2017九年級數學上冊期末試卷(2)
2017九年級數學上冊期末試卷
2017九年級數學上冊期末試卷參考答案
一、選擇題(每小題3分，共30分)
1. 的倒數是( )
A.﹣ B. C.﹣ D.
【考點】實數的性質.
【分析】 的倒數是 ，但 的分母需要有理化.
【解答】解：因為， 的倒數是 ，而 =
故：選D
2.下列運算中，正確的是( )
A.2x+2y=2xy B.(x2y3)2=x4y5 C.(xy)2÷ =(xy)3 D.2xy﹣3yx=xy
【考點】冪的乘方與積的乘方;合并同類項;分式的乘除法.
【分析】分別利用合并同類項法則以及分式除法運算和積的乘方運算得出即可.
【解答】解：A、2x+2y無法計算，故此選項錯誤;
B、(x2y3)2=x4y6，故此選項錯誤;
C、此選項正確;
D、2xy﹣3yx=﹣xy，故此選項錯誤;
故選：C.
3.反比例函數y= 的圖象，當x>0時，y隨x的增大而減小，則k的取值范圍是( )
A.k<2 B.k≤2 C.k>2 D.k≥2
【考點】反比例函數的性質.
【分析】先根據當x>0時，y隨x的增大而減小得出關于k的不等式，求出k的取值范圍即可.
【解答】解：∵反比例函數y= 中，當x>0時，y隨x的增大而減小，
∴k﹣2>0，
解得k>2.
故選C.
4.如圖所示的由六個小正方體組成的幾何體的俯視圖是( )
A. B. C. D.
【考點】簡單組合體的三視圖.
【分析】找到從上面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應表現在俯視圖中.
【解答】解：從上面看易得左邊第一列有3個正方形，中間第二列有1個正方形，最右邊一列有1個正方形.
故選D.
5.松北某超市今年一月份的營業額為50萬元.三月份的營業額為72萬元.則二、三兩個月平均每月營業額的增長率是( )
A.25% B.20% C.15% D.10%
【考點】一元二次方程的應用.
【分析】可設增長率為x，那么三月份的營業額可表示為50(1+x)2，已知三月份營業額為72萬元，即可列出方程，從而求解.
【解答】解：設增長率為x，根據題意得50(1+x)2=72，
解得x=﹣2.2(不合題意舍去)，x=0.2，
所以每月的增長率應為20%，
故選：B.
6.若將拋物線y=2x2向上平移3個單位，所得拋物線的解析式為( )
A.y=2x2+3 B.y=2x2﹣3 C.y=2(x﹣3)2 D.y=2(x+3)2
【考點】二次函數圖象與幾何變換.
【分析】直接根據“上加下減、左加右減”的原則進行解答即可.
【解答】解：由“上加下減”的原則可知，將二次函數y=2x2向上平移3個單位可得到函數y=2x2+3，
故選：A.
7.如圖，將矩形紙片ABCD沿EF折疊(E、F分別是AD、BC上的點)，使點B與四邊形CDEF內一點B′重合，若∠B′FC=50°，則∠AEF等于( )
A.110° B.115° C.120° D.130°
【考點】平行線的性質;翻折變換(折疊問題).
【分析】先根據平角的性質及折疊的性質可求出∠EFB′的度數，再根據平行線的性質解答即可.
【解答】解：∵四邊形A′EFB′是四邊形ABFE折疊而成，
∴∠BFE=∠EFB′，
∵∠B'FC=50°，
∴∠EFB= = =65°，
∵AD∥BC，
∴∠AEF=180°﹣∠EFB=115°.
故選B.
8.在△ABC中，已知∠C=90°，BC=4，sinA= ，那么AC邊的長是( )
A.6 B.2 C.3 D.2
【考點】解直角三角形.
【分析】根據三角函數的定義及勾股定理求解.
【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，BC=4，
∴sinA= = = ，
∴AB=6.
∴AC= =2 .
故選B.
9.如圖，DE∥BC，分別交△ABC的邊AB、AC于點D、E， = ，若AE=1，則EC=( )
A.2 B.3 C.4 D.6
【考點】平行線分線段成比例.
【分析】根據平行線分線段成比例定理得到 = ，即 = ，然后利用比例性質求EC.
【解答】解：∵DE∥BC，
∴ = ，即 = ，
∴EC=2.
故選A.
10.甲、乙兩車沿同一平直公路由A地勻速行駛(中途不停留)，前往終點B地，甲、乙兩車之間的距離S(千米)與甲車行駛的時間t(小時)之間的函數關系如圖所示.下列說法：
①甲、乙兩地相距210千米;
②甲速度為60千米/小時;
③乙速度為120千米/小時;
④乙車共行駛3 小時，
其中正確的個數為( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
【考點】一次函數的應用.
【分析】根據題意和函數圖象可以分別計算出各個小題中的結果，從而可以判斷各小題是否正確，從而可以解答本題.
【解答】解：由圖可知，
甲車的速度為：60÷1=60千米/時，故②正確，
則A、B兩地的距離是：60× =210(千米)，故①正確，
則乙的速度為：(60×2)÷(2﹣1)=120千米/時，故③正確，
乙車行駛的時間為：2 ﹣1=1 (小時)，故④錯誤，
故選C.
二、填空題(每小題3分，共30分)
11.數字12800000用科學記數法表示為 1.28×107 .
【考點】科學記數法—表示較大的數.
【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n為整數.確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值>1時，n是正數;當原數的絕對值<1時，n是負數.
【解答】解：將12800000用科學記數法表示為：1.28×107.
故答案為：1.28×107.
12.函數y= 中，自變量x的取值范圍是 x≠﹣2 .
【考點】函數自變量的取值范圍.
【分析】根據分母不等于0列式計算即可得解.
【解答】解：根據題意得x+2≠0，
解得x≠﹣2.
故答案為：x≠﹣2.
13.計算： = ﹣ .
【考點】二次根式的加減法.
【分析】二次根式的加減運算，先化為最簡二次根式，再將被開方數相同的二次根式進行合并.
【解答】解：原式=2 ﹣3 =﹣ .
14.把多項式2m2﹣8n2分解因式的結果是 2(m+2n)(m﹣2n) .
【考點】提公因式法與公式法的綜合運用.
【分析】直接提取公因式2，進而利用平方差公式分解即可.
【解答】解：2m2﹣8n2=2(m2﹣4n2)=2(m+2n)(m﹣2n).
故答案為：2(m+2n)(m﹣2n).
15.不等式組 的解集為 ﹣2≤x< .
【考點】解一元一次不等式組.
【分析】先求出每個不等式的解集，再根據找不等式組解集的規律找出不等式組的解集即可.
【解答】解：
∵解不等式①得：x≥﹣2，
解不等式②得：x< ，
∴不等式組的解集為﹣2≤x< ，
故答案為：﹣2≤x< .
16.分式方程 = 的解為x= 3 .
【考點】解分式方程.
【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解.
【解答】解：去分母得：2x﹣2=x+1，
解得：x=3，
經檢驗x=3是分式方程的解，
故答案為：3
17.若弧長為4π的扇形的圓心角為直角，則該扇形的半徑為 8 .
【考點】弧長的計算.
【分析】利用扇形的弧長公式表示出扇形的弧長，將已知的圓心角及弧長代入，即可求出扇形的半徑.
【解答】解：∵扇形的圓心角為90°，弧長為4π，
∴l= ，
即4π= ，
則扇形的半徑r=8.
故答案為：8.
18.已知，平面直角坐標系中，O為坐標原點，一次函數y= x+2的圖象交x軸于點A，交y軸于點B，則△AOB的面積= 4 .
【考點】一次函數圖象上點的坐標特征.
【分析】先求出A、B兩點的坐標，再由三角形的面積公式即可得出結論.
【解答】解：∵一次函數y= x+2的圖象交x軸于點A，交y軸于點B，
∴A(﹣4，0)，B(0，2)，
∴△AOB的面積= ×2×4=4.
故答案為：4.
19.已知，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AB于E，交AC所在直線于P，若∠APE=54°，則∠B= 72°或18° .
【考點】等腰三角形的性質;線段垂直平分線的性質.
【分析】根據題意畫出符合條件的兩種情況，推出AP=BP，推出∠BAC=∠ABP，求出∠BAC的度數和∠ABC的度數即可.
【解答】解：分為兩種情況：
①如圖1，
∵PE是AB的垂直平分線，
∴AP=BP，
∴∠A=∠ABP，∠APE=∠BPE=54°，
∴∠A=∠ABP=36°，
∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠C=∠ABC= =72°;
②如圖2，
∵PE是AB的垂直平分線，
∴AP=BP，
∴∠PAB=∠ABP，∠APE=∠BPE=54°，
∴∠PAB=∠ABP=36°，
∴∠BAC=144°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC= =18°，
故答案為：72°或18°.
20.如圖，△ABC中，CD是AB邊上的高，AC=8，∠ACD=30°，tan∠ACB= ，點P為CD上一動點，當BP+ CP最小時，DP= 5 .
【考點】軸對稱-最短路線問題;解直角三角形.
【分析】如圖，作PE⊥AC于E，BE′⊥AC于E′交CD于P′.易知PB+ PC=PB+PE，所以當BE′⊥AC時，PB+PE=BP′+P′E′=BE′最小，由tan∠ACB= = ，設BE′=5 ，CE′=3k，則AE′=8﹣3k，AB=16﹣6k，BD=16﹣6k﹣4=12﹣6k，根據BC2=BD2+CD2=BE′2+CE′2，列出方程求出k，即可解決問題.
【解答】解：如圖，作PE⊥AC于E，BE′⊥AC于E′交CD于P′.
∵CD⊥AB，∠ACD=30°，∠PEC=90°，AC=8，
∴PE= PC，∠A=60°，∠ABE′=30°，AD=4，CD=4 ，
∴PB+ PC=PB+PE，
∴當BE′⊥AC時，PB+PE=BP′+P′E′=BE′最小，
∵tan∠ACB= = ，設BE′=5 ，CE′=3k，
∴AE′=8﹣3k，AB=16﹣6k，BD=16﹣6k﹣4=12﹣6k，
∴BC2=BD2+CD2=BE′2+CE′2，
∴(12﹣6k)2+48=9k2+75k2，
整理得k2+3k﹣4=0，
∴k=1或﹣4(舍棄)，
∴BE′=5 ，
∴PB+ PC的最小值為5 .
故答案為5 .
三、解答題(21、22小題各7分，23、24小題各8分，25、26、27小題各10分，共60分)
21.先化簡，再求代數式 ÷(1﹣ )的值，其中x=2sin45°﹣tan45°.
【考點】分式的化簡求值;特殊角的三角函數值.
【分析】先化簡題目中的式子，然后將x的值代入化簡后的式子即可解答本題.
【解答】解： ÷(1﹣ )
=
=
= ，
當x=2sin45°﹣tan45°=2× ﹣1= ，
原式= .
22.如圖，是由邊長為1的小正方形構成的網格，各個小正方形的頂點稱之為格點，點A、C、E、F均在格點上，根據不同要求，選擇格點，畫出符合條件的圖形：
(1)在圖1中，畫一個以AC為一邊的△ABC，使∠ABC=45°(畫出一個即可);
(2)在圖2中，畫一個以EF為一邊的△DEF，使tan∠EDF= ，并直接寫出線段DF的長.
【考點】作圖—復雜作圖;銳角三角函數的定義.
【分析】(1)利用網格特點，AB在水平格線上，BC為4×4的正方形的對角線;
(2)由于tan∠EDF= ，則在含∠D的直角三角形中，滿足對邊與鄰邊之比為1：2即可.
【解答】解：(1)如圖1，△ABC為所作;
(2)如圖2，△DEF為所作，DF= =4 .
23.為便于管理與場地安排，松北某中學校以小明所在班級為例，對學生參加各個體育項目進行了調查統計.并把調查的結果繪制了如圖所示的不完全統計圖，請你根據下列信息回答問題：
(1)在這次調查中，小明所在的班級參加籃球項目的同學有多少人?并補全條形統計圖.
(2)如果學校有800名學生，請估計全校學生中有多少人參加籃球項目.
【考點】條形統計圖;用樣本估計總體;扇形統計圖.
【分析】(1)根據跳繩人數除以跳繩人數所占的百分比，可得抽查總人數，根據有理數的減法，可得參加籃球項目的人數，根據參加籃球項目的人數，可得答案;
(2)根據全校學生人數乘以參加籃球項目所占的百分比，可得答案.
【解答】解：(1)抽查總人數是：20÷40%=50(人)，
參加籃球項目的人數是：50﹣20﹣10﹣15=5(人)，
即小明所在的班級參加籃球項目的同學有5人，
補全條形圖如下：
(2)800× =80(人).
答：估計全校學生中大約有80人參加籃球項目.
24.如圖，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD為△ABC的中線，作CO⊥AB于O，點E在CO延長線上，DE=AD，連接BE、DE.
(1)求證：四邊形BCDE為菱形;
(2)把△ABC分割成三個全等的三角形，需要兩條分割線段，若AC=6，求兩條分割線段長度的和.
【考點】菱形的判定與性質.
【分析】(1)容易證三角形BCD為等邊三角形，又DE=AD=BD，再證三角形DBE為等邊三角形四邊相等的四邊形BCDE為菱形.
(2)畫出圖形，證出BM+MN=AM+MC=AC=6即可.
【解答】(1)證明：∵∠ACB=90°，∠A=30°，CD為△ABC的中線，
∴BC= AB，CD= AB=AD，
∴∠ACD=∠A=30°，
∴∠BDC=30°+30°=60°，
∴△BCD是等邊三角形，
∵CO⊥AB，
∴OD=OB，
∴DE=BE，
∵DE=AD，
∴CD=BC=DE=BE，
∴四邊形BCDE為菱形;
(2)解：作∠ABC的平分線交AC于N，再作MN⊥AB于N，如圖所示：
則MN=MC= BM，∠ABM=∠A=30°，
∴AM=BM，
∵AC=6，
∴BM+MN=AM+MC=AC=6;
即兩條分割線段長度的和為6.
25.某商廈進貨員預測一種應季襯衫能暢銷市場，就用0.8萬元購進這種襯衫，面市后果然供不應求.于是，商廈又用1.76萬元購進了第二批這種襯衫，所購數量是第一批購進數量的2倍，但單價貴了4元，商廈銷售這種襯衫時每件預定售價都是58元.
(1)求這種襯衫原進價為每件多少元?
(2)經過一段時間銷售，根據市場飽和情況，商廈經理決定對剩余的100件襯衫進行打折銷售，以提高回款速度，要使這兩批襯衫的總利潤不少于6300元，最多可以打幾折?
【考點】分式方程的應用;一元一次不等式的應用.
【分析】(1)設這種襯衫原進價為每件x元.根據“用1.76萬元購進了第二批這種襯衫，所購數量是第一批購進數量的2倍，但單價貴了4元”列出方程并解答，注意需要驗根;
(2)設打m折，根據題意列出不等式即可.
【解答】解：(1)設這種襯衫原進價為每件x元
= ，
解得：x=40.
經檢驗：x=40是原分式方程的解，
答：這種襯衫原進價為每件40元;
(2)設打m折，
8000÷40×3=600，58=29000，
29000+58×100× ≥8000+17600+6300，
解得：m≥5.
答：最多可以打5折.
26.已知，AB、AC是圓O的兩條弦，AB=AC，過圓心O作OH⊥AC于點H.
(1)如圖1，求證：∠B=∠C;
(2)如圖2，當H、O、B三點在一條直線上時，求∠BAC的度數;
(3)如圖3，在(2)的條件下，點E為劣弧BC上一點，CE=6，CH=7，連接BC、OE交于點D，求BE的長和 的值.
【考點】圓的綜合題.
【分析】(1)如圖1中，連接OA.欲證明∠B=∠C，只要證明△AOC≌△AOB即可.
(2)由OH⊥AC，推出AH=CH，由H、O、B在一條直線上，推出BH垂直平分AC，推出AB=BC，由AB=AC，推出AB=AC=BC，推出△ABC為等邊三角形，即可解決問題.
(3)過點B作BM⊥CE延長線于M，過E、O作EN⊥BC于N，OK⊥BC于K.設ME=x，則BE=2x，BM= x，在△BCM中，根據BC2=BM2+CM2，可得BM=5 ，推出sin∠BCM= = ，推出NE= ，OK= CK= ，由NE∥OK，推出DE：OD=NE：OK即可解決問題.
【解答】證明：(1)如圖1中，連接OA.
∵AB=AC，
∴ = ，
∴∠AOC=∠AOB，
在△AOC和△AOB中，
，
∴△AOC≌△AOB，
∴∠B=∠C.
解：(2)連接BC，
∵OH⊥AC，
∴AH=CH，
∵H、O、B在一條直線上，
∴BH垂直平分AC，
∴AB=BC，∵AB=AC，
∴AB=AC=BC，
∴△ABC為等邊三角形，
∴∠BAC=60°.
解：(3)過點B作BM⊥CE延長線于M，過E、O作EN⊥BC于N，OK⊥BC于K.
∵CH=7，
∴BC=AC=14，
設ME=x，
∵∠CEB=120°，
∴∠BEM=60°，
∴BE=2x，
∴BM= x，
△BCM中，∵BC2=BM2+CM2，
∴142=( x)2+(6+x)2，
∴x=5或﹣8(舍棄)，
∴BM=5 ，
∴sin∠BCM= = ，
∴NE= ，
∴OK= CK= ，
∵NE∥OK，
∴DE：OD=NE：OK=45：49.
27.如圖，拋物線y=ax2﹣2ax﹣3a交x軸于點A、B(A左B右)，交y軸于點C，S△ABC=6，點P為第一象限內拋物線上的一點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若∠PCB=45°，求點P的坐標;
(3)點Q為第四象限內拋物線上一點，點Q的橫坐標比點P的橫坐標大1，連接PC、AQ，當PC= AQ時，求點P的坐標以及△PCQ的面積.
【考點】二次函數綜合題.
【分析】(1)利用三角形的面積求出a即可得出拋物線解析式;
(2)先判斷出∠OBC=45°，而點P在第一象限，所以得出CP∥OB即：點P和點C的縱坐標一樣，即可確定出點P坐標;
(3)根據點P在第一象限，點Q在第二象限，且橫坐標相差1，進而設出點P(3﹣m，﹣m2+4m)(0
【解答】解：(1)∵拋物線y=ax2﹣2ax﹣3a=a(x+1)(x﹣3)，
∴A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，﹣3a)，
∴AB=4，OC=|﹣3a|=|3a|，
∵S△ABC=6，
∴ AB•OC=6，
∴ ×4×|3a|=6，
∴a=﹣1或a=1(舍)，
∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3;
(2)由(1)知，B(3，0)，C(0，﹣3a)，
∴C(0，3)，
∴OB=3，OC=3，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠BCO=∠OBC=45°，
∵點P為第一象限內拋物線上的一點，且∠PCB=45°，
∴PC∥OB，
∴P點的縱坐標為3，
由(1)知，拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3，
令y=3，∴﹣x2+2x+3=3，
∴x=0(舍)或x=2，
∴P(2，3);
(3)如圖2，過點P作PD⊥x軸交CQ于D，設P(3﹣m，﹣m2+4m)(0
∵C(0，3)，
∴PC2=(3﹣m)2+(﹣m2+4m﹣3)2=(m﹣3)2[(m﹣1)2+1]，
∵點Q的橫坐標比點P的橫坐標大1，
∴Q(4﹣m，﹣m2+6m﹣5)，
∵A(﹣1，0).
∴AQ2=(4﹣m+1)2+(﹣m2+6m﹣5)2=(m﹣5)2[(m﹣1)2+1]
∵PC= AQ，
∴81PC2=25AQ2，
∴81(m﹣3)2[(m﹣1)2+1]=25(m﹣5)2[(m﹣1)2+1]，
∵0
∴[(m﹣1)2+1]≠0，
∴81(m﹣3)2=25(m﹣5)2，
∴9(m﹣3)=±5(m﹣5)，
∴m= 或m= (舍)，
∴P( ， )，Q( ，﹣ )，
∵C(0，3)，
∴直線CQ的解析式為y=﹣ x+3，
∵P( ， )，
∴D( ，﹣ )，
∴PD= + = ，
∴S△PCQ=S△PCD+S△PQD= PD×xP+ PD×(xQ﹣xP)= PD×xQ= × × = .
28.如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A(﹣1，0)，B(5，0)兩點，直線y=﹣ x+3與y軸交于點C，與x軸交于點D.點P是x軸上方的拋物線上一動點，過點P作PF⊥x軸于點F，交直線CD于點E.設點P的橫坐標為m.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若PE=5EF，求m的值;
(3)若點E′是點E關于直線PC的對稱點、是否存在點P，使點E′落在y軸上?若存在，請直接寫出相應的點P的坐標;若不存在，請說明理由.
【考點】二次函數綜合題.
【分析】(1)利用待定系數法求出拋物線的解析式;
(2)用含m的代數式分別表示出PE、EF，然后列方程求解;
(3)解題關鍵是識別出當四邊形PECE′是菱形，然后根據PE=CE的條件，列出方程求解;當四邊形PECE′是菱形不存在時，P點y軸上，即可得到點P坐標.
【解答】解：(1)∵拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A (﹣1，0)，B(5，0)兩點，
∴ 解得 ，
∴拋物線的解析式為y=﹣x2+4x+5.
(2)∵點P的橫坐標為m，
∴P(m，﹣m2+4m+5)，E(m，﹣ m+3)，F(m，0).
∴PE=|yP﹣yE|=|(﹣m2+4m+5)﹣(﹣ m+3)|=|﹣m2+ m+2|，
EF=|yE﹣yF|=|(﹣ m+3)﹣0|=|﹣ m+3|.
由題意，PE=5EF，即：|﹣m2+ m+2|=5|﹣ m+3|=|﹣ m+15|
①若﹣m2+ m+2=﹣ m+15，整理得：2m2﹣17m+26=0，
解得：m=2或m= ;
②若﹣m2+ m+2=﹣(﹣ m+15)，整理得：m2﹣m﹣17=0，
解得：m= 或m= .
由題意，m的取值范圍為：﹣1
∴m=2或m= .
(3)假設存在.
作出示意圖如下：
∵點E、E′關于直線PC對稱，
∴∠1=∠2，CE=CE′，PE=PE′.
∵PE平行于y軸，∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，∴PE=CE，
∴PE=CE=PE′=CE′，即四邊形PECE′是菱形.
當四邊形PECE′是菱形存在時，
由直線CD解析式y=﹣ x+3，可得OD=4，OC=3，由勾股定理得CD=5.
過點E作EM∥x軸，交y軸于點M，易得△CEM∽△CDO，
∴ = =，即 = ，解得CE= |m|，
∴PE=CE= |m|，又由(2)可知：PE=|﹣m2+ m+2|
∴|﹣m2+ m+2|= |m|.
①若﹣m2+ m+2= m，整理得：2m2﹣7m﹣4=0，解得m=4或m=﹣ ;
②若﹣m2+ m+2=﹣ m，整理得：m2﹣6m﹣2=0，解得m1=3+ ，m2=3﹣ .
由題意，m的取值范圍為：﹣1
當四邊形PECE′是菱形這一條件不存在時，
此時P點橫坐標為0，E，C，E'三點重合與y軸上，也符合題意，
∴P(0，5)
綜上所述，存在滿足條件的點P坐標為(0，5)或(﹣ ， )或(4，5)或(3﹣ ，2 ﹣3).
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