第一學期初三級數學期末試卷題
眾所周知，我們的數學是不能偷懶學習的，今天小編就給大家來分享一下九年級數學，有時間的來多多參考閱讀哦
九年級上學期數學期末試題閱讀
一、選擇題(本大題共10個小題，每小題3分，共30分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求，答案涂在答題卡上)
1.cos30°=( )
A. B. C. D.
2.如圖是由一個圓柱體和一個長方體組成的幾何體，其左視圖是( )
A. B. C. D.
3.下列說法正確的是( )
A.對角線相等的四邊形是矩形
B.有兩邊及一角對應相等的兩個三角形全等
C.對角線互相垂直的矩形是正方形
D.平分弦的直徑垂直于弦
4.某廠一月份生產產品50臺，計劃二、三月份共生產產品120臺，設二、三月份平均每月增長率為x，根據題意，可列出方程為( )
A.50(1+x)2=60
B.50(1+x)2=120
C.50+50(1+x)+50(1+x)2=120
D.50(1+x)+50(1+x)2=120
5.函數y= 自變量x的取值范圍是( )
A.x≥3 B.x≤3 C.x>3 D.x<3
6.如圖，AB是⊙O的切線，B為切點，AO與⊙O交于點C，若∠BAO=40°，則∠OCB的度數為( )
A.40° B.50° C.65° D.75°
7.對于拋物線y=(x﹣1)2+2的說法錯誤的是( )
A.拋物線的開口向上
B.拋物線的頂點坐標是(1，2)
C.拋物線與x軸無交點
D.當x<1時，y隨x的增大而增大
8.如圖，點A是反比例函數y= 的圖象上的一點，過點A作AB⊥x軸，垂足為B.點C為y軸上的一點，連接AC，BC.若△ABC的面積為4，則k的值是( )
A.4 B.﹣4 C.8 D.﹣8
9.如表記錄了甲、乙、丙、丁四名跳高運動員最近幾次選拔賽成績的平均數與方差：
甲 乙 丙 丁
平均數(cm) 185 180 185 180
方差 3.6 3.6 7.4 8.1
根據表中數據，要從中選擇一名成績好且發揮穩定的運動員參加比賽，應該選擇( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
10.如圖，正五邊形FGHMN是由正五邊形ABCDE經過位似變換得到的，若AB：FG=2：3，則下列結論正確的是( )
A.2DE=3MN B.3DE=2MN C.3∠A=2∠F D.2∠A=3∠F
二、填空題(本大題共4個小題，每小題4分，共16分，答案寫在答題卡上)
11.一只不透明的袋子共裝有3個小球，它們的標號分別為1，2，3，從中摸出1個小球，標號為“小于3”的概率為
12.如圖，已知斜坡 AB 的坡度為 1：3.若坡長 AB=10m，則坡高 BC= m.
13.如圖，在▱ABCD中，∠C=43°，過點D作AD的垂線，交AB于點E，交CB的延長線于點F，則∠BEF的度數為 .
14.如圖，AB和DE是直立在地面上的兩根立柱，AB=5米，某一時刻AB在陽光下的投影BC=3米，在測量AB的投影時，同時測量出DE在陽光下的投影長為6米，則DE的長為 .
三、解答題(本大題共6個小題，共54分)
15.(12分)(1)計算：(﹣1)2017﹣( )﹣2•sin60°+|3﹣ |
(2)解方程：2(x﹣2)2=x2﹣4
16.(6分)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為AB中點，AE∥CD，CE∥AB.
(1)試判斷四邊形ADCE的形狀，并證明你的結論.
(2)連接BE，若∠BAC=30°，CE=1，求BE的長.
17.(8分)據新浪網調查，在第十二屆全國人大二中全會后，全國網民對政府工作報告關注度非常高，大家關注的網民們關注的熱點話題分別有：消費、教育、環保、反腐、及其它共五類，且關注五類熱點問題的網民的人數所占百分比如圖l所示，關注該五類熱點問題網民的人數的不完整條形統計如圖2所示，請根據圖中信息解答下列問題.
(1)求出圖l中關注“反腐”類問題的網民所占百分比x的值，并將圖2中的不完整的條形統計圖補充完整;
(2)為了深入探討政府工作報告，新浪網邀請成都市5名網民代表甲、乙、丙、丁、戊做客新浪訪談，且一次訪談只選2名代表，請你用列表法或畫樹狀圖的方法，求出一次所選代表恰好是甲和乙的概率.
18.(8分)如圖，小明今年國慶節到青城山游玩，乘坐纜車，當登山纜車的吊箱經過點A到達點B時，它經過了200m，纜車行駛的路線與水平夾角∠α=16°，當纜車繼續由點B到達點D時，它又走過了200m，纜車由點B到點D的行駛路線與水平面夾角∠β=42°，求纜車從點A到點D垂直上升的距離.(結果保留整數)(參考數據：sin16°≈0.27，cos16°≈0.77，sin42°≈0.66，cos42°≈0.74)
19.(10分)如圖，在平面直角坐標系中，直線l與x軸相交于點M(3，0)，與y軸相交于點N(0，4)，點A為MN的中點，反比例函數y= (x>0)的圖象過點A.
(1)求直線l和反比例函數的解析式;
(2)在函數y= (k>0)的圖象上取異于點A的一點C，作CB⊥x軸于點B，連接OC交直線l于點P，若△ONP的面積是△OBC面積的3倍，求點P的坐標.
20.(10分)如圖1，等腰△ABC中，AC=BC，點O在AB邊上，以O為圓心的圓經過點C，交AB邊于點D，EF為⊙O的直徑，EF⊥BC于點G，且D是 的中點.
(1)求證：AC是⊙O的切線;
(2)如圖2，延長CB交⊙O于點H，連接HD交OE于點P，連接CF，求證：CF=DO+OP;
(3)在(2)的條件下，連接CD，若tan∠HDC= ，CG=4，求OP的長.
一、填空題(每小題4分，共20分)
21.已知關于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的兩根x1、x2滿足x12+x22=14，則m=
22.如圖，由點P(14，1)，A(a，0)，B(0，a)(0
23.如圖，在直角坐標系中，⊙A的圓心的坐標為(﹣2，0)，半徑為2，點P為直線y=﹣ x+6上的動點，過點P作⊙A的切線，切點為Q，則切線長PQ的最小值是 .
24.如圖，已知△ABC、△DCE、△FEG、△HGI是4個全等的等腰三角形，底邊BC、CE、EG、GI在同一直線上，且AB=2，BC=1，連接AI，交FG于點Q，則QI= .
25.如圖，已知正方形紙片ABCD的邊是⊙O半徑的4倍，點O是正方形ABCD的中心，將紙片保持圖示方式折疊，使EA1恰好與⊙O相切于點A1，則tan∠A1EF的值為 .
二、解答題(共30分)
26.(8分)某超市銷售一種商品，成本每千克40元，規定每千克售價不低于成本，且不高于80元，經市場調查，每天的銷售量y(千克)與每千克售價x(元)滿足一次函數關系，部分數據如下表：
售價x(元/千克) 50 60 70
銷售量y(千克) 100 80 60
(1)求y與x之間的函數表達式;
(2)設商品每天的總利潤為W(元)，則當售價x定為多少元時，廠商每天能獲得最大利潤?最大利潤是多少?
(3)如果超市要獲得每天不低于1350元的利潤，且符合超市自己的規定，那么該商品每千克售價的取值范圍是多少?請說明理由.
27.(10分)如圖，已知一個三角形紙片ACB，其中∠ACB=90°，AC=8，BC=6，E、F分別是AC、AB邊上的點，連接EF.(1)如圖1，若將紙片ACB的一角沿EF折疊，折疊后點A落在AB邊上的點D處，且使S四邊形ECBF=4S△EDF，求ED的長;
(2)如圖2，若將紙片ACB的一角沿EF折疊，折疊后點A落在BC邊上的點M處，且使MF∥CA.
①試判斷四邊形AEMF的形狀，并證明你的結論;
②求EF的長;
(3)如圖3，若FE的延長線與BC的延長線交于點N，CN=2，CE= ，求 的值.
28.(12分)如圖，直線y=﹣2x+3與x軸交于點C，與y軸交于點B，拋物線y=ax2+x+c經過B、C兩點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖，點E是直線BC上方拋物線上的一動點，當△BEC面積最大時，請求出點E的坐標和△BEC面積的最大值?
(3)在(2)的結論下，過點E作y軸的平行線交直線BC于點M，連接AM，點Q是拋物線對稱軸上的動點，在拋物線上是否存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形?如果存在，請直接寫出點P的坐標;如果不存在，請說明理由.
參考答案與試題解析
一、選擇題(本大題共10個小題，每小題3分，共30分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求，答案涂在答題卡上)
1.cos30°=( )
A. B. C. D.
【分析】直接根據cos30°= 解答即可.
【解答】解：由特殊角的三角函數值可知，cos30°= .
故選：B.
【點評】本題考查的是特殊角的三角函數，只要熟記cos30°= 便可輕松解答.
2.如圖是由一個圓柱體和一個長方體組成的幾何體，其左視圖是( )
A. B. C. D.
【分析】找到從左面看所得到的圖形即可.
【解答】解：從左面可看到一個長方形和上面一個長方形.
故選：A.
【點評】本題考查了三視圖的知識，左視圖是從物體的左面看得到的視圖.
3.下列說法正確的是( )
A.對角線相等的四邊形是矩形
B.有兩邊及一角對應相等的兩個三角形全等
C.對角線互相垂直的矩形是正方形
D.平分弦的直徑垂直于弦
【分析】根據各知識點利用排除法求解.
【解答】解：A、對角線相等的平行四邊形是矩形，錯誤;
B、有兩邊及夾角對應相等的兩個三角形全等，錯誤;
C、對角線互相垂直的矩形是正方形，正確;
D、兩條直徑一定互相平分，但是不一定垂直，錯誤;
故選：C.
【點評】此題主要考查全等三角形的判定、正方形的判定、矩形的判定、垂徑定理，關鍵是根據知識點進行判斷.
4.某廠一月份生產產品50臺，計劃二、三月份共生產產品120臺，設二、三月份平均每月增長率為x，根據題意，可列出方程為( )
A.50(1+x)2=60
B.50(1+x)2=120
C.50+50(1+x)+50(1+x)2=120
D.50(1+x)+50(1+x)2=120
【分析】主要考查增長率問題，一般用增長后的量=增長前的量×(1+增長率)，如果設二、三月份每月的平均增長率為x，根據“計劃二、三月份共生產120臺”，即可列出方程.
【解答】解：設二、三月份每月的平均增長率為x，
則二月份生產機器為：50(1+x)，
三月份生產機器為：50(1+x)2;
又知二、三月份共生產120臺;
所以，可列方程：50(1+x)+50(1+x)2=120.
故選：D.
【點評】本題可根據增長率的一般規律找到關鍵描述語，列出方程;平均增長率問題，一般形式為a(1+x)2=b，a為起始時間的有關數量，b為終止時間的有關數量.
5.函數y= 自變量x的取值范圍是( )
A.x≥3 B.x≤3 C.x>3 D.x<3
【分析】根據二次根式的性質和分式的意義，被開方數大于等于0，分母不等于0，列不等式求解.
【解答】解：根據題意得：3﹣x>0，
解得x<3.故選D.
【點評】函數自變量的范圍一般從三個方面考慮：
(1)當函數表達式是整式時，自變量可取全體實數;
(2)當函數表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0;
(3)當函數表達式是二次根式時，被開方數為非負數.
6.如圖，AB是⊙O的切線，B為切點，AO與⊙O交于點C，若∠BAO=40°，則∠OCB的度數為( )
A.40° B.50° C.65° D.75°
【分析】根據切線的性質可判斷∠OBA=90°，再由∠BAO=40°可得出∠O=50°，在等腰△OBC中求出∠OCB即可.
【解答】解：∵AB是⊙O的切線，B為切點，
∴OB⊥AB，即∠OBA=90°，
∵∠BAO=40°，
∴∠O=50°，
∵OB=OC(都是半徑)，
∴∠OCB= (180°﹣∠O)=65°.
故選：C.
【點評】本題考查了切線的性質，解答本題的關鍵在判斷出∠OBA為直角，△OBC是等腰三角形，難度一般.
7.對于拋物線y=(x﹣1)2+2的說法錯誤的是( )
A.拋物線的開口向上
B.拋物線的頂點坐標是(1，2)
C.拋物線與x軸無交點
D.當x<1時，y隨x的增大而增大
【分析】根據二次函數的性質，二次函數的頂點式即可判斷;
【解答】解：∵a=1>0，∴拋物線開口向上，
∵二次函數為y=a(x﹣h)2+k頂點坐標是(h，k)，
∴二次函數y=(x﹣1)2+2的圖象的頂點坐標是(1，2)，
∵拋物線頂點(1，2)，開口向上，
∴拋物線與x軸沒有交點，
故A、B、C正確
故選：D.
【點評】此題考查了二次函數的性質，二次函數為y=a(x﹣h)2+k頂點坐標是(h，k)，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型.
8.如圖，點A是反比例函數y= 的圖象上的一點，過點A作AB⊥x軸，垂足為B.點C為y軸上的一點，連接AC，BC.若△ABC的面積為4，則k的值是( )
A.4 B.﹣4 C.8 D.﹣8
【分析】連結OA，如圖，利用三角形面積公式得到S△OAB=S△ABC=4，再根據反比例函數的比例系數k的幾何意義得到 |k|=4，然后去絕對值即可得到滿足條件的k的值.
【解答】解：連結OA，如圖，
∵AB⊥x軸，
∴OC∥AB，
∴S△OAB=S△ABC=4，
而S△OAB= |k|，
∴ |k|=4，
∵k<0，
∴k=﹣8.
故選：D.
【點評】本題考查了反比例函數的比例系數k的幾何意義：在反比例函數y= 圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值|k|.
9.如表記錄了甲、乙、丙、丁四名跳高運動員最近幾次選拔賽成績的平均數與方差：
甲 乙 丙 丁
平均數(cm) 185 180 185 180
方差 3.6 3.6 7.4 8.1
根據表中數據，要從中選擇一名成績好且發揮穩定的運動員參加比賽，應該選擇( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
【分析】首先比較平均數，平均數相同時選擇方差較小的運動員參加.
【解答】解：∵ = > = ，
∴從甲和丙中選擇一人參加比賽，
∵ = < < ，
∴選擇甲參賽，
故選：A.
【點評】此題考查了平均數和方差，正確理解方差與平均數的意義是解題關鍵.
10.如圖，正五邊形FGHMN是由正五邊形ABCDE經過位似變換得到的，若AB：FG=2：3，則下列結論正確的是( )
A.2DE=3MN B.3DE=2MN C.3∠A=2∠F D.2∠A=3∠F
【分析】位似是特殊的相似，相似圖形對應邊的比相等.
【解答】解：∵正五邊形FGHMN和正五邊形ABCDE位似，
∴DE：MN=AB：FG=2：3，
∴3DE=2MN.
故選：B.
【點評】本題考查的是位似變換.位似變換的兩個圖形相似.根據相似多邊形對應邊成比例得DE：MN=2：3.
二、填空題(本大題共4個小題，每小題4分，共16分，答案寫在答題卡上)
11.一只不透明的袋子共裝有3個小球，它們的標號分別為1，2，3，從中摸出1個小球，標號為“小于3”的概率為
【分析】根據隨機事件概率大小的求法，找準兩點：①符合條件的情況數目，②全部情況的總數，二者的比值就是其發生的概率的大小.
【解答】解：根據題意可得：標號小于3有1，2，兩個球，共3個球，
從中隨機摸出一個小球，其標號小于3的概率為是： .
故答案為： .
【點評】本題考查概率的求法與運用，一般方法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現m種結果，那么事件A的概率P(A)= ，難度適中.
12.如圖，已知斜坡 AB 的坡度為 1：3.若坡長 AB=10m，則坡高 BC= m.
【分析】設BC=xm，根據坡度的概念求出AC，根據勾股定理計算即可.
【解答】解：設BC=xm，
∵斜坡 AB 的坡度為 1：3，
∴AC=3x，
由勾股定理得，x2+(3x)2=102，
解得，x= ，
故答案為： .
【點評】本題考查的是解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題，掌握坡度的概念、靈活運用勾股定理是解題的關鍵.
13.如圖，在▱ABCD中，∠C=43°，過點D作AD的垂線，交AB于點E，交CB的延長線于點F，則∠BEF的度數為 47° .
【分析】由平行四邊形的對角相等可得∠A=43°，根據直角三角形的兩個銳角互余得到∠AED=47°，再利用對頂角相等即可求解.
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠A=∠C=43°.
∵DF⊥AD，
∴∠ADE=90°，
∴∠AED=90°﹣43°=47°，
∴∠BEF=∠AED=47°.
故答案是：47°.
【點評】本題考查了平行四邊形的性質，直角三角形兩銳角互余的性質，對頂角相等的性質，利用平行四邊形的對角相等得出∠A=43°是解題的關鍵.
14.如圖，AB和DE是直立在地面上的兩根立柱，AB=5米，某一時刻AB在陽光下的投影BC=3米，在測量AB的投影時，同時測量出DE在陽光下的投影長為6米，則DE的長為 10m .
【分析】根據平行的性質可知△ABC∽△DEF，利用相似三角形對應邊成比例即可求出DE的長.
【解答】解：如圖，在測量AB的投影時，同時測量出DE在陽光下的投影長為6m，
∵△ABC∽△DEF，AB=5m，BC=3m，EF=6m
∴ =
∴
∴DE=10(m)
故答案為10m.
【點評】本題通過投影的知識結合圖形相似的性質巧妙地求出燈泡離地面的距離，是平行投影性質在實際生活中的應用.
三、解答題(本大題共6個小題，共54分)
15.(12分)(1)計算：(﹣1)2017﹣( )﹣2•sin60°+|3﹣ |
(2)解方程：2(x﹣2)2=x2﹣4
【分析】(1)根據實數的運算解答即可;
(2)根據因式分解法解答即可.
【解答】解：(1)原式=
=﹣4;
(2)2(x﹣2)2=x2﹣4
(x﹣2)(2x﹣4﹣x﹣2)=0
(x﹣2)(x﹣6)=0
解得：x1=2，x2=6.
【點評】(1)考查了特殊三角函數值;(2)本題考查了解一元二次方程的方法，因式分解法是解一元二次方程的一種簡便方法，要會靈活運用.當化簡后不能用分解因式的方法即可考慮求根公式法，此法適用于任何一元二次方程.
16.(6分)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為AB中點，AE∥CD，CE∥AB.
(1)試判斷四邊形ADCE的形狀，并證明你的結論.
(2)連接BE，若∠BAC=30°，CE=1，求BE的長.
【分析】(1)先證明四邊形ADCE是平行四邊形，再由直角三角形斜邊上的中線性質，得出CD= AB=AD，即可得出四邊形ADCE為菱形;
(2)依據∠ABC=60°，DB=DC，可得△BCD是等邊三角形，依據∠BAE=60°，∠ABE=30°，可得△ABE是直角三角形，最后根據CE=1=AE，即可得到BE的長.
【解答】解：(1)∵AE∥CD，CE∥AB，
∴四邊形ADCE是平行四邊形，
∵∠ACB=90°，D為AB的中點，
∴CD= AB=AD，
∴四邊形ADCE為菱形;
(2)∵∠BAC=30°，四邊形ADCE為菱形，
∴∠BAE=60°=∠DCE，
又∵∠ACB=90°，
∴∠DBC=60°，而DB=DC，
∴△BCD是等邊三角形，
∴∠DCB=60°，
∴∠BCE=120°，
又∵BC=CD=CE，
∴∠CBE=30°，
∴∠ABE=30°，
∴△ABE中，∠AEB=90°，
又∵AE=CE=1，
∴AB=2，
∴BE= = .
【點評】本題主要考查了菱形的判定與性質、平行四邊形的判定、直角三角形斜邊上的中線性質;熟練掌握菱形的判定與性質，證明四邊形ADCE是菱形是解決問題的關鍵.解題時注意：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半.
17.(8分)據新浪網調查，在第十二屆全國人大二中全會后，全國網民對政府工作報告關注度非常高，大家關注的網民們關注的熱點話題分別有：消費、教育、環保、反腐、及其它共五類，且關注五類熱點問題的網民的人數所占百分比如圖l所示，關注該五類熱點問題網民的人數的不完整條形統計如圖2所示，請根據圖中信息解答下列問題.
(1)求出圖l中關注“反腐”類問題的網民所占百分比x的值，并將圖2中的不完整的條形統計圖補充完整;
(2)為了深入探討政府工作報告，新浪網邀請成都市5名網民代表甲、乙、丙、丁、戊做客新浪訪談，且一次訪談只選2名代表，請你用列表法或畫樹狀圖的方法，求出一次所選代表恰好是甲和乙的概率.
【分析】(1)根據單位“1”，求出反腐占的百分比，得到x的值;根據環保人數除以占的百分比得到總人數，求出教育與反腐及其他的人數，補全條形統計圖即可;
(2)畫出樹狀圖列出所有等可能結果，找到一次所選代表恰好是甲和乙的結果數，再利用概率公式求解可得.
【解答】解：(1)1﹣15%﹣30%﹣25%﹣10%=20%，所以x=20，
總人數為：140÷10%=1400(人)
關注教育問題網民的人數1400×25%=350(人)，
關注反腐問題網民的人數1400×20%=280(人)，
關注其它問題網民的人數1400×15%=210(人)，
如圖2，補全條形統計圖，
(2)畫樹狀圖如下：
由樹狀圖可知共有20種等可能結果，其中一次所選代表恰好是甲和乙的有2種結果，
所以一次所選代表恰好是甲和乙的概率為 = .
【點評】本題主要考查了條形統計圖，扇形統計圖及列表法與樹狀圖法，解題的關鍵是讀懂題意，從統計圖上獲得信息數據來解決問題.
18.(8分)如圖，小明今年國慶節到青城山游玩，乘坐纜車，當登山纜車的吊箱經過點A到達點B時，它經過了200m，纜車行駛的路線與水平夾角∠α=16°，當纜車繼續由點B到達點D時，它又走過了200m，纜車由點B到點D的行駛路線與水平面夾角∠β=42°，求纜車從點A到點D垂直上升的距離.(結果保留整數)(參考數據：sin16°≈0.27，cos16°≈0.77，sin42°≈0.66，cos42°≈0.74)
【分析】本題要求的實際是BC和DF的長度，已知了AB、BD都是200米，可在Rt△ABC和Rt△BFD中用α、β的正切函數求出BC、DF的長.
【解答】解：Rt△ABC中，斜邊AB=200米，∠α=16°，BC=AB•sinα=200×sin16°≈54(m)，
Rt△BDF中，斜邊BD=200米，∠β=42°，
DF=BD•sinβ=200×sin42°≈132，
因此纜車垂直上升的距離應該是BC+DF=186(米).
答：纜車垂直上升了186米.
【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題，銳角三角函數的定義，結合圖形理解題意是解決問題的關鍵.
19.(10分)如圖，在平面直角坐標系中，直線l與x軸相交于點M(3，0)，與y軸相交于點N(0，4)，點A為MN的中點，反比例函數y= (x>0)的圖象過點A.
(1)求直線l和反比例函數的解析式;
(2)在函數y= (k>0)的圖象上取異于點A的一點C，作CB⊥x軸于點B，連接OC交直線l于點P，若△ONP的面積是△OBC面積的3倍，求點P的坐標.
【分析】(1)根據點M、N的坐標利用待定系數法可求出直線l的解析式，根據點A為線段MN的中點可得出點A的坐標，根據點A的坐標利用待定系數法可求出反比例函數解析式;
(2)根據反比例函數系數k的幾何意義可求出S△OBC的面積，設點P的坐標為(a，﹣ a+4)，根據三角形的面積公式結合S△ONP的面積即可求出a值，進而即可得出點P的坐標.
【解答】解：(1)設直線l的解析式為y=mx+n(m≠0)，
將(3，0)、(0，4)代入y=mx+n，
得 ，解得： ，
∴直線l的解析式為y=﹣ x+4.
∵點A為線段MN的中點，
∴點A的坐標為( ，2).
將A( ，2)代入y= ，
得k= ×2=3，
∴反比例函數解析式為y= ;
(2)∵S△OBC= |k|= ，
∴S△ONP=3S△OBC= .
∵點N(0，4)，
∴ON=4.
設點P的坐標為(a，﹣ a+4)，則a>0，
∴S△ONP= ON•a=2a，
∴a= ，
則﹣ a+4=﹣ × +4=1，
∴點P的坐標為( ，1).
【點評】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題、待定系數法求函數解析式以及一次函數圖象上點的坐標特征，根據點的坐標利用待定系數法求出函數解析式是解題的關鍵.
20.(10分)如圖1，等腰△ABC中，AC=BC，點O在AB邊上，以O為圓心的圓經過點C，交AB邊于點D，EF為⊙O的直徑，EF⊥BC于點G，且D是 的中點.
(1)求證：AC是⊙O的切線;
(2)如圖2，延長CB交⊙O于點H，連接HD交OE于點P，連接CF，求證：CF=DO+OP;
(3)在(2)的條件下，連接CD，若tan∠HDC= ，CG=4，求OP的長.
【分析】(1)如圖1中，先判斷出∠A+∠BOF=90°，再判斷出∠COD=∠EOD=∠BOF，即可得出∠A+∠COD=90°;
(2)如圖2中，連接OC，首先證明FC=FH，再證明點K在以F為圓心FC為半徑的圓上即可解決問題;
(3)先求出CH=2CG=8，進而用tan∠CMH= =tan∠HDC= ，得出 ，求出MH= ，進而CM= ，即可得出OD=OF= ，再求出OG= MH= ，進而得出FG=OF﹣OG=3，再根據勾股定理得，CF=5，借助(2)的結論即可得出結論.
【解答】(1)證明：如圖1中，連接OC.
∵OF⊥BC，
∴∠B+∠BOF=90°，
∵AC=BC，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠A+∠BOF=90°，
∵點D是 的中點，
∴ ，
∴∠COD=∠EOD=∠BOF，
∴∠A+∠COD=90°，
∴∠ACO=9°，
∴OC⊥AC，
∴AC是⊙O的切線，
(2)證明：如圖2中，連接OC，
∵EF⊥HC，
∴CG=GH，
∴EF垂直平分HC，
∴FC=FH，
∵∠CFP= ∠COE，
∵∠COD=∠DOE，
∴∠CFP=∠COD，
∵∠CHP= ∠COD，
∴∠CHP= ∠CFP，
∴點P在以F為圓心FC為半徑的圓上，
∴FC=FP=FH，
∵DO=OF，
∴DO+OP=OF+OP=FP=CF，
即CF=OP+DO;
(3)解：如圖3，
連接CO并延長交⊙O于M，連接MH，
∴∠∠CMH=∠CDH，∠CHM=90°，
∵OF⊥CH于G，
∴CH=2CG=8，
在Rt△CHM中，tan∠CMH= =tan∠HDC= ，
∴ ，
∴MH= ，
∴CM= = ，
∴OD=OF=
∵∠CGO=∠CHM=90°，
∴OG∥MH，
∵OC=OM，
∴OG= MH= ，
∴FG=OF﹣OG=3，
在Rt△CGF中，根據勾股定理得，CF= =5，
由(2)知，OP=CF﹣OD=5﹣ = .
【點評】本題考查了圓的綜合知識及勾股定理的應用、相似三角形的判定和性質的應用等知識，綜合性強，難度較大，能夠正確的作出輔助線是解答本題的關鍵.
一、填空題(每小題4分，共20分)
21.已知關于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的兩根x1、x2滿足x12+x22=14，則m= ﹣2
【分析】由根與系數的關系可用m表示出x1+x2和x1x2的值，利用條件可得到關于m的方程，則可求得m的值，再代入方程進行判斷求解.
【解答】解：
∵關于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的兩根是x1、x2，
∴x1+x2=m，x1x2=2m﹣1，
∴x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2=m2﹣2(2m﹣1)，
∵x12+x22=14，
∴m2﹣2(2m﹣1)=14，解得m=6或m=﹣2，
當m=6時，方程為x2﹣6x+11=0，此時△=(﹣6)2﹣4×11=36﹣44=﹣8<0，不合題意，舍去，
∴m=﹣2，
故答案為：﹣2.
【點評】本題主要考查根與系數的關系，掌握一元二次方程的兩根之和等于﹣ 、兩根之積等于 是解題的關鍵.
22.如圖，由點P(14，1)，A(a，0)，B(0，a)(0
【分析】當0
【解答】解：當0
如圖，作PD⊥x軸于點D，
∵P(14，1)，A(a，0)，B(0，a)，
∴PD=1，OD=14，OA=a，OB=a，
∴S△PAB=S梯形OBPD﹣S△OAB﹣S△ADP= ×14(a+1)﹣ a2﹣ ×1×(14﹣a)=18，
解得：a1=3，a2=12;
故答案為：3或12
【點評】本題考查了坐標與圖形的性質，三角形的面積公式的運用，梯形的面積公式的運用，點的坐標的運用，解答時運用三角形和梯形的面積建立方程求解是關鍵.
23.如圖，在直角坐標系中，⊙A的圓心的坐標為(﹣2，0)，半徑為2，點P為直線y=﹣ x+6上的動點，過點P作⊙A的切線，切點為Q，則切線長PQ的最小值是 4 .
【分析】連接AP，PQ，當AP最小時，PQ最小，當AP⊥直線y=﹣ x+6時，PQ最小，根據全等三角形的性質得到AP=6，根據勾股定理即可得到結論.
【解答】解：如圖，作AP⊥直線y=﹣ x+6，垂足為P，作⊙A的切線PQ，切點為Q，此時切線長PQ最小，
∵A的坐標為(﹣2，0)，
設直線與x軸，y軸分別交于B，C，
∴B(0，6)，C(8，0)，
∴OB=6，AC=，10，
∴BC= =10，
∴AC=BC，
在△APC與△BOC中，
，
∴△APC≌△BOC，
∴AP=OB=6，
∴PQ= =4 .
故答案為4
【點評】本題主要考查切線的性質，掌握過切點的半徑與切線垂直是解題的關鍵，用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題.
24.如圖，已知△ABC、△DCE、△FEG、△HGI是4個全等的等腰三角形，底邊BC、CE、EG、GI在同一直線上，且AB=2，BC=1，連接AI，交FG于點Q，則QI= .
【分析】由題意得出BC=1，BI=4，則 = ，再由∠ABI=∠ABC，得△ABI∽△CBA，根據相似三角形的性質得 = ，求出AI，根據全等三角形性質得到∠ACB=∠FGE，于是得到AC∥FG，得到比例式 = = ，即可得到結果.
【解答】解：∵△ABC、△DCE、△FEG是三個全等的等腰三角形，
∴HI=AB=2，GI=BC=1，BI=4BC=4，
∴ = = ， = ，
∴ = ，
∵∠ABI=∠ABC，
∴△ABI∽△CBA;
∴ = ，
∵AB=AC，
∴AI=BI=4;
∵∠ACB=∠FGE，
∴AC∥FG，
∴ = = ，
∴QI= AI= .
故答案為： .
【點評】本題主要考查了平行線分線段定理，以及三角形相似的判定，正確理解AB∥CD∥EF，AC∥DE∥FG是解題的關鍵.
25.如圖，已知正方形紙片ABCD的邊是⊙O半徑的4倍，點O是正方形ABCD的中心，將紙片保持圖示方式折疊，使EA1恰好與⊙O相切于點A1，則tan∠A1EF的值為 .
【分析】在RT△FMO中利用勾股定理得出AF與r的關系，設r=6a，則x=7a，AM=MO=12a，FM=5a，AF=FA1=7a，利用A1N∥OM得到 求出AN，NA1，再證明∠1=∠2即可解決問題.
【解答】解：如圖，連接AA1，EO，作OM⊥AB，A1N⊥AB，垂足分別為M、N.
設⊙O的半徑為r，則AM=MO=2r，設AF=FA1=x，
在RT△FMO中，∵FO2=FM2+MO2，
∴(r+x)2=(2r﹣x)2+(2r)2，
∴7r=6x，
設r=6a則x=7a，AM=MO=12a，FM=5a，AF=FA1=7a，
∵A1N∥OM，
∴ ，
∴ ，
∴A1N= a，FN= a，AN= a，
∵∠1+∠4=90°，∠4+∠3=90°，∠2=∠3，
∴∠1=∠3=∠2，
∴tan∠2=tan∠1= = .
故答案為 .
【點評】本題考查正方形的性質、圓的有關知識、勾股定理，平行線分線段成比例定理等知識，用設未知數列方程的數學思想是解決問題的關鍵.
二、解答題(共30分)
26.(8分)某超市銷售一種商品，成本每千克40元，規定每千克售價不低于成本，且不高于80元，經市場調查，每天的銷售量y(千克)與每千克售價x(元)滿足一次函數關系，部分數據如下表：
售價x(元/千克) 50 60 70
銷售量y(千克) 100 80 60
(1)求y與x之間的函數表達式;
(2)設商品每天的總利潤為W(元)，則當售價x定為多少元時，廠商每天能獲得最大利潤?最大利潤是多少?
(3)如果超市要獲得每天不低于1350元的利潤，且符合超市自己的規定，那么該商品每千克售價的取值范圍是多少?請說明理由.
【分析】(1)待定系數法求解可得;
(2)根據“總利潤=每千克利潤×銷售量”可得函數解析式，將其配方成頂點式即可得最值情況.
(3)求得W=1350時x的值，再根據二次函數的性質求得W≥1350時x的取值范圍，繼而根據“每千克售價不低于成本且不高于80元”得出答案.
【解答】解：(1)設y=kx+b，
將(50，100)、(60，80)代入，得：
，
解得： ，
∴y=﹣2x+200 (40≤x≤80);
(2)W=(x﹣40)(﹣2x+200)
=﹣2x2+280x﹣8000
=﹣2(x﹣70)2+1800，
∴當x=70時，W取得最大值為1800，
答：售價為70元時獲得最大利潤，最大利潤是1800元.
(3)當W=1350時，得：﹣2x2+280x﹣8000=1350，
解得：x=55或x=85，
∵該拋物線的開口向下，
所以當55≤x≤85時，W≥1350，
又∵每千克售價不低于成本，且不高于80元，即40≤x≤80，
∴該商品每千克售價的取值范圍是55≤x≤80.
【點評】本題主要考查二次函數的應用，解題的關鍵是熟練掌握待定系數法求函數解析式及二次函數的性質.
27.(10分)如圖，已知一個三角形紙片ACB，其中∠ACB=90°，AC=8，BC=6，E、F分別是AC、AB邊上的點，連接EF.(1)如圖1，若將紙片ACB的一角沿EF折疊，折疊后點A落在AB邊上的點D處，且使S四邊形ECBF=4S△EDF，求ED的長;
(2)如圖2，若將紙片ACB的一角沿EF折疊，折疊后點A落在BC邊上的點M處，且使MF∥CA.
①試判斷四邊形AEMF的形狀，并證明你的結論;
②求EF的長;
(3)如圖3，若FE的延長線與BC的延長線交于點N，CN=2，CE= ，求 的值.
【分析】(1)先利用折疊的性質得到EF⊥AB，△AEF≌△DEF，則S△AEF=S△DEF，則易得S△ABC=5S△AEF，再證明Rt△AEF∽Rt△ABC，然后根據相似三角形的性質得到兩個三角形面積比和AB，AE的關系，再利用勾股定理求出AB即可得到AE的長;
(2)首先判斷四邊形AEMF為菱形;再連結AM交EF于點O，設AE=x，則EM=x，CE=8﹣x，先證明△CME∽△CBA得到關于x的比例式，解出x后計算出CM的值，再利用勾股定理計算出AM，然后根據菱形的面積公式計算EF;
(3)作FH⊥BC于H，先證明△NCE∽△NFH，利用相似比得到 ，設FH=4x，NH=7x，則CH=7x﹣2，BH=6﹣(7x﹣2)=8﹣7x，再證明△BFH∽△BAC，利用相似比可計算出x的值，則可計算出FH和BH，接著利用勾股定理計算出BF，從而得到AF的長，即可得出結論.
【解答】解：(1)∵△ACB的一角沿EF折疊，折疊后點A落在AB邊上的點D處，
∴EF⊥AB，△AEF≌△DEF，
∴S△AEF≌S△DEF，
∵S四邊形ECBF=4S△EDF，
∴S△ABC=5S△AEF，
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∵∠EAF=∠BAC，
∴Rt△AEF∽Rt△ABC，
∴ =( )2，即( )2= ，
∴AE=2 ，
由折疊知，DE=AE=2
(2)連結AM交EF于點O，如圖2，
∵△ACB的一角沿EF折疊，折疊后點A落在AB邊上的點D處，
∴AE=EM，AF=MF，∠AFE=∠MFE，
∵MF∥AC，
∴∠AEF=∠MFE，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∴AE=EM=MF=AF，
∴四邊形AEMF為菱形，
設AE=x，則EM=x，CE=8﹣x，
∵四邊形AEMF為菱形，
∴EM∥AB，
∴△CME∽△CBA，
∴ = = ，
即 ，
解得x= ，CM= ，
在Rt△ACM中，AM= = ，
∵S菱形AEMF= EF•AM=AE•CM，
∴EF=2× = ;
(3)如圖③，作FH⊥BC于H，
∵EC∥FH，
∴△NCE∽△NFH，
∴ ，
∴
∴
設FH=4x，NH=7x，則CH=7x﹣2，BH=6﹣(7x﹣2)=8﹣7x，
∵FH∥AC，
∴△BFH∽△BAC，
∴ ，
∴ ，
∴x=
∴FH=4x= ，BH=8﹣7x= ，
在Rt△BFH中，BF= =4，
∴AF=AB﹣BF=10﹣4=6，
∴ = = .
【點評】本題考查了相似形的綜合題：熟練掌握折疊的性質和菱形的判定與性質;靈活構建相似三角形，運用勾股定理或相似比表示線段之間的關系和計算線段的長.解決此類題目時要各個擊破.本題有一定難度，證明三角形相似和運用勾股定理得出方程是解決問題的關鍵，屬于中考常考題型.
28.(12分)如圖，直線y=﹣2x+3與x軸交于點C，與y軸交于點B，拋物線y=ax2+x+c經過B、C兩點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖，點E是直線BC上方拋物線上的一動點，當△BEC面積最大時，請求出點E的坐標和△BEC面積的最大值?
(3)在(2)的結論下，過點E作y軸的平行線交直線BC于點M，連接AM，點Q是拋物線對稱軸上的動點，在拋物線上是否存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形?如果存在，請直接寫出點P的坐標;如果不存在，請說明理由.
【分析】(1)首先根據直線y=﹣2x+3與x軸交于點C，與y軸交于點B，求出點B的坐標是(0，3)，點C的坐標是(4，0);然后根據拋物線y=ax2+x+c經過B、C兩點，求出a、c的值是多少，即可求出拋物線的解析式.
(2)首先過點E作y軸的平行線EF交直線BC于點M，EF交x軸于點F，然后設點E的坐標是(x，﹣2x2+x+3)，則點M的坐標是(x，﹣2x+3)，求出EM的值是多少;最后根據三角形的面積的求法，求出S△ABC，進而判斷出當△BEC面積最大時，點E的坐標和△BEC面積的最大值各是多少即可.
(3)在拋物線上存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形.然后分三種情況討論，根據平行四邊形的特征，求出使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形的點P的坐標是多少即可.
【解答】解：(1)∵直線y=﹣2x+3與x軸交于點C，與y軸交于點B，
∴點B的坐標是(0，3)，點C的坐標是( ，0)，
∵拋物線y=ax2+x+c經過B、C兩點，
∴ ，
解得 ，
∴拋物線的解析式為：y=﹣2x2+x+3.
(2)如圖1，過點E作y軸的平行線EF交直線BC于點M，EF交x軸于點F，
∵點E是直線BC上方拋物線上的一動點，
∴設點E的坐標是(x，﹣2x2+x+3)，
則點M的坐標是(x，﹣2x+3)，
∴EM=﹣2x2+x+3﹣(﹣2x+3)=﹣2x2+3x，
∴S△BEC=S△BEM+S△MEC
= EM•OC
= ×(﹣2x2+3x)×
=﹣ (x﹣ )2+ ，
∴當x= 時，即點E的坐標是( ， )時，△BEC的面積最大，最大面積是 .
(3)在拋物線上存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形.
①如圖2，AM∥PQ，AM=PQ.
由(2)，可得點M的橫坐標是 ，
∵點M在直線y=﹣2x+3上，
∴點M的坐標是( ， )，
又∵拋物線y=﹣2x2+x+3的對稱軸是x= ，
∴設點P的坐標是(x，﹣2x2+x+3)，
∵點A的坐標是(﹣1，0)，
∴xP﹣xA=xQ﹣xM，x﹣(﹣1)= ﹣
解得x=﹣ ，
此時P(﹣ ，﹣3);
②如圖3，由(2)知，可得點M的橫坐標是 ，
∵點M在直線y=﹣2x+3上，
∴點M的坐標是( ， )，
又∵拋物線y=﹣2x2+x+3的對稱軸是x= ，
∴設點P的坐標是(x，﹣2x2+x+3)，點Q的橫坐標是 ，
∵點A的坐標是(﹣1，0)，
∴xQ﹣xA=xP﹣xM，即 ﹣(﹣1)=x﹣
解得x=2，
此時P(2，﹣3);
③如圖4，由(2)知，可得點M的橫坐標是 ，
∵點M在直線y=﹣2x+3上，
∴點M的坐標是( ， )，
又∵拋物線y=﹣2x2+x+3的對稱軸是x= ，
∴設點P的坐標是(x，﹣2x2+x+3)，點Q的橫坐標是 ，
∵點A的坐標是(﹣1，0)，
∴xP﹣xA=xM﹣xQ，即x﹣(﹣1)= ﹣ ，
解得x=﹣ ，
此時P(﹣ ，2);
綜上所述，在拋物線上存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形，點P的坐標是(﹣ ，﹣3)或(2，﹣3)或(﹣ ，2).
初中九年級數學上期末試卷
一、選擇題(本大題共10個小題，每小題3分，共30分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求，答案涂在答題卡上)
1.cos30°=( )
A. B. C. D.
2.如圖是由一個圓柱體和一個長方體組成的幾何體，其左視圖是( )
A. B. C. D.
3.下列說法正確的是( )
A.對角線相等的四邊形是矩形
B.有兩邊及一角對應相等的兩個三角形全等
C.對角線互相垂直的矩形是正方形
D.平分弦的直徑垂直于弦
4.某廠一月份生產產品50臺，計劃二、三月份共生產產品120臺，設二、三月份平均每月增長率為x，根據題意，可列出方程為( )
A.50(1+x)2=60
B.50(1+x)2=120
C.50+50(1+x)+50(1+x)2=120
D.50(1+x)+50(1+x)2=120
5.函數y=自變量x的取值范圍是( )
A.x≥3 B.x≤3 C.x>3 D.x<3
6.如圖，AB是⊙O的切線，B為切點，AO與⊙O交于點C，若∠BAO=40°，則∠OCB的度數為( )
A.40° B.50° C.65° D.75°
7.對于拋物線y=(x﹣1)2+2的說法錯誤的是( )
A.拋物線的開口向上
B.拋物線的頂點坐標是(1，2)
C.拋物線與x軸無交點
D.當x<1時，y隨x的增大而增大
8.如圖，點A是反比例函數y=的圖象上的一點，過點A作AB⊥x軸，垂足為B.點C為y軸上的一點，連接AC，BC.若△ABC的面積為4，則k的值是( )
A.4 B.﹣4 C.8 D.﹣8
9.如表記錄了甲、乙、丙、丁四名跳高運動員最近幾次選拔賽成績的平均數與方差：
甲 乙 丙 丁
平均數(cm) 185 180 185 180
方差 3.6 3.6 7.4 8.1
根據表中數據，要從中選擇一名成績好且發揮穩定的運動員參加比賽，應該選擇( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
10.如圖，正五邊形FGHMN是由正五邊形ABCDE經過位似變換得到的，若AB：FG=2：3，則下列結論正確的是( )
A.2DE=3MN B.3DE=2MN C.3∠A=2∠F D.2∠A=3∠F
二、填空題(本大題共4個小題，每小題4分，共16分，答案寫在答題卡上)
11.一只不透明的袋子共裝有3個小球，它們的標號分別為1，2，3，從中摸出1個小球，標號為“小于3”的概率為
12.如圖，已知斜坡 AB 的坡度為 1：3.若坡長 AB=10m，則坡高 BC= m.
13.如圖，在▱ABCD中，∠C=43°，過點D作AD的垂線，交AB于點E，交CB的延長線于點F，則∠BEF的度數為 .
14.如圖，AB和DE是直立在地面上的兩根立柱，AB=5米，某一時刻AB在陽光下的投影BC=3米，在測量AB的投影時，同時測量出DE在陽光下的投影長為6米，則DE的長為 .
三、解答題(本大題共6個小題，共54分)
15.(12分)(1)計算：(﹣1)2017﹣()﹣2•sin60°+|3﹣|
(2)解方程：2(x﹣2)2=x2﹣4
16.(6分)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為AB中點，AE∥CD，CE∥AB.
(1)試判斷四邊形ADCE的形狀，并證明你的結論.
(2)連接BE，若∠BAC=30°，CE=1，求BE的長.
17.(8分)據新浪網調查，在第十二屆全國人大二中全會后，全國網民對政府工作報告關注度非常高，大家關注的網民們關注的熱點話題分別有：消費、教育、環保、反腐、及其它共五類，且關注五類熱點問題的網民的人數所占百分比如圖l所示，關注該五類熱點問題網民的人數的不完整條形統計如圖2所示，請根據圖中信息解答下列問題.
(1)求出圖l中關注“反腐”類問題的網民所占百分比x的值，并將圖2中的不完整的條形統計圖補充完整;
(2)為了深入探討政府工作報告，新浪網邀請成都市5名網民代表甲、乙、丙、丁、戊做客新浪訪談，且一次訪談只選2名代表，請你用列表法或畫樹狀圖的方法，求出一次所選代表恰好是甲和乙的概率.
18.(8分)如圖，小明今年國慶節到青城山游玩，乘坐纜車，當登山纜車的吊箱經過點A到達點B時，它經過了200m，纜車行駛的路線與水平夾角∠α=16°，當纜車繼續由點B到達點D時，它又走過了200m，纜車由點B到點D的行駛路線與水平面夾角∠β=42°，求纜車從點A到點D垂直上升的距離.(結果保留整數)(參考數據：sin16°≈0.27，cos16°≈0.77，sin42°≈0.66，cos42°≈0.74)
19.(10分)如圖，在平面直角坐標系中，直線l與x軸相交于點M(3，0)，與y軸相交于點N(0，4)，點A為MN的中點，反比例函數y=(x>0)的圖象過點A.
(1)求直線l和反比例函數的解析式;
(2)在函數y=(k>0)的圖象上取異于點A的一點C，作CB⊥x軸于點B，連接OC交直線l于點P，若△ONP的面積是△OBC面積的3倍，求點P的坐標.
20.(10分)如圖1，等腰△ABC中，AC=BC，點O在AB邊上，以O為圓心的圓經過點C，交AB邊于點D，EF為⊙O的直徑，EF⊥BC于點G，且D是的中點.
(1)求證：AC是⊙O的切線;
(2)如圖2，延長CB交⊙O于點H，連接HD交OE于點P，連接CF，求證：CF=DO+OP;
(3)在(2)的條件下，連接CD，若tan∠HDC=，CG=4，求OP的長.
一、填空題(每小題4分，共20分)
21.已知關于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的兩根x1、x2滿足x12+x22=14，則m=
22.如圖，由點P(14，1)，A(a，0)，B(0，a)(0
23.如圖，在直角坐標系中，⊙A的圓心的坐標為(﹣2，0)，半徑為2，點P為直線y=﹣x+6上的動點，過點P作⊙A的切線，切點為Q，則切線長PQ的最小值是 .
24.如圖，已知△ABC、△DCE、△FEG、△HGI是4個全等的等腰三角形，底邊BC、CE、EG、GI在同一直線上，且AB=2，BC=1，連接AI，交FG于點Q，則QI= .
25.如圖，已知正方形紙片ABCD的邊是⊙O半徑的4倍，點O是正方形ABCD的中心，將紙片保持圖示方式折疊，使EA1恰好與⊙O相切于點A1，則tan∠A1EF的值為 .
二、解答題(共30分)
26.(8分)某超市銷售一種商品，成本每千克40元，規定每千克售價不低于成本，且不高于80元，經市場調查，每天的銷售量y(千克)與每千克售價x(元)滿足一次函數關系，部分數據如下表：
售價x(元/千克) 50 60 70
銷售量y(千克) 100 80 60
(1)求y與x之間的函數表達式;
(2)設商品每天的總利潤為W(元)，則當售價x定為多少元時，廠商每天能獲得最大利潤?最大利潤是多少?
(3)如果超市要獲得每天不低于1350元的利潤，且符合超市自己的規定，那么該商品每千克售價的取值范圍是多少?請說明理由.
27.(10分)如圖，已知一個三角形紙片ACB，其中∠ACB=90°，AC=8，BC=6，E、F分別是AC、AB邊上的點，連接EF.(1)如圖1，若將紙片ACB的一角沿EF折疊，折疊后點A落在AB邊上的點D處，且使S四邊形ECBF=4S△EDF，求ED的長;
(2)如圖2，若將紙片ACB的一角沿EF折疊，折疊后點A落在BC邊上的點M處，且使MF∥CA.
①試判斷四邊形AEMF的形狀，并證明你的結論;
②求EF的長;
(3)如圖3，若FE的延長線與BC的延長線交于點N，CN=2，CE=，求的值.
28.(12分)如圖，直線y=﹣2x+3與x軸交于點C，與y軸交于點B，拋物線y=ax2+x+c經過B、C兩點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖，點E是直線BC上方拋物線上的一動點，當△BEC面積最大時，請求出點E的坐標和△BEC面積的最大值?
(3)在(2)的結論下，過點E作y軸的平行線交直線BC于點M，連接AM，點Q是拋物線對稱軸上的動點，在拋物線上是否存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形?如果存在，請直接寫出點P的坐標;如果不存在，請說明理由.
參考答案與試題解析
一、選擇題(本大題共10個小題，每小題3分，共30分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求，答案涂在答題卡上)
1.cos30°=( )
A. B. C. D.
【分析】直接根據cos30°=解答即可.
【解答】解：由特殊角的三角函數值可知，cos30°=.
故選：B.
【點評】本題考查的是特殊角的三角函數，只要熟記cos30°=便可輕松解答.
2.如圖是由一個圓柱體和一個長方體組成的幾何體，其左視圖是( )
A. B. C. D.
【分析】找到從左面看所得到的圖形即可.
【解答】解：從左面可看到一個長方形和上面一個長方形.
故選：A.
【點評】本題考查了三視圖的知識，左視圖是從物體的左面看得到的視圖.
3.下列說法正確的是( )
A.對角線相等的四邊形是矩形
B.有兩邊及一角對應相等的兩個三角形全等
C.對角線互相垂直的矩形是正方形
D.平分弦的直徑垂直于弦
【分析】根據各知識點利用排除法求解.
【解答】解：A、對角線相等的平行四邊形是矩形，錯誤;
B、有兩邊及夾角對應相等的兩個三角形全等，錯誤;
C、對角線互相垂直的矩形是正方形，正確;
D、兩條直徑一定互相平分，但是不一定垂直，錯誤;
故選：C.
【點評】此題主要考查全等三角形的判定、正方形的判定、矩形的判定、垂徑定理，關鍵是根據知識點進行判斷.
4.某廠一月份生產產品50臺，計劃二、三月份共生產產品120臺，設二、三月份平均每月增長率為x，根據題意，可列出方程為( )
A.50(1+x)2=60
B.50(1+x)2=120
C.50+50(1+x)+50(1+x)2=120
D.50(1+x)+50(1+x)2=120
【分析】主要考查增長率問題，一般用增長后的量=增長前的量×(1+增長率)，如果設二、三月份每月的平均增長率為x，根據“計劃二、三月份共生產120臺”，即可列出方程.
【解答】解：設二、三月份每月的平均增長率為x，
則二月份生產機器為：50(1+x)，
三月份生產機器為：50(1+x)2;
又知二、三月份共生產120臺;
所以，可列方程：50(1+x)+50(1+x)2=120.
故選：D.
【點評】本題可根據增長率的一般規律找到關鍵描述語，列出方程;平均增長率問題，一般形式為a(1+x)2=b，a為起始時間的有關數量，b為終止時間的有關數量.
5.函數y=自變量x的取值范圍是( )
A.x≥3 B.x≤3 C.x>3 D.x<3
【分析】根據二次根式的性質和分式的意義，被開方數大于等于0，分母不等于0，列不等式求解.
【解答】解：根據題意得：3﹣x>0，
解得x<3.故選D.
【點評】函數自變量的范圍一般從三個方面考慮：
(1)當函數表達式是整式時，自變量可取全體實數;
(2)當函數表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0;
(3)當函數表達式是二次根式時，被開方數為非負數.
6.如圖，AB是⊙O的切線，B為切點，AO與⊙O交于點C，若∠BAO=40°，則∠OCB的度數為( )
A.40° B.50° C.65° D.75°
【分析】根據切線的性質可判斷∠OBA=90°，再由∠BAO=40°可得出∠O=50°，在等腰△OBC中求出∠OCB即可.
【解答】解：∵AB是⊙O的切線，B為切點，
∴OB⊥AB，即∠OBA=90°，
∵∠BAO=40°，
∴∠O=50°，
∵OB=OC(都是半徑)，
∴∠OCB=(180°﹣∠O)=65°.
故選：C.
【點評】本題考查了切線的性質，解答本題的關鍵在判斷出∠OBA為直角，△OBC是等腰三角形，難度一般.
7.對于拋物線y=(x﹣1)2+2的說法錯誤的是( )
A.拋物線的開口向上
B.拋物線的頂點坐標是(1，2)
C.拋物線與x軸無交點
D.當x<1時，y隨x的增大而增大
【分析】根據二次函數的性質，二次函數的頂點式即可判斷;
【解答】解：∵a=1>0，∴拋物線開口向上，
∵二次函數為y=a(x﹣h)2+k頂點坐標是(h，k)，
∴二次函數y=(x﹣1)2+2的圖象的頂點坐標是(1，2)，
∵拋物線頂點(1，2)，開口向上，
∴拋物線與x軸沒有交點，
故A、B、C正確
故選：D.
【點評】此題考查了二次函數的性質，二次函數為y=a(x﹣h)2+k頂點坐標是(h，k)，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型.
8.如圖，點A是反比例函數y=的圖象上的一點，過點A作AB⊥x軸，垂足為B.點C為y軸上的一點，連接AC，BC.若△ABC的面積為4，則k的值是( )
A.4 B.﹣4 C.8 D.﹣8
【分析】連結OA，如圖，利用三角形面積公式得到S△OAB=S△ABC=4，再根據反比例函數的比例系數k的幾何意義得到|k|=4，然后去絕對值即可得到滿足條件的k的值.
【解答】解：連結OA，如圖，
∵AB⊥x軸，
∴OC∥AB，
∴S△OAB=S△ABC=4，
而S△OAB=|k|，
∴|k|=4，
∵k<0，
∴k=﹣8.
故選：D.
【點評】本題考查了反比例函數的比例系數k的幾何意義：在反比例函數y=圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值|k|.
9.如表記錄了甲、乙、丙、丁四名跳高運動員最近幾次選拔賽成績的平均數與方差：
甲 乙 丙 丁
平均數(cm) 185 180 185 180
方差 3.6 3.6 7.4 8.1
根據表中數據，要從中選擇一名成績好且發揮穩定的運動員參加比賽，應該選擇( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
【分析】首先比較平均數，平均數相同時選擇方差較小的運動員參加.
【解答】解：∵=>=，
∴從甲和丙中選擇一人參加比賽，
∵=<<，
∴選擇甲參賽，
故選：A.
【點評】此題考查了平均數和方差，正確理解方差與平均數的意義是解題關鍵.
10.如圖，正五邊形FGHMN是由正五邊形ABCDE經過位似變換得到的，若AB：FG=2：3，則下列結論正確的是( )
A.2DE=3MN B.3DE=2MN C.3∠A=2∠F D.2∠A=3∠F
【分析】位似是特殊的相似，相似圖形對應邊的比相等.
【解答】解：∵正五邊形FGHMN和正五邊形ABCDE位似，
∴DE：MN=AB：FG=2：3，
∴3DE=2MN.
故選：B.
【點評】本題考查的是位似變換.位似變換的兩個圖形相似.根據相似多邊形對應邊成比例得DE：MN=2：3.
二、填空題(本大題共4個小題，每小題4分，共16分，答案寫在答題卡上)
11.一只不透明的袋子共裝有3個小球，它們的標號分別為1，2，3，從中摸出1個小球，標號為“小于3”的概率為
【分析】根據隨機事件概率大小的求法，找準兩點：①符合條件的情況數目，②全部情況的總數，二者的比值就是其發生的概率的大小.
【解答】解：根據題意可得：標號小于3有1，2，兩個球，共3個球，
從中隨機摸出一個小球，其標號小于3的概率為是：.
故答案為：.
【點評】本題考查概率的求法與運用，一般方法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現m種結果，那么事件A的概率P(A)=，難度適中.
12.如圖，已知斜坡 AB 的坡度為 1：3.若坡長 AB=10m，則坡高 BC= m.
【分析】設BC=xm，根據坡度的概念求出AC，根據勾股定理計算即可.
【解答】解：設BC=xm，
∵斜坡 AB 的坡度為 1：3，
∴AC=3x，
由勾股定理得，x2+(3x)2=102，
解得，x=，
故答案為：.
【點評】本題考查的是解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題，掌握坡度的概念、靈活運用勾股定理是解題的關鍵.
13.如圖，在▱ABCD中，∠C=43°，過點D作AD的垂線，交AB于點E，交CB的延長線于點F，則∠BEF的度數為 47° .
【分析】由平行四邊形的對角相等可得∠A=43°，根據直角三角形的兩個銳角互余得到∠AED=47°，再利用對頂角相等即可求解.
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠A=∠C=43°.
∵DF⊥AD，
∴∠ADE=90°，
∴∠AED=90°﹣43°=47°，
∴∠BEF=∠AED=47°.
故答案是：47°.
【點評】本題考查了平行四邊形的性質，直角三角形兩銳角互余的性質，對頂角相等的性質，利用平行四邊形的對角相等得出∠A=43°是解題的關鍵.
14.如圖，AB和DE是直立在地面上的兩根立柱，AB=5米，某一時刻AB在陽光下的投影BC=3米，在測量AB的投影時，同時測量出DE在陽光下的投影長為6米，則DE的長為 10m .
【分析】根據平行的性質可知△ABC∽△DEF，利用相似三角形對應邊成比例即可求出DE的長.
【解答】解：如圖，在測量AB的投影時，同時測量出DE在陽光下的投影長為6m，
∵△ABC∽△DEF，AB=5m，BC=3m，EF=6m
∴=
∴
∴DE=10(m)
故答案為10m.
【點評】本題通過投影的知識結合圖形相似的性質巧妙地求出燈泡離地面的距離，是平行投影性質在實際生活中的應用.
三、解答題(本大題共6個小題，共54分)
15.(12分)(1)計算：(﹣1)2017﹣()﹣2•sin60°+|3﹣|
(2)解方程：2(x﹣2)2=x2﹣4
【分析】(1)根據實數的運算解答即可;
(2)根據因式分解法解答即可.
【解答】解：(1)原式=
=﹣4;
(2)2(x﹣2)2=x2﹣4
(x﹣2)(2x﹣4﹣x﹣2)=0
(x﹣2)(x﹣6)=0
解得：x1=2，x2=6.
【點評】(1)考查了特殊三角函數值;(2)本題考查了解一元二次方程的方法，因式分解法是解一元二次方程的一種簡便方法，要會靈活運用.當化簡后不能用分解因式的方法即可考慮求根公式法，此法適用于任何一元二次方程.
16.(6分)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為AB中點，AE∥CD，CE∥AB.
(1)試判斷四邊形ADCE的形狀，并證明你的結論.
(2)連接BE，若∠BAC=30°，CE=1，求BE的長.
【分析】(1)先證明四邊形ADCE是平行四邊形，再由直角三角形斜邊上的中線性質，得出CD=AB=AD，即可得出四邊形ADCE為菱形;
(2)依據∠ABC=60°，DB=DC，可得△BCD是等邊三角形，依據∠BAE=60°，∠ABE=30°，可得△ABE是直角三角形，最后根據CE=1=AE，即可得到BE的長.
【解答】解：(1)∵AE∥CD，CE∥AB，
∴四邊形ADCE是平行四邊形，
∵∠ACB=90°，D為AB的中點，
∴CD=AB=AD，
∴四邊形ADCE為菱形;
(2)∵∠BAC=30°，四邊形ADCE為菱形，
∴∠BAE=60°=∠DCE，
又∵∠ACB=90°，
∴∠DBC=60°，而DB=DC，
∴△BCD是等邊三角形，
∴∠DCB=60°，
∴∠BCE=120°，
又∵BC=CD=CE，
∴∠CBE=30°，
∴∠ABE=30°，
∴△ABE中，∠AEB=90°，
又∵AE=CE=1，
∴AB=2，
∴BE==.
【點評】本題主要考查了菱形的判定與性質、平行四邊形的判定、直角三角形斜邊上的中線性質;熟練掌握菱形的判定與性質，證明四邊形ADCE是菱形是解決問題的關鍵.解題時注意：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半.
17.(8分)據新浪網調查，在第十二屆全國人大二中全會后，全國網民對政府工作報告關注度非常高，大家關注的網民們關注的熱點話題分別有：消費、教育、環保、反腐、及其它共五類，且關注五類熱點問題的網民的人數所占百分比如圖l所示，關注該五類熱點問題網民的人數的不完整條形統計如圖2所示，請根據圖中信息解答下列問題.
(1)求出圖l中關注“反腐”類問題的網民所占百分比x的值，并將圖2中的不完整的條形統計圖補充完整;
(2)為了深入探討政府工作報告，新浪網邀請成都市5名網民代表甲、乙、丙、丁、戊做客新浪訪談，且一次訪談只選2名代表，請你用列表法或畫樹狀圖的方法，求出一次所選代表恰好是甲和乙的概率.
【分析】(1)根據單位“1”，求出反腐占的百分比，得到x的值;根據環保人數除以占的百分比得到總人數，求出教育與反腐及其他的人數，補全條形統計圖即可;
(2)畫出樹狀圖列出所有等可能結果，找到一次所選代表恰好是甲和乙的結果數，再利用概率公式求解可得.
【解答】解：(1)1﹣15%﹣30%﹣25%﹣10%=20%，所以x=20，
總人數為：140÷10%=1400(人)
關注教育問題網民的人數1400×25%=350(人)，
關注反腐問題網民的人數1400×20%=280(人)，
關注其它問題網民的人數1400×15%=210(人)，
如圖2，補全條形統計圖，
(2)畫樹狀圖如下：
由樹狀圖可知共有20種等可能結果，其中一次所選代表恰好是甲和乙的有2種結果，
所以一次所選代表恰好是甲和乙的概率為=.
【點評】本題主要考查了條形統計圖，扇形統計圖及列表法與樹狀圖法，解題的關鍵是讀懂題意，從統計圖上獲得信息數據來解決問題.
18.(8分)如圖，小明今年國慶節到青城山游玩，乘坐纜車，當登山纜車的吊箱經過點A到達點B時，它經過了200m，纜車行駛的路線與水平夾角∠α=16°，當纜車繼續由點B到達點D時，它又走過了200m，纜車由點B到點D的行駛路線與水平面夾角∠β=42°，求纜車從點A到點D垂直上升的距離.(結果保留整數)(參考數據：sin16°≈0.27，cos16°≈0.77，sin42°≈0.66，cos42°≈0.74)
【分析】本題要求的實際是BC和DF的長度，已知了AB、BD都是200米，可在Rt△ABC和Rt△BFD中用α、β的正切函數求出BC、DF的長.
【解答】解：Rt△ABC中，斜邊AB=200米，∠α=16°，BC=AB•sinα=200×sin16°≈54(m)，
Rt△BDF中，斜邊BD=200米，∠β=42°，
DF=BD•sinβ=200×sin42°≈132，
因此纜車垂直上升的距離應該是BC+DF=186(米).
答：纜車垂直上升了186米.
【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題，銳角三角函數的定義，結合圖形理解題意是解決問題的關鍵.
19.(10分)如圖，在平面直角坐標系中，直線l與x軸相交于點M(3，0)，與y軸相交于點N(0，4)，點A為MN的中點，反比例函數y=(x>0)的圖象過點A.
(1)求直線l和反比例函數的解析式;
(2)在函數y=(k>0)的圖象上取異于點A的一點C，作CB⊥x軸于點B，連接OC交直線l于點P，若△ONP的面積是△OBC面積的3倍，求點P的坐標.
【分析】(1)根據點M、N的坐標利用待定系數法可求出直線l的解析式，根據點A為線段MN的中點可得出點A的坐標，根據點A的坐標利用待定系數法可求出反比例函數解析式;
(2)根據反比例函數系數k的幾何意義可求出S△OBC的面積，設點P的坐標為(a，﹣ a+4)，根據三角形的面積公式結合S△ONP的面積即可求出a值，進而即可得出點P的坐標.
【解答】解：(1)設直線l的解析式為y=mx+n(m≠0)，
將(3，0)、(0，4)代入y=mx+n，
得，解得：，
∴直線l的解析式為y=﹣x+4.
∵點A為線段MN的中點，
∴點A的坐標為(，2).
將A(，2)代入y=，
得k=×2=3，
∴反比例函數解析式為y=;
(2)∵S△OBC=|k|=，
∴S△ONP=3S△OBC=.
∵點N(0，4)，
∴ON=4.
設點P的坐標為(a，﹣ a+4)，則a>0，
∴S△ONP=ON•a=2a，
∴a=，
則﹣a+4=﹣×+4=1，
∴點P的坐標為(，1).
【點評】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題、待定系數法求函數解析式以及一次函數圖象上點的坐標特征，根據點的坐標利用待定系數法求出函數解析式是解題的關鍵.
20.(10分)如圖1，等腰△ABC中，AC=BC，點O在AB邊上，以O為圓心的圓經過點C，交AB邊于點D，EF為⊙O的直徑，EF⊥BC于點G，且D是的中點.
(1)求證：AC是⊙O的切線;
(2)如圖2，延長CB交⊙O于點H，連接HD交OE于點P，連接CF，求證：CF=DO+OP;
(3)在(2)的條件下，連接CD，若tan∠HDC=，CG=4，求OP的長.
【分析】(1)如圖1中，先判斷出∠A+∠BOF=90°，再判斷出∠COD=∠EOD=∠BOF，即可得出∠A+∠COD=90°;
(2)如圖2中，連接OC，首先證明FC=FH，再證明點K在以F為圓心FC為半徑的圓上即可解決問題;
(3)先求出CH=2CG=8，進而用tan∠CMH==tan∠HDC=，得出，求出MH=，進而CM=，即可得出OD=OF=，再求出OG=MH=，進而得出FG=OF﹣OG=3，再根據勾股定理得，CF=5，借助(2)的結論即可得出結論.
【解答】(1)證明：如圖1中，連接OC.
∵OF⊥BC，
∴∠B+∠BOF=90°，
∵AC=BC，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠A+∠BOF=90°，
∵點D是的中點，
∴，
∴∠COD=∠EOD=∠BOF，
∴∠A+∠COD=90°，
∴∠ACO=9°，
∴OC⊥AC，
∴AC是⊙O的切線，
(2)證明：如圖2中，連接OC，
∵EF⊥HC，
∴CG=GH，
∴EF垂直平分HC，
∴FC=FH，
∵∠CFP=∠COE，
∵∠COD=∠DOE，
∴∠CFP=∠COD，
∵∠CHP=∠COD，
∴∠CHP=∠CFP，
∴點P在以F為圓心FC為半徑的圓上，
∴FC=FP=FH，
∵DO=OF，
∴DO+OP=OF+OP=FP=CF，
即CF=OP+DO;
(3)解：如圖3，
連接CO并延長交⊙O于M，連接MH，
∴∠∠CMH=∠CDH，∠CHM=90°，
∵OF⊥CH于G，
∴CH=2CG=8，
在Rt△CHM中，tan∠CMH==tan∠HDC=，
∴，
∴MH=，
∴CM==，
∴OD=OF=
∵∠CGO=∠CHM=90°，
∴OG∥MH，
∵OC=OM，
∴OG=MH=，
∴FG=OF﹣OG=3，
在Rt△CGF中，根據勾股定理得，CF==5，
由(2)知，OP=CF﹣OD=5﹣=.
【點評】本題考查了圓的綜合知識及勾股定理的應用、相似三角形的判定和性質的應用等知識，綜合性強，難度較大，能夠正確的作出輔助線是解答本題的關鍵.
一、填空題(每小題4分，共20分)
21.已知關于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的兩根x1、x2滿足x12+x22=14，則m= ﹣2
【分析】由根與系數的關系可用m表示出x1+x2和x1x2的值，利用條件可得到關于m的方程，則可求得m的值，再代入方程進行判斷求解.
【解答】解：
∵關于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的兩根是x1、x2，
∴x1+x2=m，x1x2=2m﹣1，
∴x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2=m2﹣2(2m﹣1)，
∵x12+x22=14，
∴m2﹣2(2m﹣1)=14，解得m=6或m=﹣2，
當m=6時，方程為x2﹣6x+11=0，此時△=(﹣6)2﹣4×11=36﹣44=﹣8<0，不合題意，舍去，
∴m=﹣2，
故答案為：﹣2.
【點評】本題主要考查根與系數的關系，掌握一元二次方程的兩根之和等于﹣、兩根之積等于是解題的關鍵.
22.如圖，由點P(14，1)，A(a，0)，B(0，a)(0
【分析】當0
【解答】解：當0
如圖，作PD⊥x軸于點D，
∵P(14，1)，A(a，0)，B(0，a)，
∴PD=1，OD=14，OA=a，OB=a，
∴S△PAB=S梯形OBPD﹣S△OAB﹣S△ADP=×14(a+1)﹣a2﹣×1×(14﹣a)=18，
解得：a1=3，a2=12;
故答案為：3或12
【點評】本題考查了坐標與圖形的性質，三角形的面積公式的運用，梯形的面積公式的運用，點的坐標的運用，解答時運用三角形和梯形的面積建立方程求解是關鍵.
23.如圖，在直角坐標系中，⊙A的圓心的坐標為(﹣2，0)，半徑為2，點P為直線y=﹣x+6上的動點，過點P作⊙A的切線，切點為Q，則切線長PQ的最小值是 4 .
【分析】連接AP，PQ，當AP最小時，PQ最小，當AP⊥直線y=﹣x+6時，PQ最小，根據全等三角形的性質得到AP=6，根據勾股定理即可得到結論.
【解答】解：如圖，作AP⊥直線y=﹣x+6，垂足為P，作⊙A的切線PQ，切點為Q，此時切線長PQ最小，
∵A的坐標為(﹣2，0)，
設直線與x軸，y軸分別交于B，C，
∴B(0，6)，C(8，0)，
∴OB=6，AC=，10，
∴BC==10，
∴AC=BC，
在△APC與△BOC中，
，
∴△APC≌△BOC，
∴AP=OB=6，
∴PQ==4.
故答案為4
【點評】本題主要考查切線的性質，掌握過切點的半徑與切線垂直是解題的關鍵，用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題.
24.如圖，已知△ABC、△DCE、△FEG、△HGI是4個全等的等腰三角形，底邊BC、CE、EG、GI在同一直線上，且AB=2，BC=1，連接AI，交FG于點Q，則QI= .
【分析】由題意得出BC=1，BI=4，則=，再由∠ABI=∠ABC，得△ABI∽△CBA，根據相似三角形的性質得=，求出AI，根據全等三角形性質得到∠ACB=∠FGE，于是得到AC∥FG，得到比例式==，即可得到結果.
【解答】解：∵△ABC、△DCE、△FEG是三個全等的等腰三角形，
∴HI=AB=2，GI=BC=1，BI=4BC=4，
∴==，=，
∴=，
∵∠ABI=∠ABC，
∴△ABI∽△CBA;
∴=，
∵AB=AC，
∴AI=BI=4;
∵∠ACB=∠FGE，
∴AC∥FG，
∴==，
∴QI=AI=.
故答案為：.
【點評】本題主要考查了平行線分線段定理，以及三角形相似的判定，正確理解AB∥CD∥EF，AC∥DE∥FG是解題的關鍵.
25.如圖，已知正方形紙片ABCD的邊是⊙O半徑的4倍，點O是正方形ABCD的中心，將紙片保持圖示方式折疊，使EA1恰好與⊙O相切于點A1，則tan∠A1EF的值為 .
【分析】在RT△FMO中利用勾股定理得出AF與r的關系，設r=6a，則x=7a，AM=MO=12a，FM=5a，AF=FA1=7a，利用A1N∥OM得到求出AN，NA1，再證明∠1=∠2即可解決問題.
【解答】解：如圖，連接AA1，EO，作OM⊥AB，A1N⊥AB，垂足分別為M、N.
設⊙O的半徑為r，則AM=MO=2r，設AF=FA1=x，
在RT△FMO中，∵FO2=FM2+MO2，
∴(r+x)2=(2r﹣x)2+(2r)2，
∴7r=6x，
設r=6a則x=7a，AM=MO=12a，FM=5a，AF=FA1=7a，
∵A1N∥OM，
∴，
∴，
∴A1N=a，FN=a，AN=a，
∵∠1+∠4=90°，∠4+∠3=90°，∠2=∠3，
∴∠1=∠3=∠2，
∴tan∠2=tan∠1==.
故答案為.
【點評】本題考查正方形的性質、圓的有關知識、勾股定理，平行線分線段成比例定理等知識，用設未知數列方程的數學思想是解決問題的關鍵.
二、解答題(共30分)
26.(8分)某超市銷售一種商品，成本每千克40元，規定每千克售價不低于成本，且不高于80元，經市場調查，每天的銷售量y(千克)與每千克售價x(元)滿足一次函數關系，部分數據如下表：
售價x(元/千克) 50 60 70
銷售量y(千克) 100 80 60
(1)求y與x之間的函數表達式;
(2)設商品每天的總利潤為W(元)，則當售價x定為多少元時，廠商每天能獲得最大利潤?最大利潤是多少?
(3)如果超市要獲得每天不低于1350元的利潤，且符合超市自己的規定，那么該商品每千克售價的取值范圍是多少?請說明理由.
【分析】(1)待定系數法求解可得;
(2)根據“總利潤=每千克利潤×銷售量”可得函數解析式，將其配方成頂點式即可得最值情況.
(3)求得W=1350時x的值，再根據二次函數的性質求得W≥1350時x的取值范圍，繼而根據“每千克售價不低于成本且不高于80元”得出答案.
【解答】解：(1)設y=kx+b，
將(50，100)、(60，80)代入，得：
，
解得：，
∴y=﹣2x+200 (40≤x≤80);
(2)W=(x﹣40)(﹣2x+200)
=﹣2x2+280x﹣8000
=﹣2(x﹣70)2+1800，
∴當x=70時，W取得最大值為1800，
答：售價為70元時獲得最大利潤，最大利潤是1800元.
(3)當W=1350時，得：﹣2x2+280x﹣8000=1350，
解得：x=55或x=85，
∵該拋物線的開口向下，
所以當55≤x≤85時，W≥1350，
又∵每千克售價不低于成本，且不高于80元，即40≤x≤80，
∴該商品每千克售價的取值范圍是55≤x≤80.
【點評】本題主要考查二次函數的應用，解題的關鍵是熟練掌握待定系數法求函數解析式及二次函數的性質.
27.(10分)如圖，已知一個三角形紙片ACB，其中∠ACB=90°，AC=8，BC=6，E、F分別是AC、AB邊上的點，連接EF.(1)如圖1，若將紙片ACB的一角沿EF折疊，折疊后點A落在AB邊上的點D處，且使S四邊形ECBF=4S△EDF，求ED的長;
(2)如圖2，若將紙片ACB的一角沿EF折疊，折疊后點A落在BC邊上的點M處，且使MF∥CA.
①試判斷四邊形AEMF的形狀，并證明你的結論;
②求EF的長;
(3)如圖3，若FE的延長線與BC的延長線交于點N，CN=2，CE=，求的值.
【分析】(1)先利用折疊的性質得到EF⊥AB，△AEF≌△DEF，則S△AEF=S△DEF，則易得S△ABC=5S△AEF，再證明Rt△AEF∽Rt△ABC，然后根據相似三角形的性質得到兩個三角形面積比和AB，AE的關系，再利用勾股定理求出AB即可得到AE的長;
(2)首先判斷四邊形AEMF為菱形;再連結AM交EF于點O，設AE=x，則EM=x，CE=8﹣x，先證明△CME∽△CBA得到關于x的比例式，解出x后計算出CM的值，再利用勾股定理計算出AM，然后根據菱形的面積公式計算EF;
(3)作FH⊥BC于H，先證明△NCE∽△NFH，利用相似比得到，設FH=4x，NH=7x，則CH=7x﹣2，BH=6﹣(7x﹣2)=8﹣7x，再證明△BFH∽△BAC，利用相似比可計算出x的值，則可計算出FH和BH，接著利用勾股定理計算出BF，從而得到AF的長，即可得出結論.
【解答】解：(1)∵△ACB的一角沿EF折疊，折疊后點A落在AB邊上的點D處，
∴EF⊥AB，△AEF≌△DEF，
∴S△AEF≌S△DEF，
∵S四邊形ECBF=4S△EDF，
∴S△ABC=5S△AEF，
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∵∠EAF=∠BAC，
∴Rt△AEF∽Rt△ABC，
∴=()2，即()2=，
∴AE=2，
由折疊知，DE=AE=2
(2)連結AM交EF于點O，如圖2，
∵△ACB的一角沿EF折疊，折疊后點A落在AB邊上的點D處，
∴AE=EM，AF=MF，∠AFE=∠MFE，
∵MF∥AC，
∴∠AEF=∠MFE，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∴AE=EM=MF=AF，
∴四邊形AEMF為菱形，
設AE=x，則EM=x，CE=8﹣x，
∵四邊形AEMF為菱形，
∴EM∥AB，
∴△CME∽△CBA，
∴==，
即，
解得x=，CM=，
在Rt△ACM中，AM==，
∵S菱形AEMF=EF•AM=AE•CM，
∴EF=2×=;
(3)如圖③，作FH⊥BC于H，
∵EC∥FH，
∴△NCE∽△NFH，
∴，
∴
∴
設FH=4x，NH=7x，則CH=7x﹣2，BH=6﹣(7x﹣2)=8﹣7x，
∵FH∥AC，
∴△BFH∽△BAC，
∴，
∴，
∴x=
∴FH=4x=，BH=8﹣7x=，
在Rt△BFH中，BF==4，
∴AF=AB﹣BF=10﹣4=6，
∴==.
【點評】本題考查了相似形的綜合題：熟練掌握折疊的性質和菱形的判定與性質;靈活構建相似三角形，運用勾股定理或相似比表示線段之間的關系和計算線段的長.解決此類題目時要各個擊破.本題有一定難度，證明三角形相似和運用勾股定理得出方程是解決問題的關鍵，屬于中考常考題型.
28.(12分)如圖，直線y=﹣2x+3與x軸交于點C，與y軸交于點B，拋物線y=ax2+x+c經過B、C兩點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖，點E是直線BC上方拋物線上的一動點，當△BEC面積最大時，請求出點E的坐標和△BEC面積的最大值?
(3)在(2)的結論下，過點E作y軸的平行線交直線BC于點M，連接AM，點Q是拋物線對稱軸上的動點，在拋物線上是否存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形?如果存在，請直接寫出點P的坐標;如果不存在，請說明理由.
【分析】(1)首先根據直線y=﹣2x+3與x軸交于點C，與y軸交于點B，求出點B的坐標是(0，3)，點C的坐標是(4，0);然后根據拋物線y=ax2+x+c經過B、C兩點，求出a、c的值是多少，即可求出拋物線的解析式.
(2)首先過點E作y軸的平行線EF交直線BC于點M，EF交x軸于點F，然后設點E的坐標是(x，﹣2x2+x+3)，則點M的坐標是(x，﹣2x+3)，求出EM的值是多少;最后根據三角形的面積的求法，求出S△ABC，進而判斷出當△BEC面積最大時，點E的坐標和△BEC面積的最大值各是多少即可.
(3)在拋物線上存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形.然后分三種情況討論，根據平行四邊形的特征，求出使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形的點P的坐標是多少即可.
【解答】解：(1)∵直線y=﹣2x+3與x軸交于點C，與y軸交于點B，
∴點B的坐標是(0，3)，點C的坐標是(，0)，
∵拋物線y=ax2+x+c經過B、C兩點，
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為：y=﹣2x2+x+3.
(2)如圖1，過點E作y軸的平行線EF交直線BC于點M，EF交x軸于點F，
∵點E是直線BC上方拋物線上的一動點，
∴設點E的坐標是(x，﹣2x2+x+3)，
則點M的坐標是(x，﹣2x+3)，
∴EM=﹣2x2+x+3﹣(﹣2x+3)=﹣2x2+3x，
∴S△BEC=S△BEM+S△MEC
=EM•OC
=×(﹣2x2+3x)×
=﹣(x﹣)2+，
∴當x=時，即點E的坐標是(，)時，△BEC的面積最大，最大面積是.
(3)在拋物線上存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形.
①如圖2，AM∥PQ，AM=PQ.
由(2)，可得點M的橫坐標是，
∵點M在直線y=﹣2x+3上，
∴點M的坐標是(，)，
又∵拋物線y=﹣2x2+x+3的對稱軸是x=，
∴設點P的坐標是(x，﹣2x2+x+3)，
∵點A的坐標是(﹣1，0)，
∴xP﹣xA=xQ﹣xM，x﹣(﹣1)=﹣
解得x=﹣，
此時P(﹣，﹣3);
②如圖3，由(2)知，可得點M的橫坐標是，
∵點M在直線y=﹣2x+3上，
∴點M的坐標是(，)，
又∵拋物線y=﹣2x2+x+3的對稱軸是x=，
∴設點P的坐標是(x，﹣2x2+x+3)，點Q的橫坐標是，
∵點A的坐標是(﹣1，0)，
∴xQ﹣xA=xP﹣xM，即﹣(﹣1)=x﹣
解得x=2，
此時P(2，﹣3);
③如圖4，由(2)知，可得點M的橫坐標是，
∵點M在直線y=﹣2x+3上，
∴點M的坐標是(，)，
又∵拋物線y=﹣2x2+x+3的對稱軸是x=，
∴設點P的坐標是(x，﹣2x2+x+3)，點Q的橫坐標是，
∵點A的坐標是(﹣1，0)，
∴xP﹣xA=xM﹣xQ，即x﹣(﹣1)=﹣，
解得x=﹣，
此時P(﹣，2);
綜上所述，在拋物線上存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形，點P的坐標是(﹣，﹣3)或(2，﹣3)或(﹣，2).
【點評】主要考查了二次函數的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養.要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系
九年級數學上期末試卷參考
一、選擇題(本題共10小題，每小題3分，共30分)
1.如圖，小明同學將一個圓錐和一個三棱柱組成組合圖形，觀察其三視圖，其俯視圖是( )
A. B.
C. D.
2.在中華經典美文閱讀中，小明同學發現自己的一本書的寬與長之比為黃金比.已知這本書的長為20cm，則它的寬約為( )
A.12.36cm B.13.6cm C.32.36cm D.7.64cm
3.把方程x2﹣8x+3=0化成(x+m)2=n的形式，則m，n的值是( )
A.4，13 B.﹣4，19 C.﹣4，13 D.4，19
4.某學校有320名學生，現對他們的生日進行統計(可以不同年)，下列說法正確的是( )
A.至少有兩人生日相同
B.可能有兩人生日相同，且可能性較大
C.不可能有兩人生日相同
D.可能有兩人生日相同，但可能性較小
5.如圖，在▱ABCD中，E為CD上一點，連接AE、BD，且AE、BD交于點F，S△DEF：S△ABF=4：25，則DE：EC=( )
A.2：5 B.2：3 C.3：5 D.3：2
6.一元二次方程x2+x+1=0的根的情況是( )
A.有兩個不相等的實數根 B.有兩個相等的實數根
C.無實數根 D.無法確定
7.如圖.若要使平行四邊形ABCD成為菱形.則需要添加的條件是( )
A.AB=CD B.AD=BC C.AB=BC D.AC=BD
8.已知直線y=kx(k>0)與雙曲線y=交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則x1y2+x2y1的值為( )
A.﹣6 B.﹣9 C.0 D.9
9.某超市舉行購物“翻牌抽獎”活動，如圖所示，四張牌分別對應價值5，10，15，20(單位：元)的四件獎品，如果隨機翻兩張牌，且第一次翻過的牌不再參加下次翻牌，則所獲獎品總價值不低于30元的概率為( )
A. B. C. D.
10.如果反比例函數的圖象在所在的每個象限內y都是隨著x的增大而減小，那么m的取值范圍是( )
A.m> B.m< C.m≤ D.m≥
二、填空題(本大題共4小題，每小題3分，共12分)
11.若==≠0，則= .
12.請從以下兩個小題中任選一個作答，若多選，則按所選的第一小題計分.
(1)方程x2﹣9x+18=0的兩個根是等腰三角形的底和腰，則這個等腰三角形的周長為
(2)如圖所示，兩個等邊三角形，兩個矩形，兩個正方形，兩個菱形各成一組，每組中的一個圖形在另一個圖形的內部，對應平行，且對應邊之間的距離都相等，那么兩個圖形不相似的一組是(請填寫正確答案的序號) .
13.如圖，四邊形ABCD是正方形，延長AB到點E，使AE=AC，連結CE，則∠BCE的度數是 度.
14.如圖，在平面直角坐標系中，直線l∥x軸，且直線l分別與反比例函數y=(x>0)和y=﹣(x<0)的圖象交于點P、Q，連結PO、QO，則△POQ的面積為 .
三、解答題(本大題共9小題，共58分)
15.(5分)如圖，已知△ABC，∠BAC=90°，請用尺規過點A作一條直線，使其將△ABC分成兩個相似的三角形(保留作圖痕跡，不寫作法)
16.(6分)如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別為：點A(1，3)，點B(4，2)，點C(2，1).
(1)作出與△ABC關于x軸對稱的圖形△A1B1C1;
(2)以原點O為位似中心，在原點的另一側畫出△ABC的位似圖形△A2B2C2，使，并寫出點A2，B2，C2的坐標.
17.(6分)在“測量物體的高度”活動中，某數學興趣小組的3名同學選擇了測量學校里的兩棵樹的高度，在同一時刻的陽光下，他們分別做了以下工作：
小芳：測得一根長為1米的竹竿的影長為0.8米;
小麗：測量甲樹的影長為4米(如圖1);
小華：發現乙樹的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教學樓的墻壁上(如圖2)，墻壁上的影長為1.2米，落在地面上的影長為2.4米.
(1)請直接寫出甲樹的高度為 米;
(2)求乙樹的高度.
18.(7分)如圖，已知菱形ABCD中，對角線ACBD相交于點O，過點C作CE∥BD，過點D作DE∥AC，CE與DE相交于點E.
(1)求證：四邊形CODE是矩形.
(2)若AB=5，AC=6，求四邊形CODE的周長.
19.(7分)有三張正面分別標有數字：﹣1，1，2的卡片，它們除數字不同外其余全部相同，現將它們背面朝上，洗勻后從中隨機抽出一張記下數字.
(1)請用列表或畫樹狀圖的方法(只選其中一種)，表示兩次抽出卡片上的數字的所有結果;
(2)將第一次抽出的數字作為點的橫坐標x，第二次抽出的數字作為點的縱坐標y，求點(x，y)落在雙曲線y=上的概率.
20.(7分)現代互聯網技術的廣泛應用，催生了快遞行業的高度發展，據調查，長沙市某家小型“大學生自主創業”的快遞公司，今年三月份與五月份完成投遞的快遞總件數分別為10萬件和12.1萬件，現假定該公司每月投遞的快遞總件數的增長率相同.
(1)求該快遞公司投遞總件數的月平均增長率;
(2)如果平均每人每月最多可投遞0.6萬件，那么該公司現有的21名快遞投遞業務員能否完成今年6月份的快遞投遞任務?如果不能，請問至少需要增加幾名業務員?
21.(7分)在矩形ABCD中，AB=10，BC=12，點E為DC的中點，連接BE，過點A作AF⊥BE，垂足為點F.
(1)求證：△BEC∽△ABF;
(2)求AF的長.
22.(6分)我市某蔬菜生產基地在氣溫較低時，用裝有恒溫系統的大棚栽培一種在自然光照且溫度為18℃的條件下生長最快的新品種.如圖是某天恒溫系統從開啟到關閉及關閉后，大棚內溫度y(℃)隨時間x(小時)變化的函數圖象，其中BC段是雙曲線的一部分.請根據圖中信息解答下列問題：
(1)恒溫系統在這天保持大棚內溫度18℃的時間有多少小時?
(2)求k的值;
(3)當x=16時，大棚內的溫度約為多少度?
23.(7分)如圖，四邊形ABCD為正方形，點A坐標為(0，1)，點B坐標為(0，﹣2)，反比例函數y=(k≠0)的圖象經過點C，一次函數y=ax+b(a≠0)的圖象經過A、C兩點.
(1)求反比例函數與一次函數的表達式;
(2)若點P是反比例函數y=(k≠0)圖象上的一點，△OAP的面積恰好等于正方形ABCD的面積，求P點的坐標.
參考答案與試題解析
一、選擇題(本題共10小題，每小題3分，共30分)
1.如圖，小明同學將一個圓錐和一個三棱柱組成組合圖形，觀察其三視圖，其俯視圖是( )
A. B.
C. D.
【分析】根據組合圖形的俯視圖，對照四個選項即可得出結論.
【解答】解：由題意得：俯視圖與選項B中圖形一致.
故選：B.
【點評】本題考查了簡單組合體的三視圖，解題的關鍵是會畫簡單組合圖形的三視圖.本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，掌握簡單組合體三視圖的畫法是關鍵.
2.在中華經典美文閱讀中，小明同學發現自己的一本書的寬與長之比為黃金比.已知這本書的長為20cm，則它的寬約為( )
A.12.36cm B.13.6cm C.32.36cm D.7.64cm
【分析】把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值()叫做黃金比.
【解答】解：方法1：設書的寬為x，則有(20+x)：20=20：x，解得x=12.36cm.
方法2：書的寬為20×0.618=12.36cm.
故選：A.
【點評】理解黃金分割的概念，找出黃金分割中成比例的對應線段是解決問題的關鍵.
3.把方程x2﹣8x+3=0化成(x+m)2=n的形式，則m，n的值是( )
A.4，13 B.﹣4，19 C.﹣4，13 D.4，19
【分析】此題考查了配方法解一元二次方程，解題時要注意解題步驟的準確應用，把左邊配成完全平方式，右邊化為常數.
【解答】解：∵x2﹣8x+3=0
∴x2﹣8x=﹣3
∴x2﹣8x+16=﹣3+16
∴(x﹣4)2=13
∴m=﹣4，n=13
故選：C.
【點評】配方法的一般步驟：
(1)把常數項移到等號的右邊;
(2)把二次項的系數化為1;
(3)等式兩邊同時加上一次項系數一半的平方.
選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數為1，一次項的系數是2的倍數.
4.某學校有320名學生，現對他們的生日進行統計(可以不同年)，下列說法正確的是( )
A.至少有兩人生日相同
B.可能有兩人生日相同，且可能性較大
C.不可能有兩人生日相同
D.可能有兩人生日相同，但可能性較小
【分析】依據可能性的大小的概念對各選項進行逐一分析即可.
【解答】解：A、因為每年有365天而某學校只有320人，所以至少有兩名學生生日相同是隨機事件.故本選項錯誤;
B、因為=>50%，所以可能性較大.正確;
C、兩人生日相同是隨機事件，故本選項錯誤;
D、由B可知，可能性較大，故本選項錯誤.
故選：B.
【點評】本題主要考查可能性大小的比較，關鍵是確定所給事件的類型;隨機事件是指在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件;概率較小的事件發生的可能性較小.
5.如圖，在▱ABCD中，E為CD上一點，連接AE、BD，且AE、BD交于點F，S△DEF：S△ABF=4：25，則DE：EC=( )
A.2：5 B.2：3 C.3：5 D.3：2
【分析】先根據平行四邊形的性質及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根據S△DEF：S△ABF=4：25即可得出其相似比，由相似三角形的性質即可求出 DE：AB的值，由AB=CD即可得出結論.
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE，
∴△DEF∽△BAF，
∵S△DEF：S△ABF=4：25，
∴DE：AB=2：5，
∵AB=CD，
∴DE：EC=2：3.
故選：B.
【點評】本題考查的是相似三角形的判定與性質及平行四邊形的性質，熟知相似三角形邊長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方是解答此題的關鍵.
6.一元二次方程x2+x+1=0的根的情況是( )
A.有兩個不相等的實數根 B.有兩個相等的實數根
C.無實數根 D.無法確定
【分析】先計算判別式的值，然后根據判別式的意義確定方程根的情況.
【解答】解：△=12﹣4×1=﹣3<0，
所以方程無實數根.
故選：C.
【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與△=b2﹣4ac有如下關系：當△>0時，方程有兩個不相等的實數根;當△=0時，方程有兩個相等的實數根;當△<0時，方程無實數根.
7.如圖.若要使平行四邊形ABCD成為菱形.則需要添加的條件是( )
A.AB=CD B.AD=BC C.AB=BC D.AC=BD
【分析】菱形的判定方法有三種：
①定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形;
②四邊相等;
③對角線互相垂直平分的四邊形是菱形.∴可添加：AB=AD或AC⊥BD.
【解答】解：因為一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，
那么可添加的條件是：AB=BC.
故選：C.
【點評】本題考查菱形的判定，答案不唯一.有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形;對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.
8.已知直線y=kx(k>0)與雙曲線y=交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則x1y2+x2y1的值為( )
A.﹣6 B.﹣9 C.0 D.9
【分析】先根據點A(x1，y1)，B(x2，y2)是雙曲線y=上的點可得出x1•y1=x2•y2=3，再根據直線y=kx(k>0)與雙曲線y=交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點可得出x1=﹣x2，y1=﹣y2，再把此關系代入所求代數式進行計算即可.
【解答】解：∵點A(x1，y1)，B(x2，y2)是雙曲線y=上的點
∴x1•y1=x2•y2=3①，
∵直線y=kx(k>0)與雙曲線y=交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，
∴x1=﹣x2，y1=﹣y2②，
∴原式=﹣x1y1﹣x2y2=﹣3﹣3=﹣6.
故選：A.
【點評】本題考查的是反比例函數的對稱性，根據反比例函數的圖象關于原點對稱得出x1=﹣x2，y1=﹣y2是解答此題的關鍵.
9.某超市舉行購物“翻牌抽獎”活動，如圖所示，四張牌分別對應價值5，10，15，20(單位：元)的四件獎品，如果隨機翻兩張牌，且第一次翻過的牌不再參加下次翻牌，則所獲獎品總價值不低于30元的概率為( )
A. B. C. D.
【分析】首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與所獲獎品總價值不低于30元的情況，再利用概率公式即可求得答案.
【解答】解：畫樹狀圖得：
∵共有12種等可能的結果，所獲獎品總價值不低于30元的有4種情況，
∴所獲獎品總價值不低于30元的概率為：=.
故選：C.
【點評】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率.用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比.
10.如果反比例函數的圖象在所在的每個象限內y都是隨著x的增大而減小，那么m的取值范圍是( )
A.m> B.m< C.m≤ D.m≥
【分析】根據反比例函數的性質可得1﹣2m>0，再解不等式即可.
【解答】解：∵反比例函數的圖象在所在的每個象限內y都是隨著x的增大而減小，
∴1﹣2m>0，
解得：m<，
故選：B.
【點評】此題主要考查了反比例函數的性質.對于反比例函數y=，當k>0時，在每一個象限內，函數值y隨自變量x的增大而減小;當k<0時，在每一個象限內，函數值y隨自變量x增大而增大.
二、填空題(本大題共4小題，每小題3分，共12分)
11.若==≠0，則= .
【分析】根據已知比例關系，用未知量k分別表示出a、b和c的值，代入原式中，化簡即可得到結果.
【解答】解：設===k≠0，
則a=2k，b=3k，c=4k，
所以==.
故答案是：.
【點評】本題考查了比例的性質.已知幾個量的比值時，常用的解法是：設一個未知數，把題目中的幾個量用所設的未知數表示出來，實現消元.
12.請從以下兩個小題中任選一個作答，若多選，則按所選的第一小題計分.
(1)方程x2﹣9x+18=0的兩個根是等腰三角形的底和腰，則這個等腰三角形的周長為 15
(2)如圖所示，兩個等邊三角形，兩個矩形，兩個正方形，兩個菱形各成一組，每組中的一個圖形在另一個圖形的內部，對應平行，且對應邊之間的距離都相等，那么兩個圖形不相似的一組是(請填寫正確答案的序號) ② .
【分析】(1)求出方程的解，分為兩種情況：①當等腰三角形的三邊是3，3，6時，②當等腰三角形的三邊是3，6，6時，看看是否符合三角形的三邊關系定理，若符合求出即可.
(2)根據相似多邊形的定義逐一進行判斷后即可確定正確的選項.
【解答】解：(1)x2﹣9x+18=0，
∴(x﹣3)(x﹣6)=0，
∴x﹣3=0，x﹣6=0，
∴x1=3，x2=6，
當等腰三角形的三邊是3，3，6時，3+3=6，不符合三角形的三邊關系定理，
∴此時不能組成三角形，
當等腰三角形的三邊是3，6，6時，此時符合三角形的三邊關系定理，周長是3+6+6=15，
故答案為：15.
(2)由題意得，①中三角形對應角相等，對應邊成比例，兩三角形相似;
③，④中正方形，菱形四條邊均相等，所以對應邊成比例，又角也相等，所以正方形，菱形相似;
而②中矩形四個角相等，但對應邊不一定成比例，
所以②中矩形不是相似多邊形，
故答案為：②.
【點評】本題考查了解一元二次方程和三角形的三邊關系定理及相似圖形，關鍵是確定三角形的三邊的長度及相似圖形的定義.
13.如圖，四邊形ABCD是正方形，延長AB到點E，使AE=AC，連結CE，則∠BCE的度數是 22.5 度.
【分析】根據正方形的性質，易知∠CAE=∠ACB=45°;等腰△CAE中，根據三角形內角和定理可求得∠ACE的度數，進而可由∠BCE=∠ACE﹣∠ACB得出∠BCE的度數.
【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠CAB=∠BCA=45°;
△ACE中，AC=AE，則：
∠ACE=∠AEC=(180°﹣∠CAE)=67.5°;
∴∠BCE=∠ACE﹣∠ACB=22.5°.
故答案為22.5.
【點評】此題主要考查的是正方形、等腰三角形的性質及三角形內角和定理.
14.如圖，在平面直角坐標系中，直線l∥x軸，且直線l分別與反比例函數y=(x>0)和y=﹣(x<0)的圖象交于點P、Q，連結PO、QO，則△POQ的面積為 7 .
【分析】根據反比例函數比例系數k的幾何意義得到S△OQM=4，S△OPM=3，然后利用S△POQ=S△OQM+S△OPM進行計算.
【解答】解：如圖，
∵直線l∥x軸，
∴S△OQM=×|﹣8|=4，S△OPM=×|6|=3，
∴S△POQ=S△OQM+S△OPM=7.
故答案為7.
【點評】本題考查了反比例函數比例系數k的幾何意義：在反比例函數y=圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值|k|.
三、解答題(本大題共9小題，共58分)
15.(5分)如圖，已知△ABC，∠BAC=90°，請用尺規過點A作一條直線，使其將△ABC分成兩個相似的三角形(保留作圖痕跡，不寫作法)
【分析】過點A作AD⊥BC于D，利用等角的余角相等可得到∠BAD=∠C，則可判斷△ABD與△CAD相似.
【解答】解：如圖，AD為所作.
【點評】本題考查了作圖﹣相似變換：兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到.解決本題的關鍵是利用有一組銳角相等的兩直角三角形相似.
16.(6分)如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別為：點A(1，3)，點B(4，2)，點C(2，1).
(1)作出與△ABC關于x軸對稱的圖形△A1B1C1;
(2)以原點O為位似中心，在原點的另一側畫出△ABC的位似圖形△A2B2C2，使，并寫出點A2，B2，C2的坐標.
【分析】(1)分別作出點A、B、C關于x軸的對稱點，再順次連接可得;
(2)根據位似圖形的定義作出點A、B、C在原點的另一側的對應點，再順次連接即可得.
【解答】解：(1)如圖所示，△A1B1C1即為所求;
(2)如圖所示，△A2B2C2即為所求，
點A2的坐標為(﹣2，﹣6)，B2的坐標為(﹣8，﹣4)，C2的坐標為(﹣4，﹣2).
【點評】本題主要考查作圖﹣軸對稱變換、位似變換，解題的關鍵是根據軸對稱變換和位似變換的定義作出變換后的對應點.
17.(6分)在“測量物體的高度”活動中，某數學興趣小組的3名同學選擇了測量學校里的兩棵樹的高度，在同一時刻的陽光下，他們分別做了以下工作：
小芳：測得一根長為1米的竹竿的影長為0.8米;
小麗：測量甲樹的影長為4米(如圖1);
小華：發現乙樹的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教學樓的墻壁上(如圖2)，墻壁上的影長為1.2米，落在地面上的影長為2.4米.
(1)請直接寫出甲樹的高度為 5.1 米;
(2)求乙樹的高度.
【分析】(1)根據測得一根長為1米的竹竿的影長為0.8米，利用比例式直接得出樹高;
(2)根據輔助線作法得出假設沒有墻時影子長度，即可求出答案.
【解答】解：(1)根據題意得：
=，
解得：x=5.1(米)，
故答案為：5.1.
(2)假設AB是乙樹，
∴BC=2.4m，CD=1.2m，
∴=，
∴=，
∴CE=0.96(m)，
∴=，
∴AB=4.2(m)，
答：乙樹的高度為4.2m.
【點評】此題主要考查了相似三角形的應用，根據同一時刻影長與高成比例以及假設沒有墻或臺階時求出影長是解決問題的關鍵.
18.(7分)如圖，已知菱形ABCD中，對角線ACBD相交于點O，過點C作CE∥BD，過點D作DE∥AC，CE與DE相交于點E.
(1)求證：四邊形CODE是矩形.
(2)若AB=5，AC=6，求四邊形CODE的周長.
【分析】(1)由條件可證得四邊形CODE為平行四邊形，再由菱形的性質可求得∠COD=90°，則可證得四邊形CODE為矩形;
(2)由菱形的性質可求得AO和OC，在Rt△AOB中可求得BO，則可求得OD的長，則可求得答案.
【解答】(1)證明：
∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四邊形CODE為平行四邊形，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD=90°，
∴平行四邊形CODE是矩形;
(2)解：
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AO=OC=AC=×6=3，OD=OB，∠AOB=90°，
在Rt△AOB中，由勾股定理得BO2=AB2﹣AO2，
∴BO==4，
∴DO=BO=4，
∴四邊形CODE的周長=2×(3+4)=14.
【點評】本題主要考查矩形、菱形的判定和性質，掌握矩形的判定方法及菱形的對角線互相垂直平分是解題的關鍵.
19.(7分)有三張正面分別標有數字：﹣1，1，2的卡片，它們除數字不同外其余全部相同，現將它們背面朝上，洗勻后從中隨機抽出一張記下數字.
(1)請用列表或畫樹狀圖的方法(只選其中一種)，表示兩次抽出卡片上的數字的所有結果;
(2)將第一次抽出的數字作為點的橫坐標x，第二次抽出的數字作為點的縱坐標y，求點(x，y)落在雙曲線y=上的概率.
【分析】(1)畫出樹狀圖即可得解;
(2)根據反比例函數圖象上點的坐標特征判斷出在雙曲線y=上的情況數，再根據概率公式列式計算即可得解.
【解答】解：(1)根據題意畫出樹狀圖如下：
(2)當x=﹣1時，y==﹣2;當x=1時，y==2;當x=2時，y==1.
∴一共有9種等可能的情況，點(x，y)落在雙曲線y=上有2種情況：(1，2)，(2，1)，
∴點(x，y)落在雙曲線y=上的概率為：.
【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法以及反比例函數圖象上點的坐標特征，根據抽卡的規律用樹狀圖表示兩次抽出卡片上的數字的所有結果是解題的關鍵.
20.(7分)現代互聯網技術的廣泛應用，催生了快遞行業的高度發展，據調查，長沙市某家小型“大學生自主創業”的快遞公司，今年三月份與五月份完成投遞的快遞總件數分別為10萬件和12.1萬件，現假定該公司每月投遞的快遞總件數的增長率相同.
(1)求該快遞公司投遞總件數的月平均增長率;
(2)如果平均每人每月最多可投遞0.6萬件，那么該公司現有的21名快遞投遞業務員能否完成今年6月份的快遞投遞任務?如果不能，請問至少需要增加幾名業務員?
【分析】(1)設該快遞公司投遞總件數的月平均增長率為x，根據“今年三月份與五月份完成投遞的快遞總件數分別為10萬件和12.1萬件，現假定該公司每月投遞的快遞總件數的增長率相同”建立方程，解方程即可;
(2)首先求出今年6月份的快遞投遞任務，再求出21名快遞投遞業務員能完成的快遞投遞任務，比較得出該公司不能完成今年6月份的快遞投遞任務，進而求出至少需要增加業務員的人數.
【解答】解：(1)設該快遞公司投遞總件數的月平均增長率為x，根據題意得
10(1+x)2=12.1，
解得x1=0.1，x2=﹣2.1(不合題意舍去).
答：該快遞公司投遞總件數的月平均增長率為10%;
(2)今年6月份的快遞投遞任務是12.1×(1+10%)=13.31(萬件).
∵平均每人每月最多可投遞0.6萬件，
∴21名快遞投遞業務員能完成的快遞投遞任務是：0.6×21=12.6<13.31，
∴該公司現有的21名快遞投遞業務員不能完成今年6月份的快遞投遞任務
∴需要增加業務員(13.31﹣12.6)÷0.6=1≈2(人).
答：該公司現有的21名快遞投遞業務員不能完成今年6月份的快遞投遞任務，至少需要增加2名業務員.
【點評】本題考查了一元二次方程的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程，再求解.
21.(7分)在矩形ABCD中，AB=10，BC=12，點E為DC的中點，連接BE，過點A作AF⊥BE，垂足為點F.
(1)求證：△BEC∽△ABF;
(2)求AF的長.
【分析】(1)在矩形ABCD中，有∠C=∠ABC=∠ABF+∠EBC=90°，由于AF⊥BE，所以∠AFB=∠C=90°，∠BAF=∠EBC，從而得證;
(2)在矩形ABCD中，AB=10，可知CD=AB=10，由于E為DC的中點，CE=5，由勾股定理可求得：BE=13，最后由△ABF∽△BEC得：，從而可求出答案.
【解答】解：(1)在矩形ABCD中，
有∠C=∠ABC=∠ABF+∠EBC=90°
∵AF⊥BE，
∴∠AFB=∠C=90°，
∴∠BAF=∠EBC
∴△BEC∽△ABF
(2)在矩形ABCD中，AB=10，
∴CD=AB=10，
∵E為DC的中點，
∴CE=5，
又BC=12，
在Rt△BEC中，
由勾股定理得：BE=13，
由△ABF∽△BEC得：
即：=，
∴解得：AF=
【點評】本題考查相似三角形的性質與判定，解題的關鍵熟練運用相似三角形的判定方法以及矩形的性質，本題屬于中等題型.
22.(6分)我市某蔬菜生產基地在氣溫較低時，用裝有恒溫系統的大棚栽培一種在自然光照且溫度為18℃的條件下生長最快的新品種.如圖是某天恒溫系統從開啟到關閉及關閉后，大棚內溫度y(℃)隨時間x(小時)變化的函數圖象，其中BC段是雙曲線的一部分.請根據圖中信息解答下列問題：
(1)恒溫系統在這天保持大棚內溫度18℃的時間有多少小時?
(2)求k的值;
(3)當x=16時，大棚內的溫度約為多少度?
【分析】(1)根據圖象直接得出大棚溫度18℃的時間為12﹣2=10(小時);
(2)利用待定系數法求反比例函數解析式即可;
(3)將x=16代入函數解析式求出y的值即可.
【解答】解：(1)恒溫系統在這天保持大棚溫度18℃的時間為12﹣2=10小時.
(2)∵點B(12，18)在雙曲線y=上，
∴18=，
∴解得：k=216.
(3)當x=16時，y==13.5，
所以當x=16時，大棚內的溫度約為13.5℃.
【點評】此題主要考查了反比例函數的應用，求出反比例函數解析式是解題關鍵.
23.(7分)如圖，四邊形ABCD為正方形，點A坐標為(0，1)，點B坐標為(0，﹣2)，反比例函數y=(k≠0)的圖象經過點C，一次函數y=ax+b(a≠0)的圖象經過A、C兩點.
(1)求反比例函數與一次函數的表達式;
(2)若點P是反比例函數y=(k≠0)圖象上的一點，△OAP的面積恰好等于正方形ABCD的面積，求P點的坐標.
【分析】(1)先根據A點和B點坐標得到正方形的邊長，則BC=3，于是可得到C(3，﹣2)，然后利用待定系數法求反比例函數與一次函數的解析式;
(2)設P(t，﹣)，根據三角形面積公式和正方形面積公式得到×1×|t|=3×3，然后解絕對值方程求出t即可得到P點坐標.
【解答】解：(1)∵點A的坐標為(0，1)，點B的坐標為(0，﹣2)，
∴AB=1+2=3，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴Bc=3，
∴C(3，﹣2)，
把C(3，﹣2)代入y=得k=3×(﹣2)=﹣6，
∴反比例函數解析式為y=﹣，
把C(3，﹣2)，A(0，1)代入y=ax+b得，
解得，
∴一次函數解析式為y=﹣x+1;
(2)設P(t，﹣)，
∵△OAP的面積恰好等于正方形ABCD的面積，
∴×1×|t|=3×3，解得t=18或t=﹣18，
∴P點坐標為(18，﹣)或(﹣18，).
【點評】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，正方形的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，學會構建方程解決問題，屬于中考常考題型.
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