3OB，

　　∴點C的坐標為(0，3)或(0，﹣3)，

　　將點B(1，0)、C(0，3)或(0，﹣3)代入y=ax2+2ax+c，

　　或 ，

　　解得： 或 ，

　　∴拋 物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3或y=x2+2x﹣3.

　　(2)過點D作DE⊥x軸，交AC于點E，如圖所示.

　　∵a>1，

　　∴拋物線的解析式為y=x2+2x﹣3，

　　∴點C的坐標為(0，﹣3).

　　當y=0時，有x2+2x﹣3=0，

　　解得：x1=﹣3，x2=1，

　　∴點A的坐標為(﹣3，0)，

　　利用待定系數法可求出線段AC所在直線的解析式為y=﹣x﹣3.

　　∵點D的橫坐標為m，

　　∴點D的坐標為(m，m2+2m﹣3)，點E的坐標為(m，﹣m﹣3)，

　　∴DE=﹣m﹣3﹣(m2+2m﹣3)=﹣m2﹣3m，

　　∴S= DE×|﹣3﹣0|=﹣ (m2+m)(﹣3

　　∵﹣ <0，且S=﹣ (m2+ m)=﹣ (m+ )2+ ，

　　∴當m=﹣ 時，S取最大值，最大值為 .

　　19.

　　【解答】解：連接OA，如圖，

　　∵OC⊥AB，

　　∴AD=BD= AB= ×12=6，

　　在Rt△AOD中，OA= = =10，

　　即⊙O半徑的長為10.

　　20.

　　【解答】解：∵a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的兩個根，

　　∴a+b=2，ab=﹣1，a2﹣2a=1，

　　a2﹣a+b+3ab=a2﹣2a+b+a+3ab=1+2﹣3=0.

　　21.

　　【解答】解：(1)由題意得：AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，

　　∴∠BAD=∠CAE;

　　在△ABD與△ACE中，

　　，

　　∴△ABD≌△ACE(SAS)，

　　(2)∵AC=AE，

　　∴∠ACE=∠AEC，而∠CAE=100°，

　　∴∠ACE= =40°.

　　22.

　　【解答】解：(1)設t秒后點P、D的距離是點P、Q距離的2倍，

　　∴PD=2PQ，

　　∵四邊形ABCD是矩形，

　　∴∠A=∠B=90°，

　　∴PD2=AP2+AD2，PQ2=BP2+BQ2，

　　∵PD2=4 PQ2，

　　∴82+(2t)2=4[(10﹣2t)2+t2]，

　　解得：t1=3，t2=7;

　　∵t=7時10﹣2t<0，

　　∴t=3，

　　答：3秒后，點P、D的距離是點P、Q的距離的2倍;

　　(2)設x秒后△DPQ的面積是24cm2，

　　則 ×8×2x+ (10﹣2x)•x+ (8﹣x)×10=80﹣24，

　　整理得x2﹣8x+16=0

　　解得x1=x2=4.

　　23.

　　【解答】解：(1)設y=kx+b，

　　將x=3.5，y=280;x=5.5，y=120代入，

　　得 ，解得 ，

　　則y與x之間的函數關系式為y=﹣80x+560;

　　(2)由題意，得(x﹣3)(﹣80x+560)﹣80=160，

　　整理，得x2﹣10x+24=0，

　　解得x1=4，x2=6.

　　∵3.5≤x≤5.5，

　　∴x=4.

　　答：如果每天獲得160元的利潤，銷售單價為4元;

　　(3)由題意得：w=(x﹣3)(﹣80x+560)﹣80

　　=﹣80x2+800x﹣1760

　　=﹣80(x﹣5)2+240，

　　∵3.5≤x ≤5.5，

　　∴當x=5時，w有最大值為240.

　　故當銷售單價定為5元時，每天的利潤最大，最大利潤是240元.

　　24.

　　【解答】解：(1)①如圖2，當△ABC為等邊三角形時，AD與BC的數量關系為AD= BC;

　　理由：∵△ABC是等邊三角形，

　　∴AB=BC=AC=AB′=AC′，

　　∵DB′=DC′，

　　∴AD⊥B′C′，

　　∵∠BAC=60°，∠BAC+∠B′AC′=180°，

　　∴∠B′AC′=120°，

　　∴∠B′=∠C′=30°，

　　∴AD= AB′= BC，

　　故答案為 .

　　②如圖3，當∠BAC=90°，BC=8時，則AD長為4.

　　理由：∵∠BAC=90°，∠BAC+∠B′AC′=180°，

　　∴∠B′AC′=∠BAC=90°，

　　∵AB=AB′，AC=AC′，

　　∴△BAC≌△B′AC′，

　　∴BC=B′C′，

　　∵B′D=DC′，

　　∴AD= B′C′= BC=4，

　　故答案為4.

　　(2)猜想 .

　　證 明：如圖，延長AD至點Q，則△DQB'≌△DAC'，

　　∴QB'=AC'，QB'∥AC'，

　　∴∠QB'A+∠B'AC'=180°，

　　∵∠BAC+∠B'AC'=180°，

　　∴∠QB'A=∠BAC，

　　又由題意得到QB'=AC'=AC，AB'=AB，

　　∴△AQB'≌△BCA，

　　∴AQ=BC=2AD，

　　即 .

　　25.

　　【解答】解：(1)∵OA=1，OB=3，

　　∴A(﹣1，0)，B(3，0).

　　代入y=﹣x2+bx+c，得

　　解得　b=2，c=3.

　　∴拋物線對應二次函數的表達式為：y=﹣x2+2x+3;

　　(2)如圖，設直線CD切⊙P于點E.連結PE、PA，作CF⊥DQ于點F.

　　∴PE⊥CD，PE=PA.

　　由y=﹣x2+2x+3，得

　　對稱軸為直線x=1，C(0，3)、D(1，4).

　　∴DF=4﹣3=1，CF=1，

　　∴DF=CF，

　　∴△DCF為等腰直角三角形.

　　∴∠CDF=45°，

　　∴∠EDP=∠EPD=45°，

　　∴DE=EP，

　　∴△DEP為等腰三角形.

　　設P(1，m)，

　　∴EP2= (4﹣m)2.

　　在△APQ中，∠PQA=90°，

　　∴AP2=AQ2+PQ2=[1﹣(﹣1)]2+m2

　　∴ (4﹣m)2=[1﹣(﹣1)]2+m2.

　　整理，得m2+8m﹣8=0

　　解得，m=﹣4±2 .

　　∴ 點P的坐標為(1，﹣4+2 )或(1，﹣4﹣2 ).

　　(3)存在點M，使得△DCM∽△BQC .

　　如圖，連結CQ、CB、CM，

　　∵C(0，3)，OB=3，∠COB=90°，

　　∴△COB為等腰直角三角形，

　　∴∠CBQ=45°，BC=3 .

　　由(2)可知，∠CDM=45°，CD= ，

　　∴∠CBQ=∠CDM.

　　∴△DCM∽△BQC分兩種情況.

　　當 = 時，

　　∴ = ，解得　DM= .

　　∴QM=DQ﹣DM=4﹣ = .

　　∴M1(1， ).

　　當 時，

　　∴ = ，解得　DM=3.

　　∴QM=DQ﹣DM=4﹣3=1.

　　∴M2(1，1).

　　綜上，點M的坐標為(1， )或(1，1).